Локально конечные непримарные группы

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика. Механика. Информатика
2012
Вып. 1(9)
УДК 512.54
Локально конечные непримарные группы
с заданными ограничениями на пересечения
неинвариантных подгрупп
С. И. Фаерштейн1, И. С. Фаерштейн2
Пермская государственная фармацевтическая академия
Россия, 614990, Пермь, ул. Полевая, 2
[email protected]; (342) 282-58-29
1
Московский государственный университет
Россия, 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, 1
[email protected]; 8 (495) 939-20-90
2
Описываются все локально конечные непримарные группы, в которых пересечение всех
неинвариантных подгрупп совпадает с единичной подгруппой, а пересечение всех неинвариантных подгрупп каждой собственной недедекиндовой подгруппы отлично от единичной
подгруппы.
Ключевые слова: непримарные группы; пересечения неинвариантных подгрупп.

Определение 1. НП-группой называется недедекиндова группа, в которой пересечение всех неинвариантных подгрупп отлично
от единичной подгруппы.
Определение 2.
-группой называется недедекиндова группа, в которой пересечение всех неинвариантных подгрупп совпадает
с единичной подгруппой, а пересечение всех
неинвариантных подгрупп каждой собственной недедекиндовой подгруппы отлично от
единичной подгруппы.
Отметим, что все конечные НП-группы
описаны в работе [1], все непериодические
НП-группы – в работе [2], все 2-группы, являющиеся
-группами, – в [3]. Поскольку
для
конечных НП-групп не существует,
Лемма 1. Во всякой
-группе имеется
система образующих, состоящая из четырех
элементов.
Доказательство. Пусть G –
-группа
и
– такие ее неинвариантные циклические подгруппы, что
. Пусть
также
и
– такие элементы группы G,
что
,а
рим подгруппу
и
, то
. Рассмот.
. Ясно, что
Поскольку
не является НП-
группой, и, значит,
.
Лемма доказана.
Следствие. Всякая локально конечная
-группа конечна.
Лемма 2. Пусть G – конечная непримарная
-группа. Тогда:
1) в G имеется инвариантная силовская
подгруппа;
2)  G   4 . Если  G   4 , то число
инвариантных силовских подгрупп
группы G равно двум.
то p-группы (
), являющиеся
группами, исчерпываются p-группами Миллера – Морено (
).
Через
обозначается число простых
делителей порядка группы G. Остальные обозначения стандартны.
© Фаерштейн С. И., Фаерштейн И. С., 2012
24
Локально конечные непримарные группы с заданными ограничениями …
Доказательство. Из [1] следует, что
всякая конечная
-группа сверхразрешима.
Поэтому всякая истинная подгруппа группы
G сверхразрешима. Согласно работе [4] всякая конечная группа, все истинные подгруппы
которой сверхразрешимы, разрешима. Следовательно, группа G разрешима. Поэтому в ней
имеется инвариантная подгруппа A простого
индекса. Поскольку индекс G : A является
простым числом, то в A содержатся такие
 G   1 силовские подгруппы группы G, что
у любых двух из них порядки взаимно простые. Так как подгруппа A либо дедекиндова,
либо является НП-группой, то, следовательно,
в A содержится не менее чем  G  2 силовских подгрупп группы G, каждая из которых
инвариантна в A. Поскольку подгруппа
, то все ее инвариантные силовские
подгруппы инвариантны также и в G. Поэтому в G имеется не менее чем  G  2 инвариантных силовских подгрупп. Таким образом, если  G   2 , то пункт 1 доказан.
Пусть  G   2 .
Предположим, что в G нет инвариантной силовской подгруппы. Тогда силовская
подгруппа P группы G, содержащаяся в A, в A
неинвариантна. В силу того что
–
НП-группа и
, каждая циклическая подгруппа из R инвариантная в A. Поскольку
группа автоморфизмов всякой циклической 2группы является 2-группой и
, то R не
является 2-группой. Поэтому согласно [1] силовская подгруппа T группы G, содержащая
R, не является НП-группой и, значит, T – абелева группа. Рассмотрим
. Поскольку
и  G   2 , то из [5] следует, что
. Поэтому найдется элемент
A
абеле-
ва, и, значит
. Таким образом, предположение о том, что в G нет инвариантной силовской подгруппы, приводит к противоречию и, следовательно, неверно. Пункт 1 леммы доказан.
