Занятие №4. Элементы комбинаторики Правила суммы и

Занятие №4. Элементы комбинаторики
1.
2.
3.
4.
Правила суммы и произведения.
Соединения без повторений.
Соединения с повторениями.
Бином Ньютона
Правило суммы. Если элемент A можно выбрать n различными способами и
независимо от него элемент B можно выбрать m различными способами, то
выбрать все различные комбинации элементов «A или B» можно n  m способами.
 Пример 1. Студентам на предстоящий зачет дается на выбор 5 тем по
математическому анализу и 7 по теории вероятностей. Сколькими способами
можно выбрать тему по математическому анализу или по теории
вероятностей? Решение: Множества не пересекаются, значит можно
применить правило суммы: 7  5  12 способов.
Правило произведения. Если элемент A можно выбрать n различными способами
и независимо от него элемент B можно выбрать m различными способами, то все
различные комбинации элементов «A и B» можно выбрать n m способами.
 Пример 2. На первой полке стоит 10 книг, а на второй 5. Сколькими способами
можно взять книги с обеих полок? Решение: По правилу произведения:
10  5  50 способов.
Общим названием соединений принято обозначать следующие три типа
комбинаций, составляемых из некоторого числа различных между собой элементов.
1.
Перестановки. Возьмем n различных элементов и будем переставлять
эти элементы всевозможными способами, оставляя неизменным их число и меняя
лишь их порядок. Каждая из получающихся таким образом комбинаций носит
название перестановки. Общее число перестановок из n элементов обозначается Pn .
Это число равно произведению всех целых чисел от 1 до n включительно:
Pn  1  2  3  ...  n  n!
Символ n! обозначает факториал числа n , т.е. произведение всех натуральных
чисел от 1 до n . Считают, что 0! 1.
 Пример 3. Найти число перестановок из трех элементов а, Ь, с. Имеем
P3  1  2  3  6 . Действительно, имеем 6 перестановок: 1)abc; 2)acb; 3)bac; 4)bca;
5) cab; 6)cba.
 Пример 4. Сколькими способами можно распределить пять должностей
между пятью лицами, избранными в президиум спортивного общества? Если
составить в некотором порядке список должностей и против каждой
должности писать фамилию кандидатов, то каждому распределению
отвечает некоторая «перестановка». Общее число этих перестановок
P5  1  2  3  4  5  120 .
2. Размещения. Будем составлять из n различных элементов группы по m
элементов в каждой, располагая взятые m элементов в различном порядке.
Получающиеся при этом комбинации называются размещениями из n элементов по
m . Общее число размещений из n элементов по m обозначается Anm . Это число
равно:
Anm 

Пример 5. Найти число размещений из четырех элементов abed по два. Имеем:
A42 

n!
(n  m)!
4!
4! 2!3  4
 
 12 .
(4  2)! 2!
2!
Пример 6. В президиум собрания избраны восемь человек. Сколькими способами
они могут распределить между собой обязанности председателя, секретаря и
счетчика? Искомое число есть число размещений из 8 элементов по 3:
A83 
8!
8! 5!6  7  8
 
 336 .
(8  3)! 5!
5!
Замечание. Перестановки можно считать частным случаем размещений
(именно размещениями из n элементов по n ).
3. Сочетания. Из n различных элементов будем составлять группы по m
элементов в каждой, не обращая внимания на порядок элементов в группе.
Получающиеся при этом комбинации называются сочетаниями из n элементов по
m . Общее число различных между собой сочетаний обозначается C nm :
C nm 

n!
.
(n  m)!m!
Пример 7. Найти все сочетания из пяти элементов abсde по три. Имеем:
C53 
5!
5!
3!4  5 20



 10 .
(5  3)!3! 2!3! 1  2  3! 2

Пример 8. Из восьми намеченных кандидатов нужно избрать трех счетчиков.
Сколькими способами можно это сделать? Так как обязанности каждого
счетчика одинаковы, то в отличие от примера 4 мы имеем не размещения, а
сочетания. Искомое число:
C83 
8!
8!
5!6  7  8 336



 56 .
(8  3)!3! 5!3! 1  2  3  5!
6
4. Перестановки с повторениями. Одним из наиболее важных типов
комбинаций являются перестановки с повторяющимися элементами, определяемые
следующим образом. Возьмем n элементов, среди которых имеется n1 одинаковых
между собой элементов первого типа, n 2 одинаковых между собой элементов
второго типа и т. д. Будем переставлять их всевозможными способами.
Получающиеся комбинации носят название перестановок с повторяющимися
элементами. Число различных между собой перестановок с повторяющимися
элементами равно:
Pn1 ,n2 ..., nk 

