Аксиомы кольца, аксиомы поля. Примеры колец и полей (поле из  

Аксиомы кольца, аксиомы поля. Примеры колец и полей (поле из
двух элементов).
Пусть R - непустое множество. В R введены 2 операции: сложение и умножение. Эти операции бинарны: +: R  R  R ,
 : R R  R,
Аксиомы кольца: Множество R с операциями «+» и «*» называется кольцом, если выполняются аксиомы. Аксиомы
сложения:
a, b, c  R
1.
(a + b) + c = a + (b + c),
2.
a + b = b + a, a, b  R (Коммутативность сложения).
3.
0  R : a  0  a, a  R .
a  R, a   R : a  a   0 , a
4.
(Ассоциативность сложения).
- противоположный к a элемент (существование противоположного элемента).
Аксиома умножения:
5.
6.
a, b, c  R , (ab)c  a (bc). (Ассоциативность умножения).
a, b, c  R, (a  b)c  ac  bc; c(a  b)  ca  cb. (Дистрибутивность сложения и умножения).
Дополнительные аксиомы:
7.
1  R : 1  a  a  1  a, a  R .
Аксиома единицы
Если в кольце R выполняется 8., то R – коммутативное кольцо.
Примеры:
Z  {0,1,2,...} .
«+»: Z  Z  Z ;
«*»: Z  Z  Z ,
1)
Z – коммутативное кольцо с единицей, т.к. выполняется 1 – 8.
2) Q,R – коммутативные кольца с единицей.
3)
Mat (n, R) . Определены операции сложения и умножения матриц, 1 – 6 выполняются в силу свойств этих операций
 Mat (n, R) - кольцо. 7 – выполняется, т.к. E является единицей кольца. 8 вообще говоря не выполняется для n  2 .
Mat (n, R)  некоммутативное кольцо с единицей.
4) mZ : {0; m;2m,...}  множество чисел,  : mZ  mZ  mZ ;* : mZ  mZ  mZ . 1 – 6 выполняются,  mZ  кольцо,
8 – выполняется  mZ - коммутативное кольцо. 7 - ? Пусть mk, ( k  Z ) – единица в mZ, тогда
x  mZ , xmk  x  mk  1 , но 1 не кратна m, если m  1, то mZ не имеет единицу.
Аксиомы поля:
Z - коммутативное кольцо с единицей, Q,R – тоже. Отличие: в Z не для всякого ненулевого элемента есть обратный из этого
кольца. Но для Q,R условие обратимости ненулевых элементов выполняется.
Определение: Поле – коммутативное кольцо с единицей, отличной от 0, в котором всякий ненулевой элемент обратим, т.е.
выполняется 9 – аксиома поля:
a  0, a 1  R : a  a 1  1 . Всего существует 9 аксиом поля. Примеры полей: Q,R.
Пример2: Пусть k – поле, тогда по определению: 0  k ,1  k , (1  0)  (k )  2 (число элементов).
 0 1
 0 1
