Приложение 1 Примеры решения текстовых задач на сплавы и

Приложение 1
Примеры решения текстовых задач на сплавы и смеси
Примеры разработанных задач с применением табличной классификации
текстовых условий.
М.Л.Галицкий «Сборник задач по алгебре» 8-9 кл., 1995 г.
№ 5.134.
В сплав магния и алюминия, содержащий 22 кг алюминия добавили 15 кг
магния, после чего содержание магния в сплаве повысилась на 33%. Сколько весил
сплав первоначально?
Магний (кг)
Алюминий (кг)
Общее кол-во.
Сплав (кг)
Сплав
х - 22
22
х
Добавили
15
х + 15
Стало
х-7
22
х + 15
?%
100%
Решение:
х  7   100
- стало процентное содержание магния.
х5
х  22   100 - было процентное содержание магния.
х
х  7   100  х  22  100  33
х  15
х
100х2 – 700х – (х2 – 22х + 15х - 330 )*100 = 33х2 + 495х.
х ≠ 0, х ≠ -15.
-33х2 – 495х + 33000 = 0
х2 + 15х – 1000 = 0
Д = 4225.
х1 = -40 – не подходит по смыслу задачи.
х2 = 25.
Ответ: 25.
М.Л.Галицкий «Сборник задач по алгебре» 8-9 кл., 1995 г.
№ 5.135.
Имелось два слитка меди. Процент содержания меди в первом слитке был на
40 меньше, чем процент содержания меди во втором слитке. После того, как оба
слитка сплавили, получили слиток, содержащий 36% меди.
Найдите процентное содержание меди в первом и во втором слитках, если в
первом слитке было 6 кг меди, а во втором – 12 кг.
Можно в 8-9 классах предложить несколько другой способ заполнения таблицы,
так как у них еще возникают трудности в вычислении процентного содержания вещества.
%
Кг
Было
Меди
х
6
I сплав
100
600
х
Стало
I + II
Меди
II сплав
(х + 40)
100
Меди
Сплав
36
100
12
1200
х  40
18
? = 50.
Решение:
100 * 18
 50 (кг) – масса получившегося сплава.
36
600 1200
2)

 50
х
х  40
1)
600х + 24000 + 1200х – 50х2 – 2000х = 0
х2 + 4х – 480 = 0
х1 = -24, - 24 не подходит по смыслу задачи.
х2 = 20,
20% меди в I сплаве.
3) 20 + 40 = 60 (%) меди во II сплаве.
Ответ: 20%, 60%.
М.Л.Галицкий «Сборник задач по алгебре» 8-9 кл., 1995 г.
№ 5.136.
После смешивания двух растворов, один из которых содержал 48 г, а другой
20г безводного йодистого калия, получили 200г нового раствора. Найдите
концентрацию каждого из первоначальных растворов, если концентрация первого
раствора была на 15% больше концентрации второго.
%
г
I раствор
Иод. калий
х + 15
48
раствор
100
4800
х  15
II раствор
Иод. калий
раствор
Стало
I + II
х
100
Иод. калий
раствор
20
2000
х
200
Решение:
1)
4800 2000

