Абстрактная и компьютерная алгебра - Учебно

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ФИЛИАЛ ТЮМГУ В Г. ТОБОЛЬСКЕ
Естественнонаучный факультет
Кафедра физики, математики и МП
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
____________________ ФИО
«___» __________ 2014 г.
Валицкас А.И.
Учебно-методический комплекс по дисциплине
«АБСТРАКТНАЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА»
Код и направление подготовки
05.01.00.62 “Педагогическое образование”
Профиль подготовки
“Информатика”
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
заочная
Тобольск
2011
Содержание
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины ………………………………………………………..
1.2. Место дисциплины в структуре образовательной программы …………………...
1.3. Компетенции обучающегося ………………..……………………………………...
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине …………………..
Структура и трудоёмкость дисциплины …………………………………….................
Содержание дисциплины ………………………………………………………………...
Планы практических занятий …………………………………………………………...
Лабораторный практикум ………………………………………………………………..
Примерная тематика курсовых работ ………………………………………………….
Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины …………………………………………………………………….
Контрольные материалы промежуточной аттестации……………………………….
Образовательные технологии ……………………………………………………………
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины ………………...
Перечень информационных технологий и справочных систем ………………………..
Материально-техническое обеспечение дисциплины …………………………………
Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины …………...
Приложение: Контрольная работа по теории чисел ОЗО …………..............................
3
3
5
6
6
8
8
9
9
9
9
10
9
11
13
13
13
Er
ror
!
Bo
ok
ma
rk
not
def
ine
d.
1. Пояснительная записка
1.1 Цели и задачи дисциплины. Дисциплина “Элементы абстрактной и
компьютерной алгебры” призвана ввести студентов в круг классических методов
алгебры, являющихся фундаментом практически любой математической дисциплины и показать их применение в прикладных задачах компьютерной алгебры.
Цель дисциплины “Элементы абстрактной и компьютерной алгебры” триедина:
 овладение студентами некоторыми фундаментальными теоретическими
положениями абстрактной алгебры;
 формирование алгебраической культуры;
 использование полученных теоретических знаний в прикладных задачах
компьютерной алгебры.
Вместе с тем, изучение дисциплины преследует и следующие цели:
 обеспечение понятийной базы для других предметов, использующих алгебру в качестве математического аппарата;
 владение системой основных математических структур и аксиоматическим методом;
 освоение методологии построения математических моделей;
 пополнение запаса стандартных алгоритмов для решения некоторых типовых задач алгебраическими методами;
 сопровождение теоретического материала широким спектром разнообразных задач и упражнений для самостоятельного решения, позволяющим более глубоко прочувствовать теоретические положения дисциплины и развить у студентов навыки самостоятельной работы;
 знание основных этапов истории математики и получение представлений о современных тенденциях её развития.
Дисциплина “ Элементы абстрактной и компьютерной алгебры ” должна
решать следующие задачи:
 вооружать студентов фундаментальными теоретическими знаниями по
алгебраическим методам решения математических задач;
 давать достаточный терминологический и понятийный запас, необходимый для самостоятельного изучения специальной литературы;
 предлагать строгие формальные доказательства основных результатов,
развивая культуру мышления студентов;
 демонстрировать наглядность большинства идей излагаемой теории,
открывающую дорогу многим приложениям;
 учить навыкам формулировки разнообразных теоретических и практических задач на языке алгебры;
 демонстрировать применение алгебраических методов для решения
разнообразных практических задач;
 пополнить алгоритмический запас студентов, позволяющий им решать
некоторые типовые задачи;
 обеспечить материал для самостоятельной работы.
В результате изучения дисциплины “ Элементы абстрактной и компьютерной алгебры ” у студентов формируются навыки в следующих основных видах
деятельности, предусмотренные стандартом высшего профессионального образования:
 научно-исследовательская и научно-изыскательская:
применение основных понятий, идей, и методов дисциплины для решения базовых задач;
решение математических проблем, соответствующих квалификации,
возникающих при проведении научных и прикладных исследований;
подготовка обзоров, аннотаций, составление рефератов и библиографии по тематике проводимых исследований.
 производственно-технологическая:
использование математических методов обработки информации, полученной в результате экспериментальных исследований или производственной деятельности;
применение численных методов решения базовых математических задач и классических задач естествознания в практической деятельности;
сбор и обработка данных с использованием современных методов
анализа информации и вычислительной техники.
 организационно-управленческая:
создание эффективных систем внедрения в практику результатов
научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ.