Предположим, что в G имеются три инвариантные силовские подгруппы –
.
Согласно теореме Шура [6] подгруппа
дополняема
в
G,
т.е.
.
В подгруппе R имеется неинвариантная
в G циклическая подгруппа. Действительно,
подгруппа
является либо дедекиндовой группой, либо НП-группой. Поэтому если бы каждая циклическая подгруппа из
R была инвариантной в G, то группа G являлась бы либо дедекиндовой группой, либо
НП-группой. Это противоречило бы выбору
группы G.
Обозначим через b некоторую неинвариантную в G циклическую подгруппу из R,
а через b1 – некоторую неинвариантную в G
циклическую подгруппу, имеющую с
b
тривиальное пересечение. Поскольку каждая
из подгрупп
либо дедекиндова, либо является НП-группой, то, согласно [1],
. Отсюда
вытекает,
элемента
. Поэтому
подгруппа
принадлежит либо R, либо,
без ограничения общности,
. Пусть
и
. Легко
что
для
любого
проверить, что среди групп
найдутся такие две подгруппы, скажем
. Так как, согласно сделанному предположению, в G нет инвариантных силовских подгрупп, то подгруппа
является НП-группой. Поэтому в ней
инвариантна каждая циклическая подгруппа
из T. Отсюда и из описания групп с циклическими силовскими подгруппами [5] вытекает,
что каждая циклическая подгруппа из T порождается коммутатором. Следовательно,
. Так как
,
, то
.
Однако это невозможно, так как по выбору
и фактор-группа G
группы A
,
что
и
и
и
. Очевидно, что
Но тогда подгруппа
не является
НП-группой, вопреки выбору группы G. Следовательно, сделанное нами предположение о
существовании в группе G трех инвариантных
силовских подгрупп неверно.
Таким образом, в G имеется не более
двух инвариантных силовских подгрупп.
25
С. И. Фаерштейн, И. С Фаерштейн
Итак, с одной стороны, в группе G имеется не более двух инвариантных силовских
подгрупп, а с другой стороны, как отмечено
при доказательстве пункта 1 леммы, в G имеется не менее чем  G  2 инвариантных
силовских подгрупп. Отсюда вытекает, что
 G   4 и, причем, если  G   4 , то число
инвариантных силовских подгрупп группы G
равно двум. Лемма доказана.
6.
Теорема 1. Локально конечные непримарные
-группы исчерпываются группами
следующих типов:
1.
, где P – нециклическая
элементарная абелева p-группа, являющаяся
нормальным делителем группы G,
:
а)
б)
;
7.
:
;
;
, для любого элемента
;
;
8.
2.
;
9.
3.
4.
;
.
Доказательство. Нетрудно убедиться в
том, что каждая из групп, указанных в условии теоремы, является
-группой. Поэтому
в доказательстве нуждается лишь необходимость условий теоремы.
Пусть G – произвольная непримарная
локально конечная
-группа. В силу следствия из леммы 1 G – конечная группа. Будем
различать три случая.
;
;
Случай I.  G   2
5.
;
Согласно пункту 1 леммы 2 в группе G
имеется инвариантная силовская p-подгруппа.
26
Локально конечные непримарные группы с заданными ограничениями …
Обозначим ее через P. Пусть T – неинвариантная силовская q-подгруппа группы G. Рассмотрим две имеющиеся возможности.
1.
В P имеется циклическая подгруппа
, нормализатор которой не содержит T.
Здесь также имеются две возможности.
а) P – абелева группа.
Покажем, что P – элементарная абелева
подгруппа. Пусть b – произвольный элемент
из T, не содержащийся в
.
Так как
и
, то
. Отсюда и из того, что P порождается всеми элементами группы G, сопряженными с a, и
, то P – элементарная абелева группа.
Предположим, что
. Тогда подгруппа
является истинной подгруппой подгруппы P. Поэтому
– истинная подгруппа группы G.
Следовательно, b содержится в нормализаторе
всякой подгруппы из
. В частности,
. Поэтому
, где s
– некоторое целое число, не кратное p. Отсюда и из того, что P – абелева группа, следует,
что порядок элемента
равен p.
