Методы прикладной оптимизации

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Московский физико-технический институт (государственный университет)»
МФТИ (ГУ)
«Утверждаю»
Проректор по учебной работе
_____________ О.А. Горшков
«___»______________ 20___ г.
РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
По дисциплине: Методы прикладной оптимизации (факультатив)
По направлению: 010900 «Прикладные математика и физика»
Профиль подготовки: компьютерные технологии и интеллектуальный анализ
данных
Факультет управления и прикладной математики
Кафедра предсказательного моделирования и оптимизации
Курс: 4 (бакалавриат)
Семестры: осенний, весенний
Дифференцированный зачёт: 8 семестр
Экзамен: нет
Трудоёмкость: вариативная часть – 3 зач.ед.,
в том числе:
лекции: вариативная часть – 66 час.
практические (семинарские) занятия: нет
лабораторные занятия: вариативная часть – 33 час.
мастер-классы, индивид. и групповые консультации: нет
самостоятельная работа: нет
курсовые работы: нет
подготовка к экзамену: нет
ВСЕГО АУДИТОРНЫХ ЧАСОВ 99
Программу составили к.ф.-м.н., доцент М.А. Посыпкин, ассистент А.О. Рубцов
Программа обсуждена на заседании кафедры 29 апреля 2013 года
Заведующий кафедрой
академик РАН
А.П. Кулешов
Программа обсуждена и одобрена на методической комиссии факультета
"___" _____________ 2013 г.
Председатель методической комиссии ФУПМ
член-корреспондент РАН
Ю.А. Флёров
Объем учетной нагрузки и виды отчетности
Вариативная часть, в том числе:
3 зач.ед.
Лекции
66 часов
Практические занятия
нет
Лабораторные работы
33 часа
Индивидуальные занятия с преподавателем нет
Самостоятельные занятия
нет
Промежуточная аттестация
нет
Итоговая аттестация
дифференцированный зачет в 8-м
семестре
нет
3 зач.ед. (99 часов)
Подготовка к экзамену
ВСЕГО
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ
-
Цель дисциплины – дать представление о методах прикладной оптимизации.
Задачи:
ввести базовые понятия задач оптимизации;
рассмотреть постановку задачи оптимизации;
дать постановку и изучить основные методы линейного программирования;
рассмотреть задачи нелинейного программирования, постановку, основные
методы решения;
рассмотреть детерминированные методы глобальной непрерывной оптимизации;
дать представления об эвристических методах оптимизации;
рассмотреть основные методы оптимизации черного ящика;
дать постановку, изучить базовые понятия и основные методы решения задач многокритериальной оптимизации.
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП БАКАЛАВРИАТА
Дисциплина «Методы прикладной оптимизации» включает в себя разделы, которые могут быть отнесены к вариативной части цикла Б.3 УЦ ООП.
2
Дисциплина «Методы прикладной оптимизации» базируется на цикле Б.2 в
базовой и вариативной частях.
КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ, ФОРМИРУЕМЫЕ В РЕЗУЛЬТАТЕ
ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Освоение дисциплины «Методы прикладной оптимизации» способствует
формированию следующих общекультурных и общепрофессиональных интегральных компетенций бакалавра:
а) общекультурные (ОК):
- способность анализировать научные проблемы и физические процессы, использовать на практике фундаментальные знания, полученные в области естественных наук (ОК-1);
- способность осваивать новую проблематику, терминологию, методологию и
овладевать научными знаниями и навыками самостоятельного обучения (ОК-2);
- способность логически точно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь, формулировать свою точку зрения; владение навыками ведения
научной и общекультурной дискуссий (ОК-4).
б) профессиональные (ПК):
- способность применять в своей профессиональной деятельности знания, полученные в области физических и математических дисциплин, включая дисциплины: информатика, программирование и численные методы; физические основы получения, хранения, обработки и передачи информации; высшая математика (ПК-1);
- способность понимать сущность задач, поставленных в ходе профессиональной
деятельности, и использовать соответствующий физико-математический аппарат для их описания и решения (ПК-3);
- способность использовать знания в области физических и математических дисциплин для дальнейшего освоения дисциплин в соответствии с профилем подготовки (ПК-4);
- способность применять теорию и методы математики для построения качественных и количественных моделей (ПК-8);
- способность работать в коллективе исполнителей над решением конкретных
исследовательских и инновационных задач (ПК-9).