(n1  n2  ...  nk )!
.
n1!n2 !...  nk !
Пример 9. Найти число различных перестановок с повторяющимися
элементами из букв аааббсс. Переставляя первую букву на место второй, а
вторую на место первой, мы не получим новой комбинации. Точно так же,
меняя местами четвертую и пятую буквы и в целом ряде других случаев, мы
новых комбинаций не получаем. Но комбинации abaabcc, caabcb и ряд других –
новые. В этом примере n1  3 , n2  2 , n3  2 . Число различных между собой
перестановок:
P3, 2, 2 
(3  2  2)!
7!
3!4  5  6  7


 210
3!2!2!
3!2!2!
3!2  2
5. Сочетания с повторениями. Из n различных элементов будем составлять
группы по m элементов в каждой, среди которых могут оказаться одинаковые,
не обращая внимания на порядок элементов в группе. Получающиеся при
этом комбинации называются сочетаниями с повторениями из n элементов по
m . Общее число различных между собой сочетаний с повторениями
обозначается C nm :
C nm  C nm m1 
(n  m  1)!
m!(n  1)!
 Пример 10. В автомате продается 5 видов шоколада. Сколькими способами
можно купить 7 плиток? Число способов будет равно числу сочетаний (т.к.
среди купленных 7 плиток нет порядка в расположении) с повторениями (т.к.
невозможно купить 7 разных плиток, если имеется 5 видов):
C57  C577 1 
(5  7  1)! 11! 7!8  9  10  11


 330
7!(5  1)! 7!4!
7!1  2  3  4
6. Размещения с повторениями. Будем составлять из n различных элементов
группы по m элементов в каждой, среди которых могут оказаться одинаковые,
располагая взятые m элементов в различном порядке. Получающиеся при
этом комбинации называются размещениями с повторениями из n элементов
по m . Общее число размещений с повторениями из n элементов по m
обозначается Anm . Это число равно:
Anm  n m
 Пример 11. Имеется по одному билету в театр, цирк и музей. Сколькими
способами их можно распределить между четырьмя студентами, если
каждый может получить сколько угодно билетов? Число способов будет
равно числу размещений (т.к. среди билетов есть различия) с повторениями
(т.к. возможно, что два или три билета получит один студент):
A43  4 3  64
Бином Ньютона. Биномом Ньютона называют формулу, представляющую
выражение (a  b)n при целом положительном n в виде многочлена.
Упомянутая формула для целого положительного n имеет вид:
(a  b) n  a n  Cn1a n 1b  Cn2 a n  2b 2  ...  Cnn 1ab n 1  b n
 Пример 10.
(a  b)7  a 7  C71a 7 1b  C72 a 7  2b 2  C73a 7  3b3  C74 a 7  4b 4  C75a 7  5b5  C76 a 7  6b6  b7 
 a 7  7a 6b  21a 5b 2  35a 4b3  35a 3b 4  21a 2b5  7ab6  b7
Биномиальные коэффициенты можно получить, пользуясь только сложением,
следующим образом. В верхней строке пишутся две единицы. Все следующие
строки начинаются и кончаются единицей. Промежуточные же числа получаются
сложением соседних чисел вышестоящей строки. Приведенная здесь схема
называется треугольником Паскаля:
1
121
1331
14641
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
………………………
Свойства коэффициентов бинома Ньютона.
1. Коэффициенты членов, равноудаленных от концов разложения, одинаковы.
2. Сумма коэффициентов разложения (a  b)n равна 2 n .
3. Сумма коэффициентов членов, стоящих на нечетных местах, равна сумме
коэффициентов членов, стоящих на четных местах.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Задания для самостоятельного решения.
Проверить равенство C109  A152  210 .
Решить уравнение 2C xx 3  x  1 .
Сколькими способами можно составить бригаду, состоящую из 5 врачей 3
мед. сестер, если всего 10 врачей и 7 медсестер?
Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно
выполнять переводы с любого из пяти языков: русского, английского,
французского, немецкого, итальянского на любой другой из этих пяти языков?
Сколькими способами 10 человек могут встать в очередь друг за другом?
Сколькими способами можно расставить на книжной полке библиотеки 5 книг
по теории вероятностей, 3 книги по теории игр и 2 книги по математической
логике, если книги по каждому предмету одинаковые?
В цветочном магазине продаются цветы шести сортов. Сколько можно
составить различных букетов из десяти цветов в каждом? (Букеты,
отличающиеся лишь расположением цветов, считаются одинаковыми.)
Алфавит некоторого языка содержит 30 букв. Сколько существует
шестибуквенных слов (цепочка букв от пробела до пробела), составленных из
букв этого алфавита, если буквы в словах могут повторяться?
9. Найти разложение
10.Найти разложение
b 2 11
) .
2
( a  6a)10 .
(a 