Тестовые задания по основам нерелятивистской квантовой

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Юго–Западный государственный университет»
(ЮЗГУ)
Кафедра Теоретической и экспериментальной физики
УТВЕРЖДАЮ
Первый проректор –
проректор по учебной работе
_______________Е. А. Кудряшов
«____»_________________2012 г.
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ОСНОВАМ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ, АТОМНОЙ ФИЗИКЕ,
ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ И ФИЗИКЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
Методические указания по физике для подготовки к интернеттестированию студентов всех технических специальностей
Курск 2012
1
УДК 531/534
ББК В21
П 53
Составители: П.А. Красных, А.В. Кузько, А.Е. Кузько.
Под редакцией д. ф.-м. н., профессора ЮЗГУ, заведующего кафедрой
ТиЭФ ЮЗГУ Н.М. Игнатенко
Рецензент
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры физики Юго
- Западного государственного университета В.М. Пауков
Тестовые задания по основам нерелятивистской квантовой механики, атомной физике, ядерной физике и физике элементарных
частиц: методические указания для подготовки студентов к интернет-тестированию по физике /Юго-Западный гос. ун-т; сост. П.А.
Красных, А.В. Кузько, А.Е. Кузько. Курск, 2012. 71 с.: ил. 52, Библиогр.:с.71.
Содержат тестовые задания по темам, традиционно проверяемым в ходе
интернет-тестирования в количестве 109 заданий из них 65 заданий по основам
нерелятивистской квантовой механики и 44 задания по ядерной физике и физике элементарных частиц. К каждой теме предложено краткое теоретическое
введение, ориентированное на решение тестов по данному разделу физики, а
также примеры решения заданий. Тестовые задания взяты как из материалов,
предлагаемых студентам при интернет-тестировании, так и из заданий, разработанных составителями методического пособия.
Предназначены для студентов технических специальностей.
Текст печатается в авторской редакции
Подписано в печать
. Формат 60х84 1/16.
Усл. печ. л.
. Уч.-изд. л. Тираж экз. Заказ
. Бесплатно.
Юго-Западный государственный университет.
305040, г. Курск, ул. 50 лет Октября, 94.
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………...…
Раздел 3. Квантовая физика и физика атома
3.1. Корпускулярно-волновой дуализм свойств частиц. Волны
де Бройля. Принцип неопределённостей Гейзенберга ……….
3.2. Уравнение Шрёдингера
3.3. Простейшие задачи квантовой механики
3.4. Спектр атома водорода. Правила отбора. Теория Бора для
водородоподобных систем
3.5. Модель атома водорода Бора
3.6. Квантовомеханическая модель атома водорода
3.7. Векторная модель атома
Раздел 4. Ядерная физика и физика элементарных частиц
4.1. Радиоактивность. Состав атомных ядер
4.2.Превращение атомных ядер
4.3. Ядерные реакции. Элементарные частицы
Библиографический список
4
5
.5
14
19
30
31
34
38
45
45
48
59
71
3
ВВЕДЕНИЕ
Тестирование - в частности, тестирование по физике - имеет
своей целью проверку на основе ответов на тестовые задания прочности усвоения базовых знаний и навыков по конкретному предмету.
Оно не ставит своей задачей установление глубины понимания предмета тестируемым, что может быть установлено лишь в устной беседе. Однако тестирование вполне пригодно как для предэкзаменационной проверки знаний, так и для проверки знаний остаточных, т.е.
знаний и навыков по данному предмету, которыми студент обладает
после изучения всего курса.
Предлагаемые в пособии тестовые задания для проверки остаточных знаний по физике ориентированы на проверку знаний фундаментальных физических понятий и законов, понимание их смысла и
условий выполнения, а так же умения применять их для решения заданий легкой и средней сложности.
В пособие включены задания по тем разделам, знание которых,
как показывает многолетний опыт, традиционно проверяются в процессе интернет-тестирования. Поэтому оно предназначено в первую
очередь для подготовки студентов к этой форме контроля остаточных
знаний как самостоятельно, так и под руководством преподавателей.
Для удобства самостоятельной подготовки каждый раздел снабжен
теоретическим введением, в котором раскрывается смысл основных
понятий и законов, и которое ориентировано именно на выполнение
тестовых заданий. Кроме того, большинство разделов содержит подробные примеры выполнения заданий. Для удобства проверки в
каждом задании правильный ответ помечен звездочкой.
4
Раздел 3. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА АТОМА
3.1. Корпускулярно-волновой дуализм свойств частиц. Волны де
Бройля. Принцип неопределённостей Гейзенберга
Теоретическое введение
В 1924 году де Бройль выдвинул гипотезу о том, что корпускулярноволновой дуализм имеет универсальный характер. Он предположил,
что частицы вещества наряду с корпускулярными свойствами обладают также и волновыми свойствами. Он сопоставил движение частицы с волновым процессом с длиной волны и частотой, которые
определяются из известных соотношений для фотонов
(p
h 2

; E   ) :
Б Б
Б 
2
p
,
(1)
где p и E – импульс и энергия частицы (в нерялитивистском случае
p  m ; E 
m 2
).
2
В 1927 году американские физики Девиссон и Джермер исследовали отражение пучка моноэнергетических электронов от сошлифованного перпендикулярно диагонали монокристалла никеля. Изменяя
угол падения электронов и их энергию, физики измеряли интенсивность отраженного пучка электронов по силе тока, текущего через
гальванометр. Оказалось, что интенсивность отраженного пучка
электронов подчиняется условию Вульфа-Бреггов
2d  sin    Б ,
где θ - угол скольжения, d – межплоскостное расстояние, которое
определяется из рентгенографических исследований.
Следовательно, этот процесс соответствует отражению
электронов как волнового процесса (подобно рентгеновским лучам)
от атомных плоскостей.
Подобные опыты, а также опыты по дифракции электронов
на металлической фольге (Томсон и Тартаковский), в которых на
фотопластинке были получены картины, подобные рентгенограммам, подтвердили гипотезу Луи де Бройля. Электроны вели себя по5
добно фотонам. В 1925 году Штерн показал, что дифракцию испытывают атомные и молекулярные пучки. Длина волн при дифракции
определяется по соотношению (1).
Таким образом, квантовая физика рассматривает «микрочастицы» как образования особого рода. Они не являются ни частицами, ни волной, хотя сочетают в себе их свойства.
3.1.1. Соотношение неопределенностей
В классической механике состояние частицы описывается так
называемыми динамическими переменными импульсом, энергией и
значениями координат.
Своеобразие квантовых частиц состоит в том, что они одновременно не могут иметь точные значения координаты х и компоненты импульса p x . Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, доказанному в 1927 году, между неопределенностями х и
p x существует следующая связь:
x  p x 

2
Величины (x ,px), (y, py), (z, pz), (E, t) называются канонически сопряженными.
Для энергии и времени соотношение неопределённостей имеет
вид
E   t 

.
2
На определение энергии частицы с точностью E требуется
время не меньше
t 

.
E
Принцип неопределенности Гейзенберга:
Произведение неопределенностей двух канонически сопряженных переменных не может по рядку величины быть меньше  .
Так как  очень мало (ћ=1,05 10-34 Джс), то соотношение неопределенностей проявляет себя только в микромире.
Учитывая, что px   x m из соотношения Гейзенберга
x   x 

2m
6
Это соотношение показывает, что чем больше m, тем меньше
неопределенность x и  , тем с большей степенью точности можно
говорить о понятии траектории микрочастицы.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину
волны де Бройля электрона для двух случаев: 1) U1 = 51 В; 2) U2 = 510
кВ.
*1)1,4 пм; 2)0,70 пм; 3)0,35 пм; 4)2,8 пм.
Решение. Длина волны де Бройля для частицы зависит от её импульса p и определяется формулой
Б = h/p,
(1)
где h - постоянная Планка.
Импульс частицы можно определить, если известна её кинетическая энергия T. Связь импульса с кинетической энергией различна
для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы
много меньше её энергии покоя) и для релятивистского случая (когда
кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы).
В нерелятивистском случае
p  2m 0 T 
где mo - масса покоя электрона.
В релятивистском случае
p
1
T  2E 0  T  
c
(3)
где Eo = moc2 - энергия покоя электрона.
Формула (1) с учётом соотношений (2) и (3) запишется: в нерелятивистском случае

h

2m 0 T
(4)
в релятивистском случае

hс
.
2E 0  T T
(5)
Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные
7
в условии задачи разности потенциалов U1 = 51 В и U2 = 510 кВ, с
энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из
формул (4) или (5) следует применить для вычисления длины волны
де Бройля.
Электрическое поле совершает над электроном работу, которая
равна изменению его кинетической энергии T:
T = eU
В первом случае T1 = eU = 51 эВ = 0,5110-4 МэВ, что много
меньше энергии покоя электрона Eo = moc2 = 0,51 МэВ. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения
расчётов заметим, что T1 = =10-4moc2. Подставив это выражение в
формулу (4), перепишем её в виде
2
h
1 
2
2(m 0 с)  10
4
10 h


2  m 0c
Учитывая, что h/moc есть комптоновская длина волны , получим
1 = 102 2 .
Так как  = 2,43 пм, то
1 = 1022,43/ 2 = 171 (пм).
Во втором случае кинетическая энергия T2 = eU2 = 510 кэВ =
0,51МэВ, т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (5). Так как T2 = moc2, то
по формуле (5) находим
2 
2m c
0
hс
2

 m0c 2 m 0c 2

h



3  m0c
3
Подставим значение  и произведём вычисления:
2 
2,43
 1,40 (пм) .
3
Пример 2. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка T = 10 эВ. Используя соотношение неопределённостей, оценить минимальные линейные размеры атома.
*1) 124 нм; 2) 62 нм; 3) 228 нм; 4) 31 нм.
Решение. Соотношение неопределённостей для координаты и
8
импульса имеет вид
xpx  ћ
(1)
где x - неопределённость координаты x электрона; px - неопределённость проекции импульса электрона на ось X; ħ - постоянная
Планка делённая на 2.
Из соотношения неопределённостей следует, что чем точнее
определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределённым становится соответствующая проекция импульса, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры ,
тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с
неопределённостью
x = /2.
Соотношение неопределённостей (1) можно записать в этом случае в виде
(/2)px  ħ,
откуда
  2ħ/px
(2)
Физически разумная неопределённость импульса px во всяком
случае не должна превышать значения самого импульса px, то есть
px  px. Импульс px связан с кинетической энергией T соотношением
px = (2mT)1/2. Переходя от неравенства к равенству, получим
 min 
2

