ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

Программа курса
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Факультет информационных технологий, II курс, II семестр
1. Организационно-методический раздел
1.1. Учебный курс «Теория функций и функциональный анализ» представляет собой
специальную дисциплину в рамках стандарта подготовки бакалавра по направлению
5528800 «Информатика и вычислительная техника» и относится к блоку «Общие
математические и естественнонаучные дисциплины». Данный курс представляет
собой составную часть фундаментального курса «Математический анализ»,
входящего в федеральный компонент.
1.2. Цели курса
- изложение основных понятий и теорем теории комплексной переменной
- изложение основных понятий и теорем классического функционального анализа
- знакомство с методами теории функций и функционального анализа, с помощью
которых решаются конкретные задачи математики и математического
моделирования
Задачи курса
- дать представление о задачах и методах теории функций комплексной переменной,
о задачах, решаемых с помощью методов теории функций
- дать представление о задачах и методах функционального анализа, о задачах,
решаемых с помощью функционального анализа
- научить применять методы теории функций комплексной переменной и
методы функционального анализа к задачам математического моделирования
и задачам других научных дисциплин
1.3. По окончании изучения дисциплины «Теория функций и функциональный анализ»
студент должен
иметь представление
- об общенаучной значимости методов и понятий теории функций комплексной
переменной и функционального анализа
- о возможностях методов теории функций и функционального анализа по решению
задач из других научных дисциплин
знать
- основные классические теоремы теории функций комплексной переменной
- основные понятия и теоремы классического функционального анализа
уметь
- доказывать классические теоремы теории функций комплексного переменной
и функционального анализа
- применять понятия и методы теории функций комплексной переменной и
функционального анализа при описании тех или иных объектов математики,
математического моделирования и других научных дисциплин
1.4. Формы контроля
Итоговый контроль
Для контроля усвоения дисциплины учебным планом предусмотрен экзамен по
теоретической части и зачёт по практической
Текущий контроль
Текущий контроль предполагает контроль за выполнением домашних заданий
(домашние задания даются на каждом практическом занятий). В течение семестра
студентами выполняются две контрольные работы. По степени выполнения домашних
заданий и успешности написания контрольных студентам выставляются оценки за
контрольные недели, проводимые на факультете
2. Содержание дисциплины
2.1. Новизна и актуальность курса
В данном курсе осуществляется знакомство как с классическими фундаментальными
понятиями и методами теории функций комплексной переменной и функционального
анализа, так и с современными. Кроме теоретической части, курс содержит примеры
задач из других разделов математики и других научных дисциплин, решаемых
методами теории функций комплексной переменной и функционального анализа
2.2. Тематический план курса
Часть I. Основы теории функций комплексной переменной
Наименование разделов
1. Введение
2. Числовые и
функциональные
ряды на
комплексной
плоскости
3. Аналитические
функции
4. Интегрирование
функций
комплексной
переменной
5. Представление
функций рядами
6. Особые точки и
вычеты
7. Вычисление
несобственных
интегралов от
функций
действительной
переменной
8. 8. Преобразования
Фурье и Лапласа
Итого по курсу:
количество часов
лаборатор.
самостоят.
работа
работа
1
2
лекции
семинары
всего
1
2
1
2
2
1
1
4
5
3
3
11
3
4
4
11
3
4
4
11
2
4
4
10
2
1
1
4
20
20
20
60
3
6
Часть II. Элементы функционального анализа
Наименование разделов
2
количество часов
семинары
лаборатор.
самостоят.
работа
работа
2
2
3
3
3
9
1
1
1
3
2
2
2
3
2
3
6
8
2
1
1
4
12
12
12
36
лекции
1. Линейные
пространства
2. Гильбертовы
пространства
3. Линейные
функционалы
4. Ряды Фурье
5. Линейные
операторы
6. Неподвижные
точки
Итого по курсу:
всего
6
2.3. Содержание отделов и тем
Часть I. Основы теории функций комплексной переменной
1. Введение
Комплексные числа, комплексная плоскость. Расширенная комплексная
плоскость. Предел на комплексной плоскости. Множества на
комплексной плоскости. Функции комплексной переменной. Многозначные функции.
2. Числовые и функциональные ряды на комплексной плоскости
Сходимость рядов. Равномерная сходимость. Признак
Вейерштрасса. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда
непрерывных функций. Степенные ряды. Первая теорема Абеля. Радиус
сходимости. Формула Коши-Адамара. Действия над степенными рядами.
