Показательные уравнения и неравенства 11 класс

Урок математики в 11 «Б» классе
Обобщение и систематизация материала по теме
«Показательная функция. Показательные
уравнения и неравенства»
Цель урока: Обобщение и систематизация знаний учащихся о показательной
функции, актуализация опорных знаний при решении показательных уравнений и
неравенств
Задачи личностного развития:
 Создать условия для отработки навыков решения показательных уравнений
и неравенств, применения теоретических знаний в практической
деятельности
 Содействовать развитию логического мышления учащихся путем
организации работы по определению вида уравнения, умений сравнивать,
обобщать и делать выводы
 Создать условия для развития навыков самоконтроля и рефлексии путем
организации самопроверки заданий по образцу
 Способствовать созданию ситуаций для воспитания у учащихся интереса к
предмету, адекватной самооценки
План и содержание урока
1. Организационный момент. Постановка цели и задач. Слайд 1
Один из мыслителей Древнего Китая сказал: «Учиться и, когда придет время,
прикладывать усвоенное к делу – разве это не прекрасно! Не быть по достоинству
оцененным светом и не таить обиду – разве это не возвышенно!»
Тема урока ««Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства».
А эпиграфом к нашему уроку станут слова современного польского математика
Станислава Коваля: «Уравнения – это золотой ключ, открывающий все
математические сезамы». Т.е. другими словами можно сказать, что если вы будете
уметь решать уравнения, то экзамена по математике вам не стоит бояться.
Так давайте сегодня на уроке будем следовать совету мыслителя. Повторим,
отработаем и обобщим способы решения показательных уравнений и неравенств,
вспомним свойства показательной функции, будем активны, внимательны.
Хочется, чтобы каждый из вас на
сегодняшнем уроке достиг желаемого
результата.
2. Актуализация опорных знаний.
Слайд 2
Чтобы урок прошел успешно, надо
повторить теоретический материал.
М.В. Ломоносов говорил «Теория без
практики мертва и бесплодна, практика
1
без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики сверх
того, и умения».
Вопросы показаны на слайде презентации и предлагаются учащимся для устных
ответов с места. Слайд 3
1. Какая функция называется показательной?
2. Какова область определения показательной функции?
3. Какова область значений показательной функции?
4. При каком условии показательная функция является возрастающей?
5. При каком условии показательная функция является убывающей?
6. Возрастает или убывает показательная функция
7. Для чего необходимо знать свойства возрастающей и убывающей функции?
О себе показательная функция говорит: (Слайд 4)
« Хоть нет названия линии моей,
и нет как у параболы ветвей
Я- положительна, и это всем вам видно
И жмусь к оси Ох одним концом я безобидно
Вторым концом я устремляюсь в высь!
А, ну-ка, степенная, доберись!
Давно сравнили нашу степень роста
Ты по сравнения со мной - малютка просто!»
----С какой частью данного изречения вы не согласны? Всё ли здесь верно?
Ответ: название линии – экспонента
Графики показательной функции Слайд 5
Какое уравнение называется показательным? Слайд 6
Методы решения показательных уравнений и неравенств Слайд 7,8,9,10
3. Диагностика
уровня
формирования
практических
навыков. Слайд 11
Г. Лейбниц: «Метод решения хорош,
если с самого начала мы можем
предвидеть – и далее подтвердить это, что следуя этому методу, мы достигнем
цели».
Указать способы решения показательных уравнений. Слайд 12
2
Слайд 13 Результаты занесите в таблицу:
Приведение
к Вынесение
общего Введение новой переменной
одному основанию
множителя за скобки
(приведение к квадратному)
2, 5, 10, 12
1, 7, 9, 11
3, 4, 6, 8
Задание выполняется на листочках. После выполнения пары меняются
листочками. Проверка по слайду презентации.
Таким образом, мы повторили свойства показательной функции, методы решения
показательных уравнений.
Решение показательных неравенств Слайд 14
4. Самостоятельная работа Слайд 15
Древнегреческий поэт Нивей утверждал, что «математику нельзя изучать,
наблюдая, как это делает сосед». Поэтому будем сейчас работать самостоятельно.
5. Физкультминутка
Слайд 16
6. Применение показательной функции в природе и технике. Слайд 17
«Без знаний математики нельзя понять ни основ современной техники, ни
того, как учёные изучают природные
и социальные явления».
А. Н . Колмогоров.
Показательная функция имеет важное значение в
науке и технике. Многие явления природы
можно выразить посредством показательной
функции. Например, процесс радиоактивного
распада,
явление
размножения
живых
организмов. Тема «Показательная функция»
является основополагающей при изучении таких
тем, как «Производная показательной функции»,
«Термодинамика»,
«Электромагнетизм»,
«Ядерная физика», «Колебания», используется
для решения некоторых задач судовождения.
Все, наверное, замечали, что если снять кипящий
чайник с огня, то сначала он быстро остывает, а
потом остывание идет гораздо медленнее. Дело в том, что скорость остывания
пропорциональна разности между температурой чайника и температурой окружающей среды.