2mT
(3)
Произведём вычисления:
min = 21,0510-34/(29,110-311,610-1910)1/2 = 124 нм.
Задания к теме
Задание 1
Групповая скорость волны Де Бройля . . .
*1) равна скорости частицы; 2) зависит от квадрата длины волны;
3) не имеет смысла как физическая величина; 4) равна скорости света
в вакууме; 5) больше скорости света в вакууме.
Задание 2
Кинетическая энергия классической частицы увеличилась в 2 раза.
Длина волны Де Бройля этой частицы . . .
*1)уменьшилась в 2 раз; 2) увеличилась в 2 раза;
9
3)не изменилась; 4) увеличилась в 2 раз; 5)уменьшилась в 2 раза.
Задание 3
Если частицы имеют одинаковую длину волны Де Бройля, то
наибольшей скоростью обладает . . .
*1) позитрон;
2) нейтрон;
3) протон;
4) -частица.
Задание 4
Если частицы движутся с одинаковой скоростью то наименьшей
длиной волны Де Бройля обладает . . .
*1) -частица;
2) нейтрон;
3) позитрон;
4) протон.
Задание 5
Если частицы имеют одинаковую скорость, то наибольшей длиной волны Де Бройля обладает:
*1) электрон;
2) нейтрон;
3) протон;
4) -частица.
Задание 6
Высокая монохроматичность лазерного излучения обусловлена
относительно большим временем жизни электронов в метастабильном состоянии ~10-3 с. Учитывая, что постоянная Планка  =6,6·10-16
эВ∙с, ширина метастабильного уровня(в эВ) будет не менее…
*1) 6,6·10-13
;
2) 1.5·10-13;
3) 1,5·10-19
;
4)
-19
6,6·10 .
Задание 7
Время жизни атома в возбуждённом состоянии 10 нс. Учитывая,
что постоянная Планка   6,6 1016 эВ  с , ширина энергетического
уровня (в эВ) составляет не менее …
*1) 6,610-8 ;
2) 1,510-8;
3) 1,510-10;
4) 6,610-10.
Задание 8
Отношение скоростей протона и α-частицы, длины волн де
Бройля которых одинаковы, равно …
*1) 4
2) 2
3) ½
4) ¼
Задание 9
Отношение неопределенностей проекций скоростей нейтрона и
α-частицы на некоторое направление при условии, что соответствующие координаты частиц определены с одинаковой точностью, равно
…
*1) 4
2) 2
3) ½
4) ¼
10
Задание10
Если протон и дейтрон прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов, то отношение их длин волн де Бройля равно …
*1) 2
2) 1
3) 2
4) 1/ 2
Задание11
Высокая монохроматичность лазерного излучения обусловлена
относительно большим временем жизни электронов в метастабильном состоянии, равном 10–3 c. Учитывая, что постоянная Планка ħ =
1,05·10–34 Дж·с, ширина метастабильного уровня будет не менее …
*1) 0,66 пэВ;
2) 66 пэВ;
3) 1,52 ТэВ;
4) 0,66 нэВ.
Задание12
Высокая монохроматичность лазерного излучения обусловлена
относительно большим временем жизни электронов в метастабильном состоянии ~10-3 с. Учитывая, что постоянная Планка  =6,6·10-16
эВс, ширина метастабильного уровня (в эВ) будет не менее…
*1) 6,6·10-13
2) 1.5·10-13
3) 1,5·10-19
4) 6,6·10-19
Задание13
Время жизни атома в возбуждённом состоянии 10 нс. Учитывая,
что постоянная Планка   6,6 1016 эВ  с , ширина энергетического
уровня (в эВ) составляет не менее …
*1) 6,610-8
2) 1,510-8
3) 1,510-10
4) 6,610-10
Задание 14
Отношение скоростей двух микрочастиц
v1
= 4. Если их длины
v2
волн де Бройля удовлетворяют соотношению 2 = 21, то отношение
масс этих частиц
*1) ½ ;
m1
равно …
m2
2) 2;
3) ¼;
4) 4.
Задание 15
11
Если протон и дейтрон прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов, то отношение их длин волн де Бройля равно …
*1) 2
2) 1
3) 2
4) 1/ 2
Задание 16
Неопределенность в определении местоположения частицы,
движущейся вдоль оси x, равна длине волны де Бройля для этой частицы. Относительная неопределенность ее скорости не меньше ___
%.
*1) 16
2) 100
3) 32
4) 8
Задание 17
Отношение длин волн де Бройля для протона и α-частицы, имеющих одинаковую кинетическую энергию, равно…
*
1) 2;
2) ½;
3) 4;
5) ¼.
Задание 18
Ширина следа электрона на фотографии, полученной с использованием камеры Вильсона, составляет 1 мм. Учитывая, что постоянная Планка ħ = 1,05·10–34 Дж·с, а масса электрона m = 9,1·10–31 кг неопределенность в определении скорости электрона будет не менее …
*1) 0,12 м/с
2) 0,12 мм/с
3) 1,05·10–31 мм/с
4) 1,05·10–34 мм/с
Задание 19
В опыте Дэвиссона и Джермера исследовалась дифракция прошедших ускоряющее напряжение электронов на монокристалле никеля. Если ускоряющее напряжение увеличить в 8 раз, то длина волны
де Бройля электрона _____ раз(-а).
*1) уменьшится в 2 2
2) увеличится в 8
3) уменьшится в 4
4) увеличится в 4 2
Задание 20
Положение пылинки массой m = 10–9 кг можно установить с неопределенностью х = 0,1 мкм. Учитывая, что постоянная Планка ħ =
12
1,05·10–34 Дж·с, неопределенность скорости vх (в м/с) будет не менее…
*1) 1,05·10–18
2) 1,05·10–21
3) 1,05·10–24
4) 1,05·10–27.
Задание 21
Отношение длин волн де Бройля для молекул водорода и кислорода, соответствующих их наиболее вероятным скоростям при одной
и той же температуре, равно…
*1) 4
2) 1/2
3) 2
4) 1/4
3.2. Уравнение Шрёдингера
Теоретическое введение
Де Бройль сопоставил свободно движущейся частице плоскую
волну (смысл которой сначала был не ясен).


  A  cost  kx   A  cos t 

Заменив  и  на р и Е   

2x 

 
E
2 
; 
 уравнение волны де

p 
Бройля пишут в виде:
 px  Et 
 i 

  A  exp  px  Et   Ae 
  

i
Функцию  называют волновой функцией, (по Борну) квадрат
которой определяет вероятность dp нахождения частицы в пределах объема dV
dp   2 dV  * dV
- комплексно сопряженная  .
 2 - выражает плотность вероятности нахождения частицы в
соответствующем месте пространства.
Интеграл по всему пространству равен единице:
*
 dV  1 - это условие нормировки.
*
На  - функцию налагают стандартные условия: она должна
быть непрерывной, однозначной, конечной, иметь непрерывную и конечную производную.
13
Таким образом, квантовая механика имеет статистический
характер, она определяет лишь вероятность нахождения частицы в
данной точке пространства.
Волновая функция является решением уравнения Шрёдингера,
полученным им в 1926 оду Общий вид его:

2

  U  i
2m
dt
(2)
m – масса частицы,
i- мнимая единица,
U – потенциальная энергия частицы.
2
2
2
 2  2  2
x
y
z
- оператор Лапласа
Это уравнение не выводится и получено Шредингером из оптико-механической аналогии уравнений светового луча и траекторий
движения частиц.
В случае, если силовое поле, в котором движется частица, стационарно (U явно не зависит от t) то волновую функцию можно разбить на две части, зависящих от координат и времени.
  x , y , z ,t     x , y , z   e
При подстановке
i
 Et

  x , y , z ,t 
во временное уравнение Шредингера
i
 Et
e 
придем к уравнению Шрёдингера для
(2) и после сокращения на
стационарных состояний
2

  U  E
2m
(3)
или
 
2m
2
E  U 
0
Теперь плотность вероятности
 
*
i
E

e 
i
 E

e *
  *
В связи с принципом неопределенности и введением волновой
функции принцип причинности в квантовой механике видоизменяется. Если по силовому полю и начальным условиям решая уравнения
14
Ньютона в классической механике мы определяем положение и скорость частицы, то в квантовой механике, зная волновую функцию и
силовое поле можем найти волновую функцию при помощи уравнения
Шредингера в любой момент времени.
Запишем стационарное уравнение Шрёдингера для частицы,
движущейся в различных силовых полях
а) Стационарным уравнением Шредингера для частицы в одномерном ящике с бесконечно высокими стенками является уравнение:
d 2  2m

E  0 ;
d x 2 2
б) Стационарным уравнением Шредингера для электрона в водородоподобном ионе является уравнение:
2m 
Ze 2 
  0 ;
  2  E 
40 r 
 
в) Стационарным уравнением Шредингера для линейного гармонического осциллятора является уравнение:
m02 x 2 
d 2  2m 
  0 .
 2 E 
2
2 
dx
 
Задания к теме
Задание 22
Нестационарным уравнением Шредингера является уравнение
2

d 2  2m
*1) 
;
2) 2  2 E  0 ;
  U( x, y, z, t )  i
2m
t
dx

2 

m02 x 2 
2m 
2
m
Ze
  0 ;
  0 .
 2 E 
3)
4)   2  E 
2


2
4

r
dx
 
 
0 

Задание 23
Стационарным уравнением Шредингера для частицы в одномерном ящике с бесконечно высокими стенками является уравнение:
2m 
Ze 2 
d 2  2m

  0 ;
*1)
2)   2  E 
 2 E  0 ;
2
40 r 
 
dx

m02 x 2 
d 2  2m 
2m
  0 ;

E

3)
4)



E  0 .
2
2 
2

2
dx
 


Задание 24
d 2
15
Электрону, движущемуся в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, соответствует уравнение . . .
2m 
Ze 2 
  0 ;
*1)
2)   2  E 
 2 E  0 ;
2

4

r
 
dx

0 
m02 x 2 
d 2  2m 
  0 ; 4)   2m E  0 .