 200
х  15
х
4800х + 2000х + 30000 – 200х2 – 3000х = 0.
х2 – 19х – 150 = 0.
х1 = -6, - 6 не подходит по смыслу задачи.
х2 = 25, 25% - концентрация второго раствора.
2) 20 + 15 = 40 (%) – концентрация первого раствора.
Ответ: 25%, 40%.
М.Л.Галицкий «Сборник задач по алгебре» 8-9 кл., 1995 г.
№ 10.26.
Смешали 10%-й и 25%-й растворы соли и получили 3 кг 20%-го раствора.
Какое количество каждого раствора в килограммах было использовано?
Соль (кг)
Общее кол-во (кг)
I раствор
0,1х
х
II раствор
0,25(3 – х)
3–х
III раствор
0,1х + 0,25(3 – х)
3
или 0,2 * 3
Решение:
Уравнение: 1) 0,1х+0,25(3-х)=0,2*3
0,1х+0,75-0,25х=0,6
-0,15х=-0,15
х=1.
2) 3-1=2 (кг)
Ответ: 1кг, 2 кг.
№10.27.
Имеются два сплава золота и серебра. В одном сплаве количество этих
металлов находится в отношении 2 : 3, а в другом – в отношении 3 : 7. Сколько
нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и
серебро были бы в отношении 5 : 11?
Золото (кг)
Серебро (кг)
Общее кол-во (кг)
I сплав
2/5х
3/5х
х
II сплав
8-х
3
7
10
Новый сплав
(I + II)
8  х 
10
2
3
х  8  х 
5
10
или
8  х 
8
3
7
х  8  х 
5
10
8
или
* 11
16
8
*5
16
Решение:
1)
2
3
40
;
х  8  х  
5
10
16
2
24 3
5
х
 х  ; 4 х  24  3х  25
5
10 10
2
х=1
2) 8 – 1 = 7 (кг)
Ответ: 1 кг, 7 кг.
Вступительные экзамены МГУ, факультет почвоведения.
В сосуде находится 10% - й раствор спирта. Из сосуда отлили 1/3 содержимого,
а оставшуюся часть долили водой так, что сосуд оказался заполненным на 5/6
первоначального объема. Какое процентное содержание спирта оказалось в сосуде?
Спирт
Общее кол-во
Было
0,1х
х
Отлили
0,1х * 1/3
1/3х
Получили
1
0,1х   0,1х 
3
1
1
1
=
х
х х
10
30
15
Долили
Получили
Решение:
1
х  100
1 6
15
   100  8(%)
5
15 5
х
6
Ответ: 8 %.
1
х
15
5
х
6
?%
100%
Московский государственный институт стали и сплавов (МИСиС).
Подготовительный факультет.
Учебное пособие для подготовки к рейтинговому тестированию.
Ю.Н.Гинев.
Первый уровень сложности.
Сколько граммов чистого спирта надо добавить к 735 г 16-%-ного раствора
йода в спирте, чтобы получить 10% - ный раствор йода?
Спирт (г)
Йод
Общее кол-во
Раствор (г)
Было
0,84*735
0,16*735
735
Добавили
х
Получили
0,84*735+х
0,1(735+х)
735+х
Решение:
0,84*735+х+0,1(735+х)=735+х
617,4+х+73,5+0,1х-735-х=0
0,1х=44,1;
х=441.
Ответ: 441 г.
Из 50 т руды выплавляется 20 т металла, содержащего 12 % примесей. Каков
процент примесей в руде?
Металл (кг)
Примеси (т)
Общее кол-во (т)
Руда
20
0,12*20=2,4
50
2,4+30=32,4.
Решение :
32,4 - ? %
50 – 100%.
32,4  100
 64,8(%)
50
Ответ: 64,8%.
Свежие фрукты содержат 78% воды, а сухие – 12% воды. Сколько
килограммов сухих фруктов получится из 40 кг свежих фруктов?
Вода
Общее кол-во
Было
0,78*40
40
Высушили
х
х
Стало
0,78*40-х
40-х
или 0,12*(40-х)
Решение:
Уравнение
1)
0,78*40-х = 0,12(40-х)
31,2-х=4,8-0,12х
0,88х=26,4
х=30,
30 кг воды испарилось
2)
40-30=10 (кг)
Ответ: 10 кг.
2-й уровень сложности.
Имеется стальной лом двух видов: с содержанием никеля 5% и 40%.
Сколько тонн лома с 40%-ым содержанием никеля нужно сплавить с ломом,
содержащим 5% никеля, чтобы получить 140 тонн стали с 30%-ым содержанием
никеля?
Никель (т)
0,05(140-х)
0,4х
0,05(140-х)+0,4х
или 0,3*140
I вид
II вид
Сплав I+ II
Общее кол-во (т)
140-х
х
140
Решение:
Уравнение:
0,05(140-х)+0,4х = 0,3*140
7-0,05х+0,4х = 42
0,35х = 35;
х=100
Ответ: 100.
Первичное сырье содержит 90% примесей, а обогащенное 12% примесей. В
процессе обогащения из сырья удаляются только примеси. Сколько тонн
обогащенного сырья получится из 22 тонн первичного сырья?
Примеси (т)
Чистое вещество (т)
Общее кол-во (т)
Первичное
0,9*22=19,8
2,2
22
Обогащенное
0,12х
2,2
х
Решение:
Уравнение: х - 2,2 = 0,12х,
0,88 х = 2,2,
х=2,5
Ответ: 2,5 тонн.
3-й уровень сложности.
В двух одинаковых сосудах, объемом по 30л каждый, содержится всего 30 л
спирта. Первый сосуд доливают доверху водой и полученной смесью дополняют
второй сосуд, затем из второго сосуда отливают в первый 12 л новый смысл. Сколько
литров спирта было первоначально в каждом сосуде, если во втором сосуде оказалось
на 2 л спирта меньше, чем в первом?
Спирт (л)
Общее кол-во (л)
1
1 сосуд
2 сосуд
Долили 1 с.
Получили 1 с.
2 с.
1 раз. Отлили из 1с.
Долили во 2 с.
Получили 1 с.
2 с.
2
х
30-х
х
30-х
х2
?
30
х2
30
х2
х
30
30  х 
1
Отлили из 2 с.
3
х
30-х
30-х
30
30-х
х
х
30-х
30
2
х
30
2


