Дробно-рациональные уравнения

Решение многих рациональных уравнений основано на удачной группировке и последующем
приведении сгруппированных слагаемых к общему знаменателю. В более простых случаях
группировка не требуется, а иногда уравнение можно упростить, введя новую переменную. При
решении рациональных уравнений возникает опасность получения посторонних решений, поэтому
либо следует делать проверку, либо указывать необходимые ограничения и следить за их
выполнением в ходе решения. Естественно, при решении рациональных уравнений используются и
такие общие методы решения уравнений, как замена переменной, разложение на множители,
использование свойств монотонности и ограниченности функции.
3 блок.
Дробно-рациональные уравнения
1.
𝟐
𝒙𝟐 −𝟐𝒙−𝟑
+
𝒙−𝟓
𝒙𝟐 −𝟏
=
𝟏
𝒙𝟐 −𝟒𝒙+𝟑
.
Разложим квадратные трехчлены в знаменателях дробей на множители. Корнями уравнения 𝑥 2 −
2𝑥 − 3 = 0 являются 𝑥 = −1 и 𝑥 = 3. Следовательно, по теореме о разложении квадратного
трехчлена на множители получаем, что 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 3). По формуле разности
квадратов 𝑥 2 − 1 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1). Корнями уравнения 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 = 0 являются 𝑥 = 1 и 𝑥 =
3. Следовательно, по теореме о разложении квадратного трехчлена на множители 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 =
(𝑥 − 1)(𝑥 − 3).
Теперь уравнение можно переписать и, собрав слагаемые в левой части, привести их к общему
знаменателю:
2
(𝑥+1)(𝑥−3)
𝑥−5
1
+ (𝑥+1)(𝑥−1) = (𝑥−1)(𝑥−3)
2𝑥−2+𝑥 2 −3𝑥−5𝑥+15−𝑥−1
(𝑥+1)(𝑥−3)(𝑥−1)
{
=0
2(𝑥−1)+(𝑥−5)(𝑥−3)−(𝑥+1)
(𝑥+1)(𝑥−3)(𝑥−1)
𝑥 2 −7𝑥+12
(𝑥+1)(𝑥−3)(𝑥−1)
=0
=0
𝑥 2 − 7𝑥 + 12 = 0,
(𝑥 + 1)(𝑥 − 3)(𝑥 − 1) ≠ 0.
Корнями уравнения 𝑥 2 − 7𝑥 + 12 = 0
удовлетворяет только 𝑥 = 4.
являются
𝑥 = 4 и 𝑥 = 3.
Неравенству
системы
Ответ: 𝑥 = 4
2.
𝟏
𝟏−
𝟏
𝟏−
= 𝟒𝒙.
𝟏
𝟏−𝒙𝟐
В данном случае нецелесообразно тратить время на выписывание условий существования левой
части уравнения. Проще преобразовать ее, найти корни и выполнить проверку. Выполним
преобразования левой части уравнения:
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
=
=
=
=
=
= 𝒙𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏−𝒙
𝒙 +𝟏−𝒙
𝟏−
𝟏−
𝟏+
𝟏+
𝟐−𝟏
𝟐
𝟐
𝟏
𝟏
−
𝒙
𝒙
𝒙𝟐
𝒙
𝒙𝟐
𝟏−
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏−𝒙
𝟏−𝒙
𝟏−𝒙
Перейдем к уравнению-следствию: 𝑥 2 = 4𝑥 откуда 𝑥 2 − 4𝑥 = 0, 𝑥(𝑥 − 4) = 0, и, значит, 𝑥 =
4 либо 𝑥 = 0. Проверкой убеждаемся, что корень 𝑥 = 0 является посторонним.
Ответ: 𝑥 = 4.
𝒙𝟐
3.
𝒙−𝟒
𝒙
+ 𝟐 ∙ 𝒙𝟐 −𝟒 + 𝟑 = 𝟎.
