Открыть - Волгоградский филиал РАНХиГС

Теория вероятностей и математическая статистика
Доктор физ.-мат. наук профессор
Михаил Павлович Харламов
«Страница» с методическими материалами
http://inter.vags.ru/hmp
Волгоградский филиал РАНХиГС (ФГОУ ВПО ВАГС)
Учебный год
2011 – 2012 уч. год
Направление
Социология (бакалавриат) БкС-100
Лекция 1
Тема
Комбинаторика. Перестановки, размещения, сочетания.
Содержание темы
Предмет комбинаторики.
Факториал и его свойства.
Определения и формулы для подсчета вариантов перестановок,
размещений с повторениями и без повторений, сочетаний.
Использование функций Excel для расчетов комбинаций.
Основные категории
I
I
I
I
I
I
предмет комбинаторики как науки,
факториал,
перестановка,
размещение с повторениями,
размещение без повторений,
сочетание.
Комбинаторика
Комбинаторика — это раздел математики, изучающий методы
подсчета вариантов перестановок, комбинаций объектов
различного рода, выбора объектов из заданного множества.
Основные понятия – перестановки, размещения, сочетания.
Далее будем считать заданным некоторое множество из n
объектов (цифр, букв, людей, предметов и т.п.).
Факториал
Для любого неотрицательного целого числа n определена
функция, называемая «факториал числа». Она обозначается
через
n!
(читается как «эн факториал») и равна произведению всех целых
положительных чисел от 1 до n. В случае n = 0 считается по
определению, что
0! = 1.
Как ведет себя факториал?
Приближенная формула Муавра – Стирлинга
n n
√
.
n! ≈ 2πn
e
Для вычисления n! в Excel существует функция ФАКТР(n).
Задание
Составить в Excel таблицу вида
n n! Формула МС Погрешность
Заполнить ее для n = 1, . . . , 20. Построить сравнительные
графики точного и приближенного значения для n = 1, . . . , 6.
Перестановки
Перестановкой называется расположение заданного
количества различных предметов в определенном порядке.
Пусть даны n различных предметов.
Количество всевозможных их перестановок обозначается через
Pn и вычисляется по формуле перестановок:
Pn = n! = n×(n − 1)×(n − 2)× . . . ×2×1.
Примеры
I
Первые числа перестановок
P1 = 1,
I
P2 = 2,
P3 = 6,
P4 = 24,
P5 = 120.
Множество всех перестановок трех предметов A, B, C:
{ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}.
Размещение с повторениями
Размещением с повторениями n предметов по k местам
(коротко «размещение из n по k с повторениями») называется
слово, составленное из k букв алфавита, содержащего n букв.
Иначе говоря, имеется n типов предметов и имеется k мест, на каждое из
которых может быть поставлен предмет любого типа. Любой тип предмета
может встретиться в полученной последовательности любое число раз,
но порядок предметов в последовательности важен, то есть расстановки
выбранных предметов в разном порядке считаются разными (как слова из
одних тех же букв, но переставленных).
Количество всевозможных размещений с повторениями из n по
k
k иногда обозначается через An и вычисляется по очевидной
формуле:
k
An = nk .
Примеры использования размещений с повторениями
I
Сколько существует четырехсимвольных кодов (шифров
сейфа) с использованием только цифр?
Решение: n = 10, k = 4, поэтому различных кодов будет
104 = 10000.
I
Сколько различных символов можно записать кодом
размером в один байт?
Решение: n = 2, k = 8, поэтому различных символов
с кодом размером в один байт будет 28 = 256. Это и
есть так называемая кодовая страница (таблица символов
размером 16 × 16).
Размещение (без повторений)
Размещением n предметов по k местам (коротко «размещение
из n по k») называется слово, составленное из k различных букв
алфавита, содержащего n букв.
Иначе говоря, имеется n различных предметов и имеется k мест, на
каждое из которых может быть поставлен любой предмет, но использоваться
каждый предмет может только один раз. Кроме того, порядок предметов в
последовательности важен.
Количество всевозможных размещений из n по k обозначается
через Akn и вычисляется по формуле размещений:
Akn = n × (n − 1) × . . . × (n − k + 1) =
n!
.
(n − k)!
В Excel для размещений существует функция
ПЕРЕСТ(n;k).
Пример
I
Сколько существует вариантов кода из четырех различных
цифр?
Решение: n = 10, k = 4, поэтому различных кодов будет
A410 = 10 × 9 × 8 × 7 = 5040.
Сочетание
Сочетанием из n по k называется вариант выбора k
предметов из n без учета порядка выбора.
Количество всевозможных сочетаний из n по k обозначается
через Cnk и вычисляется по формуле сочетаний:
Cnk =
n × (n − 1) × . . . × (n − k + 1)
n!
=
.
k × (k − 1) × . . . × 1
k!(n − k)!
В Excel для сочетаний существует функция
ЧИСЛКОМБ(n;k).
Пример и задание
I
Сколько существует вариантов составить делегацию в
количестве четырех человек из 10 кандидатов?
Решение: n = 10, k = 4, поэтому различных делегаций
4 = 10×9×8×7 = 210.
будет C10
4×3×2×1
I
Найти количество вариантов заполнить карточку лотереи
«6 из 49».
Итоговая таблица
Название
Формула
Функция Excel
Перестановки
Pn = n!
ФАКТР(n)
Размещения
с повторениями
An = nk
Размещения
Сочетания
k
n!
(n − k)!
n!
Cnk =
k!(n − k)!
Akn =
n∧k
ПЕРЕСТ(n;k)
ЧИСЛКОМБ(n;k)
Задачи
Имеется группа студентов, в которой 10 человек изучают
английский язык и 12 человек — французский.
(А) Сколькими способами можно составить группу из
пяти человек, изучающих один и тот же язык? («ИЛИ» —
варианты складывать!)
(Б) Сколькими способами можно составить группу из
пяти человек, в которой три изучают английский и два —
французский? («И» — варианты перемножать!)
В этих примерах неважен порядок фамилий — использовать
сочетания!
Правило сложения вариантов
Сложение
Если осуществляется выбор по двум несовместимым
правилам, соединенным союзом «или», то количества
возможных вариантов складываются.
В задаче (А) составить группу из пяти человек, все из
которых изучают один и тот же язык, означает «все изучают
французский» или «все изучают английский». И то, и другое
одновременно произойти не может. Поэтому ответ такой:
5
5
+ C12
.
C10
Правило умножения вариантов
Умножение
Если осуществляется одновременный выбор из двух разных
множеств, то есть по двум независимым правилам,
соединенным союзом «и», то количества возможных
вариантов перемножаются.
В задаче (Б) составить группу из пяти человек, в которой три
изучают английский и два изучают французский, означает, что
три человека выбираются из английской подгруппы, а два –
из французский. Подгруппы – это разные множества, а два
выбора осуществляются одновременно. Поэтому ответ такой:
3
2
C10
× C12
.
Контрольные вопросы
1. Факториал числа.
2. Определение и формула перестановок.
3. Определение и формула размещений с повторениями.
4. Определение и формула размещений.
5. Определение и формула сочетаний.
6. Функции в Excel для вычисления факториала, количества
размещений и сочетаний.
7. Правило сложения вариантов. Пример.
8. Правило умножения вариантов. Пример.