Чем меньше становится эта разность, тем медленнее остывает чайник. Если сначала
3
температура чайника равнялась То, а температура воздуха T1, то через t секунд температура Т
чайника выразится формулой: T=(T1-T0)e-kt+T1, где k - число, зависящее от формы чайника,
материала, из которого он сделан, и количества воды, которое в нем находится.
При падении тел в безвоздушном пространстве скорость их непрерывно возрастает. При
падении тел в воздухе скорость падения тоже увеличивается, но не может превзойти
определенной величины.
Рассмотрим задачу о падении парашютиста. Если считать, что сила
сопротивления воздуха пропорциональна скорости падения парашютиста, т.е. что
F=kv , то через t секунд скорость падения будет равна: v=mg/k(1-e-kt/m), где m - масса
парашютиста. Через некоторый промежуток времени е-kt/m станет очень маленьким
числом, и падение станет почти равномерным. Коэффициент пропорциональности k
зависит от размеров парашюта. Данная формула пригодна не только для изучения
падения парашютиста, но и для изучения падения капли дождевой воды, пушинки
и т.д.
Диагностика заболеваний. При диагностике почечных болезней часто определяют
способность почек выводить из крови радиоактивные изотопы, причём их количество в крови
падает по показательному закону.
Рост народонаселения. Изменение числа людей в стране на небольшом отрезке времени
описывается формулой N = N 0 ∙е а t , где N 0 — число людей при t = 0, N — число людей в
момент времени t, α — константа, е ≈ 2,718.
Как видите, во всех приведенных выше исследованиях использовалась показательная функция.
7. Найди ошибку Слайд 18, 19
Людям свойственно ошибаться,
не ошибается лишь тот, кто
ничего не делает. А эпиграфом
нашей работы будут слова
Карла Поппера, австрийского
философа, логика, социолога:
«Я могу ошибаться, и ты
можешь
ошибаться,
но
совместными усилиями мы
можем
постепенно
приближаться к истине»
x 2  13 x  22
x 2  13x  22
1.
0 {
3x  9
3x  9
13  9
13  9
x1 
 11
x2 
2
2
2
x1  11, x2  2.
Ответ:
Д = 169-88 = 81
11, 2
x  18 x  19
0
2 x  0,5
2
2.
x 2  18 x  19  0
2 x  0,5  0
Д=324+76=400 x1 
18  20 38

 19
2
2
4
x2 
18  20
 1
2
x1  19, x 2  1
x  1
Решить уравнение:
Ответ: x1  19, x2  1
Слайд 20
x 2  18 x  45
0
4 x  64
x 2  20 x  21
0
1
x
3 
3
Слайд 21 Итак, корнями последних уравнений стали числа 11 и 19 ; 15 и 21
Об этих числах можно сказать следующее
11 часов –время наивысшей трудоспособности;
15 ч.- время наибольшего утомления;
19 ч - вечерний подъем трудоспособности;
21 ч.- время прекращения всякой трудоспособности.
-Использование полученных знаний о биологических ритмах при составлении
режима позволит достичь максимальной трудоспособности и повысить
сопротивляемость организма к утомлению.
так, что будьте здоровы и не
утомляйтесь.
8. Итог урока: Слайд 22
Сегодня мы с вами повторили и
обобщили знания методов решения
показательных уравнений и неравенств
на основе свойств показательной
функции. Мы сказали, что понятие
показательной функции было введено в
XVII веке. Так вот сейчас ваши знания в
этой области находятся на уровне
знаний ученых того времени. Сейчас на
дворе XXI век. Так что перспектива
развития ваших знаний велика. Дерзайте, достигайте уровня ученых наших дней.
Давайте вернемся к эпиграфу нашего урока «Решение уравнений это золотой
ключ, открывающий все сезамы».
С. Коваль
Мне хотелось бы вам пожелать , чтобы каждый из вас нашел в жизни свой
«золотой ключик», с помощью которого перед вами открывались любые двери.
Достигнуты ли цели урока? Что вы узнали нового? Чему научились?
Что показалось особенно трудным?
X. Рефлексия
Лучше всего у меня получилось……….
Основные трудности у меня были……….
Моей работе сегодня помогал…………
Моей работе мешал………….
Сам себе желаю…………….
5
Самостоятельная работа
Вариант 1
1. При каком значении а функция у=ах возрастает:
1
а) 2 б) 0,4 3) 𝜋
4)
2. Решите уравнение
1
( )х-1 =
3
е
9
3. Найдите наибольшее целое решение неравенства 2х-1≤16
4. Решите неравенство 1≤ 2
3х+1
2
≤8
5. Решите уравнение 32-х + 3х+1=12
x 2  20 x  21
0
Дополнительно
1
x
3 
3
Самостоятельная работа
Вариант 2
1. При каком значении а функция у=ах убывает:
1
а) 2 б) 0,4 3) 𝜋
4)
2. Решите уравнение
1
( )х-2 =
4
е
16
3. Найдите наименьшее целое решение неравенства 3х-1 ≥ 27
4. Решите неравенство 1≤ 3
2х−1
3
≤9
5. Решите уравнение 22+х - 22-х=15
x 2  18 x  45
0
Дополнительно
4 x  64
6