7 класс - Омские олимпиады

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
ИМЕНИ Г.П. КУКИНА
4.02.12  7 класс
г. Омск
Математическая олимпиада ОмГУ носит имя профессора Г.П. Кукина,
создателя системы городских математических олимпиад.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
ИМЕНИ Г.П. КУКИНА
4.02.12  7 класс
г. Омск
Математическая олимпиада ОмГУ носит имя профессора Г.П. Кукина,
создателя системы городских математических олимпиад.
1. Первым ходом семиклассник Павел Булкин написал на доске единицу. Каждым
следующим ходом он меняет число на доске так, чтобы число, полученное после
второго хода, делилось на 2, число, полученное после третьего хода, делилось на
3 и т.д. При этом Павел может либо поменять порядок цифр в числе, либо
дописать цифру в конец числа. Как должен действовать Павел, чтобы после 10-го
хода на доске оказалось четырёхзначное число?
2. Поливочная машина двигается с постоянной скоростью, и каждую минуту из неё
вытекает одно и то же количество воды. Если увеличить скорость движения в 2
раза, а скорость вытекания воды увеличить в 3 раза, то содержащейся в машине
воды хватит на то, чтобы полить 4 км дороги. Сколько километров дороги
удастся полить, если начальную скорость движения увеличить в 3 раза, а
начальную скорость вытекания воды увеличить в 2 раза?
3. Учительница математики написала на доске четырёхзначное число, в котором все
цифры различны и не равны нулю, и вызвала к доске семиклассников Петрова и
Сидорова. Один из них отличник, и делает только верные утверждения, а другой
двоечник и делает только неверные утверждения. Каждый сделал по 2
утверждения. Петров сказал: «Одна из цифр этого числа равна сумме всех
остальных. Вторая цифра самая большая». Сидоров сказал «Вторая цифра не
меньше трёх. Первая цифра делится на все остальные». Какое число написала
учительница? (Найдите все возможные варианты ответа)
4. На клетчатой бумаге нарисован четырехугольник
В
ABCD. Чему равна сумма градусных мер углов А и С?
5. Вася сконструировал компьютер, который хранит в А
памяти три числа, а на дисплей выводит только две
последние цифры каждого из этих чисел. У компьютера
С
есть кнопка, при нажатии на которую первое число
D
увеличивается на 12, второе на 13, а третье – на 42.
Сейчас на экране горят цифры 01, 03 и 61. Может ли Вася, нажимая на кнопку,
добиться того, чтобы все числа на экране стали одинаковыми?
6. По периметру квадратной площади через каждые 10 метров стоят столбы, причём
в каждом углу площади стоит столб. Когда попробовали повесить на каждый
столб по 4 фонаря, 5 фонарей осталось лишних. Тогда фонари повесили так,
чтобы на каждой стороне квадрата было по 18 фонарей (ни один столб не остался
без фонаря). Найдите длину стороны квадрата и общее количество фонарей.
1. Первым ходом семиклассник Павел Булкин написал на доске единицу. Каждым
следующим ходом он меняет число на доске так, чтобы число, полученное после
второго хода, делилось на 2, число, полученное после третьего хода, делилось на
3 и т.д. При этом Павел может либо поменять порядок цифр в числе, либо
дописать цифру в конец числа. Как должен действовать Павел, чтобы после 10-го
хода на доске оказалось четырёхзначное число?
2. Поливочная машина двигается с постоянной скоростью, и каждую минуту из неё
вытекает одно и то же количество воды. Если увеличить скорость движения в 2
раза, а скорость вытекания воды увеличить в 3 раза, то содержащейся в машине
воды хватит на то, чтобы полить 4 км дороги. Сколько километров дороги
удастся полить, если начальную скорость движения увеличить в 3 раза, а
начальную скорость вытекания воды увеличить в 2 раза?
3. Учительница математики написала на доске четырёхзначное число, в котором все
цифры различны и не равны нулю, и вызвала к доске семиклассников Петрова и
Сидорова. Один из них отличник, и делает только верные утверждения, а другой
двоечник и делает только неверные утверждения. Каждый сделал по 2
утверждения. Петров сказал: «Одна из цифр этого числа равна сумме всех
остальных. Вторая цифра самая большая». Сидоров сказал «Вторая цифра не
меньше трёх. Первая цифра делится на все остальные». Какое число написала
учительница? (Найдите все возможные варианты ответа)
4. На клетчатой бумаге нарисован четырехугольник
В
ABCD. Чему равна сумма градусных мер углов А и С?
5. Вася сконструировал компьютер, который хранит в А
памяти три числа, а на дисплей выводит только две
последние цифры каждого из этих чисел. У компьютера
С
есть кнопка, при нажатии на которую первое число
D
увеличивается на 12, второе на 13, а третье – на 42.
Сейчас на экране горят цифры 01, 03 и 61. Может ли Вася, нажимая на кнопку,
добиться того, чтобы все числа на экране стали одинаковыми?
