ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 19 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 19
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА
С ПОМОЩЬЮ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Приборы и принадлежности: установка для измерения параметров колебаний физического маятника, весы, линейка.
Цель работы: изучение затухающих колебаний физического маятника, определение коэффициента
сопротивления воздуха для стержня с помощью колебаний, определение ускорения свободного падения.
Краткая теория
Сила сопротивления воздуха мала, поэтому для ее определения предлагается использовать колебательный процесс, когда малая сила за большой промежуток времени вызывает заметные изменения.
В данной работе исследуются затухающие в воздухе колебания физического маятника в виде стержня,
подвешенного за один конец и с помощью измерения времени затухания колебаний определяется коэффициент сопротивления воздуха при движении стержня.
Записав основное уравнение динамики вращательного движения для произвольного элемента длины
dl стержня и проинтегрировав уравнение по всей длине маятника, можно получить дифференциальное
уравнение свободных затухающих колебаний физического маятника:
(t )  2 (t )  02 (t )  0 ,
(19.1)
где  (t ) − угол отклонения физического маятника от положения равновесия в зависимости от времени;
d (t )
d 2 (t )


− первая производная по времени от угла отклонения маятника;  (t ) 
− вторая проdt
dt 2
изводная по времени от угла отклонения маятника;  =const0 − коэффициент затухания; 0 – собственная частота колебательной системы − циклическая частота свободных незатухающих колебаний
той же системы, т.е. в отсутствие потерь энергии (при  =0). В данном случае из вывода уравнения (19.1)
получается коэффициент затухания
 (t ) 


,
2
где  − коэффициент сопротивления воздуха на единицу длины стержня;  
(19.2)
m
− линейная плотность
l
стержня (масса единицы длины стержня); l − длина стержня.
При движении какого-либо тела с малой скоростью в вязкой среде на него действует сила сопротивления среды, пропорциональная скорости : Fc  r , где r – коэффициент сопротивления. В данной
работе находится коэффициент сопротивления r воздуха при поступательном движении в нем стержня со
скоростью перпендикулярной оси стержня. В формулу (19.2) входит коэффициент  сопротивления воздуха на единицу длины стержня, т.е. сила, действующая на единицу длины стержня при единичной скорости движения ( Fс  l ) при поступательном движении стержня со скоростью перпендикулярной оси
r
стержня:   . Коэффициент затухания (19.2) можно записать через коэффициент сопротивления r в виl
де
r

,
(19.3)
2m
где m – масса стержня. Соотношение (19.3) выполняется и для затухающих колебаний пружинного маятника.
Из вывода уравнения (19.1) получается выражение для собственной частоты колебательной системы
3g
 02 
,
(19.4)
2l
где g − ускорение свободного падения; l − длина стержня.
Общее решение дифференциального уравнения (19.1) имеет вид
 (t )  e t (c1 cos t  c2 sin t ) ,
где c1 , c2 − произвольные постоянные;   02   2 . Применяя формулу косинуса суммы общее решение
дифференциального уравнения (19.1) можно записать в следующем виде:
 (t )  A0 e t cos(t   ) ,
(19.5)
где A0 и  − произвольные постоянные.
1
На рис. 19.1 дан график функции (19.5). В соответствии с видом этой функции движение системы
можно рассматривать как гармоническое колебание частоты  с амплитудой, изменяющейся по закону
A(t )  A0 e t .
(19.6)
  A0 e t cos(t   )

A  A0 e t
A0
0
A1
A2
A3
A4
O
A5
t
A   A0 e t
T
Рис. 19.1
Таким образом, циклическая частота затухающих колебаний находится по формуле
  02   2 .
Она меньше собственной частоты колебательной системы 0. Поэтому период затухающих колебаний
2
2
T
больше периода колебаний T 
той же колебательной системы, в которой отсутствуют поте
0
ри энергии. С ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается.
A(t )
1
 e t  . ЛогаПри уменьшении амплитуды колебаний маятника в n раз из (19.6) будем иметь:
A0
n
рифмируя это выражение, получим коэффициент затухания
ln n