3. КОНКРЕТНЫЕ ЗНАНИЯ, УМЕНИЯ И НАВЫКИ, ФОРМИРУЕМЫЕ В
РЕЗУЛЬТАТЕ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Освоение дисциплины «Методы прикладной оптимизации» способствует
формированию комплекса знаний и навыков, благодаря которому обучающийся
должен:
а) знать:
- постановку общей задачи математического программирования, основные
классы задач оптимизации;
3
- классификация задач и методов оптимизации, локальная и глобальная оптимизация;
- теоретические аспекты и геометрическая интерпретация задач линейного
программирования;
- симплекс-метод: прямой и двойственный;
- методы внутренней точки для задачи линейного программирования;
- методы одномерной оптимизации: метод дихотомии, метод Фибоначи, метод квадратичной интерполяции;
- методы штрафов решения задач нелинейного программирования;
- методы последовательного квадратичного программирования;
- барьерные методы решения задач нелинейного программирования;
- методы внутренней точки для задач нелинейного программирования;
- различные варианты симплекс-метода для решения задачи линейного программирования;
- понятие функции чувствительности;
- постановку задачи и методы робастной оптимизации;
- общую схему метода ветвей и границ, понятие верхних и нижних оценок;
- метод неравномерных покрытий;
- основные понятия интервального анализа, основные интервальные методы
решения задач оптимизации;
- методы ветвей и отсечения для задач DC-программирования;
- задача об одномерном булевом ранце, приближенные и точные методы решения задачи о ранце;
- задача линейного целочисленного программирования, метод ветвей и границ
и метод Гомори для решения задач ЦЛП;
- основные понятия популяционных и генетических алгоритмов;
- метод «отжига» для непрерывных задач безусловной оптимизации;
- постановка задачи оптимизации черного ящика, основные сложности при
решении таких задач;
- детерминированные и стохастические методы локальной оптимизации задач
оптимизации «черного ящика»;
б) уметь:
- определять класс оптимизационной задачи по ее постановке, определять метод ее решения;
- применять различные варианты симплекс-метода и итеративные методы для
решения общей задачи линейного программирования;
- применять метод ветвей и границ для решения задач булева и целочисленного линейного программирования;
- использовать метод Гомори для решения целочисленной задачи линейного
программирования;
- применять основные методы решения задач безусловной оптимизации;
- решать задачи математического программирования различными методами;
- решать задачи многокритериальной оптимизации;
- применять различные методы оптимизации для задач типа «черного ящика».
в) владеть:
4
- навыком освоения большого объема информации;
- навыками постановки научно-исследовательских задач и навыками самостоятельной работы.
4. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Лекции
Число
аудиторных
часов
Число часов самостоятельной
работы
1
нет
1
нет
1
нет
1
нет
1
нет
1
нет
1
нет
2
нет
2
нет
2
нет
1
нет
4. Нелинейное программирование.
Методы одномерной оптимизации. Метод
12 дихотомии. Метод Фибоначи. Метод квадратичной интерполяции.
13 Методы штрафов.
2
нет
1
нет
1
нет
15
Методы последовательного квадратичного
программирования.
Барьерные методы.
1
нет
16
Методы внутренней точки.
1
нет
№
п.п.
Тема
1. Базовые понятия.
1 Введение в предмет. Область применения
методов оптимизации.
2 Классификация задач и методов оптимизации, локальная и глобальная оптимизация.
3 Основные математические понятия (норма,
компактность, выпуклость и т.п.).
2. Постановка задачи оптимизации.
4 Общая постановка.
5
6
7
Понятие точности решения. Относительная
и абсолютная погрешность.
Погрешность вычислений и ее влияние на
точность нахождения оптимума.
Правильная постановка задачи.
3. Линейное программирование.
8 Теоретические аспекты. Геометрическая интерпретация.
9 Симплекс-метод: прямой и двойственный.
10
11
14
Проблемы дегенерации и зацикливания, варианты решения.
Методы внутренней точки.
5
17
Функция чувствительности.
1
нет
18
Робастная оптимизация.
1
нет
5. Детерминированные методы глобальной непрерывной оптимизации.