F2  {0,1} , + и * задаются таблицами: 0 0 1 ; ___ 0 0 0 ;11  1;11  1;1  1  0.
1 1 0
1 0 1
F2  поле, состоящее из 2 – х элементов. Существует ли поле из 6 - элементов.
Поле комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного
числа: сложение, умножение, деление комплексных чисел.
2
x  1  0 (действительных корней нет), i  мнимая единица, т.е. i 2  1 .
Определение: Полем комплексных чисел называется минимальное поле, содержащие все действительные числа и мнимую
единицу
i, (i 2  1) .
Структура поля комплексных чисел. Обозначение C.
с   {a  ib, a, b  R}. Т.к. C – поле и a, b  R  a, b  C (по определению) и i - тоже, значит
числа вида a  ib  C  Cc  C . Если докажем, что C  - поле, то C  - поле, содержащее i  a  ib и все
действительные числа, т.к. a  R, a  a  i  0 , тогда в силу минимальности C получим, что C  C   C   C .
Цель: доказать , что C  - поле, откуда, C  C   [a  ib , a, b  R ] .
Теорема: C   поле.
Док-во: Введём в C  операции сложения и умножения чисел:
z1  a1  ib1 ; z 2  a 2  ib2
z1  z 2 : (a1  a 2 )  i(b1  b2 )  C .
Рассмотрим множество:
z1  z 2 : (Мотивировка правила умножения).
(a1  ib1 )(a2  ib2 )  a1a2  ia1b2  ib1a2  i 2 b1b2  (a1a2  b1b2 )  i(a1b2  a2 b1 ) .
z1  z 2 : (a1a2  b1b2 )  i(a1b2  a2b1 )  C  .
Проверим выполнение аксиом 1-9 поля:
1.
( z1  z 2 )  z3  ((a1  a2 )  i(b1  b2 ))  (a3  b3 )  ((a1  a2 )  a3 )  i((b1  b2 )  b3 ) ~ i(b1  (b2  b3 ))  z1  ( z 2  z3 )
Ассоциативность сложения выполняется..
z1  z 2  (a1  a2 )  i(b1  b2 )  (a2  a1 )  i(b2  b1 )  z 2  z1 .
3. 0  0  i0 .
4. z  a  ib , то в качестве противоположного z   (  a )  i ( b) . Все аксиомы сложения выполнены.
5. ( z1 z 2 ) z 3  z1 ( z 2 z 3 ), z k  a k  bk , k  1,2,3.
6. ( z1  z 2 ) z 3  (( a1  a 2 )  i (b1  b2 ))( a3  ib3 )  (( a1  a 2 )a3  (b1  b2 )b3 )  i (( a1  a 2 )b3  (b1  b2 )a3 ) 
 (a1 a3  a 2 a3  b1b3  b2 b3 )  i(a1b3  a 2 b3  b1a3  b2 a3 )  [( a1a3  b1b3 )  i(a1b3  b1 a3 )]  [( a 2 a3  b2 b3 )  i(a 2 b3 
 b2 a3 )]  z1 z 3  z 2 z 3
7. 1  1  i0 - единица в C  .
8. z1 z 2  z 2 z1 (в силу определения операции умножения), т.е. C  - коммутативное кольцо с единицей.
2.
z  a  ib  0  a, b  0 одновременно. a 2  b 2  0, т.к. a, b  R.
1
1
a  ib
a  ib
a  ib
a  ib
a
b


