ИДЗ Д

ИДЗ № Д2. Теорема об изменении кинетической энергии механической
системы(интегральная форма)
№
вар.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
m2
m3
m4
R2
R3
2
3
f

S
кг
5m
2,5m
20m
кг
3m
кг
15m
2,5m
5m
8m
8m
-
см
26
20
16
15
16
20
20
20
16
24
20
20
20
20
30
30
30
16
16
15
-
см
20
35
18
20
30
20
20
20
20
30
20
20
20
15
25
20
30
30
24
25
20
28
30
20
-
см
20
16
12
12
12
18
16
16
12
20
15
15
18
18
26
26
20
12
14
12
-
см
18
16
25
16
18
25
15
15
25
25
18
20
20
-
0,12
0,2
0,2
0,1
0,15
0,15
0,1
0,2
0,1
0,15
0,1
0,2
0,17
0,1
0,12
0,15
0,1
0,1
0,22
0,1
0,1
см
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,25
0,32
0,2
0,2
0,2
O,25
0,2
0,24
0,2
0,25
0,2
0,2
0,28
0,2
0,2
-
м
2
2,4
2
2
1
1
1,2
1
1,2
1,2
1,5
1,5
3
1
1
1,5
2
2
2,5
2,5
3
1,5
1,75
2
1
1,5
2
2
2
2
10m
5m
5m
20m
m
5m
60m
10m
2m
50 m
10m
m
14 m
20m
20m
10m
20m
3m
20m
10m
m
10m
m
20m
5m
5m
20m
5m
5m
2,5m
20m
5m
20m
5m
30 m
5m
40m
30 m
2,5m
40m
50 m
50 m
2m
2,5m
2,5m
20m
3m
10m
30 m
10m
2m
10m
3m
2m
10m
m
10m
20m
2m
m
5m
40m
20m
10m
2m
2,5m
13m
20m
10m
В задании приняты следующие обозначения: массы тел 1, 2, 3, 4 –
m1 ,m2 ,m3 ,m4 ; радиусы больших и малых окружностей – R2 , r2 , R3 , r3 , R4 ,r4 ;
радиусы инерции 2 , 3 , 4 тел 2, 3, 4 относительно горизонтальных осей,
проходящих через их центры тяжести; f – коэффициент трения скольжения;
 – коэффициент трения качения. Необходимые для решения данные
приведены в таблице 4. Во всех вариантах m1  10m . Блоки и катки, для
которых радиусы инерции в таблице не указаны, считать сплошными
однородными цилиндрами. В варианте 17 тележка 4 на четырёх одинаковых
колёсах 3 . Наклонные участки нитей параллельны соответствующим
наклонным плоскостям.
Пример выполнения задания. Дано (Рис. 2, а): m1 – масса груза 1,
m2  2 m1, m3  m1, m4  0,5m1 , m5  20m1 , R2  R3  12 см, r2  0,5R2 ,
r3  0,75R3 , R5  20 см ,
AB  l  4 R3 ,  2  8 см,
 3  10 см,   30 , f  0,1,  = 0,2 см, s = 0,06 м.
Сопротивление качению тела 2 не учитывать. Шатун 4 считать тонким
однородным стержнем; каток 5 – однородный сплошной цилиндр.
Массами звена BC 5 и ползуна В пренебречь. На рисунке 2, а) показана
механическая система в начальном положении.
Рис. 2
Найти: V1 – скорость груза 1 в конечном положении.
Решение. Применим теорему об изменении кинетической энергии
системы:
T  T0   Ake   Aki ,
(1)
где T0 и T – кинетическая энергия системы в начальном и конечном
положениях;
 Aki
 Ake
– сумма работ внешних сил, приложенных к системе;
– сумма работ внутренних сил системы.
Для систем, состоящих из абсолютно твёрдых тел, соединённых
нерастяжимыми нитями,
 Aki = 0.
Так как в начальном положении система находится в покое, то T0  0 .
Уравнение (1) принимает вид:
T   Ake .
(2)
Кинетическая энергия T системы в конечном её положении (рис. 2, б)
равна сумме кинетических энергий тел 1, 2, 3, 4, 5:
T =T1  T2  T3  T4  T5 .
(3)
Кинетическая энергия груза 1
T1 
m1 V12
2
(4)
.
Кинетическая энергия катка 2, совершающего плоское движение,
T2 
2
m 2 V С2
2