19 Методы ветвей и границ. Верхние и нижние
2
нет
оценки. Миноранты.
20 Метод неравномерных покрытий.
2
нет
Основы интервального анализа. Использо21 вание интервального анализа для получения
2
нет
нижних оценок.
22 Интервальный метод Ньютона для решения
2
нет
задач безусловной оптимизации.
23 DC-программирование. Методы ветвей и от2
нет
сечений.
6. Дискретная оптимизация.
Задача об одномерном булевом ранце. При24 ближенные алгоритмы решения задачи о
2
нет
ранце.
25 Методы динамического программирования
2
нет
для задачи о ранце.
26 Методы ветвей и границ для задачи о ранце.
2
нет
27 Линейное целочисленное программирова2
нет
ние. Метод Гомори.
Метод ветвей и границ для задачи линейно28 го целочисленного программирования. Ком2
нет
бинированные алгоритмы – методы ветвей и
отсечений.
7. Эвристические методы глобальной оптимизации.
29 Методы, основанные на использовании
2
нет
свойства Липшицевости целевой функции.
30 «Генетические» алгоритмы.
2
нет
Другие популяционные алгоритмы (алго31 ритмы муравьиной колонии, роя частиц и
2
нет
т.п.).
32 Метод отжига.
2
нет
8. Оптимизация «черных ящиков».
Постановка задачи «черного ящи33 ка».Детерминированные методы локальной
оптимизации (Методы нулевого порядка).
Метод Розенброка. Метод Пауэлла.
34 Стохастические методы локальной оптимизации. Метод случайного поиска. Метод Со-
2
нет
2
нет
6
лиса-Ветса. Метод basin-hopping.
Стратегии глобализации в задачах «черного
35 ящика». Ограничения и специфика применения методов глобального поиска в задачах черного ящика.
9. Многокритериальная оптимизация.
36 Теория отношений порядка.
37
38
39
Понятие оптимальности по Парето и Слейтеру. Оболочка Эджворта-Парето.
Методы многокритериальной оптимизации
(методы без участия ЛПР, методы выявления предпочтений, интерактивные методы,
целевые методы, методы на основе аппроксимации (построения) границы Парето).
Методы аппроксимации (построения ) границы Парето (оболочки Эждворта-Парето):
1. Понятие приближенного решения. Множество эпсилон-Парето.
2. Детерминированный метод неравномерных покрытий для построение множества
эпсилон-Парето.
3. Методы свертки критериев.
4. Генетические методы аппроксимации
ОЭП.
ВСЕГО
2
нет
2
нет
2
нет
2
нет
4
нет
66 часов
нет
ИТОГО
66 часов
Лабораторные работы
№
Темы
п.п.
Трудоёмкость в зач.
ед.
(количество часов)
6
5
Задача линейного программирования. Прямой и
двойственный симплекс-методы.
Методы одномерной оптимизации.
Общая задача нелинейного программирования. Методы решения штрафов.
Детерминированные методы глобальной оптимизации, методы покрытий.
Методы дискретной оптимизации
6
Эвристические методы глобальной оптимизации
4
7
Методы оптимизации черных ящиков
4
1
2
3
4
2
6
3
4
7
8
Методы многокритериальной оптимизации
ВСЕГО (часов (зач. ед.))
4
33 часа
5. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
№
п/п
1
2
Вид занятия
Форма проведения занятий
Цель
Лекция
Изложение теоретического материала.
Лабораторные
работы
Решение задач дискретной, непрерывной и многокритериальной оптимизации на персональных компьютерах с использованием численных методов, изложенных в теоретической части курса.
Получение теоретических знаний по дисциплине, подготовка к
зачету.
Приобретение практических навыков применения методов оптимизации для решения различных задач.
6.
ОЦЕНОЧНЫЕ
СРЕДСТВА
ДЛЯ
ТЕКУЩЕГО
КОНТРОЛЯ
УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ
ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ И УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
Перечень контрольных вопросов для сдачи дифференцированного зачета в 8ом семестре бакалавриата
№
Тема
п.п.
Область применения методов оптимизации. Классификация задач и мето1
дов оптимизации, локальная и глобальная оптимизация. Основные математические понятия (норма, компактность, выпуклость и т.п.).