 2
 2 2 2  2
 2
i 2
 C;
2
2
2
z a  ib (a  ib )( a  ib ) a  (ib )
a i b
a b
a b
a  b2
a
b
1
 2
i 2
, zz 1  1 .
Итак, если z  a  ib ,  z
2
2
a b
a b
Любой ненулевой элемент обратим в C   аксиома поля выполнена,  C   поле. ЧТД.
Комплексное число: z  a  ib - алгебраическая запись числа z. a называется действительной частью: a  Re z. b
называется мнимой частью: b  Im z. Re z , Im z  R .
9. Пусть
Извлечение квадратного корня из комплексного числа в
алгебраической форме.
a  ib
( x  iy ) 2  a  ib
x 2  2ixy  y 2  a  ib
x 2  y 2  a

 2 xy  b
2
b 2  b 
y
;x    a
2x
 2x 
Сопряжённое комплексное число и его свойства.
Пусть z  a  ib . Тогда число вида z  a  ib называется сопряжённой к данному числу z , т.е.
 Re z  Re z
z , z  симметричны относительно оси Re.

Im z   Im z
Свойства сопряжённого комплексного числа:
2.
z  z  z  R.
z  z , arg z   arg z
3.
z1  z 2  z1  z 2 .
4.
z1 z 2  z1  z 2 .
1.
5.
6.
7.
(с точностью до
2n ).
 z1  z1
   , z 2  0 .
 z2  z2
1
z
 2 ,z  0.
z z
zz  z
2
.
Изображение комплексных чисел на плоскости, модуль и
аргумент комплексного числа.
z  a  ib , то z изображается точкой на плоскости с координатой (a , b).
Пусть z – комплексное число. Определение: Модулем числа z называется длина радиус вектора точки, изображающей
данное число z. Обозначение:
z  a2  b2
.
Модуль комплексного числа – корень квадратный из суммы квадратов его действительной и мнимой части.
z  R; z  0.
Определение: Аргументом числа z называется угол (ориентированный) между радиус-вектором точки, изображающей
комплексное число z и положительное направление действительной оси. Обозначение: arg z . Аргумент определяется
неоднозначно, а именно с точностью до слагаемых вида
Пусть
2n, n  z.
Тригонометрическая форма комплексного числа: умножение и деление
чисел в тригонометрической форме.
z  r, arg z   , тогда Re z - проекция на ось Re . Im z  проекция на ось Im = r sin  .
z  a  ib
(алгебраическая запись), то
z  z cos   i z sin  .
z  z (cos   i sin  ).
z  z (cos arg z  i sin arg z) .
z  r (cos   i sin  ), r  z ,   arg z.
Re z  r cos 

 Im z  r sin 
Обратно:
r  z  a2  b2
(длина вектора).
tg 
b Im z

.
a Re z
Однозначно угол определяется, если по знакам Rez и Imz указать четверть, в которой находится
.
r  (Re z ) 2  (Im z ) 2


Im z .
tg
(arg
z
)


Re z

Умножение и деление КЧ в тригонометрической форме:
r1
, если r2  0 .
r2
Решение: z1 z 2  r1 (cos 1  i sin 1 )r2 (cos  2  i sin  2 )  r1r2 (cos 1  i sin 1 )(cos  2  i sin  2 ) 
 r1r2 ((cos 1 cos 2  sin 1 sin  2 )  i(cos 1 sin  2  sin 1 cos  2 ))  r1r2 (cos(1   2 )  i sin( 1   2 )) .
z1 z 2  r (cos  i sin  ).
I.
Задача:
z1  r1 (cos 1  i sin 1 ); z 2  r2 (cos  2  i sin  2 ).
Найти: r1
 r2 ,
Условие равенства КЧ:
А)
a  a2
.
z1  a1  ib1 , z 2  a2  ib2 , z1  z 2   1
 b1  b2
r1  r2

z1  r1 (cos 1  i sin 1 ), z 2  r2 (cos  2  i sin  2 ), z1  z 2  
.
1   2  2n, n  z
Сравнивая записи для z1  z 2 , получаем, что z1 z 2  z1  z 2 ; (r  r1  r2 ).
Б)
  1   2 .
Правило умножения КЧ:
При умножении КЧ модули перемножаются, а аргументы складываются.
II.
z1 r1 (cos 1  i sin 1 ) r1 (cos 1  i sin 1 ) r1 (cos 1  i sin 1 )(cos  2  i sin  2 )




z 2 r2 (cos  2  i sin 1 ) r2 (cos  2  i sin  2 ) r2 (cos  2  i sin  2 )(cos  2  i sin  2 )
r1 [(cos 1 cos  2  sin 1 sin  2 )  i (cos 1 sin  2  sin 1 cos  2 )] 1 r1
 cos(1   2 )  i sin( 1   2 )
r2
r2
cos 2  2  i 2 sin 2  2
z1
r
С другой стороны:
 r (cos  i sin  ) , тогда r  1 ,  1   2 .
z2
r2





