ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СВЯЗАННОЙ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ СЛОИСТОЙ КОМПОЗИТНОЙ ОБОЛОЧКИ А.Н. Андреев Кемеровский государственный университет 650043, г. Кемерово e-mail: [email protected] Рассматривается слоистая композитная оболочка постоянной толщины h, собранная из m слоев также постоянной толщины, каждый из которых армирован семейством однонаправленных волокон. Пусть x1 , x 2 - внутренние координаты отсчетной поверхности, в качестве которой примем «нижнюю» лицевую поверхность тела оболочки, z - нормальная координата. В этой координатной системе уравнения поверхностей раздела j -го и ( j 1) -го слоев ( j 1, 2, ..., m 1) запишутся в виде z hj , (1) где h j const, 0 h0 h1 hm h. На поверхностях (1) поперечные компоненты 3 , 33 тензора напряжений и компоненты v , v3 вектора перемещений должны удовлетворять условиям непрерывности [1], а приращение температуры – условиям идеального теплового контакта [2]. Считаем материалы связующего и армирующих волокон изотропными, а поперечное нормальное напряжение 33 малым по сравнению с нормальными напряжениями в плоскости слоя оболочки. При перечисленных условиях уравнения Дюамеля – Неймана запишутся в виде 1 ( n ) En ( g g g g g g g ( n)( n ) , n) 2 ( n) 2 1 ( n) (2) E 3 ( n ) n (n) g 3 21 n где E. - модуль Юнга и коэффициент Пуассона, соответственно, причем индекс n следует взять равным c для материала связующего и равным a - для армирующих волокон. Для построения эффективных физических соотношений, связывающих между собой средние напряжения и средние деформации представительного элемента армированного слоя, использован структурный подход [1]. В результате получены эффективные уравнения Дюамеля – Неймана анизотропного упругого тела A c , 3 p 3 , 3 q 3 . (3) Неклассические дифференциальные задачи термоупругого деформирования многослойной анизотропной оболочки строим на основе следующего допущения [1] о законе распределения поперечных компонент тензора деформаций по толщине оболочки: 0( k ) 3 0( k ) 3 0(3k ) q 0 zh 1 03 f ( z ) , 33 0. (4) h 0 Здесь k 1, 2, ...,m - порядковый номер слоя. Андреев А.Н., 2011 03 , h3 - значения поперечных сдвиговых напряжений на верхней и нижней лицевой поверхности, соответственно. Распределение компонент вектора перемещений по толщине многослойного пакета, соответствующее закону (4), определяется из соотношений деформации – перемещения [1] и имеет вид v30( k ) w( x1 , x 2t ), v0( k ) 0( k ) ( x1 , x 2 , z , t ) (5) 0( k ) 1 2 u ( x1 , x 2 , t ) z ( x1 , x 2 , t ) ( x , x , z , t ) ( x1 , x 2 , t ). Легко видеть, что представления (4), (5) удовлетворяют условиям межслоевого контакта и условиям нагружения на поверхностях z 0, z h оболочки. Примем следующий закон [3] распределения приращения температуры по толщине: (6) k k (0 ,h ) g ( z)( x1, x 2 , t ). Здесь ( x1, x 2 , t ) независимая характеристика, учитывающая отклонение от линейного закона распределения температуры, g (z ) - заданная непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям g (0) g (h) 0, (7) ( j) ( j 1) K 33 g (h j 0) K 33 g (h j 0) ( j 1, 2,..., m 1), ( j) - коэффициенты тензора теплопроводности j -го слоя. Один из возможных спосоK rs бов построения функции g (z ) приведен в [3]. Легко убедиться, что распределение температуры (6), (7) удовлетворяет условиям нагрева на лицевых поверхностях и условиям идеального теплового контакта на поверхностях раздела слоев. Дифференциальные уравнения связанной задачи термоупругого деформирования слоистой оболочки следуют из обобщенного принципа виртуальных перемещений [2]. Данный вариационный принцип включает в себя вариации обобщенных перемещений u , w, , вариацию поля температур и записывается в виде: W P D L H n dA. (8) A W ij dV c ij dV , P ij B D T0 ij B H jH i dV , L ij B c dV , T9 p v dA X i B i i A vi vi dV . (9) B Подставляя в вариационное уравнение (8) выражения (4) – (7), выполняя интегрирование по поперечной координате z и приравнивая к нулю множители при независимых вариациях обобщенных перемещений и множитель при вариации поля температур отдельно в поверхностном и контурном интегралах, приходим к системе дифференциальных уравнений связанной задачи термоупругого деформирования слоистой оболочки b Y T b M 3 3 hb 3 , X 0 I Y b T M 33 033 03 3 h 3 , Z S Q 3 (m) ( x1 , x 2 , h), (10) h c K T0 c g ( z )dz W . 0 (11) Итак, установлена замкнутая система дифференциальных уравнений (9), (10) термоупругости слоистой композитной оболочки, позволяющая учесть сопряжение полей деформаций и температур в теле оболочки, явление поперечных сдвигов в ее слоях, нелинейный закон распределения температуры по поперечной координате. Граничные условия, соответствующие системе (9) установлены в [1] и здесь сохраняют свой вид. Тепловые краевые условия отражают взаимодействие контура оболочки с окружающей средой. Этими условиями в точках граничного контура задается либо функция , либо поток тепла через этот контур. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. 2. 3. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины. Изгиб, устойчивость, колебания. Новосибирск: Наука, 2001. 288 с. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.: Мир, 1970. 256 с. Немировский Ю.В., Бабин А.И. Теплопроводность многослойных армированных оболочек// Нелинейные задачи расчета тонкостенных конструкций. Труды Всесоюзной конференции. Саратов, 7 – 9 июня 1988 г. – Саратов, 1989 г.- С. 126 – 130.