преподавательская:
преподавание физико-математических дисциплин и информатики в
образовательных и средних образовательных учреждениях при специализированной переподготовке.
1.2. Место дисциплины в структуре образовательной программы. Дисциплина “Элементы абстрактной и компьютерной алгебры” относится к профессиональным дисциплинам учебного цикла дисциплин
Федерального государ-
ственного образовательного стандарта высшего профессионального образования
(ФГОС ВПО) по направлению “Педагогическое образование”.
Дисциплина базируется на знаниях и навыках, полученных в рамках школьного курса математики или соответствующих дисциплин среднего профессионального образования.
Содержание дисциплины “ Элементы абстрактной и компьютерной алгебры ” тесно связано с другими курсами, входящими в ОП бакалавра направления
“Педагогическое образование”.
Таблица 1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с
обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№
п/п
1.
2.
3.
4.
Наименование обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
Математический анализ
Дискретная математика
Программное обеспечение ЭВМ
Технология разработки программных средств
Модули
1
2
3
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
При этом изучение дисциплины “Элементы абстрактной и компьютерной
алгебры”
должно не только создать базу для изучения вышеперечисленных
предметов и решения прикладных задач, но обеспечить, в первую очередь, понимание фундаментального характера изучаемой теории.
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
данной образовательной программы. В совокупности с другими дисциплинами
базовой части математического цикла ФГОС ВПО дисциплина “Элементы абстрактной и компьютерной алгебры” обеспечивает инструментарий формирования следующих компетенций бакалавра направления “Педагогическое образование”.

способен использовать знания о современной естественнонаучной картине
мира в образовательной и профессиональной деятельности, применять методы
математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования (ОК-4).
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине: Сту-
дент, изучивший дисциплину, должен
ЗНАТЬ

основные понятия фундаментальной и компьютерной алгебры;

определения и свойства математических объектов в этой области;

формулировки основных утверждений, методы их доказательства;

возможные сферы приложений алгебраических абстракций, необходимых
для
успешного
изучения
математических
и
теоретико-
информационных дисциплин, решения задач, возникающих в информатике и других профессиональных сферах.
УМЕТЬ

применять методы алгебры для решения математических задач, построения и анализа моделей в прикладных задачах математики и информатики;

решать задачи вычислительного и теоретического характера в области
фундаментальной и компьютерной алгебры;

доказывать основные результаты;

производить необходимые вычисления в одной из систем компьютерной
математики.
ВЛАДЕТЬ

математическим аппаратом фундаментальной и компьютерной алгебры;

методами решения типовых задач и доказательства утверждений в этой
области;

методикой построения, анализа и применения математических моделей
для прикладных задач математики и информатики;

навыками применения современного математического инструментария
для решения задач математики и информатики;