 30  х  х   12

30 

30
2
3
12
Долили в 1 с.
2 

 30  х  х   12

30 

30
2 

х
 30  х 
  12


2 
30


х  х   

30 
30

2 

 30  х  х   12

30 
х2 
30  х 

30
30
Получили 1 с.
2 с.
Решение:
1)
уравнение:
2 


 30  х  х   12 


2 
30 

х
х2

х 

  30  х 




30
30
30





х 
х2
2х 
2х 
30
2 

 30  х  х  * 12

30 


2х 2
 32 
30
х2
15
 32 
 30  х 
30

х 2 

24 30  х 

30 

30

х 2 
12 30  х 

30 

15
х2
30

2 

 30  х  х  * 12

30 

30
0
х2
)0
30
12 х 2
30 х  х 2  480  360  12 х 
0
30
2х 2
2
 х  18 х  120 
0
5
 5 х 2  90 х  600  2 х 2  0
30 х  х 2  480  12(30  х 
 3х 2  90 х  600  0
х 2  30 х  200  0
х1 
2)
30-х+12
2 


 30  х  х   12 


30 

  2.

30



0
30  10
30  10
 10; х 2 
 20
2
2
30-10 = 20 (л) или 30-20 = 10 (л).
12
Ответ: 10 л, 20 л.
 2.
Имеются два раствора поваренной соли разной концентрации. Если слить
вместе 100 г первого раствора и 200 г второго раствора, то получится 50%-й раствор.
Если же слить 300 г первого раствора и 200 г второго, то получится 42%-й раствор.
Найти концентрации данных растворов.
Соль (г)
х
1 раствор
2 раствор
150-х
1 + 2 раствор
0,5*300=150 г.
1 раствор
х
* 300
100
150  х
* 200
200
2 раствор
1+2 раствор
Решение:
1) Уравнение:
Общее кол-во (г)
100
200
300
300
200
0,42*500=210
500
х
150  х
* 300 
* 200  210
100
200
3х-+150-х=210,
2х=60 х=30
30 г соли в 1 растворе 30% - й – концентрация первого раствора
2) 150-30 = 120 (г) соли во 2-м растворе, взятом в количестве 200 г.
120
* 100  60% - концентрация 2-го раствора.
200
Ответ: 30%, 60%.
4-й уровень сложности.
В расплаве массой 500 кг содержится медь и олово. Из этой смеси отлили
часть, по массе превышающую на 100 кг массу меди в расплаве, и добавили
количество олова, равное по массе отлитой части расплава. После этого отлили
столько же получившейся смеси. В результате последней операции количество меди
в расплаве уменьшилось в 25/4 раз по сравнению с ее содержанием в исходном
расплаве. Определить процентное содержание олова в исходном расплаве.
Медь
Олово
Смесь
Расплав
х
500-х
500
Отлили 1
Х+100
х х  100 
Получили
500
х х  100 
х
500
Добавили
Получили
-
Отлили 2
х х  100 
500
х х  100  

х 
 х  100 
500 

500
х
400-х
Х+100
Х+100
Х+100
500
Х+100
х х  100 

500
х х  100  


х 
 *  х  100  
500 





500




Получили
х
400-х
или х/(25/4)
Решение:
Уравнение:
х
х х  100 

500
х
х х  100 
х  100  4
500
 х
500
25
 400 х  х 2


*  х  100  
500 х  х  100 х 
500
  4х


 25
500
500




2
400 х  х 2
400 х 2  40000 х  х 3  100 х 2
4х


500
250000
25
400 х  х 2
300 х 2  40000 х  х 3
4х


500
250000
25
200000 х  500 х 2  300 х 2  40000 х  х 3  40000 х  0
х 3  800 х 2  120000 х  0


х х 2  800 х  120000  0.
х1 = 200,
х2 = 600
600 кг не подходит по смыслу задачи
меди 200 кг, олова 300 кг.
300
* 100  60% - процентное содержание олова в исходном расплаве.
500
Ответ: 60%.
МГУ. Вступительные экзамены.
Из двух сплавов массами 7 кг и 3 кг с разным процентным содержанием
магния отрезали по куску одинаковой массы. Затем кусок, отрезанный от 1 сплава
сплавили с остатком 2 сплава, а кусок, отрезанный от второго сплава, сплавили с
остатком от 1 сплава. Определить массу каждого из отрезанных кусков, если сплавы
получились с одинаковым процентным содержанием магния.
Магний (кг)
Общее кол-во (кг)
1 спл.
а≠в
а% 0,07*а;
а/100*7
7
2 спл.
в%
0,03*в; в/100*3
3
1′ - отрез от 1
а
*х
100
а
7  х 
100
в
х
100
в
3  х 
100
а
в
3  х 
х
100
100
1″ - осталось от 1
2′ - отрез от 2
2″ - ост. от 2
1′ + 2″
?%
1″ + 2′
а
7  х   в х
100
100
?%
Х
7-х
Х
3-х
3
100%
7
100%
Решение:
Так как процентное содержание магния в сплавах 1′ + 2″ и 1″ + 2′ одинаково, то
в
 а
3  х  100 *  а 7  х   в х 
100 * 