Поскольку
и b
содержится в нормализаторе всякой подгруппы из , то
. Действительно, в противном случае элемент b не содержался бы в
нормализаторе подгруппы
. Поскольку
и
, то нетрудно
проверить, что для любого натурального числа n
. В частности, для
n  qma
Поскольку
 bq m 




 cq
m
s q
и
m 1
 a sq .  a.
. Таким образом, G является группой типа 1 б) теоремы.
Пусть P не является минимальным нормальным делителем группы G, и C – минимальный нормальный делитель группы G, содержащийся в P. Согласно теореме Машке [6]
в P найдется такая инвариантная в G подгруппа D, что
. Ясно, что каждая из
подгрупп
и
является истинной подгруппой группы G. Поэтому для любого элемента
, где
,
и для любого элемента
, где
. Поскольку в подгруппе P, согласно ее выбору, имеется подгруппа, неинвариантная в G, то
. Так как
, то подгруппа
, где c – произвольный неединичный элемент из C, а d – произвольный неединичный элемент из D, неинвариантна в подгруппе
. Ясно, что
и
,
то
.
Таким образом, предположение о том,
что
, приводит к противоречию и,
значит, неверно. Следовательно
, и
поэтому P – элементарная абелева группа,
причем P – нециклическая группа, так как
,а
.
Предположим, что P является минимальным нормальным делителем группы G.
. Следовательно,
.
Очевидно, что по крайней мере одна из
подгрупп
и
неабелева и,
значит, является НП-группой. Если
– НП-группа, то
. Поэтому
и
. Аналогично,
если подгруппа
является НП-
m
. Это противоречит тому,
что
Ясно, что подгруппа
является истинной подгруппой группы G. Если
– абелева группа, то G является группой типа 1 а)
теоремы. Пусть
– неабелева группа. Тогда
всякая подгруппа из P инвариантна в , и для
любого элемента
. Следовательно,
, для любого элемента
,
где
и
группой, то
и
.
Подгруппа
является истинной подгруппой группы G. Поэтому каждая подгруппа из P инвариантна в
. Отсюда вытекает, что
.
Таким образом, группа G является
группой типа 2 теоремы.
б) P – неабелева группа.
В виду того что P – неабелева группа, P
является либо гамильтоновой 2-группой, либо
одной из групп, указанных теоремой 1 из [1].
27
С. И. Фаерштейн, И. С Фаерштейн
Предположим, что P – одна из групп,
указанных теоремой 1 из работы [1]. Пусть
– произвольная циклическая подгруппа из
P, инвариантная в P, а b – произвольный элемент из T, не содержащийся в
. Поскольку, согласно теореме 1 из [1],
и
является элементарной абелевой 2подгруппой, то подгруппа
абелева.
Следовательно, всякая подгруппа, сопряженная с
, содержит
.
Поэтому, как легко следует из теоремы 1 из [1], подгруппа D, порожденная всеми
подгруппами, сопряженными с
, отлична
от P. Так как
и, очевидно,
, то
. Поскольку
– истинная
подгруппа группы G, то b содержится в нормализаторе всякой подгруппы из D. Отсюда и
из того, что группа автоморфизмов всякой
циклической 2-группы является 2-группой,
следует, что
. В частности,
. Таким образом, элемент b содержится в централизаторе всякой циклической
подгруппы из P, инвариантной в P.
Пусть S – подгруппа группы P, порожденная всеми инвариантными циклическими
подгруппами группы P. По доказанному выше
. Если P является группой типа 3
теоремы 1 из [1], то
. Отсюда и из
того, что
, следует, что
стабилизирует ряд
. Но тогда, в силу теоремы 3.2 из [7],
, вопреки выбору b.
Пусть P не является группой типа 3 из [1].
Тогда из теоремы 1 из [1] следует, что
.
Поэтому опять
, вопреки выбору b.
Следовательно, предположение о том, что P
является НП-группой, неверно.
Пусть P является гамильтоновой 2группой. Так как
, то согласно теореме 3.2 из [7]
не стабилизирует ряд
. Отсюда и из того, что
, следует, что фактор-группа
неабелева.
Поскольку P является гамильтоновой 2группой, то P
–
 P    a P   d P  
нециклическая группа порядка 4. Отсюда вытекает, что b – 3-элемент.
