(Класс 11, модуль XV, практикум, урок 6) Урок 6. Комбинированные уравнения и неравенства План урока 6.1. Уравнения с тригонометрическими функциями 6.2. Уравнения с аркфункциями 6.3. Обобщение метода интервалов 6.4. Неравенства с двумя неизвестными Тесты Домашнее задание Цели урока: Рассмотреть примеры задач повышенного уровня сложности, связанных с решением уравнений, неравенств и систем, которые содержат разнообразные элементарные функции, и, в частности, обратить внимание на некоторые общие приемы решения задач с параметрами. 6.1. Уравнения с тригонометрическими функциями На вступительных экзаменах часто предлагаются уравнения и неравенства, связанные с разными функциями: степенными, показательными, логарифмическими и тригонометрическими. Как и при решении любого другого уравнения или неравенства, в этом случае при выполнении преобразований также нужно следить за сохранением равносильности, разбивая задачу при необходимости на несколько случаев и добавляя дополнительные необходимые условия для корней. Рассмотрим, например, такую задачу. Пример 1. Решить уравнение logsin 2 x (cos 2 x cos 4 x) 0 Решение. Обе части уравнения определены, когда sin 2 x 0 , sin 2x 1 , cos 2x cos 4 x 0 . При этих условиях можно выполнить следующие преобразования, сохраняющие равносильность: log sin 2 x (cos 2 x cos 4 x) log sin 2 x 1 cos 2 x cos 4 x 1 cos 2 x (cos 4 x 1) 0 cos 2 x 2 cos 2 2 x 0 cos 2 x(2 cos 2 x 1) 0 Заметим, что корни всех этих уравнений удовлетворяют равенству cos 2x cos 4x 1 , а поэтому проверять для них условие cos 2x cos 4 x 0 не обязательно. Рассмотрим теперь две возможности. I. cos 2x 0 . Для корней этого уравнения либо sin 2x 1 , либо sin 2x 1. Но при sin 2x 1 не выполняется условие sin 2x 1 , а при sin 2x 1 не выполняется условие sin 2 x 0 . Поэтому среди решений уравнения cos 2x 0 нет корней исходного уравнения. II. cos 2x 12 . Тогда 2 x 3 2 k , k Z . Если 2 x 3 2 k , то sin 2x 23 . Поэтому sin 2 x 0 , sin 2x 1 , откуда следует, что такие значения x удовлетворяют отмеченным необходимым условиям, а значит, являются корнями исходного уравнения. Если 2 x 3 2 k , то sin 2 x 23 0 . Поэтому такие значения x не являются корнями исходного уравнения. Ответ: x 6 k , k Z . Вопрос. Почему не проверялось условие cos 2x cos 4 x 0 ? При действиях с радикалами нужно внимательно следить за возможным изменением областей определения функций, входящих в уравнения или неравенства. Пример 2. Решить уравнение (4 x 2 ) sin 2 x 1 cos 2 x Решение. Так как 1 cos 2 x 2sin 2 x и sin 2 x 0 , то множество x , при которых обе части уравнения определены, состоит из тех значений, для которых 4 x 2 0 , а также из таких значений x , для которых sin 2 x 0 . Обе части уравнения неотрицательны, поэтому в указанной области данное уравнение равносильно уравнению (4 x 2 )sin 2 x 2sin 2 x или (2 x 2 )sin 2 x 0 . Для решения получившегося уравнения достаточно рассмотреть две возможности. I. 2 x 2 0 , откуда x1 2 , x2 2 . II. sin 2 x 0 , откуда sin x 0 , x3 k , k Z . Все найденные значения входят в указанную ранее область определения, а поэтому являются корнями исходного уравнения. Ответ: 2 , 2 , k , k Z . Вопрос. Равносильны ли уравнения log g ( x ) f 2 ( x) 1 и 2log g ( x ) f ( x) 1 Это важно Заметим, что левая часть рассмотренного в примере 2 уравнения имеет вид f 2 ( x) g ( x) , где f ( x) sin x , g ( x) 4 x 2 . При попытке использовать напрашивающиеся равенства (sin 2 x) (4 x 2 ) f 2 ( x) g ( x) f ( x) g ( x) sin x 4 x 2 1 cos 2 x 2sin 2 x 2 sin x была бы допущена ошибка. В самом деле, обе части уравнения sin x 4 x 2 2 sin x определены только при 2 x 2 , а область определения частей исходного уравнения гораздо шире. Приведенные здесь рассуждения еще раз позволяют продемонстрировать, что необдуманные действия с радикалами в совершенно неожиданных ситуациях могут приводить к ошибкам. 