,
(19.7)
t
а учитывая (19.3) получим коэффициент сопротивления воздуха
2m
r  2 m 
ln n,
(19.8)
t
где m – масса стержня; t – время уменьшения амплитуды колебаний в n раз.
Произведенные в лабораторной работе измерения позволяют также найти ускорение свободного падения из (19.4):
2
g   02 l ,
(19.9)
3
где квадрат собственной частоты колебательной системы находится по формуле
02   2   2 ,
(19.10)
2
в которой, в свою очередь, циклическая частота затухающих колебаний  
, где T – период затухаюT
щих колебаний, определяемый экспериментально, а коэффициент затухания  находится по формуле
(19.7).
Описание установки
Установка (рис. 19.2) состоит из основания 1, на котором закреплена колонна 2. На ней неподвижно
крепятся нижний 3, средний 4 и верхний 5 кронштейны. На верхнем кронштейне 5 закреплен крюк, на
который подвешивается стержень 6 (физический маятник). На среднем кронштейне 4 закреплена шкала 7,
позволяющая определять угол отклонения маятника от вертикали. На нижнем кронштейне 3 закреплен
2
фотоэлектрический датчик 8. Маятник 6 при колебаниях пересекает световой луч фотоэлектрического
датчика 8, в результате чего запускаются счетчик колебаний и секундомер.
На лицевой стенке блока управления 9 располагаются:
секундомер 10 – световое табло, на котором высвечивается время колебаний;
счетчик колебаний 11 – световое табло, на котором высвечивается число полных колебаний;
клавиша ''Сеть'' 12 – при нажатии на клавишу на блок управления подается питание, и высвечиваются
табло секундомера, табло счетчика колебаний и загорается лампочка фотоэлектрического датчика;
клавиша ''Сброс'' 13 – при нажатии на клавишу обнуляются секундомер и счетчик колебаний;
клавиша ''Пуск'' 14 – в данной работе не используется;
клавиша ''Стоп'' 15 – при нажатии на клавишу секундомер и счетчик колебаний останавливаются.
5
6
2
4
8
7
9
11
3
12
13
14
15
10
1
Рис. 19.2
Порядок выполнения работы
1. Измерьте длину l и массу m стержня 6.
2. Установите маятник (стержень 6) на установку. Поворачивая верхний кронштейн 5, добейтесь
совмещения стержня 6 с нулем шкалы 7.
3. Подключите установку к сети. Нажмите клавишу «Сеть».
4. Отклоните маятник на угол 150  200 (примерно до конца шкалы 7), отпустите маятник.
5. Измерьте время t уменьшения амплитуды в n=2 раза, а также число полных колебаний N за это
время. Для этого нажмите клавишу «Сброс» в момент, когда амплитуда затухающих колебаний
уменьшится, например, до 4 см на шкале 7, а когда она уменьшится в n=2 раза от этого значения
(т.е. до 2 см на шкале 7) нажмите клавишу «Стоп». Секундомер и счетчик колебаний остановятся.
Секундомер покажет время t уменьшения амплитуды колебаний в n=2 раза, счетчик колебаний
покажет полное число N колебаний, совершенное за это время. Результаты измерений занесите в
табл. 19.1.
Таблица 19.1
№ замера
1
2
3
Среднее
n
N
t,
с
T
с
g,
t
ln n
2
, r  2m ,  
,  
, м/с2
N
t
T
с−1
2
3
4
3
кг/с
с−1
6. Повторите пп. 4-5 для n=3 раза (например, от 9 см до 3 см на шкале), а затем для n=4 раза (например, от 8 см до 2 см на шкале). Для получения точных результатов колебания должны быть малыми, т.е. амплитуда колебаний должна быть небольшой. Смотреть на выбранное деление шкалы 7
нужно перпендикулярно шкале 7.
t
7. Найдите значение периода T 
затухающих колебаний для каждого измерения. Результаты расN
четов занесите в табл. 19.1.
8. По формуле (19.7) найдите значение коэффициента затухания  для каждого измерения. При отсутствии инженерного калькулятора величину ln n можно взять из табл. 19.2. Подойдите к преподавателю на проверку.
9. Найдите среднее значение  . По формуле (19.8) найдите среднее значение коэффициента сопротивления воздуха r . Результаты расчетов занесите в табл. 19.1.
Таблица 19.2
n
ln n
1
0
2
0,69
3
1,10
4
1,39
5
1,61
10. Найдите среднее значение периода T . Используя полученное значение T , определите среднее
2
значение круговой частоты затухающих колебаний  
. Результаты расчетов занесите в
T
табл. 19.1.
11. Используя средние значения  и  по формулам (19.9), (19.10) найдите среднее значение ускорения свободного падения g .
Контрольные вопросы
Запишите дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний физического маятника.
Что такое коэффициент затухания?
Что такое собственная частота колебательной системы?
Чему равна сила сопротивления при движении тела в вязкой среде с малой скоростью?
Что такое коэффициент сопротивления?
Запишите общее решение дифференциального уравнения свободных затухающих колебаний физического
маятника и нарисуйте график этой функции.
7. Как изменяется со временем амплитуда затухающих колебаний?
8. Как связана циклическая частота затухающих колебаний с периодом затухающих колебаний?
9. Как зависит период затухающих колебаний от коэффициента сопротивления воздуха?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Трофимова Т. И. Курс физики. М.: Высш. школа, 2007, § 146, с. 264-268.
2. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. М.: Высш. школа, 2000, § 28.1, с. 371-374.
3. Савельев И.В. Курс общей физики: в 4 т. Т. 1. Механика. Молекулярная физика и термодинамика: учебное
пособие / И.В. Савельев; под общ. ред. В.И. Савельева. – М.: КНОРУС, 2009. § 8.9, с. 283-288.
Сост.: зам. зав. каф. ОТД Анисимов В.Н., преп. Харитонов Д.В.
24.05.2013
4