Без ограничения общности можно полагать, что
, где
. Легко проверить, что подгруппа
является
подгруппой
кватернионов
и
. Так как недедекиндова
группа
не является НП-группой, то
она совпадает с группой G. Следовательно,
группа G является группой типа 3 теоремы.
2. T содержится в нормализаторе каждой циклической подгруппы из P.
Предположим, что в P содержится циклическая подгруппа
, неинвариантная в G.
Тогда из того, что
, следует, что
. Поскольку
, то из теоремы 1 из [1] следует, что P – 2-группа, а T –
абелева группа. В силу того что P – 2-группа
и T содержится в нормализаторе всякой циклической подгруппы из P,
. Но тогда группа
не является НПгруппой. Это противоречит выбору группы G.
Следовательно, всякая циклическая подгруппа из P инвариантна в G.
Предположим, что в P найдется такой
элемент a, а в T такой элемент b, что
. Тогда
. Нетрудно
убедиться в том, что
и
. Отсюда и из того, что подгруппы
и
являются истинными подгруппами группы G, вытекает,
что
,
где
. Следовательно,
группа G является группой типа 4 теоремы.
Пусть теперь для любого элемента
и любого элемента
.
Пусть также
– некоторая циклическая
подгруппа из T, неинвариантная в G,
–
некоторая неинвариантная в G циклическая
подгруппа, имеющая с
тривиальное пересечение. В виду того что каждая подгруппа из
P инвариантна в G и для любого элемента
, то можно полагать, что
.
Поскольку
и
, то по крайней мере одна из
подгрупп
или
инвариантна в T.
Пусть для определенности
. Поскольку
28
Локально конечные непримарные группы с заданными ограничениями …
и
, то в P найдется элемент
a, неперестановочный с d.
Без ограничения общности можно полагать, что элементы a и
также неперестановочны. Действительно, если элементы a и
перестановочны, то элемент
заменим элементом
. Ясно, что элементы a и
неперестановочны. Отсюда следует, что
. Поэтому необходимо только показать, что
Пусть элементы d и
неперестановочны. Тогда, согласно [1], подгруппа T является
2-группой.
Поэтому
.
Поскольку элементы
и a;
и a перестановочны, то
. Следовательно,
группа G является группой типа 6 теоремы.
Случай I рассмотрен.
Случай II.  G   3
. Покажем это.
Поскольку элементы a и
перестановочны
и элемент
содержится в нормализаторе
всякой циклической подгруппы из P, то
. Ввиду того что
и
. Поскольку
,а
, то согласно теореме 1 из [1]
, что и нужно было показать. Итак, можно полагать, что
Рассмотрим подгруппу
.
.
Так как элементы a и d, a и
становочны, то
непере-
и
. От-
сюда и из того, что
, следует,
что
. Вследствие того что подгруппа
Предположим сначала, что в группе G
имеется силовская подгруппа P, выделяющаяся прямым множителем:
. Если хотя
бы одна из групп P, T, скажем T, была бы дедекиндовой группой, то группа G, вопреки ее
выбору, была бы дедекиндовой группой, если
подгруппа P дедекиндова, или НП-группой,
если подгруппа P является НП-группой. Следовательно, каждая из подгрупп P и T является
НП-группой. Если бы какая-нибудь из подгрупп P и T, скажем P, содержала бы истинную
недедекиндову подгруппу , то недедекиндова подгруппа
не являлась бы НПгруппой, вопреки выбору группы G. Следовательно, в каждой из подгрупп P и T все истинные подгруппы дедекиндовы. Теперь из описания непримарных НП-групп [1] следует, что
является истинной подгруппой группы G,
где
, и
и, значит,
,
, где
.
Подгруппа
является истинной
подгруппой группы G и, следовательно, является НП-группой. Поэтому
и
. Из последнего равенства следует,
что
. Кроме того, если элементы d и
перестановочны, то, согласно [1],
. Подгруппа
также
является НП-группой. Поэтому, аналогично,
и, если элементы d и
перестановочны, то
.
Таким образом, если элементы d и
перестановочны, то из неравенств
и
следует, что
.
Следовательно, если элементы d и
перестановочны, то группа G является группой типа 5 теоремы.