E

3)
2 
d x 2  2 
2
Задание 25
Установите соответствие уравнений Шрёдингера их физическому смыслу
А
1 Нестационарное
2m 
Ze 2 
  0
  2  E 

4

r
 
0 
для Б
2 Стационарное
m02 x 2 
d 2  2m 
  0
микрочастицы в по 2 E 
2

2
dx
 
тенциальной
одно
d 2
2m
мерной яме
для В
3 Стационарное
электрона в атоме водорода
для Г
4 Стационарное
гармонического осциллятора
Д
m02 x 2 
2m 
  0
 2 E 
2
2 
dx
 
2


  U( x, y, z, t )  i
2m
t
d 2
d 2
2

2m
2
E  0
dx

2) 1-Г, 2-Б, 3-А, 4-В;
*1) 1-Г, 2-В, 3-А, 4-Б;
3) 1-А, 2-Б, 3-Г, 4-В;
4)1-В, 2-Б, 3-А, 4-Д.
Задание 26
Стационарным уравнением Шредингера для электрона в водородоподобном ионе является уравнение . . .
2m 
Ze 2 
  0 ;
*1)   2  E 

4

r
 
0 
m02 x 2 
d 2  2m 
  0 ;
 2 E 
3)
2

2
dx
 

Задание 27
d 2

2m
4)  
2m
2)
dx
2


2
2
E  0 ;
E  0 .
16
Стационарным уравнением Шредингера для линейного гармонического осциллятора является уравнение…
2 

m02 x 2 
2m 
2
m
Ze
  0 ; 2)  
E 
  0 ;
 2 E 
*1)
2
2 


2
4

r
dx
 
 
0 

2m
d 2  2m
3)
;
4)



E  0 .

E


0
2
2
2

dx

Задание 28
Стационарное уравнение Шредингера в общем случае имеет вид:
2m
  2 E  U   0 ,

где U- потенциальная энергия микрочастицы. Электрону в атоме водорода соответствует уравнение…
d 2
2m 
Ze 2 
  0 ;
*1)   2  E 
40 r 
 
m02 x 2 
d 2  2m 
  0 ;
 2 E 
3)
2
2 
dx
 
2)
d 2
d x2
3)  

2m
2
2m
2
E  0 ;
E  0 .
Задание 29
Квадрат модуля волновой функции , входящей в уравнение
Шрёдингера, равен …
*1) плотности вероятности обнаружения частицы в соответствующем
месте пространства;
2) импульсу частицы в соответствующем месте пространства;
3) энергии частицы в соответствующем месте пространства.
Задание 30
С помощью волновой функции , входящей в уравнение Шрёдингера, можно определить …
*1) вероятность обнаружения частицы в любой точке пространства;
2) импульс частицы в любой точке пространства;
3) траекторию движения частицы.
Задание 31
Состояние микрочастицы в данном состоянии описывается волновой функцией, квадрат модуля которой определяет…
17
*1) плотность вероятности микрочастицы в данном состоянии;
2) кинетическую энергию микрочастицы в данном состоянии;
3) потенциальную энергию микрочастицы в данном состоянии;
4) вероятность нахождения микрочастицы в данном состоянии.
Задание 32
Вероятность dP(x) обнаружения электрона вблизи точки с координатой x на участке dx равна…
*1) dP(x)= │Ψ(x)│2 dx;
3) dP(x)= Ψ2(x)·dx;
2) dP(x)=Ψ(x2)·dx;
4) dP(x)= Ψ(x)·dx.
Задание 33
В стационарных состояниях, описываемых волновой функцией
t

( x, t )  ( x ) exp   iE  ,


плотность вероятности данного состояния…
*1) не зависит от времени; 2) зависит от времени гармонически;
3) зависит от времени по экспоненте; 4)зависит от времени линейно.
3.3. Простейшие задачи квантовой механики
Теоретическое введение
3.3.1. Прохождение частиц через потенциальный барьер
Различие в поведении квантовых и классические частиц проявляется в том случае если на пути частицы встречается потенциальный барьер (при x  0 U  0 , при x  0 U  U 0 )
Для классической частицы: если Е – полная энергия частицы
меньше U0 то она не преодолеет и, потеряв часть скорости, будет
двигаться вдоль Х.
Для квантовой частицы: если E  U 0 ,она проникнет на некоторую глубину, а затем начнет двигаться обратно.
Глубиной проникновеU
ния . при которой вероятE2
ность нахождения частицы
Uo
уменьшается в е раз
xe 

8mU 0  E 
E1
X
xe
18
Например, металлическое тело для свободных электронов является потенциальной ямой с U0, которая выше Е электрона на 1 эВ.
Тогда xe  1 Å.
Поверхность металла является потенциальным барьером, в
который электроны проникают на глубину 1A и возвращаются обратно. Следовательно, поверхность металла окружена облаком
электронов.
Даже если E  U 0 , то есть вероятность отражения частицы
от барьера
 E  E  U0
R  
 E  E  U0
Для барьера конечной
ширины вероятность того,
что квантовая частица
пройдет сквозь него называется коэффициентом прохождения (прозрачности)
De


.


U
Uo
E
l
8mU0  E 

Для барьера произвольной формы
X
ℓ
b
De
1
  8m U 0  E dx
a
Частица как бы проходит
U
через «туннель» в потенциальном
барьере и поэтому такое явление
называется туннельным эффекE
том.
В туннеле E  U 0 получается, что кинетическая энергия отX
рицательна. Такого быть не моa
b
жет, так как одновременно
знать кинетическую и потенциальную энергию в квантовой механике невозможно, то же самое,
что одновременно  и x, следовательно, понятие отрицательной кинетической энергии абсурдно.
3.3.2. Движение частиц в одномерной яме с абсолютно непроницаемыми стенками
19
В уравнение Шредингера  
2m
2
E  U 
 0 полная энергия Е
частицы входит в качестве параметра. В теории дифференциU
альных уравнений доказывается,
U=∞
U=∞
что уравнения Шредингера удовлетворят стандартным условиям не при любых значениях Е, а
лишь при определенных значениях,
которые называются собственными значениями энергии. РешеU=0
X
ния соответствующие собственℓ
ным значениям энергии называются собственными функциями.
Совокупность собственных значений называется спектром. Спектр
бывает дискретным и непрерывным. В случае дискретного спектра
собственные значения и собственные функции можно пронумеровать
E1 , E2 , E3
1 , 2 , 3 .
Пусть частица находится между двумя бесконечными стенками, удовлетворяющими условиям
x  0 U  , x   U   , 0  x  l
U  0.
Для одномерного случая уравнение Шредингера
 2
x 2

2m
2
E  U 
0
За пределами ямы вероятность обнаружения частицы равна
нулю. Следовательно, и   0 . Из условий непрерывности на границах
 0   l   0
Для частицы в яме уравнение Шредингера имеет вид
 2
x 2
Обозначим k 
2
2m

2m
2
E  0
E . Для уравнения
 2
 k 2  0 общим ре-
x

шением является   Asinkx   
Из условия x  0   0    0
Из условия x  l   0  kl  n n  1,2,3,...
При n  0   0 то есть частица отсутствует.
2
2
20
Откуда k 
n
l
.
Выразив из k 2 
2m
E энергию, получим:
2
k 22  2n 22  22 2
E


n , n  1,2,3,...
2m
2ml 2
2ml 2
Спектр энергии является дискретным. Если вычислитьь разницу между соседними уровнями энергии и в качестве частицы взять
молекулу с m ~ 10 26 кг, то для ширины ямы ℓ = 10 см получим
E ~ 10 20 эВ. То есть, чем больше m и больше ℓ, тем гуще уровни
U
U
E3
3
n=3
32
E2
2
n=2
22
E1
1
n=1
12
U=0
U=0
X
ℓ
X
ℓ
энергии. Для электрона ℓ ~ 10-10 м (атомные размеры) E ~ 102 эВ.
Найдем собственные функции
 n x   A sin
nx
l
Для нахождения А воспользуемся условием нормировки
l
A2  sin2
Функция sin
2 nx
l
0
nx
l
dx  1
на концах промежутка х = 0 и x = ℓ обраща-
ется в ноль, поэтому интеграл можно получить, умножив среднее
значение sin 2 nx  1 на ℓ.