arg  z1
  z 2
z

z1
z2
z2

  arg z1  arg z 2

Правила деления: Модуль частного КЧ равен частному модулей делимого и делителя, а аргумент частного есть разность
аргументов делимого и делителя.
Формула Муавра.
n
n
Теорема: Пусть z  r (cos   i sin  ) , тогда z  r (cos n  i sin n ), n  z
(если
n  0 , то z  0 ) - формула Муавра.
Док-во:
1)
n  0, z  0 , то z 0 : 1 .
Левая часть формулы Муавра:
r 0 (cos 0  i sin 0 )  1(cos 0  i sin 0)  1 .
n  N , z  любое. Применим ММИ по n.
1
а) n = 1, то z   z  r (cos   i sin  )  r (cos(1   )  i sin( 1   )) , т.е. формула верна.
2) Пусть
Б) Пусть при n = k формула Муавра верна.
В) n = k + 1.
z k 1  z k z  [r (cos   i sin  )] k (r (cos   i sin  ))  [r k (cos k  i sin k )]( r (cos   i sin  ))  (r k r )(cos( k   ) 
 i sin( k   ))  r k 1 (cos(1  k )  i sin( 1  k ) )
т.е. формула верна при n = k + 1, значит при всех n  N .
3) n – отрицательный, т.е. n  m , где m N.
1
1
1
1
z n  z m  m 
 m
 m (cos( m )  i sin( m ))  r m (cos( m ) 
m
z
[r (cos   i sin  )]
r (cos m  i sin m ) r
ЧТД.
 i sin( m ))  [n  m]  r n (cos n  i sin n )
Извлечение корня n-й степени из комплексного числа.
n
Определение: Число W называется корнем n  й степени из КЧ z, если W  z . Другими словами, найти все корни
n
степени n из z – это значит, что необходимо решить уравнение W  z .
Теорема: Существует ровно n корней степени n из КЧ z  0 , где
  2k
  2k
z  r (cos   i sin  ) : Wk  n r (cos
 i sin
) , где ( k  0,1,..., n  1; n r  обычный арифметический
n
n
корень из положительного числа r).
Док-во: Будем искать решение уравнения
Тогда
W   (cos n  i sin n )
n
n
Wn  z
в виде
W   (cos  i sin  ) , (  , 
- формула Муавра. По условию:
надо определить).
W  z . Используем условия равенства КЧ в
n
тригонометрической форме:

n r

положительное число,   0 как модуль). 
.
  2k


,
k

Z

n

  2k
  2k
n
n
 i sin
), k  Z . Докажем, что среди W k
Итак, любой корень уравнения W  z имеет вид: Wk  r  (cos
n
n

r  n
( 

n    2k , k  Z
только n различных чисел.
1. Покажем, что
W0 ,W1 ,..., Wn1
  2k
Wk  W j , если 0  k  j  n  1 , т.е.
  2k
)
n
n
  2j
  2j
  2k   2j
 n r (cos
 i sin
)

 2d , d  Z
n
n
n
n
  2k   2j
(

 2d ) / 2
n
n
k j
 d  k  j _ делится _ нацело _ на _ n
n
Но  n  k  j  0 , т.к. k  1, j  n  1   j   n  1 .
 k  1
 j  n  1 Среди чисел  (n  1),(n  1) - нет ни одного, которое делится на n.
n
r (cos
 i sin
различны. Предположим, что
k  J  n
 получено противоречие. Значит W0 ,W1 ,..., Wn1
II. Покажем, что
Wk
для произведения целого k совпадает с одним из чисел
k  nq  s , где
0  s [остаток]< n – 1.
т.е.
- различные числа.
W0 ,W1 ,..., Wn1 . Разделим k на n с остатком,
Wk  n r (cos
 n r (cos
  2 (nq  s)
n
  2s
 i sin
n
т.е. числа W0 , W1 ,..., Wn 1
 i sin
  2s
n
  2 (nq  s )
n
)  n r (cos(
  2s
n
 2q)  i sin(
  2s
n
 2q)) 
)  Ws , s  0,1,..., n  1
исчерпывают все корни степени n из z. ЧТД.
r ,  находятся на окружности данного радиуса.
2
 
(n – ная часть угла полного поворота). Это
n
Замечание: Все корни степени n из z имеют один и тот же модуль
Аргументы 2 – х соседних корней, т.е.
W j , W j 1
отличаются на
n
означает, что корни находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в данную окружность.
Корни из единицы и их свойства.
n
Определение: Решением уравнения z  1 называется корнями n – ной степени из 1.
1  1(cos 0  i sin 0)
0  2k
0  2k
Wk  n 1(cos
 i sin
)
n
n
2k
2k
Wk  cos
 i sin
, k  0, n  1
n
n
W0  1
W1  cos
обозначение.
2
2
 i sin
n
n
n
Корни n – ной степени из 1 изображаются вершинами правильного n – угольника, вписанного в единичную окружность с
вершиной (1; 0).
Лемма:
А) Произведение корней n – ной степени из единицы – это корень n – ной степени из 1.
Б) Обратный элемент к корню n – ной степени из 1 – корень n – ной степени из 1.
В) Целая степень корня n – ной степени из 1 – корень n – ной степени из единицы.
Док-во:
z1 , z 2  корни степени n из 1, т.е. z1n  z 2n  1 .
( z1 z 2 ) n  z1n z 2n  1  1  1 .
По определению z1 , z 2  корень степени n из 1.
А)
Б) z – корень n – ной степени.
zn 1
n
1 1
1 1
:   n  1
z z
1
z
1
 корень n – ной степени из 1.
z
В)
 zm,m N

