Математический способ решения задач С3

Математичский способ решения задач С3
(Лучникова Ольга Васильевна, г. Новокузнецк, МБОУ «Лицей № 35»)
ДАНО:
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по
очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить
количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 10 камней, за один ход можно получить кучу из 11
или 20 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается
в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 22. Победителем считается игрок, сделавший
последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 22 или больше камней.
В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ х ≤ 21.
1. При каких х: 1а) Петя выигрывает первым ходом; 1б) Ваня выигрывает первым ходом?
2. Назовите три значения х, при которых Петя может выиграть своим вторым ходом?
3. При каком х Ваня выигрывает своим первым или вторым ходом?
РЕШЕНИЕ:
1а) Петя выигрывает первым ходом:
х
П1
≥22
Петя должен правильно выбрать один из двух возможных вариантов действий (+1 ИЛИ *2), которое переведет
кучу камней к состоянию ≥22. Таким образом, получаем совокупность неравенств:
[
𝑥 + 1 ≥ 22
𝑥 ≥ 21
⇒[
⇒ 𝒙 ⋲ [𝟏𝟏. . 𝟐𝟏]
𝑥 ∗ 2 ≥ 22
𝑥 ∗ 2 ≥ 11
1б) Ваня выигрывает первым ходом
х
П1
[𝟏𝟏. . 𝟐𝟏]
В1
≥22
Любое действие Пети (И +1 И *2) должно привести кучу камней к состоянию 𝒙 ⋲ [𝟏𝟏. . 𝟐𝟏]. Только это может
обеспечить выигрыш Вани на следующем ходу. Таким образом получаем систему:
𝑥 + 1 ⋲ [11. .21]
𝑥 ⋲ [10. .20]
⇒{
⇒ 𝒙 ⋲ [𝟏𝟎]
{
𝑥 ∗ 2 ⋲ [11. .21]
𝑥 ⋲ [6. .10]
2. Назовите три значения х, при которых Петя может выиграть своим вторым ходом?
х
П1
[𝟏𝟎]
В1
[𝟏𝟏. . 𝟐𝟏]
П2
≥22
Петя должен выиграть, а это значит, он должен правильно выбрать один из двух возможных вариантов действий
(+1 ИЛИ *2), которое переведет кучу камней к состоянию 𝒙 ⋲ [𝟏𝟎]. Только это может обеспечить ему выигрыш
при любом действии его противника Вани. Таким образом, получаем совокупность:
𝑥 + 1 ⋲ [10]
𝑥 ⋲ [9]
⇒[
⇒ 𝒙 ⋲ [𝟓, 𝟗]
[
𝑥 ∗ 2 ⋲ [10]
𝑥 ⋲ [5]
3. При каком х Ваня выигрывает своим первым или вторым ходом?
1часть ) Сначала найдем, при каком х Ваня выигрывает своим вторым ходом.
х
{
[𝟓, 𝟗 ]
П1
[𝟏𝟎]
В1
[𝟏𝟏. . 𝟐𝟏]
П2
≥22
В2
𝑥 + 1 ⋲ [5, 9]
𝑥 ⋲ [4, 8]
⇒{
⇒𝒙 ⋲ ∅
𝑥 ∗ 2 ⋲ [5, 9]
𝑥⋲∅
Таким образом, получаем, что нет такого количества камней х, которые гарантировали бы выигрыш Вани
после его второго хода при любых действиях Пети.
2 часть ) Найдем, при каких значениях х Петя не сможет победить ни после первого, ни после второго хода.
Т.е. любое действие Пети приведет кучу камней к такому состоянию, при котором Ваня сможет выиграть
после 1 или после второго хода:
х
[𝟓, 𝟗]
П1
х
В1
[𝟏𝟏. . 𝟐𝟏]
П1
В1
[𝟏𝟎]
П2
[𝟏𝟏. . 𝟐𝟏]
В2
≥22
≥22
𝑥 + 1 ⋲ [5, 9]
𝑥 ⋲ [4, 8]
[
[
𝑥 ∗ 2 ⋲ [5, 9]
𝑥 ⋲ [4, 8]
𝑥⋲∅
{
⇒{
⇒{
⇒ 𝒙 ⋲ [𝟖]
𝑥 ⋲ [10. .20]
𝑥 + 1 ⋲ [11. .21]
𝑥 ⋲ [6. .20]
[
[
𝑥 ⋲ [6. .10]
𝑥 ∗ 2 ⋲ [11. .21]
Построим дерево игры для х = 8
П:+1 8
В:+1
П:+1
11
В:*2
10
9
16
В:*2
32
П:*2
20
П:*2
В:*2
22
40
2
2 первой и второй частей – и есть все множество решений третьего вопроса. Т.е.
Совокупность
решений
х = 8.