J 2   22
,
2
(5)
где VC2 – скорость центра тяжести C 2 катка 2
VC2  V1 ,
(6)
J 2 – момент инерции катка 2 относительно его центральной оси C2
J 2  m2  22 ,
(7)
 2 – угловая скорость катка 2.
Так как каток катится без скольжения, то мгновенный центр скоростей
катка находится в точке Р2.
Поэтому
2 
VC2
V
 1 .
C2 P2
R2
(8)
Подставляя (6) – (8) в формулу (5), получаем
m2  22 V12
m2 V12
1
T2 


m2
2
2
2R22

2  2
 1  22  V1 . (9)

R2 

Кинетическая энергия звена 3, вращающегося вокруг неподвижной оси
Ох,
J 2
T3  3x 3 ,
2
(10)
где J 3x – момент инерции звена 3 относительно оси Ох:
2
,
J 3x  m3 3x
(11)
 3 – угловая скорость звена 3:
3 
VE
.
r3
(12)
Скорость точки E звена 3 равна скорости точки D
катка, которую можно найти из соотношения:
(r 2  R 2 )
VD

;
VC 2
R2
а так как
VD 3
3
 , VE  VD  V1 .
2
V1 2
то
VC 2  V1 , R2  2 r 2 ,
(13)
Подставляя (13) в (12), получаем
3 
3 V1
.

2 r3
(14)
После подстановки (11) и (14) в (10) выражение кинетической
энергии звена 3 принимает вид:
2
m3  32x  3V1 
T3 

 , или
 2r3 
2


T3 
2 V 2
9
m3 3x 1 .
8
r 32
(15)
Кинетическая энергия шатуна 4 , совершающего плоское движение,
T4 
1
1
2
m4 V C
J 4  42 ,
4 
2
2
где VC 4 – скорость центра тяжести C 4 шатуна 4,
J 4 – момент инерции шатуна относительно центральной оси C4 ,
 4 – угловая скорость шатуна 4.
Для определения скорости VC 4 и угловой скорости  4 найдём
конечное положение шатуна 4. Когда груз 1 пройдёт путь s  0, 06  (м),
барабан 3 повернётся на угол  3 . Этот угол можно определить на
основании формулы (14), заменяя в ней
3
d 3
ds
, V1
,
dt
dt
получаем
d3
3
ds


, или d 3  3  ds ;
dt
2r3
dt
2 r3
после интегрирования (при нулевых начальных условиях)
3
3
s

.
2 r3
Видно, что линейные и угловые перемещения находятся в такой же
зависимости, как соответствующие линейные и угловые скорости.
Вычислим угол
3  0, 06 

2  0, 09
3
 радиан  .
Значит, барабан 3 повернётся на 180 ; при этом шатун 4 из начального
положения A0 B0 перейдёт в конечное положение АВ (рис. 2, б).
Так как скорости точек А и В шатуна в этот момент параллельны,
мгновенный центр скоростей шатуна находится в бесконечности. Угловая
скорость шатуна  4 = 0, а скорости всех его точек равны между собой.
Кинетическая энергия шатуна 4
T4
где
2
m4 V C
4 ,
2
(16)
VC 4  VA .
(17)
Скорость точки А звена 3
VA   3  R 3
(18)
или с учётом (14)
VA 
Поскольку r 3 
С учётом (17)
3 R3 V 1
.

2
r3
3
R 3 , получим VA  2 V1 .
4
VC 4  2 V1 .
(19)
После подстановки (19) в (16) выражение кинетической энергии
шатуна 4 принимает вид:
T4
1
m 4 (2V 1) 2  2 m 4 V 12 .
2
(20)
Кинетическая энергия катка 5
T5
1
1
2
m5 V C
J 5  52 ,
5 
2
2
где V C 5 – скорость центра тяжести C5 катка 5; J 5 – момент инерции катка
5 (однородного сплошного цилиндра) относительно его центральной оси C5 ;
1
J 5  m 5 R 52 ,  5 – угловая скорость катка 5.
2
Так как каток катится без скольжения, то мгновенный центр скоростей
находится в точке P 5 (рис. 2, б), поэтому
5
VC 5
,
R5
T5 
2
1
1 m 5 R 52 V C
2
5  3 m V2 .
m5 V C