2
A2
1
2
 1 A 
2

21
Откуда
n x  
2
n
sin
x


В состоянии n = 2 вероятность нахождения частицы посередине ямы рана 0. В классической физике все положения частицы равновероятны.
Пример 1. Волновая функция n x   2 sin  n  x  описывает ос
 

новное состояние частицы в бесконечно глубоком прямоугольном
ящике шириной . Вычислить вероятность нахождения частицы в малом интервале  = 0,01 в двух случаях: 1) вблизи стенки (0 < x < );
2) в средней части ящика (( - )/2 ≤ x ≤( + l)/2).
1)0,02; 2)0,01; 3)0,60; 4)0,54.
Решение. Вероятность того, что частица будет обнаружена в интервале dx (от x до x + dx), пропорциональна этому интервалу и квадрату модуля волновой функции, описывающей данное состояние,
равна d = (x)2dx.
В первом случае искомая вероятность найдётся интегрированием
в пределах от 0 до 0,01:
2 0,01 2

 sin x /  dx 
 0
Так как x изменяется в интервале 0 ≤x ≤0,01 и, следовательно,
x/ <, справедливо приближённое равенство
sin2(x/)  (x/)2.
С учётом этого выражение (1) примет вид
2
2 0,01
2 0,01 2
2




x
/

dx

  x dx 

3
 0

0
После интегрирования получим
2
2
6
6
=
10  6,6  10 .
3
Во втором случае можно обойтись без интегрирования, так как
квадрат модуля волновой функции вблизи её максимума в заданном
малом интервале ( = =0,01) практически не изменяется. Искомая
вероятность во втором случае определяется выражением
22
 = 2(sin2(/2)/ = 20,01/ = 0,02.
Задания к теме
Задание 34
Частица массой m с энергией E < U0
подлетает к потенциальному барьеру высотой U0 Для области I уравнение Шредингера имеет вид…
d 2  2m
*1) 2  2 E  0 ;
dx

U
U0
I
II
III
x
d 2  2m
2) 2  2 E  U 0   0 ;
dx 
2m
3)   2 E  0 ;

d 2  2m
4)
 2 U 0  E   0 .
2
dx

Задание 35
Частица массой m с энергией E < U0 подлетает к потенциальному барьеру высотой U0 Для области II уравнение Шредингера имеет вид…
*1)
d 2
dx
2
2)  

2m
2m
2

2
E  U 0   0 ;
U
U0
I
II
III
x
E  0 ;

d  2m
3) 2  2 E  0 ;
dx

2
4)
d 2
dx
2

2m

2
U 0  E  0 .
23
Задание 36
На рисунке приведены картины распределения плотности вероятности нахождения микрочастицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Состоянию с квантовым числом n = 2 соответствует график …
1)

2
2)

2
x
3)

x
2
4)

2
x
1);
*2);
x
3);
4).
Задание 37
На рисунке приведены картины распределения плотности вероятностей нахождения микрочастицы в потенциальной яме с бесконечно
высокими стенками. Состоянию с квантовым числом n = 4 соответ1)

2
2)
x
3)

2

2
x
4)
x
X
24
ствует график …
1);
2);
3);
*4).
Задание 38
2
Вероятность 
обнаружить
электрон на участке (a,b) одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками вычисляется
по формуле

b
x
W    dx ,
0
a
L
3
2L
3
L
где ω  плотность вероятности, определяемая ψ- функцией. Если ψ 
функция имеет вид указанный на рисунке, то вероятность обнаруL
L
x
жить электрон на участке
равна …
6
2
1
*1) ;
3
2)
1
;
2
3)
2
;
3
4)
5
.
6
Задание 39
Вероятность обнаружить электрон на участке (a,b) одномерного
потенциального ящика с бесконечно высокими стенками вычисляется
по формуле

b
W    dx ,
a
где ω  плотность вероятности, определяемая ψ- функцией. Если ψ  функция
имеет вид указанный на рисунке, то вероятность обнаружить электрон на
участке L 6  x  L равна …
*1)
5
;
6
2)
1
;
2
3)
2
;
3
x
0
L
3
2L
3
L
1
4) .
3
25
Задание 40
Вероятность обнаружить электрон на участке (a,b) одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками вычисляется по фор-

x
b
0
муле W    dx , где ω  плотность ве-
L
4
a
L 3L L
2 4
роятности, определяемая ψ- функцией.
Если ψ  функция имеет вид, указанный на рисунке, то вероятность
3L
 x  L равна …
обнаружить электрон на участке
8
5
1
3
1
*1) ;
2) ;
3) ;
4) .
8
4
8
2
Задание 41
Вероятность обнаружить электрон на участке (a,b) одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле

x
b
W    dx ,
0
L
4
a
L 3L L
2 4
где ω  плотность вероятности, определяемая ψ- функцией. Если ψ  функция имеет вид указанный на рисунке, то вероятность обнаружить
5L
3L
x
электрон на участке
равна …
8
4
1
*1) ;
8
3
3) ;
8
2)
1
;
4
5
5) .
8

2
Задание 42
На рисунке изображена плотность
вероятности обнаружения микрочастицы
x
0
L
2
L
26
на различных расстояниях от «стенок» ямы. Вероятность её обнаружения в центре ямы равна …
*1) 0;
2) 3 4 ;
3) 1 4 ;
4) 1 2 .
Задание 43
На рисунке изображена плотность
вероятности обнаружения микрочастицы
на различных расстояниях от «стенок»
ямы. Вероятность её обнаружения на
L
L
участке  x  равна …
4
2
*1) 1 4 ;
2) 3 4 ;
3) 0;

2
x
0
4) 1 2 .
L
2
L
Задание 44
На рисунках схематически представлены графики распределения плотности вероятности обнаружения электрона по ширине одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками для
состояний с различными значениями главного квантового числа n. В
состоянии с n = 4 вероятность обнаружить электрон в интервале от
3
l до l равна
8
*1) 5/8;
2) 3/8;
3) ¾;
4) 7/8.
Задание 45
На рисунке
приведены возможные ориентации век
тора Le – орбитального момента импульса электрона в атоме. Значение орбитального квантового числа для указанного состояния равно:
27
*1) 2
2) 1
3) 4
4) 5
Задание 46
На рисунке приведена одна из возможных
ориентаций момента импульса электрона в рсостоянии. Какие еще значения может принимать
проекция момента импульса на направление Z
внешнего магнитного поля?
z
2


L
-
1)  2 
2)  
*
*3) 
4) 2 
Задание 47
Момент импульса электрона в атоме и его
пространственные ориентации могут быть
условно изображены векторной схемой, на корой длина вектора пропорциональна
модулю

битального момента импульса Le электрона.
рисунке  приведены возможные ориентации
вектора Le . Значение орбитального квантового
числа и минимальное значение главного кванвого числа для указанного состояния соответственно равны …
*1) l = 1, n = 2
2) l = 1, n = 1
3) l = 3, n = 3
4) l = 3, n = 4
-2 
тоорНа
то-
Задание 48
На рисунке
приведены возможные ориента
ции вектора Le . Величина орбитального момента
импульса (в единицах ħ) для указанного состояния
равна …
28
*1) 2
2) 6
3)2
4) 3
Задание 49
На рисунке
приведены возможные ориентации

вектора Le . Величина орбитального момента импульса (в единицах ħ) для указанного состояния равна …
1) 2
*2) 6
3) 2
4) 3
Задание 50
Частица находится в прямоугольном одномерном потенциальном ящике с непроницаемыми стенками шириной 0,2 нм. Если энергия частицы на втором энергетическом уровне равна 37,8 эВ, то на
четвертом энергетическом уровне равна _____ эВ.
*1) 151,2
2) 75,6
3) 18,9
4) 9,45
3.4. Спектр атома водорода. Правила отбора. Теория Бора для водородоподобных систем
Теоретическое введение
В 1905 году Дж. Томсоном была предложена модель атома,
который представлял собой шар с равномерно распределенным положительным зарядом, внутри которого находятся электроны.
В 1911 году Резерфорд,
Э
бомбардируя -частицами
( ~ 107 м/с) металлическую
фольгу, определял углы их  - частицы

рассеяния на атомах мишени, регистрируя сцинтилляции на экране, покрытом
Ф
сернистым цинком.
Так как некоторые -
29
частицы отклонялись на большие углы, Резерфорд пришел к выводу о
существовании ядра атома, в котором сосредоточен весь положительный заряд и почти вся масса атома.
Ядро создает сильное электрическое поле, так как имеет малый объем. Резерфорд разработал количественную теорию рассеяния -частиц по углам  которая предполагала взаимодействие частицы и ядра атома по закону Кулона как для точечных зарядов.
-частица при центральном попадании в ядро сближается на
расстояние, которое можно найти. Посчитав, что вся кинетичеm 2
ская энергия -частицы
расходуется на потенциальную энер2
гию взаимного отталкивания
1 2Ze 2
40 rmin
, можно получить:
m 2
1 2e 2  z
=
4 0 rmin
2
При подстановке значений получаем, что размер ядра равен
rmin 
1
4e 2 z
4 0 m
2
 6  10 14 м.
3.5. Модель атома водорода Бора
Теоретическое введение
Возникшее противоречие ядерной модели атома с классической
электродинамикой (которое заключалось в том, что электрон, двигаясь ускоренно, должен терять энергию на излучение электромагнитных волн и за короткое время ~10-8 с упасть на ядро), было разрешено Нильсом Бором в 1913 году. Бор ввел постулаты, противоречащие классическим представлениям.
1. Атом может находиться в определенных энергетических
состояниях, при которых он не излучает и не поглощает энергию. Из
бесконечного множества электронных орбит в действительности
реализуются только дискретные орбиты, удовлетворяющие квантовым условиям.
2. При переходе атома из одного энергетического состояния
с энергий En в другое с E m излучается или поглощается квант энергии  .
En  Em   .
Стационарные орбиты электрона определяются главным квантовым числом, которое разрешает только определенные значения момента импульса электрона.
30
L  mtr  n
n  1,2,3,...
K
С
A
Существование дискретных уровней энергии атома
G
было доказано немецкими фиV
зиками Франком и Герцем
+
в1914 г. В этих опытах использовался триод, заполнен+
ный парами ртути. Между К
и С создавалось ускоряющее
напряжение, которое плавно менялось,
а
IA
между С и А - постоянное поддерживалось задерживающее напряжение. Зависимость анодного тока I от ускоряюU, В
щего напряжения U, полученная в
опыте, оказалось, имела максимумы.
4,9
9,8
14,7
Это свидетельствовало о том, что
при соударениях электронов с атомами
электроны могли испытывать неупругие столкновения, когда их
энергия была равна энергии возбуждения атома.
Согласно закону Ньютона электрону центростремительное
ускорение сообщает кулоновская сила
me
2
r

1 e2
4 0 r 2
(1)
+е – заряд ядра атома
Откуда
2 2
 L  mer  n 
1
r
e me


n
r


 4 0  2 n 2
4 0 me 2   m r
e


1
r
e2
4 0  2
2
e me
 n 2 , где n = 1,2, 3, …
(2)
При n = 1 r  0,529  10 10 м – радиус первой боровской орбиты.
Энергия атома водорода:
31
ħnm
En
Em
aц
+
m 2
1 e2
1  e2 e2 
1 e2
  
E

 согласно (1) 
2
4 0 r
4 0  2r
r 
4 0 2r
Подставив сюда (2), получим разрешенные энергии атома водорода:
2
2
 1  e me
, где
E n  