6. По периметру квадратной площади через каждые 10 метров стоят столбы, причём
в каждом углу площади стоит столб. Когда попробовали повесить на каждый
столб по 4 фонаря, 5 фонарей осталось лишних. Тогда фонари повесили так,
чтобы на каждой стороне квадрата было по 18 фонарей (ни один столб не остался
без фонаря). Найдите длину стороны квадрата и общее количество фонарей.
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1. Решение: Действовать можно, например, так: 1 - 12 - 21 - 12 - 120 - 102 - 210 - 120 1206 - 1260.
2. Ответ: 9 км.
Решение: Пусть x км - длина дороги, которую машина сможет полить, если
скорости движения и вытекания воды никак не меняются. Заметим, что когда только
скорость движения увеличивается в 2 раза, то длина политого участка удваивается, а
когда только скорость вытекания воды увеличивается в 3 раза, то длина политого
участка становится втрое меньше. Таким образом, в первом случае машина проедет
2x/3 км. Рассуждая аналогично, получаем, что если скорость движения увеличить в 3
раза, а скорость вытекания в 2 раза, то машина проедет 3x/2 км. Таким образом, во
втором случае длина в 9/4 раз больше, чем в первом. Значит, удастся полить 9 км.
3. Ответ: 8421, 8412.
Решение: Заметим, что если второе высказывание Петрова верно, то вторая цифра
не меньше 4, а значит будет верно первое высказывание Сидорова, что невозможно.
Тогда Петров говорит неправду, значит он двоечник, а Сидоров - отличник. Значит,
первая цифра числа делится на все остальные, т.е. у нее существует не менее трех
различных делителей, меньших ее самой, включая 1. Возможны только два варианта:
либо первая цифра 6, а остальные 1, 2 и 3, либо первая 8, а остальные 1, 2 и 4. В
первом случае получим верное первое высказывание двоечника, значит, он не
подходит. Во втором случае вторая цифра должна быть равна 4 (из первого
высказывания отличника). Очевидно, что оба варианта 8412 и 8421 удовлетворяют
условию.
4. Ответ: 135º.
Решение: Пусть E - точка пересечения горизонтали, проходящей через точку A и
вертикали, проходящей через точку B. Точка F - пересечение горизонтали,
проходящей через точку B и вертикали, проходящей через точку C. Треугольники
ABE и BFC равны по двум сторонам и углу между ними, значит, в этих
треугольниках равны углы A и C. Посчитаем сумму исходных углов A + C = DAE +
EAB + BCD = DAE + BCF + BCD = DAE + 90º = 45º + 90º = 135º.
5. Ответ: может.
Решение: Заметим, что две последние цифры чисел будут одинаковыми, если
числа отличаются на число кратное 100. У первых двух чисел пары последних цифр
«01» и «03» отличаются на 2, и с каждым нажатием кнопки эта разность
увеличивается на 1. Очевидно, что впервые эти пары последних цифр совпадут через
98 нажатий. Покажем, что третье число при этом будет оканчиваться на такую же
пару цифр, что и первые два. Через 98 нажатий первое число увеличится на
12*98=1176, т.е. число будет оканчиваться на «77», а третье число увеличится на
42*98=4116, и тоже будет оканчиваться на «77».
6. Ответ: 30 метров, 53 фонаря.
Решение: 1). Пусть на каждой стороне квадрата стоит x столбов, тогда общее их
количество равно 2x+2(x-2)=4x-4. Из первого варианта распределения фонарей
следует, что число фонарей равно 4(4x-4)+5=16x-11. Поскольку затем развесили по
18 фонарей на каждой стороне, то общее число фонарей не превосходит 72. Но,
фонари в вершинах при этом посчитаны дважды, поэтому общее число фонарей не
превосходит 68. Значит, можно оценить число столбов: 16x-11 ≤ 68, x ≤ 79/16,
следовательно, x ≤ 4. Кроме того, известно, что в каждом углу стоит по столбу, т.е. x
равно либо 2, либо 3, либо 4.
2). Рассмотрим случай x=2, т.е. имеется всего 4 столба в вершинах квадрата. При
этом число фонарей равно 16x-11=21. С другой стороны, т.к. на каждой стороне стало
по 12 фонарей, то их должно быть 24. Противоречие.
3). Пусть x=3, т.е. всего 8 столбов: 4 столба в вершинах и по одному в середине
каждой стороны. При этом число фонарей равно 37. Если на каждой стороне по 18, то
на южной и северной вместе 36 и еще осталось два столба (на восточной и западной
сторонах) – всего должно быть не менее 38 фонарей. Противоречие.
4) Пусть x=4, т.е. всего 53 фонаря. Развесить их по столбам, чтобы на каждой
стороне было по 18, можно, например, так: начиная с некоторой вершины ставим по
часовой стрелке 1-7-7-3-1-2-12-1-2-3-7-7. При этом длина квадрата 30 м.