6.2. Уравнения с аркфункциями Из равенства arcsin A B следует равенство sin B A . При этом из равенства sin B A не всегда следует равенство B arcsin A . Например, sin 56 12 , но arcsin 12 6 56 . Это означает, что при замене уравнения вида g ( x) arcsin f ( x) на уравнение f ( x) sin g ( x) могут появляться лишние корни. Второе уравнение будет равносильно первому при дополнительном условии 2 g ( x) 2 . Аналогично, уравнение вида g ( x) arccos f ( x) будет равносильно уравнению f ( x) cos g ( x) при дополнительном условии 0 g ( x) . Отмеченные особенности следует учитывать при решении соответствующих задач. Пример 3. Решить уравнение arcsin 10cos x108sin 2 2 x 3 x 4 Решение. Обе части уравнения определены при условии 10cos x 8sin 2 x 3 (1) 1 1 10 2 Так как 2 arcsin z 2 при любом z из указанной области допустимых значений, то для корней данного уравнения должно выполняться неравенство 2 x 4 2 или 34 x 4 . При этом условии исходное уравнение равносильно уравнению 10cos x 8sin 2 x 3 (2) sin( x ) 4 10 2 для корней которого нет необходимости проверять условие (1), так как значения правой части заведомо лежат в промежутке [11] . Решим уравнение (2): 10 cos x 8sin 2 x 3 10 3 sin( x ) 4 2 10 cos x 8sin x 3 10sin x 10 cos x 8sin 2 x 10sin x 3 0 Положив sin x t , получим 8t 2 10t 3 0 , откуда t1 12 , t2 34 . Далее рассмотрим два случая. I. sin x 12 . x1 6 2 k , x2 56 2 k , k Z (рисунок 1). Выбирая те значения x , которые входят в промежуток [ 34 4 ] , из серии x1 получаем единственное число x 6 ; в серии x2 таких чисел нет. II. sin x 34 . x3 arcsin 34 2 k , x4 arcsin 34 2 k , k Z (рисунок 2). Из серии x3 в промежуток [ 34 4 ] попадает единственное число ( arcsin 34 ) , а из серии x4 – единственное число arcsin 34 2 . Ответ: 6 ; arcsin 34 ; arcsin 34 . Вопрос. Как доказать, что arcsin 34 34 6.3. Обобщение метода интервалов Иногда неравенство решают обобщенным методом интервалов. Этот метод основывается на том свойстве, что если функция на некотором промежутке непрерывна и нигде не обращается в нуль, то все значения функции на этом промежутке одного знака. Решая вместо неравенства f ( x) 0 соответствующее уравнение f ( x) 0 , можно разделить область определения функции f ( x) на промежутки, в каждом из которых функция f ( x) сохраняет постоянный знак. Однако на практике проверка знаков может оказаться совсем не простой задачей. Пример 4. Найти решения неравенства 8x 7 3log (8 x 7) 8 16 x log4 x 0 2 log 4 64 Решение. Обе части неравенства определены при условиях x 0 , 8x 7 0 , 8x 7 1 , которые сводятся к одному условию x 0 , то есть обе части неравенства определены на множестве (0) . Обозначим левую часть неравенства через f ( x) и решим соответствующее уравнение f ( x) 0 . I. Пусть 16 x log4 x 0 . Тогда x log 4 x 16 log 4 x log 4 x log 4 16 log 24 x 2 log 4 x 2 x1 4 2 x2 4 2 Оба этих числа удовлетворяют условию x 0 . II. Пусть теперь 2 log 4 8 x647 3log (8 x 7) 8 0 . Тогда 2 log 2 (8 x 7) 6 log 2 8 3 0 log 2 4 log 2 (8 x 7) log 22 (8 x 7) 6 log 2 (8 x 7) 9 0 log 2 (8 x 7) log 2 (8 x 7) 3 2 log 2 (8 x 7) 0 1 log 2 (8 x 7) 3 8 x 7 8 x3 8 Число x3 также удовлетворяет условию x 0 . В итоге получаем, что точки 18 , 4 2 , 4 знакопостоянства функции f ( x) . Так как 2 делят множество (0) на промежутки 8 23 22 2 4 2 то 2 1 4 2 8 4 В итоге промежутками знакопостоянства являются интервалы (0 18 ) , ( 18 4 2 ) , (4 2 4 2 ) и (4 2 ) , условно изображенные на рисунке 3. При проверке знаков будем использовать то обстоятельство, что f ( x) есть произведение двух множителей: 16 x log4 x и 8x 7 2 log 4 3log (8 x 7) 8 64 (log 2 (8 x 7) 3) 2 log 2 (8 x 7) причем второй множитель при условии x 0 положителен, кроме x 18 . Далее проверку знаков можно выполнить так. I. Из интервала (0 18 ) возьмем x 161 , тогда log 4 x 2 x log4 x 256 16 x log4 x 0 f ( x) 0 как показано на рисунке 4. II. В интервале ( 18 4 2 ) трудно найти такое x , для которого известно значение log 4 x . Поэтому возьмем x 18 . Тогда 3 log 4 x xlog4 x 16 2 2 log 4 x 16 x 0 log 4 x Отсюда следует, что множитель 16 x отрицателен в некоторой окрестности точки 18 . Значит, в этой окрестности f ( x) 0 , за исключением x 18 . Таким образом, f ( x) 0 как на интервале (0 18 ) , что уже установлено, так и на интервале ( 18 4 2 ) . III. Из интервала (4 2 4 2 ) возьмем x 1 . Тогда log 4 x 0 x log4 x 1 16 x log4 x 0 f ( x) 0 IV. Из интервала (4 2 ) возьмем x 16 . При этом log 4 x 2 xlog4 x 256 16 x log4 x 0 f ( x) 0 Выбирая те значения x , для которых f ( x) 0 , получаем ответ. Ответ: {18} [4 2 4 2 ] . Вопрос. Как решить разобранную задачу, не используя обобщенный метод интервалов? 6.4. Неравенства с двумя неизвестными При решении задач, содержащих неравенства с двумя переменными, используются те же общие правила, которые применяются и при решении неравенств с одной переменной. Пример 5. На координатной плоскости задана фигура M , состоящая из всех точек ( x y ) , координаты которых удовлетворяют системе неравенств xy y 2 x 15 x25 1 x2 y2 625 26 Изобразить эту фигуру и найти ее площадь. Решение. I. Сначала найдем множество решений первого из неравенств системы y 2 x Неизвестные x и y должны удовлетворять условию xy 0 , которое выполняется в четырех случаях: а) x 0 , а y — произвольное; б) y 0 , а x — произвольное; в) x 0 и y 0 ; г) x 0 и y 0 . xy 15 Множество точек ( x y ) , удовлетворяющих условию xy 0 , изображено на рисунке 5. Рассмотрим теперь два случая. xy 1). Пусть y 2 x 0 или y 2 x (рисунок 6). Так как , то в данном случае 15 0 решениями являются все точки, которые входят в область, изображенную на рисунке 7. 2). Пусть y 2 x 0 . Тогда первое неравенство системы равносильно неравенству xy 2 61 xy 4 x 2 0 . или y 2 15 15 ( y 2 x ) Левую часть этого неравенства можно разложить на множители, если решить относительно y соответствующее квадратное уравнение: 61 y 2 xy 4 x 2 0 15 2 61 D x 16 x 2 15 2 61 61 11 x 4 x x 4 x x 15 15 15 5 12 y1 x y2 x 3 5 61 5 12 y 2 xy 4 x 2 y x y x 15 3 5 Теперь решение неравенства y 53 x y 125 x 0 сводится к решению двух систем: а) y 53 x 0 12 y 5 x 0 множество решений этой системы изображено на рисунке 8; б) y 53 x 0 12 y 5 x 0 множество решений этой системы изображено на рисунке 9. Выбирая из множеств на рисунках 8 и 9 те точки, координаты которых удовлетворяют условию y 2 x 0 , приходим к множеству, изображенному на рисунке 10. Итак, совокупность решений первого неравенства исходной системы является объединением множеств на рисунках 7 и 10. Она приведена на рисунке 11. II. Теперь найдем множество решений второго неравенства исходной системы x 25 261 x2 y 2 625 Помня, что x 2 y 2 625 0 , рассмотрим два случая. 