методами вычислений в наиболее употребительных системах компьютерной математики.
2. Структура и трудоёмкость дисциплины
Курсы: III . Форма промежуточной аттестации: зачёт. Общая трудоёмкость дисциплины составляет 2 зачётных единицы, 72 академических часа, из
них 8 часов аудиторных занятий и 60 часов – на самостоятельную работу студентов.
Таблица 2.
Вид учебной работы
Аудиторные занятия
В том числе:
Лекции
Практические занятия
Самостоятельная работа
КСР
Общая трудоемкость 2 зач.
ед. 144 часа
Вид промежуточной аттестации
Всего
часов
8
–
2
4
60
2
2
144
Курсы
III
14
–
2
8
121
4
2
144
экзамен
3. Содержание дисциплины
Модуль I: Основы компьютерной арифметики
Алгоритмы быстрого возведения в степень и сортировки по ключу. Расширенный алгоритм
Евклида. Реализация арифметики рациональных чисел на ЭВМ. Вероятностный алгоритм генерации простых чисел.
Модуль II: Представление целых чисел в ЭВМ
Арифметика целых чисел в ЭВМ как арифметика кольца вычетов по модулю 2n. Алгоритмы
сложения и умножения с двойной точностью. Модулярные методы.
Модуль III: Основы криптографии
Понятие кодирования. Криптография: симметричные криптосистемы, асимметричные криптосистемы. Криптосистема RSA. Коды, исправляющие ошибки: коды Хемминга, БЧХ-коды.
6. Планы практических занятий
Таблица 3.
№
Модуль
Тема занятия
занятия
Арифметика n-разрядных ЭВМ. Эффект переполнения.
1
II
2
II
Алгоритм сложения целых чисел с двойной точностью (удвоение
разрядности). Алгоритм умножения целых чисел с двойной точностью (удвоение разрядности).
5. Лабораторный практикум
Лабораторный практикум по дисциплине не предусмотрен.
6. Примерная тематика курсовых работ
Курсовые работы по дисциплине не предусмотрены.
7. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
по итогам освоения дисциплины
7.2.4. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ДЛЯ
САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ
Вопросы, выносимые на самостоятельное изучение:
1.
Списки. Решение задач на обработку списков.
2.
Реализация арифметики рациональных чисел на ЭВМ.
3.
Алгоритм умножения целых чисел с двойной точностью.
4.
Модулярные методы умножения целых чисел с двойной точностью.
1. Какая структура данных называется списком ?
2. Перечислите несколько видов списков.
3. Зачем нужна “голова списка” ?
4. В каких случаях необходимо обрабатывать целые числа (многочлены,
матрицы) с помощью списков ?
5. Опишите процесс сложения рациональных чисел на ЭВМ.
6. Опишите процесс умножения рациональных чисел на ЭВМ.
7. Зачем необходимо сокращать дроби, выполняя действия с ними на ЭВМ ?
8. Как отличается трудоёмкость алгоритма умножения целых чисел с двойной точностью от обычного умножения “в столбик” ?
9. За счёт чего достигается выигрыш в трудоёмкости алгоритма умножения
целых чисел с двойной точностью по сравнению с обычным умножением
“в столбик” ?
10. Выполните умножение целых чисел с двойной точностью на
8разрядной ЭВМ: 39  20.
11. Выполните умножение целых чисел по модулярному алгоритму на
8разрядной ЭВМ: 39  20.
12. Расшифруйте сообщение 345 по алгоритму RSA с параметрами
p=
3, q = 7, e = 5.
13. Приведите пример кода Хемминга, исправляющего одну ошибку.
14. Приведите пример кода Хемминга, исправляющего две ошибки.
15. Что такое циклические коды ?
16. Приведите пример кода Рида-Соломона.
17. Приведите пример БЧХ-кода, исправляющего две ошибки.
8. Методические материалы, определяющие процедуры оценивания
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности
характеризующих этапы формирования компетенций
Зачёт по дисциплине проверяет умение решать стандартные задачи и теоретические основы дисциплины.
ПРИМЕРНЫЕ ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ К ЗАЧЁТУ
I.
II.
III.
Знать основные определения и формулировки результатов по курсу.
Иметь представление о следующих основных способах представления данных в
ЭВМ: бит, байт, массив, структура, список. Уметь приводить примеры их использования в программах.
Уметь решать следующие стандартные задачи:
1. Перевести число 100110 из десятичной системы счисления в двоичную.
2. Перевести число 1010101011112 из двоичной системы счисления в десятичную.
3. Выполнить арифметические действия в двоичной системе:
+ 10101011101002
1111100111112
–
10101011101002
1111100111112

