компл.числа-урок-4

i
-1
Урок 4
Извлечение корня из комплексного числа
Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа z – это операция обратная
возведению в степень n, то есть
n
z  w – это такое комплексное число, n-ая степень
которого равна z, то есть
wn = z.
Запишем числа z и
n
z  w в показательной форме: z = rеi и w = еi, тогда, так как
wn = z, то n = r и n = . Откуда находим, что  = n r и  = /n, то есть w = w  n r еi/n.
Но дело в том, что аргумент комплексного числа определяется не однозначно, а с
точностью до числа, кратного 2.. Поэтому кроме значения аргумента  = /n у корня из z
могут быть и значения аргумента, равные ( + k2)/n, где k = 0, 1, ... , (n–1).
Таким образом, мы получим n различных корней:
w k  n re i(  2 k )/ n , где k = 0, 1, ... , (n–1).
(9)
Заметим, что если брать k > (n – 1), то мы будем повторно получать числа,
содержащиеся в (9). Например, при k = n получим
n
re i(  / n2 )  n re i / n  w0 .
Посмотрим теперь, как расположены на комплексной плоскости числа (9). Во-первых,
они все имеют один и тот же модуль n r , следовательно, они лежат на окружности, радиуса
n r с центром в точке 0. Во-вторых, последующий корень w получается из предыдущего
k+1
wk добавлением к аргументу одного и того же числа 2 /n, что соответствует повороту
(против часовой стрелки) на этот угол. Это говорит о том, что корни wk расположены в
вершинах правильного n-угольника.
Итак, все корни
nz
(z  0) лежат в вершинах правильного n-угольника,
вписанного в окружность, радиуса n z с центром в точке 0, причем одна из вершин
соответствует корню с аргументом, равным (argz)/n.
Пример 7. Найти все корни уравнения z3 = – 8, записать их в алгебраической форме и
построить соответствующие точки на комплексной плоскости.
Решение. Очевидно, задача сводится к отысканию w  3 8 . Поэтому, как мы
выяснили,w= 3 8 =2;
argwk = (arg(–8) + 2k)/3 = ( + 2k)/3,
где
k = 0, 1, 2.
Отсюда
получаем, что
w0 = 2еi/3 = 2(cos/3 + isin/3) = 1 + i 3 ;
w1 = 2еi = –2;
w2 = 2еi5/3 = 2(сos5/3 + isin5/3) = 1 – i 3 .
На рис. 6 показано, что точки комплексной плоскости, соответствующие найденным
корням w0, w1 и w2 лежат в вершинах правильного треугольника, вписанного в окружность с
центром в начале координат и радиуса 2. Причем одна из вершин этого треугольника лежит
на луче, соответствующем значению аргумента /3.
y
1+i 3
–8
-2
x
1–i 3
Рис. 6.
Ответ: w0 = 1 + i 3 ; w1 = –2; w2 = 1 – i 3 – решения данного уравнения z3 = – 8.