Использование задач на клетчатой бумаге при подготовке

Использование задач на клетчатой бумаге при подготовке учащихся
к олимпиадам по математике.
С бумагой в клетку каждый из нас имеет дело с первых дней изучения
математики, а может быть, и раньше. Наличие на бумаге квадратной сетки
очень удобно для занятий геометрией. Многие построения на таком листе
можно сделать проще, чем на листе нелинованной бумаги, и при этом
обойтись лишь одной линейкой, причем, даже не пользуясь ее шкалой.
Однако мы вряд ли представляем себе, насколько мощным инструментом для
вычислений и геометрических построений она является.
Ввести ребёнка в мир геометрии и развивать его пространственное
мышление можно с помощью клетчатой бумаги. Клеточка как наглядный
инструмент, помогает лучше изучить свойства геометрических фигур.
Вместе с тем, занятия геометрией на клетчатой бумаге создают условия
для успешного усвоения геометрического материала, включённого в
программу по математике. Клетчатая бумага позволяет проводить многие
геометрические построения, помогает лучше понять и изучить свойства
фигур. Упражнения на клетчатой бумаге способствуют развитию интуиции,
воображения, памяти, внимания.
Проанализировав
школьные
учебники
математики,
научно
–
популярную и занимательную литературу, интернет-ресурсы, мы нашли
разные задачи, которые решаются на клетчатой бумаге.
Данные задачи используются при подготовке учащихся сельской школы к
олимпиадам по математике. Приведем некоторые типы таких задач, где
используется клетчатая бумага.
1. Задачи на разрезание на клетчатой бумаге.
Задача . Из прямоугольника 8 x 9 клеток вырезали
закрашенные фигуры, как показано на рис. 2.
Разрежьте полученную фигуру на две равные части так,
чтобы из них можно было сложить прямоугольник 6 х 10.
Рис. 1
Решение. Имеем: 8 • 9 = 72, 72 — 12 = 60. Поэтому исходный прямоугольник
с вырезанными фигурами содержит 60 клеток. Так как 6 • 10 = 60, то, повидимому, искомый
прямоугольник составить можно.
Как разрезать прямоугольник,
показано на рис. 2 (а), а как из
этих частей составить новый
прямоугольник — на рис. 2(б
а)
б)
Рис. 2
2. Задачи на разрезание с раскраской.
Задача. Можно ли шестиугольный торт (рис. 3) разрезать на 23 равных куска
по указанным
линиям?
Рис. 3
Решение. Раскрасим фигуру так, как изображено на
рис. 5. Если разрезание возможно, то в куске будет
два треугольника - черный и белый (всего их 46), то
есть черных и белых треугольников должно быть
поровну. Но на рисунке черных треугольников 21, а
белых — 25, следовательно, требуемое разрезание
невозможно.
Рис. 4.
3. Задачи с раскраской в условии
Задача. Плоскость разбита на треугольные клетки — равные равнобедренные
прямоугольные треугольники, (рис.5). Две
клетки называются соседними, если они
имеют общую сторону. Все точки внутри
любой клетки окрашены одинаково, у
каждой клетки все ее соседки цветов.
Придумайте вариант такой раскраски. В 4
цвета.
Рис. 5
Решение.
4. Вычисления на клетчатой бумаге
Чаще всего вычисления, производимые при решении задач на клетчатой
бумаге, минимальны, но прежде, чем выполнять эти вычисления, необходимо
переформулировать условия задачи на язык чисел
Задача . Наташа сделала из листа клетчатой бумаги календарь на январь
2006 года (рис. 6) и заметила, что центры клеток
10, 20 и 30 января образуют равнобедренный
прямоугольный треугольник. Наташа
предположила, что это будет верно и в любом
другом году, за исключением тех лет, когда
центры клеток 10, 20 и 30 лежат на одной
прямой. Права ли Наташа?
Рис. 6
Решение. Всего существует 7 различных вариантов расположения дат в
январском календаре. При этом существует всего 2 существенно различных
варианта расположения треугольника 10-20-30 (см. первые два рисунка), все
остальные получаются из первых двух горизонтальными сдвигами
треугольника. Проверим Наташино предположение для первого случая, а для
второго случая рассуждения будут аналогичными. Очевидно, что у
треугольника 30-9-10 угол 9 прямой (см. четвёртый рисунок), и, аналогично,
является прямым угол 13 у треугольника 10-13-20. Ясно, что стороны 9-30 и
10-13 равны; аналогично, равны стороны 9-10 и 13-20. Поэтому треугольники
9-30-10 и 13-10-20 равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,
отрезки 10-30 и 10-20 равны. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°,
получаем, что сумма острых углов в треугольнике 9-10-30 равна 180°90°=90°. Осталось заметить, что сумма углов, дополняющих угол 10 до
развёрнутого угла, равна сумме острых углов треугольника 9-10-30. Значит,
угол 10 тоже равен 90°. Итак, треугольник 10-20-30 является
равнобедренным прямоугольным.
Ответ: Наташа права.
5. Симметрия на клетчатой бумаге
Задача : Нарисуйте, как из данных трёх фигурок, использовав каждую
ровно один раз, сложить фигуру, имеющую ось симметрии.
Решение. Из предложенных фигурок можно сложить четыре различные
фигуры, имеющие ось симметрии. Две из них приведены на рисунке. У
одной из них ось симметрии вертикальная, а у другой проходит по
диагонали. Это не случайно - ось
симметрии фигуры, нарисованной по
клеточкам, может быть либо
параллельна сторонам клеток, либо идти
под углом 45 градусов к ним.
Данные типы заданий можно использовать при подготовке учащихся
среднего звена школы к олимпиадам по математике.
Литература
1.
Библиотека журнала «Квант»
http://kvant.mirror1.mccme.ru/pdf/2006-06s.pdf
http://kvant.mirror1.mccme.ru/pdf/2007-06s.pdf
http://kvant.mirror1.mccme.ru/pdf/2008-02s.pdf
2. Екимова М.А. Кукин Г.П. Задачи на разрезание.—М.:МЦНМО,2002.—120с.:ил.Се-рия:
«Секреты преподавания математики».
3.
Гальперин Г.А., Толпыго А.К. Московские математические олимпиады: Кн. для
учащихся / Под ред. А.Н.Колмогорова. – М.: Просвещение, 1986.