zm  
z0
 z ( m ) , m  0

m n
( z )  ( z n ) m  1m  1, m  Z
z m  корень n – ной степени из 1.
k
Замечание: Если W k - корни n – ной степени из 1, то W k   n , т.к.
2
2 k
2k
2k
 nk  (cos
 i sin
)  [ муавр ]  cos
 i sin
 Wk .
n
n
n
n
Т.е.
Т.е. все корни n – ной степени из 1 можно представить как степени
n.
Первообразные корни, критерий первообразности корня.
Определение: Корень n – ной степени из 1 называется первообразным, если любой другой корень n – й степени из 1 можно
представить в виде целой степени этого корня из 1.
В частности ,
n
является первообразным корнем степени n из 1,
Примеры:
n3
W0  1,W1   n ,W2   n2 ;W0k  1, k  N
n  N .
Т.е.
W0
- не является первообразным.
W1   n
- первообразный.
W   ;W  ( )       3 ;W  1 . Все корни 3 – й степени есть степени степени W2 , значит W2
1
2
2
3
2
2
2 2
3
4
3
3
3
3
2
-
первообразный.
n4
W0  1;W1  i;W2  1;W3  i
W1 ,W3  первообразные, W0 ,W2
n6
не являются первообразными.
W0  1;W1   6 ;W22  W0 , W23  1;W3  1, W32  1;W42  W2 , W43  1;W5   6 
1
.
6
W0 ,W2 ,W3 ,W4  не первообразные, W1 ,W5  первообразные.
Таблица первообразных корней:
n
корни
3
W1 , W2
4
W1 , W3
5 W1 , W2 , W3 , W4
6
W1 , W5
Теорема (Критерий первообразности корня из 1.):
Корень n – ной степени из 1:
Wk  cos
2k
2k
 i sin
n
n
является первообразным тогда и только тогда, когда НОД (k, n) = 1,
т.е. взаимно прост с n.
Док-во:
1.
Пусть
Wk
n
- первообразный, пусть d = НОД (k, n).
n
kn
k
n
d
- целый показатель.
k
(Wk ) d  ( nk ) d   nd  ( nn ) d  1 d  1 , т.е. остальные степени W k будут совпадать с уже выписанными.
n
 max различных степеней W k . Но по условию, W k - первообразный , значит W k имеет ровно n различных степеней.
d
n
 n  d  1 , но НОД  N  d  1, т.е. k и n взаимно просты.
d
2.
Пусть НОД (k, n) = 1.
Докажем, что
Wk
имеет не менее n различных целых степеней. Рассмотрим множество:
{Wk0  1,Wk1 ,...,Wkn1}  {Wk j , j  0, n  1} . Покажем, что все элементы этого множества различны: Wkl  Wkm , где
0  l, m  n  1 .
Wk   nk
( nk ) l  ( nk ) m
 nkl   nkm (:  nkl )
1   nk ( m l ) . Но  nN  1 тогда и только тогда, когда N кратно n, т.е. k (m - l) делится на n, но k и n взаимно просты  m  l
делится на n.
0  m  n 1
 (n  1)  l  0
 (n  1)  m  l  (n  1)
m – l кратно
n  0, n , т.е. m – l = 0, значит m = l.
Итак, все элементы множества
{Wk j , j  0, n  1}
различны. По лемме все эти элементы являются корнями n – й степени из
1, т.е. любой корень n – й степени из 1 является целой степенью
Wk
Wk .
- является первообразным. ЧТД
Экспонента комплексного числа. Формула Эйлера.
Экспоненциальная форма комплексного числа.
W  ez , z
- КЧ.
Сходимость в C.
Определение: Говорят, что последовательность КЧ
  0, N  N ( ) : n  N , z  z n  