 4 0  2 2 n 2
n = 1,2,3,…
Частота спектральной линии при переходе атома из состояния с
энергией n в состояние с энергией m определяется:
2
E n  E m  1  e 4 me  1
1 
1 
 1


R









 m2 n2 
 4 0  2 3  m 2 n 2 
R  2,07  1016 с-1
nm
(4)
Вычисленные по формуле (4) частоты оказались в полном соЕ, эВ
n=∞
……
n=5
n=4
Е=0
c. Пфунда
c. Брэкета
n=3
c. Пашена
n=2
c. Бальмера
n=1
Е = − 13,6 эВ
c. Лаймана
32
гласии с экспериментом. Однако модель Бора была не последовательно классической, но и не квантовой. При помощи данной теории
невозможно в принципе объяснить закономерности спектров многоэлектронных атомов.
Таким образом, теория Бора являлась переходным этапом в
развитии квантовой физики.
Теория атома водорода, построенная Бором, подтверждалась
экспериментальным определением частот излучения атома водорода, которые называются серями.
Бальмер установил, что частоты волн водорода, излучаемые в
видимом диапазоне, определяются по формуле Бора и соответствуют переходу на второй энергетический уровень со всех выше лежащих.
Эту серию назвали серией Бальмера
1 
 1
 2  , n = 3, 4, 5,…
2
n 
2
  R
Серия Лаймана
1 
1

 , n = 2, 3, 4, 5,…
 12 n 2 
  R
3.6. Квантовомеханическая модель атома водорода
Квантовая физика дает для атома водорода такое же решение
для значений энергии атома, что и теория Бора, но она боле последовательна и описывает не только излучение атома водорода.
Стационарное уравнение Шредингера для атома водорода имеет вид:
2m e 
1 e2 

  0
  2  E 

4

r
 
0

Решения этого уравнения для любого положительного значения
энергии соответствует пролету электрона около ядра и удалению в
бесконечность, что не соответствует определению атома, как динамически устойчивой системы.
Решения, соответствующие дискретным отрицательным значениям энергии, равной
2
4
 1  me e 1
, n = 1,2,3,…
E n  

 4 0  2 2 n 2
соответствуют электрону, связанному с ядром.
33
При n = 1 получим значения энергии в основном состоянии атома водорода E1  13,6 эВ.
Так как электрон в атоме водорода движется в центральносимметричном поле ядра, то оператор Лапласа и собственные волновые функции удобно записывать в сферической системе координат
  nlm r, ,  .
Собственные волновые функции содержат 3 целочисленных параметров n, l, mℓ , которые называются квантовыми числами.
Число n – главное квантовое число. Оно определяет уровни энергии
электрона в атоме.
ℓ – азимутальное или орбитальное квантовое число, оно определяет
модуль орбитального момента импульса L   l l  1 ).
mℓ – магнитное квантовое число, оно определяет проекцию орбитального момента импульса на некоторое направление z, определяемое внешним магнитным полем)
L ,z    m .
n = 1, 2, 3,…. При данном n ℓ = 0, ±1, ±2, ±3, … ±(n – 1).
При данных n и ℓ
mℓ = 0,  1, 2, …, ℓ.
Энергетическое состояние электрона определяется только
квантовым числом n. Решения, удовлетворяющие стандартным
условиям, получаются при значениях l , не превышающих n – 1
  n  1   0,1,2,..., n - 1 - всего n значений
При данном ℓ квантовое число m может принимать 2ℓ + 1 различных значений
m  0,1,..., .
Состояния атома с одинаковой энергией (одинаковым квантовым числом n), отличающиеся числами l и m, называются вырожденными состояниями.
Число различных состояний называется кратностью вырождения.
Так как для данного n   n  1 , а m может принимать 2  1, значение , то кратность вырождения водородного атома:
n 1
 2  1  n
l 0
Таким образом, каждому значению En соответствует несколько собственных функций  nlm , отличающихся числами ℓ и mℓ..
Состояние электрона с ℓ = 0 называют S – состоянием,
34
ℓ= 1 - p – состоянием,
ℓ = 2 - d, ℓ = 3 - f, ℓ = 4 - g, ℓ = 5 - h.
Так как   n , то возможны следующие состояния:
1S
2S 2P
3S 3P 3d
4S 4P 4d 4f
В квантовой механике доказывается, что для орбитального
вантового числа имеется правило отбора
  1
Это значит, что возможны такие переходы, при которых ℓ изменяется на единицу.
Поэтому для серии Лаймана np  1S
(n  2,3...)
Бальмера nS  2 p b nd  2p n  3,4...
При увеличении числа n дискретность энергетических уровней
уменьшается и характер поведения частицы приближается к классическому. В этом состоит принцип соответствия:
При больших квантовых числах следствия, вытекающие из
квантовой механики, должны совпадать с результатами классической теории.
Подобно тому, как при   c (c   ) релятивистская механика переходит в ньтоновскую, при n     0  квантовая механика
переходит к классическому описанию (пренебрегаем   0 ).
Собственные функции nlm распадаются на два множителя:
 nlm  Rnl ( r )Ylm  ,  ,
Rnl ( r ) - вещественный,
Ylm  ,  - комплексный.
Так как координаты r, , независимы, то при подстановке в
уравнение Шредингера в сферических координатах уравнение Шредингера разбивается на две независимые части.
Первое уравнение Шредингера для радиальной части
1 d  2 dR   2m





r

E

U
r




R  0
r 2 dr  dr    2
r2 
и для сферической части
1  
Y
 sin
sin  

1  2Y


 Y  0

 sin2   2
35
Первое уравнение зависит только от вида потенциальной энергии, а следовательно определяется конкретной физической природой
взаимодействия частиц (для нашего случая – кулоновского).
Второе уравнение не зависит от вида силового поля, поэтому
его решение одинаково для всех центрально-симметричных полей.
Условие нормировки для этих уравнений имеет вид в сферических координатах:

 nlm nlmdV   RnlYlmYlm dV
*
2
*
*
  Rnl2 r 2 dr  Ylm
Ylm d  1
0
4
d  sin  d d - телесный угол
Из решения этих уравнений можно сделать следующие выводы:
1) Электрон может иметь в атоме водорода лишь дискретные
значения энергия:
2
4
 1  me e 1
, n = 1, 2, 3,…
E n  

 4 0  2 2 n 2
2) Состояние электрона в атоме характеризуется набором 4
квантовых чисел
а) главного квантового числа n, определяющего энергию
электрона;
б) орбитальное квантовое числа ℓ, определяющего дискретное значение модуля орбитального момента импульса
L  h   1,
  0,1,2,...n - 1
Магнитного квантового числа mℓ, определяющего стационарные
ориентации орбитального момента импульса электрона L в пространстве, например, их проекции на направление внешнего магнитного поля B .
m   0,1,2,...  l
Lz  m ,
Диапазону значений ℓ соответствует 2l  1 значений mℓ..
Например, если ℓ = 2, то вектор орбитального момента импульса электрона в атоме может принимать в пространстве 2  1
дискретных ориентаций .mℓ = 0, ±1, ±2.
г) спинового квантового числа s, определяющего ориентацию собственного момента импульса электрона (спина).
Собственный механический момент электрона определяется
M s   s s  1 , где s 
1
.
2
Проекция собственного механического момента равна
36
M sz  ms ,
1
ms   .
2
Полный механический момент электрона складывается из спинового и орбитального моментов электрона
│ℓ-s│,
M j   j  j  1 , j = ℓ + s, ℓ + s-1,
j – квантовое число полного момента импульса.
Проекция полного механического момента
M jz  m j 
m j  0,1,..., j
Взаимодействие орбитального и магнитного момента (как взаимодействие магнитных стрелок) приводит к расщеплению энергетических уровней, а следовательно, спектральных линий. Оно называется спин-орбитальным взаимодействием.
z
MS
MJ
ML
MZ
MS
3.7. Векторная модель атома
Движение электронов в других атомах, помимо атома водорода, определяется теми же квантовыми числами n, ℓ, j, mℓ, ms. Но
MS

