Элементы теории множеств

МОСКОВСКИЙ КОМИТЕТ ОБРАЗОВАНИЯ
ЮЖНЫЙ АДМИНИСТРАТИВНЫЙ ОКРУГ
ГОУ Лицей №1523
Элементы теории множеств
(Методическое пособие для учащихся
9-х классов физико-математического профиля)
А в т о р : Х о м ут о в а Л . Ю .
Москва
2006 год
Элементы теории множеств
Хомутова Л. Ю.
«Множество есть многое,
мыслимое нами как единое».
Г. Кантор
1. Множества и их элементы
В повседневной жизни постоянно различные совокупности предметов называют одним словом. Совокупность документов называют архивом, собрание музыкантов – оркестром, группу лошадей – табуном, собрание книг – библиотекой и т. д.
Математическим понятием, отражающим объединение некоторых объектов,
предметов или понятий в единую совокупность, является понятие множества. Это
понятие в математике является первичным, не определяемым, таким же, как понятие
точки и прямой в геометрии, – к более простым понятиям оно не сводится.
Приведем примеры множеств:
 Множество всех людей, живущих в настоящее время на Земле.
 Множество всех рыб в Тихом океане.
 Множество звезд в Галактике.
 Множество всех натуральных чисел.
 Множество всех действительных чисел x , удовлетворяющих условию
2  x  10 .
 Множество учащихся данной школы.
Предметы, объекты, образующие данное множество, называются его элементами. Например, Александр I является элементом множества российских импера3
торов, а число 9 – элементом множества натуральных чисел, а число
не является
4
элементом множества целых чисел.
Обычно множества обозначаются латинскими прописными буквами A, B,
C, D ,X ,Y ,W и т. д., а их элементы – строчными буквами a, b, c, d, x, y, w и т. д. То
обстоятельство, что объект a является элементом множества А, записывают так:
a  A . Если объект а не является элементом множества А, то пишут: a  A .
Множества А и В называются равными, если они содержат одни и те же элементы. Например, равны множества A  1; 2; 3 и B  3; 1; 2. Равенство множеств А
и В записывают в виде А=В.
Москва, 2006 год
1
Элементы теории множеств
Хомутова Л. Ю.
2. Характеристическое свойство множества
Различают множества конечные и бесконечные. Конечным называется множество, состоящее из конечного числа элементов. Среди конечных множеств выделяют пустое множество, не имеющего ни одного элемента. Его называют пустым
множеством и обозначают символом  . Примерами пустых множеств являются
множество людей выше трех метров роста, множество нечетных чисел, делящихся
на два, и т. д. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным множеством.
Имеется два существенно различных способа задания множества. Первый
способ состоит в том, что множество задается указанием всех его элементов. В этом
случае говорят, что множество задано перечислением всех своих элементов, или
списком элементов.
Перечислением элементов можно задать лишь конечные множества. И даже
для них это не всегда легко сделать: трудно перечислить все элементы конечного
множества, состоящего из всех людей, живущих на Земле.
Второй способ задания множества применим как к конечным, так и к бесконечным множествам. Он состоит в том, указывается свойство, которым обладают все
элементы рассматриваемого множества и не обладают никакие другие объекты. Такое свойство называется характеристическим свойством множества. Если множество А задано характеристическим свойством Р, то пишут:
A  x / Px .
Эту запись читают так: множество А состоит из тех и только тех элементов,
которые обладают свойством Р.
B  n / n  N , n заканчивается одной из цифр 1, 3, 5, 7, 9  означает, что множество В состоит из всех нечетных натуральных чисел.
Москва, 2006 год
2
Элементы теории множеств
Хомутова Л. Ю.
3. Подмножества
Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент х
из множества В является вместе с тем и элементом множества А. В этом случае пишут: B  A . Здесь знак  является знаком включения одного множества в другое.
Рассмотрим множества:
1) В – множество всех четырехугольников,
2) С – множество всех параллелограммов,
3) D – множество всех прямоугольников,
4) Е – множество всех квадратов.
В смысле множества фигура каждого следующего типа является частным
случаем фигуры предыдущего типа (параллелограмм – частный случай четырехугольника, прямоугольник – параллелограмма, квадрат – прямоугольника). Это
означает, что каждое следующее множество является подмножеством предыдущего.
Поэтому
E  DC  B .
Для иллюстрации соотношения между множествами пользуются схемами,
называемыми диаграммами Эйлера – Венна, на которых множества изображаются
овалами, в частности кругами.
Леонард Эйлер (1707 – 1783) – один из величайших математиков {VIII в.,
швейцарец; Дж. Венн (1834 – 1923) – английский математик.
На рисунке 1 с помощью кругов показано соотношение между множествами
B, С, D, Е.
В
С
D
E
Рис. 1
Москва, 2006 год
3
Элементы теории множеств
Хомутова Л. Ю.
4. Операции над множествами
4.1. Пересечение множеств
Если даны два множества, то можно образовать новое множество, составленное из общих элементов этих множеств. Например, общей частью множеств
A  1; 2; 3; 4; 5 и B  3; 5; 7; 9 будет множество 3; 5, которое называют пересечением множеств А и В.
О п р е д е л е н и е . Пересечением множеств А и В называется новое множество, содержащее те и только те элементы, которые входят одновременно и в
множество А, и в множество В.
Пересечение множеств А и В обозначают A  B :
A  B  x / x  A и x  B.
Например, если А – множество всех прямоугольников, В – множество всех
ромбов, то A  B – множество всех квадратов.
Геометрическую иллюстрацию операции пересечения множеств А и В дают
диаграммы Эйлера – Венна (рис. 2).
