О непериодических группах

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика. Механика. Информатика
2011
Вып. 1(5)
УДК 512.54
О непериодических группах
С. И. Фаерштейн
Пермская государственная фармацевтическая академия, Россия, 614990, Пермь, ул. Полевая, 2
[email protected]; (342) 282-58-29
Рассматриваются непериодические группы. Доказана разрешимость одного класса непериодических неабелевых локально разрешимых групп.
Ключевые слова: классификация; пересечения; неинвариантные подгруппы.

В работе [1] приведена классификация
непериодических неабелевых локально разрешимых групп. Имеет место следующая
Теорема 1 [1]. Всякая непериодическая
неабелева локально разрешимая группа G
принадлежит одному и только одному из следующих трех классов групп.
I. Для любых двух неинвариантных подгрупп X и Y группы G имеет место X  Y  1.
II. Группа G не принадлежит
классу I, и для любых двух неинвариантных подгрупп X и Y найдется такая
неинвариантная подгруппа Z, что
X  Z  1 и Y  Z  1.
III. Группа G не принадлежит
классам I и II, и для любых двух неинвариантных подгрупп X и Y найдутся
такие неинвариантные подгруппы Z и
W, что X  Y  1, Z W  1 и
Теорема 2 [2]. Во всякой непериодической неабелевой группе G пересечение всех
неинвариантных подгрупп отлично от единичной подгруппы тогда и только тогда, когда
G  A  x , где A – непериодическая абелева
подгруппа,
и
для
любого
Нетрудно убедиться в том, что для периодических недедекиндовых групп нетривиальность пересечения всех неинвариантных
подгрупп эквивалентна нетривиальности пересечения любого конечного множества неинвариантных подгрупп. Для непериодических групп это доказывается так:
Теорема 3 [1]. Во всякой неабелевой непериодической локально разрешимой группе G
пересечение всех неинвариантных подгрупп
совпадает с единичной подгруппой, а пересечение любого конечного множества неинвариантных подгрупп отлично от единичной подгруппы тогда и только тогда, когда в G имеется такая инвариантная периодическая подгруппа N,
все подгруппы которой инвариантны в G,
W  Y  1.
Отметим, что для периодических групп
такой классификации нет. Примерами являются неабелевы группы порядка pq или
N  Z G  и фактор-группа G N является абе-
p 3  p  2.
Описание всех непериодических групп,
в которых нетривиально пересечение всех неинвариантных подгрупп, дает следующая

x 4
1
a A a  x .
x
левой группой без кручения ранга I.
Теоремы 2 и 3 дают полное описание
всех групп, принадлежащих классу I из теоремы 1.
© С. И. Фаерштейн, 2011
20
О непериодических группах
Отметим, что из теоремы 3 в качестве
следствия можно получить описание всех непериодических неабелевых локально разрешимых групп, в которых инвариантна всякая
нециклическая подгруппа, что является основным результатом работы [3].
К сожалению, в работе [3] имеются
пробелы. Так, пропущена группа Q  x , где
шимой, и, значит, сама является разрешимой
группой. Теорема доказана.
Множество групп, принадлежащих
классу III из теоремы 1, довольно обширно.
Приведем ряд примеров таких групп.
1. G  x  y  B ,

где

x – бесконечная циклическая группа,
y  2, x y  x 1 , , B – произвольная абелева
Q – группа кватернионов, а x – бесконечная
группа.
2. G  A  B ,
где A – произвольная неабелева группа порядка p 3  p  2. или pq, B – произвольная непериодическая абелева группа.
3. G  a  b  c  A,
циклическая группа.
Теорема 4. Всякая группа G, принадлежащая классу III из теоремы 1, разрешима.
Доказательство. Пусть G – произвольная группа из класса III теоремы 1. Легко
понять, что в группе G найдется пара таких
неинвариантных подгрупп X и Y, что для всякой подгруппы Z из условия X  Z  1 и
Y  Z  1 будет следовать, что подгруппа Z
инвариантна в G. Действительно, если бы для
любой пары неинвариантных подгрупп X и Y
группы G нашлась какая-нибудь неинвариантная в G подгруппа Z, такая что X  Z  1
и X  Z  1 , то группа G принадлежала бы
классу II из теоремы 1.
Пусть x  X и x неинвариантна в G,



где a  b  2, c  3, a c  b, b c  ab,
A – произвольная непериодическая абелева
группа.
4. G  a ,b  x  A, a ,b – группа


кватернионов, x  3 , a x  b , b x  ab,
A – произвольная непериодическая абелева
группа.
5. G  a ,b  c  A ,

где


a  b  c  4, a b  a 1 , c b  c 1 ,
с 2  a 2 b 2 , A – произвольная непериодиче-
y  Y и y неинвариантна в G. Рассмотрим
ская абелева группа.
6. G  x  y  A ,

подгруппу T  x , y . Так как T  X  1 и
x 2
k

k  2,
y  2, x y  x 1 ,
T  Y  1 , то подгруппа T и все ее надгруппы
где
инвариантны в G. Рассмотрим фактор-группу
A – произвольная непериодическая абелева
группа.
7. G  Q  x  A ,
G , и пусть M
– ее произвольная подT
T
группа. Пусть M* – прообраз M
в G. Так
T
как M *  T , то M* инвариантна в G. Следовательно, образ M* в G , подгруппа M ,
T
T
также инвариантна в G . Таким образом, в
T
фактор-группе G
все подгруппы инвариT
где Q – группа кватернионов, x  2 k k  2 ,
A – произвольная непериодическая абелева
группа.
Краткие результаты этой статьи опубликованы в работе [4].
Список литературы
антны. Отсюда, в частности, следует, что фактор-группа G
T
1. Фаерштейн С.И. О пересечении неинвариантных подгрупп в бесконечных группах.
Деп. 27 декабря 1977 г. № 4540–77. Деп.
2. Фаерштейн С.И. Непериодические группы, в которых нетривиально пересечение
всех неинвариантных циклических под-
разрешима. Группа T, будучи
конечно порожденной, также разрешима.
Следовательно, группа G является расширением разрешимой группы с помощью разре-
21
С. И. Фаерштейн
групп // Сб. научн. тр. Перм. политехн. ин-та, 1975. № 70. С. 146–149.
3. Лиман Ф.Н. Непериодические группы с некоторыми системами инвариантных подгрупп //
Алгебра и логика, 1968. Вып.7, т.4. С. 70–86.
4. Фаерштейн С.И., Маланьина Г.А. К теории непериодических групп // Актуальные
проблемы механики, математики, информатики: cб. тез. докл. Пермь, 2010. С.230.
About nonperiodical groups
S. I. Faershteyn
Perm State Pharmaceutical Academia, Russia, 614990, Perm, Polevaya st., 2
[email protected], (342)2825829
The solvability of one class of nonabelian nonperiodical locally solvable groups is proved. Many
examples of this class of groups are constructed.
Key words: nonperiodical groups; intersections of nonnormal subgroups.
22