{z n }
сходится к КЧ z (или
z  a  ib
a  lim a n , b  lim bn
n 
n


n 
.
.
- окрестность точки z. Это круг без границ, с центром в точке z, радиуса
Утверждение 1: Число
lim z n  z ), если
является пределом последовательности
{z n  a n  ibn } тогда и только тогда, когда
.
вещественные _ последовательности
Док-во:
1 – й шаг (Оценки)
W  U  iV
U
V
W U V
W  U 2 V 2  U 2  U
Аналогично:
W V
2. Сравним квадраты:
W
2
W , (U  V )2
 U 2 V 2.
2
( U  V ) 2  U  V  2 U V  U 2  V 2  2 UV

2
2
0
(U  V )  W
2
2
 2 UV  0  W
 (U  V )2
2
W U V
2 – й шаг: Пусть
z  lim z n
n
  0N  N ( ) : n  N , z  z n   , по шагу 1: W  z  z n  (a  a n )  i (b  bn ); a  a n  


U
и
b  bn   , т.е.
V
выполняется определение предела для вещественных последовательности
{a n } и {bn } , т.е. lim a n  a, lim  b .
n 
n 
Док-во:
3 - й шаг: Пусть
Выбираем
Для

2
a  lim a n ; b  lim bn .
n 
  0 , тогда для
n 

2
: N1  N1 ( ) : n  N1 ( ) : a  a n 
: N 2  N 2 ( ) : n  N 2 ( ), b  bn 

2

2
.
.


N  N ( )  max{ N1 , N 2 } , тогда n  N : ( a  a n  )  ( b  bn  )  a  a n  b  bn   .
2
2
U
V




Используем шаг 1 – й для W  z  z n  (a  a n )  i (b  bn ) .
Выбираем
z  z n  a  an  b  bn   , n  N , тогда   0N  N ( ) : n  N , z  z n   ,т.е. по определению lim z n  z .
n 
ЧТД.
Утверждение 2:
z  r (cos   i sin  ); z n  rn (cos  n  i sin  n ) . (Вновь с комплексной последовательности {z n }
{rn },{ n } .)
z  lim  z n .
вещественные последовательности
Если
lim rn  r
n 
Док-во:
и
lim  n   , то
n 
n 
lim rn  r , lim  n   .
n 
n 
z n  rn (cos  n  i sin  n )  rn cos  n  i rn sin  n . Покажем, что  lim Re z n , lim Im z n :
n 
n 


 


Re z n
Im z n
lim rn cos  n  lim rn  lim cos  n  r cos( lim  n )  r cos  .
n 
n 
Аналогично,
n 
n 
lim rn sin  n  r sin  . Тогда по утверждению 1, имеем, что lim z n , причём:
n 
n 
lim z n  lim Re z n  i lim Im z n  r cos   ir sin   r (cos   i sin  )  z . ЧТД.
n 
n 
n 
связаны 2
Определение: Пусть z – КЧ, тогда
z
e z  lim (1  ) n .
n 
n
Теорема (Корректность определения.):
Док-во:
z
z  C ,  lim (1  ) n .
n 
n
z
Wn  1  .
n
a
b
a
a
a
z  a  ib , тогда Wn  (1  )  i . Начиная с некоторого номера n: Re Wn  1   0; (1   0,  1, n  a) ,
n
n
n
n
n
Im Wn
т.е. W n будет либо в I либо в IV четвертях, тогда arg Wn  arctg
.
Re Wn
b
arg Wn  arctg
(13.1)
na
Пусть
a 2
b 2
2a a 2  b 2
Wn  (1  )  ( )  1 

n
n
n
n2
 2a a 2  b 2
Wn  1 

n
n2

1
2
 (13.2)