10101011101002
10112
4. Упорядочить по ключу: 178, 94, 33, 152, 89, 17.
5. Вычислить по алгоритму быстрого возведения в степень x100.
6. Объяснить, как представляются целые числа и производятся сложение и умножение в 4-х разрядной ЭВМ.
7. Найти НОД(333, 144) и НОК[333, 144].
8. Найти линейное разложение НОД(33, 14).
9. Выполнить сложение огромных чисел 58+39 на 4-х разрядной ЭВМ.
10. Выполнить умножение больших чисел 5839 на 8-ми разрядной ЭВМ.
11. Вычислить (x5–2x3+1)(x–1)2 – (x5+2x3+1)(x+1)2.
12. Найти НОД и НОК многочленов x3+3x2–1, 2x2–x (используя в вычислениях
только многочлены с целыми коэффициентами).
13. Найти линейное разложение НОД(x3+x, 3x2–2x–5) (используя в вычислениях
только многочлены с целыми коэффициентами).
14. Раскодировать по алгоритму RSA с параметрами p = 5, q = 7, e = 11 сообщение 2, 5, 7.
15. Для заданной схемы кодирования из F24 в F27
(a1 ; a2 ; a3 ; a4 )  (a1 ; a2 ; a3 ; a4 ; a1+a3 ; a2+a4 ; a3+a2 )
найдите кодирующую и проверочную матрицы, минимальное расстояние и число
исправляемых ошибок.
16. Декодируйте сообщение y = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) для схемы кодирования из
предыдущей задачи.
9. Образовательные технологии
Используются:
 информационные лекции,
 проблемные лекции,
 активные и интерактивные формы занятий.
б) внеаудиторная работа
 домашние задания,
 домашние контрольные и самостоятельные работы,
 внеаудиторные индивидуальные консультации.
10. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1.
2.
3.
Валицкас А.И. Конспект лекций по теории чисел: Теория делимости в кольце целых чисел. – Тобольск: изд-во ТГПИ, 2002.
Валицкас А.И. Конспект лекций по дисциплине “Элементы абстрактной и
компьютерной алгебры” (электронная версия). – кафедра алгебры и геометрии ТГПИ, 2006.
Василенко О. Н. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии. – М.:
МЦНМО, 2003.
4.
5.
6.
7.
Кнут Д. Искусство программирования . ТТ. I–III. – М.: Издательский дом
“Вильямс”, 2001.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – СПб.: Издательство “Лань”, 2008.
Матрос Д.Ш., Поднебесова Г.Б. Элементы абстрактной и компьютерной алгебры. – М.: Издательский центр “Академия”, 2004.
Самсонов Б.Б., Плохов Е.М., Филоненков А.И. Компьютерная математика
(основание информатики). – Ростов-на-Дону: “Феникс”, 2002.
б) дополнительная литература:
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями. – М.: Мир,
1994.
Александров П.С. Введение в теорию групп. – М.: Наука, 1980.
Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных
алгоритмов. – М.: Мир, 1979.
Бухштаб А.А. Теория чисел. – СПб: Издательство “Лань”, 2008.
Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. – М.: Просвещение, 1980.
Воробьев Н.Н. Признаки делимости. – М.: Наука, 1980.
Воронин С.М. Простые числа. – М.: Знание, 1978.
Дэвенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра (системы и алгоритмы алгебраических вычислений). – М.: Мир, 1991.
Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. – М.: Наука, 1990.
Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. – СПб: Питер,
2002.
Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы: теория и
практика. – М.: Мир, 1980.
Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления / Пер. с
англ. / Под ред. Б. Бухбергера, Дж. Коллинза, Р. Лооса. – М.: Мир, 1986.
в) периодические издания:
г) мультимедийные средства:
д) Интернет-ресурсы:
1.
2.
Компьютерная алгебра // Википедия: свободная энциклопедия. – Электрон.
дан. – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Computer_Science
Символьные вычисления // Википедия: свободная энциклопедия. – Электрон. дан. – Режим доступа:
http://ru.wikipedia.org/wiki/Символьные_вычисления
11. Перечень информационных технологий, используемых при
осуществлении образовательного процесса по дисциплине, включая перечень программного обеспечения и информационных справочных
систем (при необходимости)
При выполнении практических работ в качестве информационных технологий может использоваться следующее программное обеспечение:
 Microsoft Word.
 Microsoft Excel.
 Microsoft PowerPoint.
12. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Компьютерный класс, оснащённый средствами мультимедиа и компьютерами:
микропроцессор не ниже Pentium IV, объём ПЗУ не меньше 2-3 ГБ, объем ОЗУ
не меньше 512 МБ, операционная система Windows XP / 7 с текстовым редактором Word – 2003 и средами программирования TurboPascal или Delphi.
13. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
Дисциплина “Абстрактная и компьютерная алгебра” изучается на III курсе. Форма промежуточной аттестации: зачёт. Общая трудоёмкость дисциплины
составляет 2 зачётных единицы, 72 академических часа, из них 8 часов аудиторных занятий и 60 часов – на самостоятельную работу студентов.
Необходимость введения в учебный план дисциплины “Элементы абстрактной и компьютерной алгебры” обусловлена бурным развитием в последнее время
компьютерной математики и широким применением алгебраических методов
описания моделей, возникающих при формализации многообразных задач из самых разных предметных областей. Так что эта дисциплина должна развивать математическую культуру, вооружать студентов фундаментальными понятиями, алгоритмами и методами, позволяющими в будущем овладеть самостоятельно дополнительными знаниями, необходимыми в их дальнейшей работе.
Специфической особенностью дисциплины “Элементы абстрактной и компьютерной алгебры” для бакалавров направления подготовки 05.01.00 – “Педагогическое образование” является то, что теоретический фундамент по алгебре,
теории чисел, числовым системам и программированию был заложен на младших
(I-III) курсах обучения. Это имеет как положительные, так и отрицательные стороны. С одной стороны, большую часть теоретического материала можно опустить и сосредоточиться на приложениях, но с другой стороны, опыт показывает,
что многие важные вопросы пройденных курсов уже забыты студентами, и их
приходится напоминать, тратя на это драгоценное время.
Конечно, за отводимое время невозможно изучить подробно весь материал,
предусмотренный стандартом. Поэтому некоторые разделы учебной программы
могут быть вынесены на самостоятельное изучение (по желанию преподавателя),