MJ
z
ML



L
J
S
<J>
37
влияние на движение электрона других электронов приводит к тому,
что его энергия зависит кроме n и от квантового числа ℓ.
Механические и магнитные моменты атомов складываются из
орбитальных и спиновых моментов отдельных электронов.
Возможны два случая:
1. Если орбитальные моменты M e связаны между собой сильнее, чем с M s и наоборот (такая связь называется LS-связью), то все
моменты M e складываются в суммарный орбитальный момент
атома M L , а все M s в суммарный спиновый момент M S . А затем
находится полный момент атома M J .
Результирующий орбитальный момент импульса для SL-связи
M L   LL  1 ,
где L – орбитальное квантовое число атома.
Для двух электронов L   1   2 , 1   2  1,...,  1   2 .
Проекция момента импульса атома на некоторое направление
M LZ  mL 
m  0,1,..., L
Также и для полного спинового момента
M S   S S  1
M SZ  hmS
Тогда полный орбитальный момент атома
M J   J J  1
M JZ  hmJ
J  L  S , L  S  1,..., L  S
mZJ  0,1,..., J .
Векторная модель строится по следующим правилам. Пусть
известен модуль момента импульса и одна из его проекций М и Мz
(Мx и Мy – не определены). Следовательно, M может иметь направление одной из образующих конуса (совершает прецессию).
То, что проекция полного момента атома квантуется, было
доказано в опыте Штерна и Герлаха.
Принцип запрета Паули
Состояние электронов в атомах позволяет объяснить принцип
запрета Паули:
В одном и том же атоме (или другой квантовой системе) не
может быть двух электронов (либо других частиц со спином
1
), об2
ладающих одинаковой совокупностью квантовых чисел. (В одном и
том же состоянии не могут находиться 2 и более электронов).
38
Принцип Паули дает объяснение периодической повторяемости
свойств атомов.
Распределение электронной плотности для состояний с заданным главным числом n, но с разными значениями орбитального ℓ и
магнитного m - квантовых чисел, существенно отличаются. Хотя,
согласно формуле ( Е ~ 12 ), им соответствует одна и та же энергия
n
( Еn ~ 12
n
ню Еп
). Ситуация, когда одному и тому же энергетическому уров-
соответствует несколько различных квантовых состояний
систем (волновые функции  nlm отличаются значениями mℓ и ℓ),
называется вырождением уровня энергии. Уровень энергии называется невырожденным, если ему отвечает лишь одно состояние  nlm и
g, кратно вырожденным, если система в g различных состояниях
имеет одинаковую энергию.
В атоме водорода при заданном числе n орбитальное квантовое
число ℓ может принимать n значений (0,1,2,..., (n  1)) , а магнитное
квантовое число mℓ изменяется в пределах: -ℓ-+ℓ и следовательно
принимает 2ℓ+1 значений.
Поэтому кратность вырождения g - уровня энергии Еп определяется суммой арифметической прогрессии.
n 1
g   (2l  1)  n 2
l 0
если учесть наличие спина у электрона, то g  2n 2 .
На уровне с энергией
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
2 эл.
8 эл.
18 эл.
32 эл.
50 эл.
Оболочка
K
L
M
N
O
P
Задания к теме
Задание 51
39
Закон сохранения момента импульса накладывает ограничения на
возможные переходы электрона в
атоме с одного уровня на другой (правило отбора). В энергетическом спекатома водорода (рис) запрещенным
реходом является…
*1) 3s - 2s;
2) 3s - 2p;
3) 3d - 2p;
4) 4s - 3p.
p
s
d
f
4
3
тре
пе-
2
1
Задание 52
Закон сохранения момента импульса накладывает ограничения на возможные переходы электрона в атоме с одного уровня на другой (правило отбора). В
энергетическом спектре атома водорода
(рис) запрещенным переходом является…
p
s
d
f
4
3
2
*1) 4s - 3d;
2) 2p - 1s;
3) 4s - 3p;
4) 3s - 2p.
Задание 53
Закон сохранения момента импульса накладывает ограничения на возможные переходы электрона в атоме с одного
уровня на другой (правило отбора). В
энергетическом спектре атома водорода
(рис) запрещенным переходом является…
*1) 4f - 2p;
2) 4p - 3d;
3) 2p - 1s;
4) 3s - 2p.
1
p
s
d
f
4
3
2
s
p
d
f
4
3
21
Задание 54
Закон сохранения момента импульса накладывает ограничения на возмож40
1
ные переходы электрона в атоме с одного уровня на другой (правило
отбора). В энергетическом спектре атома водорода (рис) запрещенным переходом является…
*1) 4d - 2s;
3) 3d - 2p;
2) 4s - 3p;
4) 2p - 1s.
Задание 55
Видимой части спектра излучения атома водорода соответствует
формула
1
1 
1
1 
 1
1
 R  2  2 , n  3,4,5,.... ; 2)  R  2  2 , n  2,3,4,.... ;


2
1
n 
n 
1
1 
1
1 
1
 1
3)  R  2  2 , n  5,6,7,.... ; 4)  R  2  2 , n  4,5,6.... .


4
n 
3
n 
Задание 56
На рисунке представлена диаграмма энергетических уровней
атома водорода. Поглощение фотона с наибольшей длиной волны
происходит при переходе, обозначенном стрелкой номер …
*1)
W, эВ
n=
0,85
1,5
n=4
n=3
3,4
n=2
13,6
n=1
1
1);
2);
3);
2
4);
3
4
5
*5).
Задание 57
41
На рисунке изображены стационарные орбиты атома водорода согласно модели Бора, а так же условно
изображены переходы электрона с одной стационарной орбиты на другую,
сопровождающиеся излучением кванта
энергии. В ультрафиолетовой области
спектра эти переходы дают серию
Лаймана, в видимой  серию Бальмера,
в инфракрасной  серию Пашена.
Наибольшей частоте кванта в серии
Лаймана соответствует
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
*1) n=5 → n=1;
2) n=2 → n=1;
3) n=5 → n=3;
4) n=3 → n=2.
Задание 58
На рисунке изображены стационарные орбиты атома водорода согласно модели Бора, а так же условно изображены переходы электрона с одной
стационарной орбиты на другую, сопровождающиеся излучением кванта
энергии. В ультрафиолетовой области
спектра эти переходы дают серию Лаймана, в видимой  серию Бальмера, в
инфракрасной  серию Пашена.
Наименьшей частоте кванта в серии
Лаймана соответствует…
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
1) n=2 → n=1;
2) n=5 → n=1;
3) n=4 → n=;
4) n=5 → n=3.
*
Задание 59
Магнитное квантовое число m определяет…
*
1) проекцию орбитального момента импульса электрона на заданное
направление;
42
2) собственный механический момент электрона в атоме;
3) орбитальный механический момент электрона в атоме;
4) энергию стационарного состояния электрона в атоме.
Задание 60
Азимутальное квантовое число l определяет…
*1) орбитальный механический момент электрона в атоме;
2) собственный механический момент электрона в атоме;
3) энергию стационарного состояния вэлектрона в атоме;
4) проекцию орбитального момента импульса электрона на заданное
направление.
Задание 61
На рисунке приведена одна из возможных ориентаций момента
импульса электрона в р-состоянии. Какие еще значения может
принимать проекция момента импульса на направление Z внешнего
магнитного поля?
z
2
1)  2  ;
*2)   ;

*3)  ;

L
4) 2  .
-
Задание 62
В единицах постоянной Планка  спин
электрона равен …
*1) 1/2;
2) 1;
3);
-2 
4) 3/2.
Задание 63
Электрон в атоме водорода перешёл из основного состояния в
возбуждённое с n = 3. Радиус его боровской орбиты …
*
1) увеличился в 9 раз;
2) увеличился в 2 раза;
3) увеличился в 3 раза; 4) уменьшился в 3 раза; 5) не изменился.
Задание 64
43
В атоме водорода K и L оболочки заполнены полностью. Общее
число электронов в атоме равно……
*1) 10;
2) 8;
3) 28;
4) 6.
Задание 65
Энергия электрона в атоме водорода определяется значением
главного квантового числа n. Если
*1) 3
2) 4
3) 5
E n1
 4 , то n равно…
E n1
4) 2
44
Раздел 4. ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
ЧАСТИЦ
4.1. Радиоактивность. Состав атомных ядер.
Согласно современным представлениям атомное ядро состоит
из протонов и нейтронов, которые объединяются общим названием
нуклоны.
1.Протон (от греч. Protos), термин был введен Резерфордом,
обозначается p  . Он является стабильной частицей с временем
жизни
  10 30 лет
m p  1,6726  10 27 кг
Однако чаще всего масса элементарных частиц измеряется в
МэВ
E p  m p c 2  1,5033  10 10 Дж  938,3 МэВ .
Таким образом, масса протона значительно больше массы
электрона ( me  0,511 МэВ ).
1
2
Протон имеет собственный механический момент S p  .
2. Нейтрон (от латинского Neuter – ни тот, ни другой)/
1
- нейтральная частица. Был предсказан теоретически, а
0n
затем обнаружен экспериментально в 1932 году английским физиком
Чедвиком.
mn  1,6750  10 27 кг  939 ,5 МэВ (в энергетических единицах)
1
2
mn  m p  2,5 me .
Sn 
3. Основные характеристики ядра
Заряд ядра определяется количеством протонов и характеризуется зарядовым числом Z (порядковый номер элемента в таблице
Менделеева)
Число нуклонов в ядре численно равно массовому числу А.
Массовым числом называется ближайшее к массе атома целое
число и выражается в а.е.м., которое равно
45
1а.е.м. 
m p  mn
2
 1,5044  10 10 Дж  939 МэВ .
m p  1,007276 а.е.м.
mn  1,008665 а.е.м.
Таким образом, любой элемент таблицы Менделеева изображается в следующем виде:
Z
 A Z  Z n
n = количество нейтронов.
4. Радиус ядра атома зависит от числа содержащихся в нем
нуклонов. Опыты показали, что средняя плотность нуклонов для всех
ядер приблизительно одинаковы, следовательно, объем ядра ~ массовому числу, а следовательно
R  a A
1
3
a  1,12  1,4  1013
см.
В настоящее время принято
a  1,3  10 13 см
1Ферми  1Ф  10 13 см
a  1,3Ф .
Проведенные опыты по рассеиванию -частиц на ядрах показали, что радиус действия ядерных сил больше радиуса, в котором
распределены нуклоны.
Последняя формула для радиуса ядер имеет вид:
1 

R   0,7  A 3   1,2Ф .


5. Масса ядра.
В настоящее время существует множество моделей атомных
ядер, а следовательно множество формул, связывающих массы ядер
с их составом. Однако в первом приближении все модели приводят к
выводу, что масса ядра ~ массовому числу A
M яд  b  A ,
b - постоянная величина.
Отсюда следует, что плотность ядерного вещества приблизительно одинакова для всех ядер.
46
Если ядро состоит из протонов и нейтронов, то масса ядра
должна быть связана с их массами. Измерение масс ядер показывает, что масса ядра всегда меньше суммы масс исходных нуклонов.
Разность между массой всех исходных частиц и массой ядра называется дефектом масс:
m  Zm p   A  Z mn   A z m .
Z
Это означает, что при образовании ядра часть массы исходных частиц должна передаваться окружающей среде в виде энергии,
которая согласно формуле Эйнштейна E св  m  c 2 - называется
энергией связи. Она показывает, какую энергию необходимо затратить для расщепления ядра на составные части.
Более важной характеристикой ядра является удельная энергия
связи, то есть энергия связи, приходящаяся на 1 нуклон
E
 Z
E св
Z 

 c 2   m p   1  mn  
A
A 

 A
Оказалось, что Е зависит от массового числа
А.
То есть существуют
ядра химических элементов, в которых E св велика.
Это ядра с массовыми числами 50-60, для которых
энергия связи около 9 Мэв.
а) Cr  Zn
Zm
A