Общая постановка задачи оптимизации. Понятие точности решения. Относительная и абсолютная погрешность. Погрешность вычислений и ее
2
влияние на точность нахождения оптимума. Правильная постановка задачи.
Теоретические аспекты линейного программирования. Геометрическая
3
интерпретация.
Симплекс-метод: прямой и двойственный. Проблемы дегенерации и за4
цикливания, варианты решения. Методы внутренней точки.
Методы одномерной оптимизации. Метод дихотомии. Метод Фибоначи.
5
Метод квадратичной интерполяции.
Методы штрафов. Методы последовательного квадратичного программи6
рования.
8
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
Барьерные методы. Методы внутренней точки. Функция чувствительности. Робастная оптимизация.
Методы ветвей и границ. Верхние и нижние оценки. Миноранты.
Метод неравномерных покрытий.
Основы интервального анализа. Использование интервального анализа для
получения нижних оценок.
Интервальный метод Ньютона для решения задач безусловной оптимизации.
DC-программирование. Методы ветвей и отсечений.
Задача об одномерном булевом ранце. Приближенные алгоритмы решения
задачи о ранце.
Методы динамического программирования для задачи о ранце. Методы
ветвей и границ для задачи о ранце.
Линейное целочисленное программирование. Метод Гомори.
Метод ветвей и границ для задачи линейного целочисленного программирования. Комбинированные алгоритмы – методы ветвей и отсечений.
Методы, основанные на использовании свойства Липшицевости целевой
функции.
«Генетические» алгоритмы.
Популяционные алгоритмы (алгоритмы муравьиной колонии, роя частиц и
т.п.).
Метод отжига.
Постановка задачи «черного ящика».Детерминированные методы локальной оптимизации (Методы нулевого порядка). Метод Розенброка. Метод
Пауэлла.
Стохастические методы локальной оптимизации. Метод случайного поиска. Метод Солиса-Ветса. Метод basin-hopping.
Стратегии глобализации в задачах «черного ящика». Ограничения и специфика применения методов глобального поиска в задачах черного ящика.
Теория отношений порядка.
Понятие оптимальности по Парето и Слейтеру. Оболочка ЭджвортаПарето.
Методы многокритериальной оптимизации (методы без участия ЛПР, методы выявления предпочтений, интерактивные методы, целевые методы,
методы на основе аппроксимации (построения) границы Парето).
Методы аппроксимации (построения ) границы Парето (оболочки
Эждворта-Парето).
9
7. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Необходимое оборудование для лекций и практических занятий: доска, ноутбук и мультимедийное оборудование (проектор или плазменная панель).
8. НАИМЕНОВАНИЕ ВОЗМОЖНЫХ ТЕМ КУРСОВЫХ РАБОТ - учебным
планом не предусмотрено
9. ТЕМАТИКА И ФОРМЫ ИНДИВИДУАЛЬНОЙ РАБОТЫ - учебным планом
не предусмотрено
10. ТЕМАТИКА ИТОГОВЫХ РАБОТ - учебным планом не предусмотрено
11. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ
Основная литература
1. Jorge Nocedal, Stephen J. Wright. Numerical Optimization // Springer, 2006. –
664 р.
2. George B. Dantzig, Mukund N. Thapa. Linear programming. 1: Introduction //
Springer-Verlag, 1997.
3. George B. Dantzig, Mukund N. Thapa. Linear Programming. 2: Theory and Extensions // Springer-Verlag, 2003. - 474 р.
4. Лотов В.А., Поспелова И.И. Многокритериальные задачи принятия решений:
учебное пособие. М.: МАКС Пресс, 2008. – 197 с.
5. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 256 с.
6. Сигал И.Х., Иванова А.П. Введение в прикладное дискретное программирование. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 240 с.
7. Корбут А.А., Финкельштейн Ю.Ю. Дискретное программирование. М.:
Наука, 1969. – 370 с.
8. Хансен Э., Уолстер Дж. У. Глобальная оптимизация с помощью методов интервального анализа. Изд-во УдГУ, 2012. – 516 с.
9. Евтушенко Ю.Г. Численный метод поиска глобального экстремума функций
(перебор на неравномерной сетке) // Журнал вычислительной математики и
математической физики, 1971. Т. 11. № 6. С.1394-1403.
10