Мы исследуем сходимость последовательности:
n


z
n
1

  Wn  . По формуле Муавра:

 n 

n
Wnn  Wn (cos n arg Wn  i sin n arg Wn ).
В силу утверждения 2 мы докажем сходимость нашей последовательности, если покажем, что
n
 lim Wn ,  lim n arg Wn (б ) , (а) – (13.2).
n 
n 
n
2


lim
 a 2 b 2 
n  2 a a 2  b 2 
1
n
1

 2a a 2  b 2 
lim  
lim  a 
n

 n 
n  2  n
n  
2 n 
n 2 
n 2
n




lim 1 

 lim (1   n )
 lim (1   n ) 
e
e
 ea .
2
n 
n


n


n
n
 


 


n


n
Существует ли lim arg Wn ?
tn




b


b
b
arctg 

arctg
arctg
b
b
nb
na

n

a
n

a
lim n arg Wn  lim narctg
 lim n
 lim
 lim
 b  lim

n 
13.1 n 
n  n  a n 
n 
b
b
b
n  a n  n  a
na
na
na
t
t
t
 b lim n  b lim cos t n n  t n n
0 0  b lim cos t n  lim n  b  1  1  b.

n  tgt
n 
n 
n  sin t
sin t n
n
n
Итак, показано, что
 lim W
n
n
 e ,  lim arg W  b.
a
n
n
По утверждению 2,
z

 lim W  lim 1  
n 
n 
 n
n
n
n
, т.е.
z

e  lim 1  
n 
 n
z
определена корректно. ЧТД.
Следствие: В процессе доказательства теоремы был вычислен

lim 1 
n 

n
, а именно, если
z  a  ib , то
n
z
a
a ib
 e a (cos b  i sin b)
  e (cos b  i sin b) , т.е. e
n
Свойства функции:
1.
z

lim 1  
n 
 n
- формула Эйлера.
f ( z)  e z .
D( f )  C , т.к. exp( z )  e z
- определена для
z  C.
E ( f )  C \ {0} . (Если k – поле, то k \ {0} обозначается k * . k * - все обратимые элементы.)
а) z  a  ib (по формуле Эйлера)
e z  e a  0 , т.к. a  R , т.е. W  e z имеет ненулевой модуль, а значит отлично от 0. 0  E ( f ).
2.
Пусть
W  0.
n
-
W  r (cos   i sin  ) , где r  0 . z  ln r  i , то e z  e ln r i  e ln r (cos   i sin  )  r (cos   i sin  )  W .
(14.1)
W  0
f ( z )  e z  периодическая функция.
Док-во: (Надо доказать, что) T  C : f ( z  T )  f ( z ), z  C .
Рассмотрим комплексное число вида: T  2ik , k  z. z  ai  b .
z  T  a  i(b  2k )
Итак,
является экспонентой некоторого количественного z.
3.
f ( z  T )  e z T  e a i (b  2k )  e a (cos(b  2k )  i sin( b  2k ))  e a (cos b  i sin b)  e z  f ( z )
(14.1)
. ЧТД.
(14.1)
e z1  z2  e z1  e z1 , z1 , z 2  C .
4.
Док-во:
z1  a1  ib1 ; z 2  a2  ib2 .
( a  a ) i ( b1 b2 )
Левая часть равенства: e 1 2
 e a1  a2 (cos(b1  b2 )  i sin( b1  b2 )).
(14.1)
Правая часть:
e e
z1
z2
e
a1 ib1
тригонометрической форме.] =
e
a2 ib2
 e a1 (cos b1  i sin b1 )  e a2 (cos b2  i sin b2 ) = [правило умножения КЧ в
 (e a1 e a2 )(cos(b1  b2 )  i sin( b1  b2 ))  e a1  a2 (cos(b1  b2 )  i sin( b1  b2 )) . Левая часть
равна правой части, значит равенство верно. ЧТД.
Следствие: (Экспоненциальная форма комплексного числа.)
z  C (произвольное число). В тригонометрической форме z  r (cos   i sin  ).
cos   i sin   e i , тогда z  re i - экспоненциальная форма КЧ.
Пусть
(14.1)
z  i .
e  e i  e 0 (cos   i sin  )  1  (1  i0)  1.
5.
z
(14.1)
i
e  1(14.2)