а некоторые могут быть прочитаны в обзорном порядке. Кроме того, многие разделы были изучены ранее в других дисциплинах (например, в алгебре, математическом анализе теории чисел, числовых системах), так что их изучение не предусматривается, а содержание этих разделов считается известным.
Зачёт в конце семестра проверяет готовность студента к решению стандартных задач.
Приложение I
Планы лекций
№
1
2
3
4
5
6
7
Раздел
План лекции
I. Основы
компьютерной
арифметики
Алгоритмы быстрого возведения в степень и сортировки
по ключу. Расширенный алгоритм Евклида. Реализация
арифметики рациональных чисел на ЭВМ.
Вероятностный алгоритм генерации простых чисел.
Арифметика целых чисел в ЭВМ как арифметика кольца
вычетов по модулю 2n.
Алгоритмы сложения и умножения с двойной точностью.
Модулярные методы.
Понятие кодирования.
Криптография: симметричные
криптосистемы и асимметричные криптосистемы.
Криптосистема RSA.
Коды, исправляющие ошибки: коды Хемминга, БЧХкоды.
II. Представление
целых чисел
в ЭВМ
V. Основы
криптографии.
Коды, исправляющие
ошибки
Приложение II
Планы практических занятий
№
1–2
3
4
5
6
7-8
9
10
11-12
13
14
Раздел
План практического занятия
I. Основы
компьютерной
арифметики
Деление целых чисел с остатком. Системы счисления. Алгоритм сортировки по ключу.
Расширенный алгоритм Евклида.
Вероятностный алгоритм генерации простых чисел.
II. Представление
целых чисел
в ЭВМ
III. Основы
криптографии.
Арифметика n-разрядных ЭВМ. Эффект переполнения.
Алгоритм сложения целых чисел с двойной точностью (удвоение разрядности).
Алгоритм умножения целых чисел с двойной точностью
(удвоение разрядности).
Понятие кодирования. Подстановки. Гаммирование.
Группа подстановок.
Криптосистема RSA.
Линейные коды. Коды Хемминга.
БЧХ-коды.
Приложение III
Литература
а) основная литература:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Валицкас А.И. Конспект лекций по теории чисел: Теория делимости в кольце целых чисел. – Тобольск: изд-во ТГПИ, 2002.
Валицкас А.И. Конспект лекций по дисциплине “Элементы абстрактной и
компьютерной алгебры” (электронная версия). – кафедра алгебры и геометрии ТГПИ, 2006.
Василенко О. Н. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии. – М.:
МЦНМО, 2003.
Кнут Д. Искусство программирования . ТТ. I–III. – М.: Издательский дом
“Вильямс”, 2001.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – СПб.: Издательство “Лань”, 2008.
Матрос Д.Ш., Поднебесова Г.Б. Элементы абстрактной и компьютерной алгебры. – М.: Издательский центр “Академия”, 2004.
Самсонов Б.Б., Плохов Е.М., Филоненков А.И. Компьютерная математика
(основание информатики). – Ростов-на-Дону: “Феникс”, 2002.
б) дополнительная литература:
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями. – М.: Мир,
1994.
Александров П.С. Введение в теорию групп. – М.: Наука, 1980.
Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных
алгоритмов. – М.: Мир, 1979.
Бухштаб А.А. Теория чисел. – СПб: Издательство “Лань”, 2008.
Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. – М.: Просвещение, 1980.
Воробьев Н.Н. Признаки делимости. – М.: Наука, 1980.
Воронин С.М. Простые числа. – М.: Знание, 1978.
Дэвенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра (системы и алгоритмы алгебраических вычислений). – М.: Мир, 1991.
Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. – М.: Наука, 1990.
Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. – СПб: Питер,
2002.
Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы: теория и
практика. – М.: Мир, 1980.
Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления / Пер. с
англ. / Под ред. Б. Бухбергера, Дж. Коллинза, Р. Лооса. – М.: Мир, 1986.
в) периодические издания:
г) мультимедийные средства:
д) Интернет-ресурсы:
1.
Матрица // Википедия: свободная энциклопедия. – Электрон. дан. – Режим
доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Компьютерная_алгебра
Приложение IV
Планы практик
Практики по дисциплине не предусмотрены.
Приложение V
Темы самостоятельной работы студентов
Вопросы, выносимые на самостоятельное изучение:
1.
Списки. Решение задач на обработку списков.
2.
Реализация арифметики рациональных чисел на ЭВМ.
3.
Алгоритм умножения целых чисел с двойной точностью.
4.
Модулярные методы умножения целых чисел с двойной точностью.
5.
Коды Рида-Соломона и БЧХ-коды.
6.
Алгоритм Берлекэмпа: разложение на множители, неприводимые по простому модулю p.
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ДЛЯ
САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ
1. Какая структура данных называется списком ?
2. Перечислите несколько видов списков.
3. Зачем нужна “голова списка” ?
4. В каких случаях необходимо обрабатывать целые числа
(многочлены,
матрицы) с помощью списков ?
5. Опишите процесс сложения рациональных чисел на ЭВМ.
6. Опишите процесс умножения рациональных чисел на ЭВМ.
7. Зачем необходимо сокращать дроби, выполняя действия с ними на ЭВМ ?
8. Как отличается трудоёмкость алгоритма умножения целых чисел с двойной точностью от обычного умножения “в столбик” ?
9. За счёт чего достигается выигрыш в трудоёмкости алгоритма умножения
целых чисел с двойной точностью по сравнению с обычным умножением
“в столбик” ?
10. Выполните умножение целых чисел с двойной точностью на
разрядной ЭВМ: 39  20.
8-
11. Выполните умножение целых чисел по модулярному алгоритму на
8-
разрядной ЭВМ: 39  20.
12. Расшифруйте сообщение 345 по алгоритму RSA с параметрами
3, q = 7, e = 5.
13. Приведите пример кода Хемминга, исправляющего одну ошибку.
14. Приведите пример кода Хемминга, исправляющего две ошибки.
15. Что такое циклические коды ?
16. Приведите пример кода Рида-Соломона.
17. Приведите пример БЧХ-кода, исправляющего две ошибки.
p=
Приложение VI
Текущий и итоговый контроль
ПРИМЕРНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К ЗАЧЁТУ
I.
II.
III.
1.
2.
3.
Знать основные определения и формулировки результатов по курсу.
Иметь представление о следующих основных способах представления данных в
ЭВМ: бит, байт, массив, структура, список. Уметь приводить примеры их использования в программах.
Уметь решать следующие стандартные задачи:
Перевести число 100110 из десятичной системы счисления в двоичную.
Перевести число 1010101011112 из двоичной системы счисления в десятичную.
Выполнить арифметические действия в двоичной системе:
+ 10101011101002
1111100111112
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
–
10101011101002
1111100111112