1). Пусть x 2 y 2 625 0 или x 2 y 2 252 (рисунок 12). Тогда 26( x 25) x 2 y 2 625 x 2 26 x 132 y 2 252 26 25 132 ( x 13) 2 y 2 122 Этому неравенству удовлетворяют координаты точек, лежащих внутри круга с центром (13; 0) и с радиусом 12. Такой круг лежит целиком внутри окружности с центром в начале координат и с радиусом 25 (рисунок 13). Поэтому в данном случае решений нет. 2). Пусть x 2 y 2 252 . Тогда 26( x 25) x 2 y 2 625 или ( x 13)2 y 2 122 . Получившееся множество изображено на рисунке 14. Оно целиком является множеством решений второго неравенства исходной системы. III. Множество M , о котором говорится в условии задачи, совпадает с пересечением множеств, изображенных на рисунках 11 и 14. Чтобы найти это пересечение, выясним, как прямая y 125 x расположена по отношению к окружности ( x 13)2 y 2 122 . Для этого составим уравнение 2 ( x 13) 2 125 x 122 . Преобразуя, получаем 169 2 (13x 25) 2 0 . 25 x 2 13 x 25 0 Следовательно, прямая с уравнением y 125 x касается окружности ( x 13)2 y 2 122 в 25 24 точке ( 13 13 ) , а множество M имеет вид, условно изображенный на рисунке 15. IV. Площадь множества M найти несложно, поэтому выкладки мы опускаем. 5 12 Ответ: 625 2 (arctg 5 arctg 3 ) 72 . Проверь себя. Комбинированные уравнения и неравенства Задание 1. Укажите правильный вариант ответа. На каком из указанных множеств выполняется равенство arccos(cosx) 3x ? 1. ; 3 3 2. ; 6 6 3. 0; 6 4. 0; 3 (Правильный вариант: 4) На каком из указанных множеств выполняется равенство arcsin(sinx) x ? 1. ; 2 2 2. 0; 3 3. ; 2 2 4. ;2 (Правильный вариант: 3) Сколько корней имеет уравнение 2 x 2 x 4 ? 1. Ни одного 2. Один 3. Два 4. Три (Правильный вариант: 1) Сколько корней имеет уравнение sin 16 x2 0 ? 1. Два 2. Четыре 3. Шесть 4. Восемь (Правильный вариант: 2) Проверь себя. Комбинированные уравнения и неравенства Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа В каких случаях указанное неравенство имеет непустое множество решений? 1. 2. 3. 4. x 1 x x 1 x 1 x 1 1 x x 1 2 x (Правильные варианты: 1, 4) В каких случаях указанное неравенство имеет пустое множество решений? 1. x x 1 2. x x 3. x x 1 4. x x 2 (Правильные варианты: 2, 3, 4) В каких случаях множество решений системы неравенств состоит из единственной пары чисел x, y ? x 2 y 2 2; 1. x y 2. x 2 y 2 2; 2. x y 2. x 2 y 2 2; 3. y x 2. x 2 y 2 2; 4. x y 2. (Правильные варианты: 1, 3, 4) Каким из указанных систем равносильно неравенство log x ( x 2 y 2 ) 0 ? x 2 y 2 1; 1. 0 x 1. x 2 y 2 1; 2. 0 x 1. x 2 y 2 1; 3. x 0. x 2 y 2 1; 4. x 0. (Правильные варианты: 1) Домашнее задание 1. Решить уравнение log ctgx (3 2 cos 2 x 2 cos 4 x) 0 2. Решить уравнение x 7sin x arccos 53cos2 x 4 7 2 3. Найти все общие корни уравнений 5cos2 x 2cos x 3 0 и sin 2 x 14 cos2 x 8 0 . 4. Решить уравнение 1 2 cos 2 x 1 3cos 2 x . 5 5 5. Решить уравнение sin( x ) cos x cos . 2x 2x x x 6. Решить уравнение sin( ) : cos( ) 1 . 5 6 7. Решить уравнение cos x2 x2 1 2x cos sin . 3 3 2 3 8. Решить неравенство log x 3 4 log x 4 16 1 7 2 3x 9. Решить неравенство log0,8 log1,25 3 . x 3 10. Решить неравенство 2x1 3 2 x1 14 . 11. Решить неравенство log x log 2 ( Рисунки (названия файлов) Рисунок 1. 11-6-01.CDR Рисунок 2. 11-6-02.CDR Рисунок 3. 11-6-03.CDR Рисунок 4. 11-6-04.CDR Рисунок 5. 11-6-05.CDR Рисунок 6. 11-6-06.CDR Рисунок 7. 11-6-07.CDR Рисунок 8. 11-6-08.CDR Рисунок 9. 11-6-09.CDR Рисунок 10. 11-6-10.CDR Рисунок 11. 11-6-11.CDR Рисунок 12. 11-6-12.CDR Рисунок 13. 11-6-13.CDR Рисунок 14. 11-6-14.CDR Рисунок 15. 11-6-15.CDR Рисунок 16. 11-6-16.CDR 14 5 2 x ) 1 . 3