А
А
В
В
а)
б)
Рис. 2
На рисунке 2,а заштриховано множество A  B , на рисунке 2,б множества А
и В не пересекаются, т. е. A  B   .
Операция пересечения множеств применяется там, где требуется найти элементы, удовлетворяющие сразу двум условиям. Например, множество натуральных
чисел, кратных 15, – это пересечение множества натуральных чисел, кратных 3, и
множества натуральных чисел, кратных 5, т. е.
x / x  N , x  15 x / x  N , x  3 x / x  N , x  5.
4.2. Объединение множеств
Из двух множеств А и В можно образовать новое множество, объединяя все
элементы множества А и все элементы множества В. Например, объединяя элементы множества A  1; 2; 3; 4; 5 с элементами множества B  3; 5; 7; 9, получим новое множество 1; 2; 3; 4; 5; 7, которое называют объединением множеств А и В. При
этом общие элементы 3 и 5 входят в объединение один раз.
Москва, 2006 год
4
Элементы теории множеств
Хомутова Л. Ю.
О п р е д е л е н и е . Объединением множеств А и В называется новое множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые входят хотя бы в одно
из множеств А или в множество В.
Объединение множеств А и В обозначают A  B :
A  B  x / x  A или x  B.
А
А
В
В
а)
б)
Рис. 3.
Диаграммы Эйлера – Венна, соответствующие операции объединения множеств А и В, построены на рисунке 3. На них заштрихованы множества A  B .
4.3. Разность множеств
О п р е д е л е н и е . Разностью двух множеств А и В называют такое множество, в которое входят элементы из множества А, не принадлежащие множеству В.
Разность множеств А и В обозначают А/В. Диаграммы Эйлера – Венна, соответствующие операции вычитания множеств А и В, построены на рисунке 4. На нем
заштрихованы множества А/В. Если А=В, то А/В=  .
А
А
А
А=В
В
В
ВВ
а)
б)
Рис. 4.
в)
В случае, когда В есть подмножество множества А, разность А/В называют
дополнением множества В в множестве А и обозначают C A B . Например, дополнением множества четных чисел в множестве всех целых чисел является множество
нечетных чисел.
Москва, 2006 год
5
Элементы теории множеств
Хомутова Л. Ю.
5. Формулы включений и исключений
Проиллюстрируем теперь применение операций над множествами для решения задач о нахождении числа элементов, заданных несколькими условиями. Ниже
будем рассматривать только конечные множества А и через n A обозначать число
их элементов.
При решении задач будем пользоваться формулой включений и исключений
для двух конечных множеств А и В:
n A  B  n A  nB  n A  B ,
и формулой включений и исключений для трех конечных множеств А, В и С:
n A  B  C   n A  nB  nC   n A  B  n A  C   nB  C   n A  B  C  .
Задача.
На вступительном экзамене по математике были предложены три задачи:
по алгебре, планиметрии и стереометрии. Из 1000 абитуриентов задачу по алгебре
решили 800, по планиметрии – 700, по стереометрии – 600 абитуриентов. При
этом задачи по алгебре и планиметрии решили 600 абитуриентов, по алгебре и стереометрии – 500, по планиметрии и стереометрии – 400. Все три задачи решили
300 абитуриентов. Существуют ли абитуриенты, не решившие ни одной задачи, и
если да, то сколько их?
Р е ш е н и е . Пусть
1) U – множество всех абитуриентов,
2) А – множество абитуриентов, решивших задачу по алгебре,
3) В – множество абитуриентов, решивших задачу по планиметрии,
4) С – множество абитуриентов, решивших задачу по стереометрии.
По условию задачи составим таблицу числа элементов множеств (таблица 1).
Таблица 1.
Множества
Обозначение числа элементов
множества
Множество всех абитуриентов.
Множество абитуриентов, решивших
задачу по алгебре.
Множество абитуриентов, решивших
задачу по планиметрии.
Множество абитуриентов, решивших
задачу по стереометрии.
Множество абитуриентов, решивших
задачу по алгебре и планиметрии.
Множество абитуриентов, решивших
задачу по алгебре и стереометрии.
Множество абитуриентов, решивших
задачу по планиметрии и стереометрии.
Множество абитуриентов, решивших
задачу по алгебре, планиметрии и
стереометрии.
Число элементов
множества
nU 
n А
1000
800
nВ
700
nС 
600
n A  B 
600
n A  C 
500
nB  C 
400
n A  B  C 
300
Москва, 2006 год
6
Элементы теории множеств
Хомутова Л. Ю.
В множество A  B  C включены все абитуриенты, решившие хотя бы одну
задачу. По формуле включений и исключений для трех конечных множеств имеем
n A  B  C   800  700  600  600  500  400  300  900 . Отсюда следует, что не
все поступившие решили хотя бы одну задачу. Ни одной задачи не решили
nU   n A  B  C   1000  900  100 (абитуриентов).
А
В
300
0
0
300
200
100
0
С
Рис.5.
На рисунке 5 это решение проиллюстрировано с помощью диаграмм Эйлера –
Венна.
Вернуться к конспектам уроков
Москва, 2006 год
7
Элементы теории множеств
Хомутова Л. Ю.
Оглавление
1. Множества и их элементы ........................................................................................................1
2. Характеристическое свойство множества...............................................................................2
3. Подмножества ............................................................................................................................3
4. Операции над множествами .....................................................................................................4
4.1. Пересечение множеств. ..................................................................................................4
4.2. Объединение множеств. .................................................................................................4
4.3. Разность множеств. ........................................................................................................5
5. Формулы включений и исключений........................................................................................6
Москва, 2006 год
8