10101011101002
10112
Упорядочить по ключу: 178, 94, 33, 152, 89, 17.
Вычислить по алгоритму быстрого возведения в степень x100.
Объяснить, как представляются целые числа и производятся сложение и умножение в 4-х разрядной ЭВМ.
Найти НОД(333, 144) и НОК[333, 144].
Найти линейное разложение НОД(33, 14).
Выполнить сложение огромных чисел 58+39 на 4-х разрядной ЭВМ.
Выполнить умножение больших чисел 5839 на 8-ми разрядной ЭВМ.
Вычислить (x5–2x3+1)(x–1)2 – (x5+2x3+1)(x+1)2.
Найти НОД и НОК многочленов x3+3x2–1, 2x2–x (используя в вычислениях
только многочлены с целыми коэффициентами).
Найти линейное разложение НОД(x3+x, 3x2–2x–5) (используя в вычислениях
только многочлены с целыми коэффициентами).
Раскодировать по алгоритму RSA с параметрами p = 5, q = 7, e = 11 сообщение 2, 5, 7.
Для заданной схемы кодирования из F24 в F27
(a1 ; a2 ; a3 ; a4 )  (a1 ; a2 ; a3 ; a4 ; a1+a3 ; a2+a4 ; a3+a2 )
найдите кодирующую и проверочную матрицы, минимальное расстояние и число исправляемых ошибок.
Декодируйте сообщение y = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) для схемы кодирования из
предыдущей задачи.