A 
Eсв/А,
эВ/нуклон
9
7
А
60
200
В таких ядрах протоны и нейтроны наиболее плотно упакованы, поэтому E св больше, чем в среднем.
б) Все точки для средней энергии связи на нуклон ложатся на
гладкую кривую, за исключением ядер с магическими числами.
Они, как правило, имеют зарядовые числа Z  2, 8,14, 20, 50, 82, либо число нейтронов N  2, 8,14, 20, 28, 50, 82,126.
47
Существуют также ядра, у которых Z и N входят в ряд магических чисел, такие ядра назвали дважды магическими.
Это: 42 He Z  2, N  2 , 168 O Z  8, N  8 , 82208 Pb Z  82, N  126 , 4020 Ca , 4820 Ca .
4.2. Превращение атомных ядер
4.2.1. Законы радиоактивного распада
Радиоактивностью называется способность атомных ядер
превращаться в другие ядра с испусканием спектра частиц. Если
превращение ядер происходит спонтанно (самопроизвольно), то радиоактивность называют естественной.
Если распад осуществляется искусственно, то радиоактивность искусственная.
Явление радиоактивности было обнаружено французским фи2
3
1
S
N
зиком Беккерелем в 1896 г., который впервые наблюдал испускание
ураном проникающих излучений.
В 1890 Резерфорд и Содди, используя естественную радиоактивность U , Ra ,Th , а также радиоактивность легких элементов, вывели ряд закономерностей.
I. Естественная радиоактивность сопровождается тремя видами
излучения.
1.  - излучение представляет собой поток положительно заряженных частиц, которые являются ядрами гелия.
48
2.  - излучение представляет собой поток электронов или позитронов.
3.  -излучением является электромагнитное излучение с длиной волны от 10-3 до 1 Å.
II. Радиоактивность обусловлена внутренним строением ядер и
не зависит от внешних условий.
Более того, распад каждого ядра не влияет на распад других
ядер.
III. Различные радиоактивные вещества сильно отличаются по
числу и качеству испускаемых излучений.
Радиоактивные вещества принято характеризовать количеством распадов в единицу времени.
4.2.2. Активность радиоактивного вещества
Количество распадов в секунду равно отношению уменьшения
общего количества атомов радиоактивного вещества к промежутку
времени, за которое произошло это уменьшение , то есть
dN
 N
dT
Знак «-» показывает, что число радиоактивных ядер убывает с течением времени.
- постоянная радиоактивного распада и характеризует

активность распада элемента.
После интегрирования получим, что
N  N 0 e  t ,
N 0 - первоначальное количество радиоактивных ядер,
N - число нераспавшихся ядер к моменту времени t.
Продолжительность жизни радиоактивных ядер принято характеризовать периодом полураспада, то есть промежутком времени, за который число радиоактивных ядер уменьшится вдвое.
Исходя из этого определения, легко найти связь между периодом полураспада и постоянной распада
N T1 2   N 0 e
 T 1
2
N T1 2  1
1
 T
  e 1 2  T  ln
N0
2
2
49
ln 2
T1 2

среднее время жизни радиоактивных ядер определяется выражением


1
  N  tdt
N 0 0
после интегрирования получим
 
1

, то есть период полураспада ядер
T1 2  0,693 .
В экспериментах обычно измеряют активность вещества, то
есть число распада ядер в 1 сек.
a
dN
 N
dt
a    распад   1Беккерель
 сек

Однако
чаще всего используется внесистемная единица
1 Кюри  3,7  1010 расп / с .
Существуют ядра с очень большим и очень малым периодом полураспада, например период полураспада изотопа 92238U равен 4,5∙103
лет, а период полураспада изотопа 88219 Ra составляет 10-3 с.
При - распаде образуется дочернее ядро и испускаются - частицы. Этот вид радиоактивности характерен для элементов, расположенных в конце таблицы Менделеева. В настоящее время
насчитывается около 40 естественных и более 100 искусственно вызванных  - излучателей.
A4
A
Z
z
 распад
 
 z 2   42 He  W
то есть в результате -распада заряд ядра уменьшается на 2 единицы, а массовое число уменьшается на 4 единицы.
Пример 88226 Ra  222 Rn  42 He  W . В результате получим 92235U .
86
- распад имеет 2 особенности:
1. Постоянная распада и энергия вылетевшей -частицы оказались взаимосвязанными и подчиняется закону Гейгера- Неттола
m  B1 ln E  B2
50
В1 и В2 – эмпирические постоянные.
Закон показывает, что чем меньше продолжительность жизни,
тем больше энергия вылетевшей -частицы.
2. Энергия -частиц при распаде заключена в узких пределах от
4  9 Мэв , что значительно меньше энергии, которую  -частица
должна была бы получить после -распада при ускорении в электрическом поле ядра.
Энергия -частицы оказалась малой по сравнению с потенциальным барьером ядра.
3. Наблюдается тонкая структура излучаемых  - частиц, то
есть наблюдается некоторое распределение  - частиц по энергии
вблизи некоторого среднего значения. Причем это распределение
дискретно.
   распад
Е
30 МэВ
Получена эксп.
Е
Е'
r
Uo
Z
X A  Z 1Y A  e   ~  n  p  e  ~
   распад
Z
X A  Z 1Y A  e 
Электронный захват
51
X A Z X A  
Z
90Th
234
7N
 91 Pa 234  e 1  ~
13
 6 C 13  e 1  
p  n  e  
Занимает энергию у других нуклонов.
 -распад был объяснен только по завершении построения квантовой
механики и объясняется с ее позиций. Классической трактовке он не
поддается.
На рисунке U 0 - глубина потенциальной ямы, высота потенциального барьера 30 МэВ
Согласно классической механике  - частицы не могут преодолеть потенциальный барьер.
В ядрах уже существуют по одной  -частице, которые движутся внутри ядра с энергией E .
Если бы не было потенциального барьера, то  -частица покинула бы ядро с энергией
E  E  U 0
- энергия, которую она потратила бы на преодоление сил
притяжения в ядре.
Однако в силу того, что ядро имеет оболочку, которая приводит к увеличению потенциального барьера приблизительно на 30
МэВ (см. чертёж.), то  -частица может покинуть ядро, только
пройдя через потенциальный барьер. В соответствии с законами
квантовой механики частица, обладающая волновыми свойствами,
может проходить через потенциальный барьер без затраты энергии. Данное явление называется туннельным эффектом.
Применение  -распада обусловлено тем, что вероятность проникновения  -частиц через барьер зависит от размеров ядер. Можно оценить размеры ядра, зная энергию  -частицы Е.
U0
 - распад
52
Самопроизвольное превращение нейтронов в протон и наоборот внутри атомных ядер сопровождается испусканием электронов либо позитронов.
Известно три типа  -распада
I. Электронный  -распад заключается в том, что, нейтрон в ядре превращается в протон, при этом из ядра вылетает электрон и
излучается антинейтрино.
1
1
0
~
0 n 1 p  1 e   e ,
где ~e - электронное антинейтрино.
При  -- распаде образуется ядро с числом протонов на один
больше, чем у исходного (материнского) ядра. При этом массовое
число А не меняется. При этом общая форма распада
Z
X A  Z 1Y A  1 e 0  ~e
То есть в результате  - -распада происходит смещение элемента в таблице Менделеева на одну клетку вправо.
II. Позитронный распад (  +)
При этом распаде протон в ядре превращается в нейтрон с испусканием позитрона и нейтрона
1p
1
 0 n1 1 e 0   e
Паули при решении уравнения Шредингера предположил существование е+.
Общее уравнение  + - распада записывается
Z
X A  Z 1Y A  e 0   e
изотоп
6
11

С11 
5 B  e  e

То есть в такой реакции образуется ядро с зарядом на единицу
меньше, чем у исходного ядра с тем же массовым числом А.
Использование закона сохранения энергии к этой реакции привели ученых к выводу, что часть энергии должна уноситься неизвестной частицей, не имеющей заряда и массы покоя и обладающей
огромной проникающей способностью. Эту частицу назвали
нейтрино.
III. Электронный захват
53
Материнское ядро с избытком протонов (по сравнению с числом нейтронов) может захватить электрон с какой-либо оболочки.
После захвата ядром данного электрона атом испускает характеристическое рентгеновское излучение, а один протон в ядре превращается в нейтрон.
1

1
1 p  e  0 n   - квант рентгеновского излучения
При электронном захвате число протонов в ядре уменьшается на
единицу
Z
X A  e   Z 1Y A  
4 Be
7
 e   3 Li 7  
N - число - частиц вылетевших из ядра
Е
Еmax
(вероятность мала)
Несмотря на разнообразие  распада он обладают одной важной особенностью – энергетический спектр  -частиц является
сплошным спектром, т.е. энергия изменяется от 0 до некоторого
максимального значения, которое является энергией распада.
Тогда энергия  -частицы
E  Emax  E~e ,e  ,
то есть энергия образовавшейся  - частицы зависит от энергии
нейтрино.
Теория  -распадов была разработана Ферми что привело к экспериментальному обнаружению нейтрино и антинейтрино.
54
 - распад
 -распад сопровождается излучением электромагнитных волн
в области сплошного рентгеновского спектра, в результате распада
возникает новое ядро с тем же Z и А, но с более низкой энергией. То
есть  -распад характерен для энергетики возбужденных ядер и, как
правило, сопровождает  и  распад.
Z
XA 