3. Аналитические функции
Производная функции в точке. необходимые
условия дифференцируемости. Достаточные условия
дифференцируемости. Понятие аналитической функции. Аналитичность
суммы сходящегося степенного ряда. Гармонические функции.
4. Интегрирование функций комплексной переменной
Интеграл по кривой. Оценка интеграла. Лемма Гурса. Теорема Коши.
Интегральная формула Коши. Интеграл типа Коши. Существование всех
производных у аналитической функции. Теорема Морера. Понятие об
интеграле в смысле главного значения по Коши. Принцип максимума
модуля. Неравенства Коши. Теорема Лиувилля. Основная теорема
алгебры.
5. Представление функций рядами
Теоремы Вейерштрасса о рядах
аналитических функций. Теорема Тейлора. Нули аналитической
функции. Внутренняя теорема единственности. Теорема Лорана.
6. Особые точки и вычеты.
Изолированные особые точки, их
классификация. Теорема Сохоцкого о поведении аналитической функции
в окрестности существенно особой точки. Вычет в конечной и
бесконечной точке. Основная теорема о вычетах. Принцип аргумента.
Теорема Руше. Вращение векторного поля на кривой.
7. Вычисление несобственных интегралов от функций действительной переменной.
Интегралы от рациональных и близких к ним функций. Лемма
Жордана. Интегралы, содержащие тригонометрические функции.
Интегралы в смысле главного значения по Коши.
7. Преобразования Фурье и Лапласа
Простейшие свойства преобразований Фурье и Лапласа. Примеры применения
преобразований Фурье и Лапласа.
Часть II.
ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
1. Линейные пространства.
Линейные, метрические, нормированные пространства. Сходимость. Полнота.
Компактные множества в метрическом пространстве.
Линейная зависимость и независимость, базис. Функции как точки в
линейном пространстве. Эквивалентные нормы. Непрерывность нормы.
Эквивалентность всех норм в конечномерном пространстве.
2. Гильбертовы пространства.
Скалярное произведение, непрерывность скалярного произведения. Ортогональность,
ортонормированные системы. Ортогональные проекторы, ортогональное дополнение. Задача
о наилучшем приближении. Разложение вектора на ортогональную проекцию и
ортогональную составляющую.
3. Линейные функционалы.
Теорема Рисса о представлении линейного функционала над гильбертовым
пространством. Сопряженные пространства. Рефлексивные пространства.
4. Ряды Фурье
Замкнутые системы. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля.
Теорема Рисса-Фишера. Пространство суммируемых с квадратом функций.
5. Линейные операторы.
Непрерывность и ограниченность линейного
оператора. Операторная норма. Обратный оператор. Резольвента и спектр. Сопряженный
оператор. Операторы Фредгольма. Теоремы Фредгольма. Приложения к интегральным
уравнениям. Вполне непрерывные операторы.
Теорема Гильберта-Шмидта.
6. Неподвижные точки.
Сжимающие операторы. Теоремы о неподвижной точке сжимающегося оператора.
Неподвижные точки вполне непрерывных операторов.
2.4. Перечень контрольных вопросов и занятий для самостоятельной работы
Часть I. "Основы теории функций комплексной переменной"
Введение.
Комплексные числа, комплексная плоскость.
Расширенная комплексная плоскость.
Предел на комплексной плоскости.
Множества на комплексной плоскости.
Функции комплексной переменной.
Числовые и функциональные ряды на комплексной плоскости
Сходимость рядов.
Равномерная сходимость.
Признак Вейерштрасса.
Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций.
Степенные ряды.
Первая теорема Абеля.
Радиус сходимости.
Формула Коши-Адамара.
Действия над степенными рядами.
Аналитические функции
Производная функции в точке. Необходимые условия дифференцируемости.
Достаточные условия дифференцируемости.
Понятие аналитической функции.
Аналитичность суммы сходящегося степенного ряда.
Гармонические функции.
Интегрирование функций комплексной переменной.
Интеграл по кривой.
Оценка интеграла.
Лемма Гурса.
Теорема Коши. (Обобщенная теорема Коши --- без доказательства).
Интегральная формула Коши.
Интеграл типа Коши.
Существование всех производных у аналитической
функции.
Теорема Морера.
Понятие об интеграле в смысле главного значения по Коши.