100 
 100 х 100

 100

3
7
1
1

 ах  в3  х   а7  х   вх 
3
7

7 ах  21в  7вх  21а  3ах  3вх
7 ах  7вх  3ах  3вх  21а  21в
10 ха  в   21а  в ,
так как а ≠ в, то 10х = 21. х = 2,1.
Ответ: 2,1 отрезали.
МГУ. Вступительные экзамены.
Сосуд емкостью 8 л наполнили воздухом содержащим 16 % кислорода. Из
этого сосуда выпускают некоторое количество воздуха и выпускают такое же
количество азота. После чего выпускают такое же количество смеси, как в первый
раз и опять дополняют таким же количеством азота. В новой смеси оказалось 9 %
кислорода. Определить какое количество воздуха или смеси выпускалось каждый
раз из сосуда.
Азот (л)
Кислород (л)
Общее кол-во (л)
Было
0,16*8
8
Выпустили 1
0,16*х
Х
0,16(8-х)
8-х
Осталось 1
Добавили
х
-
х
Стало 1
х
0,16(8-х)
8
0,168  х   х
8
Выпустили 2
Осталось 2
0,16(8  х) 
х
0,16(8  х) * х
8
или0,09 * 8
Добавили
х
-
8
Решение:
Уравнение:
0,16(8  х) * х
 0,09 * 8
8
(8  х) * 0,16(8  х)
 8 * 0,09
8
0,16(8  х) 
(8  х) 2 * 0,02  8 * 0,09
(8  х) 2  0,72 : 0,02
8  х  6.
х  2.
Ответ: 2.
МГУ. Вступительные экзамены.
Из сосуда, наполненного 96% раствором кислоты отлили 2,5л и долили сосуд
80% раствором той же кислоты. Затем еще раз отлили 2,5 л и снова долили 80%
раствором кислоты. После этого в сосуде получился 89% раствор кислоты.
Определить вместимость сосуда.
Составная часть
Общее кол-во (кг)
кислоты
0,96х
х
Было
Отлили 1
0,96*2,5=2,4
2,5
Осталось 1
0,96х-2,4
Х-2,5
Долили 1
0,8*2,5=2
2,5
Стало 1
0,96х -2,4+2=0,96х-0,4
х
Отлили 2
2,5
0,96 х  0,4 * 2,5
Осталось 2
х
0,96 х  0,4 * 2,5
0,96 х  0,4 
х
Х-2,5
Добавили 2
Стало 2
2
2,5
0,96 х  0,4 
или0,89 х
Решение:
Уравнение:
0,96 х  0,4  * 2,5  2
х
х
0,96х-0,4-
0,96 х  0,4 * 2,5  2  0,89 х,
х
х≠0
0,96х2-0,4х-2,4х+1+2х-0,89х2=0.
0,07х2-0,8х+1=0.
7х2-8х+100=0.
Х1 =
10
- не подходит по смыслу задачи.
7
Х2 = 10.
Ответ: 10 л.
Задачи с параметром
Один вид железной руды содержит 72 % железа, другой-58%. Некоторое
количество руды первого вида смешали с некоторым количеством руды второго вида и
получили руду, содержащую 62% железа. Если бы для смеси взяли руды каждого вида на
15 кг больше, чем было взято, то получилась бы руда , содержащая р% железа. Сколько
килограммов руды первого и второго вида было взято для составления первой смеси. При
каких значениях р задача имеет решение.
Решение:
Х – 72%
У – 58%
получили 62% раствор
(Х + 15) - 72%
(У + 15) - 58% получили р% раствор Составим систему из двух уравнений
10Х – 4У =0
(Х+ 15)(72 – р) + (У + 15)(58-р) = 0
Х = 0,4У
Х = 2(30р – 1950) : (434 – 7р)
У = 5(30р - 1950): (434 – 7р)
2(30р – 1950) : (434 – 7р)> 0
5(30р - 1950): (434 – 7р) > 0
Р > 65,
р< 62
Р > 65,
р< 62
Ответ: Р принадлежит промежутку (62; 65)