В свою очередь примарные НП-группы,
все истинные подгруппы которых дедекиндовы, исчерпываются обобщенной группой кватернионов порядка 16 и группой, представимой в виде полупрямого произведения двух
циклических групп порядка 4 [1]. Следовательно, P является одной из этих групп, а
группа G является соответственно группой
типа 7 а) или типа 7 б) теоремы.
Пусть теперь в группе G не имеется силовской подгруппы, выделяющейся прямым
множителем. Согласно пункту 1 леммы 2 в G
имеется инвариантная силовская p-подгруппа.
Обозначим ее через P. По теореме Шура [6]
подгруппа P дополняема в G:
.
Пусть R и Q – силовские подгруппы взаимно
простых порядков из подгруппы T. Поскольку
в G нет силовской подгруппы, выделяющейся
прямым множителем, то по крайней мере одна из групп P, Q, скажем Q, не содержится в
29
С. И. Фаерштейн, И. С Фаерштейн
. Поэтому подгруппа
является
НП-группой, в которой инвариантна всякая
циклическая подгруппа из P. Следовательно,
всякая циклическая подгруппа из P инвариантна также и в G. Рассмотрим две имеющиеся возможности.
1.
.
Предположим, что
. Выше отмечалось, что всякая циклическая подгруппа из
P инвариантна в G. Поскольку
, то,
аналогично, каждая циклическая подгруппа из
R инвариантна в G. Следовательно, каждая
циклическая подгруппа из подгруппы
инвариантна в G. Кроме того, нетрудно убедиться в том, что для всякого элемента
и
для
всякого
элемента
. Отсюда и из того, что
пересечение всех неинвариантных циклических подгрупп группы G совпадает с единичной подгруппой, следует, что в Q найдутся
неинвариантные в группе G циклические подгруппы
и
, пересекающиеся по единичной подгруппе. Поскольку
,
то без ограничения общности можно полагать, что
. Так как
и
, то
или
. Пусть
для определенности
. Тогда подгруппа
является НП-группой с неинвариантной
подгруппой
.
Поскольку
, то
. Следовательно,
и
. Поэтому
.
Поскольку
подгруппа
является НП-группой с неинвариантной абелевой силовской подгруппой и с неинвариантной циклической подгруппой
, то, согласно [1],
. Так
как
и
, то
.
Следовательно, подгруппа
является НП-группой с неинвариантной абелевой силовской подгруппой и неинвариантной
циклической подгруппой
. Поэтому, согласно [1],
. Итак, с одной стороны,
, а с другой стороны, как отмечено
выше,
. Ясно, что неравенства
и
одновременно выполняться не могут. Следовательно, предположе-
ние о том, что
, приводит к противоречию и, значит, неверно.
Предположим, что
. Тогда каждая
циклическая подгруппа из Q инвариантна в T.
Поэтому в R содержится элемент, неперестановочный ни с каким неединичным элементом из Q. Отсюда и из описания группы с
циклическими силовскими подгруппами [5]
вытекает, что каждая циклическая подгруппа
из Q порождается некоторым коммутатором.
Поэтому
. Выше отмечалось, что каждая циклическая подгруппа из P инвариантна
вGи
.
Пусть
– такая циклическая подгруппа из P, что
. Поскольку
и
, то
.
Вследствие того что
,
.
В силу того что
, факторгруппа
неабелева. С другой стороны, фактор-группа
изоморфна под-
группе группы автоморфизмов циклической
группы, а группа автоморфизмов циклической
группы – абелева.
Следовательно, предположение о том,
что
, также приводит к противоречию.
Таким образом, подгруппа R не может
быть ни инвариантной, ни неинвариантной в
подгруппе T. Это значит, что возможность 1
не имеет места.
2.
.
Пусть a – произвольный неединичный
элемент из P. Так как каждая из подгрупп
и
является НП-группой, то в R
найдется такой элемент b, а в Q найдется такой элемент c, что
и
. Кроме того, поскольку подгруппа T является НПгруппой, то без ограничения общности можно
полагать, что
.