Принцип максимума модуля.
Неравенства Коши.
Теорема Лиувилля.
Основная теорема алгебры.
Представление функций рядами.
Теоремы Вейерштрасса о рядах аналитических функций.
Теорема Тейлора.
Нули аналитической функции.
Внутренняя теорема единственности.
Теорема Лорана.
Единственность лорановского разложения.
Особые точки и вычеты.
Изолированные особые точки, их классификация (в терминах поведения,
в терминах ряда Лорана, в терминах нулей для полюса).
Теорема Сохоцкого о поведении аналитической функции в окрестности существенно
особой точки.
Вычет в конечной и бесконечной точке.
Основная теорема о вычетах.
Теорема о логарифмическом вычете.
Принцип аргумента. Теорема Руше.
Вычисление несобственных интегралов от функций действительной {переменной.}
Интегралы от рациональных и близких к ним функций.
Лемма Жордана.
Интегралы, содержащие тригонометрические функции.
Интегралы в смысле главного значения по Коши.
Преобразования Фурье и Лапласа
Преобразование Фурье. Формула обращения (без доказательства). Простейшие свойства.
Преобразования Лапласа. Существование и аналитичность. Формула обращения (без
доказательства). Простейшие свойства.
Примеры использования преобразований Фурье и Лапласа.
Часть II. Элементы функционального анализа
Линейные пространства.
Линейные, метрические, нормированные пространства.
Сходимость.
Полнота.
Линейная зависимость и независимость, базис.
Функции как точки в линейном пространстве.
Эквивалентные нормы.
Непрерывность нормы.
Эквивалентность всех норм в конечномерном пространстве.
Полнота пространства ограниченных на отрезке функций.
Полнота пространства непрерывных на отрезке функций.
Пространства lp, Lp, l.
Сепарабельность пространств lp и C.
Несепарабельность пространства l.
Принцип вложенных компактов.
Непрерывные отображения.
Компактность образа при действии непрерывного отображения.
Гильбертовы пространства.
Скалярное произведение, непрерывность скалярного произведения.
Неравенство Коши-Буняковского.
Ортогональность, ортонормированные системы.
Процесс ортогонализации.
Ортогональное дополнение.
Задача о наилучшем приближении (существование элемента, реализующего расстояние до
выпуклого множества).
Разложение вектора на ортогональную проекцию и ортогональную
составляющую.
Ортогональное проектирование на конечномерное пространство.
Линейные функционалы
Теорема Рисса о представлении линейных непрерывных функционалов над гильбертовым
пространством
Ряды Фурье.
Неравенство Бесселя.
Полнота и замкнутость ортонормированных систем элементов. Равенство Парсеваля.
Гильбертов базис. Существование гильбертова базиса в сепарабельном пространстве.
Изоморфизм и изометричность пространств.
Изоморфизм и изометричность гильбертовых пространств (изоморфность
и изометричность бесконечномерных гильбертовых пространств пространству l2).
Линейные операторы.
Непрерывность и ограниченность линейного оператора.
Операторная норма.
Обратный оператор.
Обратимость операторов I + A и I - A.
Продолжение оператора с подпространста.
Пространство линейных ограниченных операторов, его полнота.
Вполне непрерывные операторы.
Сопряженный оператор.
Резольвента и спектр.
Операторы Фредгольма. Теоремы Фредгольма.
Теорема Гильберта-Шмидта.
Неподвижные точки.
Существование неподвижных точек у сжимающего оператора.
Неподвижные точки вполне непрерывных операторов (без доказательства).
Приложения к интегральным уравнениям.
3. Учебно-организационное обеспечение дисциплин.
3.1. Вопросы для подготовки к зачёту и экзамену соответствуют перечню контрольных
вопросов (п. 2.4.).
3.2. Список литературы
1. Конспекты лекций.
2. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. М.:
Наука, 1973.
3. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.:
Наука, 1965.
4. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций
комплексного переменного.
5. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука. 1965.
6. Вулих В.З. Введение в функциональный анализ. М.: Наука, 1976.
Программу подготовил:
д.ф.-м.н., профессор
Кожанов А.И.
Программа утверждена на заседании Ученого совета факультета информационных
технологий Новосибирского государственного университета 18 декабря 2003 г., протокол
заседания №16.
Декан ФИТ НГУ,
д.ф.-м.н.
М.М.Лаврентьев