Перегруппируем слагаемые, представив 3 в виде суммы 1 + 2, и сложим первую дробь с 1, а
вторую – с 2:
𝑥2
𝑥−4
𝑥 2 +𝑥−4
𝑥−4
𝑥
+ 1 + 2 ∙ 𝑥 2 −4 + 2 = 0;
𝑥
+ 2 ∙ (𝑥 2 −4 + 1) = 0;
𝑥 2 +𝑥−4
+
𝑥−4
2∙
𝑥 2 +𝑥−4
𝑥−4
= 0;
Вынесем за скобку общий множитель и приведем дроби в скобках к общему знаменателю:
(𝑥 2
1
2
+ 𝑥 − 4) (
+ 2
) = 0,
𝑥−4 𝑥 −4
𝑥 2 − 4 + 2𝑥 − 8
+ 𝑥 − 4)
= 0,
(𝑥 − 4)(𝑥 2 − 4)
(𝑥 2
(𝑥 2 + 𝑥 − 4)(𝑥 2 + 2𝑥 − 12)
= 0,
(𝑥 − 4)(𝑥 2 − 4)
{
(𝑥 2 + 𝑥 − 4)(𝑥 2 + 2𝑥 − 12) = 0,
(𝑥 − 4)(𝑥 2 − 4) ≠ 0
𝑥 2 + 𝑥 − 4 = 0,
{ 𝑥 2 + 2𝑥 − 12 = 0,
(𝑥 − 4)(𝑥 2 − 4) ≠ 0.
[
Корнями уравнения 𝑥 2 + 𝑥 − 4 = 0 являются 𝑥 =
−1−√17
2
и 𝑥=
−1+√17
2
. Корнями уравнения 𝑥 2 +
2𝑥 − 12 = 0 являются 𝑥 = −1 − √13 и 𝑥 = −1 + √13. Неравенству системы удовлетворяют все
четыре корня.
Ответ: 𝑥 =
−1±√17
2
𝒙+𝟑 𝟐
, 𝑥 = −1 ± √13 .
𝒙−𝟑 𝟐
𝒙𝟐 −𝟗
4. ( ) + 𝟏𝟒 ∙ 𝟐 − 𝟏𝟓 ( ) = 𝟎.
𝒙−𝟏
𝒙 −𝟏
𝒙+𝟏
а) Число 𝑥 = 3 не является корнем уравнения.
𝑥+3
𝑥−3
б) Пусть 𝑥 ≠ 3. Обозначим 𝑎 = 𝑥−1 , 𝑏 = 𝑥+1. Получим уравнение 𝑎2 + 14𝑎𝑏 − 15𝑏 2 = 0.
Поскольку 𝑥 ≠ 3, то 𝑏 ≠ 0. В силу того, что 𝑏 ≠ 0, можно разделить обе части уравнения 𝑎2 +
𝑎 2
𝑎
𝑎
14𝑎𝑏 − 15𝑏 2 = 0 на 𝑏 2 : (𝑏) + 14 𝑏 − 15 = 0. Обозначив 𝑧 = 𝑏, получим уравнение 𝑧 2 + 14𝑧 −
𝑧 = 1,
15 = 0, корни которого: [
𝑧 = −15.
(𝑥+3)(𝑥+1)
(𝑥−1)(𝑥−3)
Вернемся к переменной х: [(𝑥+3)(𝑥+1)
= −15.
(𝑥−1)(𝑥−3)
Решим уравнение
(𝑥+3)(𝑥+1)
= 1,
= 1,
(𝑥−1)(𝑥−3)
[
𝑥 2 + 4𝑥 + 3 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3,
(𝑥 − 1)(𝑥 − 3) ≠ 0
𝑥 = 0.
Решим уравнение
(𝑥+3)(𝑥+1)
= −15, [
(𝑥−1)(𝑥−3)
3
Ответ: 0;
3
2
𝑥 = 2,
[
𝑥 = 2,
; 2.
𝑥 2 + 4𝑥 + 3 = −15𝑥 2 + 60𝑥 − 45,
2𝑥 2 − 7𝑥 + 6 = 0,
[
(𝑥 − 1)(𝑥 − 3) ≠ 0,
(𝑥 − 1)(𝑥 − 3) ≠ 0,
З а д а н и я
1)
2)
𝒙
𝒙𝟐 −𝟔
𝟏
𝒙−𝟏
+
+
𝒙𝟐
𝒙−𝟔
𝟐
+𝟐 =𝟎
+
𝒙−𝟐
𝟒
𝟑𝒙
д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о
р е ш е н и я
𝟑
𝒙−𝟑
=
𝟔
𝒙+𝟔
𝟐
𝟑𝒙
) − 𝟖 (𝒙+𝟐) − 𝟗 = 𝟎
𝒙+𝟐
3) (
4)
𝒙𝟐 +𝟑𝒙+𝟐
𝒙𝟐 −𝒙+𝟐
+
5) 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙 =
6)
𝒙
𝒙𝟐 −𝟐𝒙+𝟐
=𝟏
𝟐𝟖
𝟏
(𝒙𝟐 +𝟑𝒙)𝟐 +𝟏
𝒙
𝟑
+ (𝒙+𝟑)𝟐
+𝟏
+ (𝒙𝟐
𝟓
+𝟐𝒙−𝟑)𝟐 +𝟏
=𝟗