5
5 C5
2
2
4
2 R 52
Так как звено BC 5 совершает поступательное движение, то VC5  VB ;
но VB  VC 4  2V 1 , т.е., VC 5  2 V 1 .
Кинетическая энергия катка 5 принимает вид:
T5
3
m 5 (2 V 1) 2  3 m 5 V12 .
4
(21)
По формуле (3) с учётом (4), (9), (15), (20), (21):
m1 V 12
T
2
1

m2
2
  22  2 9
 32x
1  2  V 1  m 3 2 V 12  2 m 4 V 12  3 m 5 V 12 .
 R 
8
r3
2

Подставляя сюда заданные значения масс и радиусов, получаем
m V2
T  129  1 1 .
2
(22)
Найдём сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на
заданном её перемещении. Покажем внешние силы (рис. 2, в).
Работа силы тяжести G 1 : AG1  G1 h1  m1 g s  sin  .
(23)
Работа силы трения скольжения F ТР. : A FТР.  F ТР. s .
Так как F ТР.  f N 1  f G1  cos  , то A F ТР.   f m1 g s  cos  .
Работа силы тяжести G 2 : AG 2  G 2 h C 2  m 2 g s  sin .
(24)
(25)
Работа сил сцепления F сц 2, F сц5 катков 2 и 5 равна нулю, так как
эти силы приложены в мгновенных центрах скоростей катков.
Работа силы тяжести G 4 : AG 4  G 4 h C 4 ,
где h C 4 – вертикальное перемещение центра тяжести C 4 шатуна 4 из
начального положения в его конечное положение (рис. 2, г): h C 4  R 3 ;
AG 4  m 4 g R 3 .
(26)
Работа пары сил сопротивления качению катка 5: A M C   M C  5 , (27)
где M C   N 5   G 5 – момент пары сил сопротивления качению катка 5,
5 – угол поворота катка 5.
Так как каток 5 катится без скольжения, то угол его поворота 5 
SC 5
R5
,
где SC – перемещение центра тяжести катка 5.
Работу пары сил сопротивления качению вычислим, как сумму работ
этой пары при качении катка 5 влево при повороте тела 3 на угол  / 2 и
качении вправо, когда тело 3 повернётся ещё на угол  / 2 . Путь,
5
пройденный центром тяжести C 5 катка 5 равен сумме перемещений ползуна
В влево и вправо: SC  2 Bo B .
(29)
Определим перемещение B0 B при повороте тела 3 на угол  / 2 . За
начало отсчёта координаты точки В выберем неподвижную точку К
плоскости (рис. 2, г). При этом повороте тела 3 шатун из положения A0 B0
перейдёт в положение K B . Тогда B 0 B  K B 0  K B ,
5
где K B 0 K O  O B 0 R 3   A 0 B 0  2  A 0O  2  R 3  l 2  R 32 , K B  A B  l  4 R 3 .
Следовательно, B0 B  R 3 l 2 R 32  l  R 3
 4 R3  2 R 32  4 R 3  0,88 R 3 ,
(30)
Подставляя (30) в (29), а затем в (28), находим полный угловой путь катка 5:
 5  1, 76
R3
.
R5
(31)
Работа пары сил сопротивления качению по (27):
A M C     m 5 g 1, 76
R3
.
R5
(32)
Сумма работ внешних сил определится сложением
работ, вычисляемых по формулам (23) – (26) и (32):
R
 Ake  m1gs  sin   f m1g s  cos   m2 gs  sin   m4 gR3   m5 g 1,76 R3
5
Подставляя заданные значения масс, получаем

R3   20 1,76R3 
e

 ,
A

m
g
s
sin


f

cos


2
sin



 k 1 
2
s
R
s


5
или
 Ake  1,51m1 g s .
Приравняем значения T
(33): 129 
V1 
(33)
и
 Ake ,
определяемые по формулам (22) и
m1 V12
 1,51 m1 g s , откуда
2
2  1,51 g s
3,02

 9,81  0,06   0,2 м / с .
129
129
Механическая система под действием сил тяжести приходит в
движение из состояния покоя; начальное положение системы показано на
схемах в таблице 3. Учитывая трение скольжения тела 1 (варианты 1–3, 5-8,
10-12, 14, 19–23, 25-28, 30) и сопротивление качению тела 3, катящегося без
скольжения (варианты 2, 4-7, 9–11, 13, 15–18, 20, 22–24, 26, 27, 29),
определить скорость тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет
равным s.
Схемы механизмов ИДЗ № Д1
задание №1
задание №2
задание №3
задание №4
задание №5
задание №6
задание №7
задание №8
задание №9
задание №10
задание №11
задание №12
задание №13
задание №14
задание №15
задание №16
задание №17
задание №18
задание №19
задание №20
задание №21
задание №22
задание №23
задание №24
задание №25
задание №26
задание №27
задание №28
задание №29
задание №30