Предположим, что
. Тогда, согласно строению группы с циклическими силовскими подгруппами [5],
. Следовательно,
. Поэтому
и, значит, фактор-группа G
CG  a

неабеле-
ва. Однако это невозможно, так как фактор-
30
Локально конечные непримарные группы с заданными ограничениями …
группа
G
CG  a

изоморфна
подгруппе
группы автоморфизмов циклической группы,
а группа автоморфизмов циклической группы
абелева. Следовательно,
.
Рассмотрим подгруппу
.
Очевидно, что подгруппы
и
в ней инвариантны. Поэтому
.
Пусть
. Подгруппа
является истинной подгруппой группы G. Отсюда вытекает, что
.
Каждая
из
подгрупп
и
также
является истинной подгруппой группы G.
Поэтому
и d – произвольный элемент из S, неперестановочный с b. Поскольку подгруппы R и S, P
и S, R и Q поэлементно перестановочны, то
и
. Кроме того,
, где
и – некоторые целые числа. Ясно, что пересечение подгрупп
и
тривиально и каждая из них неинвариантна в подгруппе
.
Следовательно,
.
Пусть
Поскольку каждая из подгрупп
.
.
является НП-группой, то
Таким образом, группа G является группой типа 8 теоремы. Случай II рассмотрен.
Случай III.  G   3 .
Поскольку
, то, согласно пункту 2 леммы 2,
, и число инвариантных
силовских подгрупп группы G равно двум.
Пусть P и Q – инвариантные силовские
подгруппы группы G. По теореме Шура [6]
. Поскольку
, то
.
Пусть R и S – силовские подгруппы взаимно простых порядков из подгруппы T. Так
как подгруппы R и S неинвариантны в группе
G, то каждая из них неинвариантна, по крайней мере, в одной из следующих подгрупп:
или
. Пусть для определенности
и подгруппа
является НПгруппой, тогда
. Следовательно,
,
, то подгруппы P и
S, R и Q, S и R поэлементно перестановочны.
Поскольку подгруппы R и S поэлементно перестановочны, то
и
. Отсюда и из того, что
и
,
следует, что
,а
.
Пусть a – произвольный элемент из P,
не содержащийся в
; c – произвольный
из R, неперестановочный с a; b – произвольный элемент из Q, не содержащийся в
,
Следовательно, группа G является группой
типа 9 теоремы.
Рассмотрены все случаи.
Теорема доказана.
Сообщение о результатах этой статьи
(без доказательств) сделано в работе [8].
Список литературы
1. Blackburn N. Finite groups in which the
nonnormal subgroups have nontrivial intersection // J. Alg. 3, 1, 1996. P.30–37.
2. Фаерштейн С.И. Непериодические группы, в которых нетривиально пересечение
всех неинвариантных циклических подгрупп / Сб. науч. тр. Перм. политехн. инта. 1975. № 170. С.146–149.
3. Фаерштейн С.И. 2-группы, у которых
нетривиально пересечение всех неинвариантных подгрупп каждой истинной
недедекиндовой подгруппы // Сб. науч.
тр. Перм. политехн. ин-та.1973. № 138.
С.98–102.
4. Huppert B. Normalteiler und maximal Untergruppen endlicher Gruppen // Math. J. 1954.
60. P.403–434.
5. Холл М. Теория групп. М.; Л., 1962.
6. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы
теории группы. М.: Наука, 1972.
31
С. И. Фаерштейн, И. С Фаерштейн
марных групп. Актуальные проблемы механики, математики, информатики: сб.
тез. Пермь, 2010. С. 231.
7. Gorenstein D. Finite groups. Harper and
Row. N.Y., 1968.
8. Фаерштейн С.И. Об одном классе непри-
Locally finite nonprimary groups with the given
limitations on the intersection of the nonnormal
subgroups
S. I. Faershteyn1, I. S. Faershteyn2
1
Perm State Pharmaceutical Academia, Russia, 614990, Perm, Polevaya st., 2
[email protected]; (342) 282-58-29
2
Moscow State University, Russia, 11999, Moscow, Leninsky Gory, 1
[email protected]; 8 (495) 939-20-90
All the nonprimary locally finite groups in which the intersection of all the nonnormal subgroups
is trivial but the intersection of all the nonnormal subgroups of each proper nondedekindian subgroups is not trivial are described. There are exactly nine types of such groups.
Key words: nonprimary groups; nontrivial intersection of the nonnormal subgroups.
32