Z

X A  .
3
Пример 1. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра Li 7 .
1) 39,2 МэВ; 2) 19,6 МэВ; 3) 78,4 МэВ; 4) 10,2 МэВ.
Решение. Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных
(находящихся на очень больших расстояниях друг от друга ) протонов и нейтронов, из которых состоит ядро. Дефект массы ядра m равен разности между суммой масс свободных нуклонов и массой ядра,
т.е.
m = Zmp + (A - Z)mn - mя,
(1)
где Z - порядковый номер (число протонов в ядре); mp, mn, mя соответственно массы протона , нейтрона и ядра.
В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных атомов, а не ядер, поэтому формулу (1) целесообразно преобразовать
так, чтобы в неё входила масса ma нейтрального атома. Можно считать, что масса нейтрального атома равна сумме масс ядра и электронов, составляющих электронную оболочку ядра: ma = mя + Zme, откуда
mя = ma - me.
(2)
Выразив в равенстве (1) массу ядра по формуле (2), получаем
m = Z(mp + me) + (A - Z)mn - ma.
Замечая, что mp+me=mH, где mH- масса атома водорода, находим
m = ZmH + (A - Z)mn - ma.
(3)
Подставив в выражение (3) числовые значения масс, взятые из
справочной таблицы, получим
m = [31,00783 + (7 - 3)1,00867 - 70,1601] = 0,04216 (а.е.м.)
В соответствии с законом пропорциональности массы и энергии
E = mc2,
(4)
55
где c - скорость света в вакууме.
Коэффициент пропорциональности c2 можно выразить через массу и энергию: c2 = E/m = 91016 Дж/кг.
Если вычислять энергию связи, используя внесистемные единицы, то c2 = 931,44 МэВ/а.е.м. С учётом этого формула (4) примет вид
E = 93,44m (МэВ).
(5)
Подставив значение дефекта массы ядра в формулу (5), получим
E = 931,440,04216 МэВ = 39,2 МэВ.
Задания к теме
Задание 1
Периодом полураспада называется . . .
.
*1) время, в течение которого распадается половина наличного количества атомов радиоактивного элемента;
2) время, в течение которого распадаются все атомы радиоактивного
элемента;
3) время между моментами распада двух ядер атомов радиоактивного
элемента;
4) время, в течение которого концентрация распавшихся ядер увеличивается в е раз.
Задание 2
Из 1010 атомов радиоактивного изотопа с периодом полураспада 20
мин, через 40 минут не испытают превращение примерно
*1) 2,5·109 атомов; 2) 2,5·105 атомов; 3) 5·105 атомов 7,5·109 атомов.
Задание 3
Активность радиоактивного вещества это…
*1) число ядер, распадающихся в единицу времени;
2) время, в течении которого распадается половина имеющихся
радиоактивных яде;
3) число ядер, распадающихся в единицу времени на единицу массы
вещества;
4) относительное уменьшение числа радиоактивных ядер за единицу
времени.
Задание 4
При α-распаде…
*1) заряд ядра уменьшается на 2e, масса ядра уменьшается на 4 а.е.м.;
56
2) заряд ядра уменьшается на 2e, масса не изменяется;
3) заряд ядра уменьшается на 4e, масса ядра уменьшается на 2 а.е.м.;
4) заряд ядра не изменяется, масса ядра уменьшается на 4 а.е.м..
Задание 5
Внутри
атомного
ядра
произошло
самопроизвольное
e . С ядром в
преврашение нейтрона в протон: n → p + e + ~
результате такого превращения произошел…
*1) β  распад; 2) ядерная реакция деления;
3) ядерная реакция синтеза; 4) β+ распад; 5) α  распад.
Задание 6
В ядре изотопа углерода 146С содержится…
*1) 6 протонов и 8 нейтронов;
2) 14 протонов и 6 нейтронов;
3) 14 протонов и 8 нейтронов;
4) 8 протонов и 6 нейтронов;
5) 6 протонов и 14 нейтронов.
Задание 7
На рисунке показана область существования β-активных ядер.
Прямая линия соответствует равновесным значениям Zβ,
соответствующим β-стабильным ядрам. Здесь Z порядковый номер
элемента, а N  число нейтронов в ядре.
Z
β-стабильные
ядра
N
В области Z<Zβ…
*1) ядра обладают избытком нейтронов и β- - активны;
2) ядра обладают избытком нейтронов и β+- активны;
3) ядра обладают избытком протонов и β- - активны;
57
4) ядра обладают избытком протонов и β+ - активны.
Задание 8
Сколько α- и β-распадов должно произойти, чтобы торий
превратился в стабильный изотоп свинца 20882Pb.
*1) 6 α-распадов и 4 β-распада;
2) 7 α-распадов и 3 β-распада;
3) 4 α-распада и 6 β-распадов;
4) 5 α-распадов и 5 β-распадов.
232
90Th
Задание 9
Сколько α- и β-распадов должно произойти, что бы актиний
227
207
89Ac превратился в стабильный изотоп свинца
82Pb.
*1) 5 α-распадов и 3 β-распада;
2) 4 α-распада и 4 β-распада;
3) 5 α-распадов и 5 β-распадов;
4) 6 α-распадов и 3 β-распада.
Задание 10
Сколько α- и β-распадов должно произойти, что бы америций
241
209
95Am превратился в стабильный изотоп висмута
83Bi.
*1) 8 α-распадов и 4 β-распада;
2) 9 α-распадов и 3 β-распада;
3) 7 α-распадов и 3 β-распад;
4) 6 α-распадов и 5 β-распадов.
Задание 11
Сколько α- и β-распадов должно произойти, что бы уран 23592U
превратился в стабильный изотоп свинца 20782Pb.
*1) 7 α-распадов и 4 β-распада;
2) 5 α-распадов и 6 β-распадов;
3) 8 α-распадов и 3 β-распада;
4) 6 α-распадов и 5 β-распадов.
4.3. Ядерные реакции. Элементарные частицы
Теоретическое введение
4.3.1. Искусственная радиоактивность, ядерные реакции
Ядерные реакции – это взаимодействие двух или более частиц,
которое приводит к появлению новых частиц или новых элементов.
Ядерные реакции происходят за счет действия ядерных сил, поэтому
58
для наступления ядерной реакции необходимо сблизить частицы до
расстояния 10-13см.
В настоящее время известно порядка 1000 ядерных реакций. Основные характеристики ядерных реакций:
а) запись ядерных реакций
При взаимодействии легких частиц с ядром в результате получается другое ядро и легкие частицы
X a Y b
X a ,bY
17
 p  n  9 F 17
8O
18
8O
 p ,n 9 F 17
Ядерные реакции, идущие в несколько этапов (1936 – Бор) с образованием промежуточных ядер, которые называются компаундядрами, принято записывать в виде
X  a  П Y b
Если а = b, то ядерная реакция называется рассеянием.
Вероятность протекания ядерных реакций принято характеризовать двумя величинами.
1. Ядерное время
Это промежуток времени (ядерное время пролета), который
требуется частице с энергией 1МэВ, чтобы пройти расстояние,
равное диаметру ядра.
 яд 
d ядра
част


2  1,4  10 13 см А

 2,8  10 22 А1 3 с.
9
10 см / с
То есть время зависит от массового числа элемента.
2. Эффективное сечение ядерной реакции
 
1
N
ln 0
n N  
- количество падающих частиц на систему ядер,
n – концентрация ядер в пластине толщиной  ,
N   - количество частиц, вышедших из пластины.
N0
   1барн  10 24 см 2
59
(Цепная реакция ядер урана, термоядерная реакция синтеза лёгких ядер и устройство атомного реактора самостоятельно.)
4.3.1. Законы сохранения в ядерных реакциях
1. Закон сохранения электрического заряда
Суммарный электрический заряд продуктов реакции должен
равняться суммовому электрическому заряду исходных частиц. Коротко говоря, сумма зарядовых чисел до реакции и после реакции
равна.
2. Закон сохранения массового числа.
Суммарное массовое число до реакции и после реакции совпадают.
3. Закон сохранения энергии и импульса
 n 
 n 




   Ei 
Q
  Ei 
 i 1 
i 1

 до вз

 после вз
- количество теплоты либо поглощаемое, либо выделяемое в процессе реакции.
Q > 0 – реакция идет с выделением энергии и называется экзотермической.
Q
Li  p      17 М эВ
Q > 0 – реакция идет с поглощением энергии и называется эн-
дотермическая.
Обратная реакция, идущая по обратной схеме к экзотермической, всегда является эндотермической.
    Li  p  17 М эВ
= 0 – реакция представляет собой упругое рассеяние.
4. Закон сохранения барионного заряда
Суммарное число нуклонов в ядерных реакциях сохраняется.
4.3.2. Основные характеристики элементарных частиц
В настоящее время известно более 150 элементарных частиц,
которые участвуют в 3 видах взаимодействий.
1. Электромагнитное взаимодействие – обусловливает существование у частицы электрического заряда и считается в настояQ
60
щее время, что оно переносится фотонами. Интенсивность этого
взаимодействия характеризуется некоторой безразмерной величиной
e2
1


hc 137
Время взаимодействия 10-18-10-20 с.
Масса покоя и собственная энергия частиц
Как известно из релятивистской физики, энергия частицы связана с массой покоя соотношением
E 2  c 2 p 2  m02 c 4  m 2 c 4
Существуют частицы, для которых масса покоя равна нулю,
поэтому E  cp , то есть такие частицы в любой среде движутся со
скоростью света в вакууме (фотон, и все вида нейтрино).
Массы элементарных частиц выражаются в массах электрона.
2. Электрический заряд
Большинство элементарных частиц имеют электрический заряд, причем почти каждая частица имеет своего двойника – античастицу с противоположным зарядом. (е- и е+).
Электрический заряд выражается в единицах заряда е.
3. Спин S – собственный механический момент элементарной
частицы. Известны частицы со спином
1 

S  0;  ;  
2 

0,  - бозоны,
1
 - фермионы
2
Сильное взаимодействие проявляется между тяжелыми частицами независимо от их электрического заряда и характерны для
ядерных превращений.
Семейство сильно взаимодействующих частиц назвали адронами (α=15)
Время взаимодействия 10-23 – 10-22 с.
Исследование сильного взаимодействия потребовало введения
новых характеристик элементарных частиц.
61
Барионный заряд B – специфический заряд элементарной частицы неэлектрического характера, проявляющийся в ядерных взаимодействиях.
Для всех тяжелых частиц, участвующих в ядерных взаимодействиях, барионный заряд полагается равным В = 1, а для их античастиц В = -1.
У протона В = +1, антипротона В = -1,
нейтрона В = +1, антинейтрона В = -1
По современным представлениям ядерные силы между протонами и нейтронами обусловлены обменом квантами ядерного взаимодействия, которыми являются -мезоны.
Существуют , ответственные за взаимодействие протоннейтрон и  - ответственные за взаимодействие между одноименными нуклонами.
Существование  -мезонов было предсказано теоретически в
1935 г. японским физиком Юкава. Они были обнаружены в1949 г.
космическом излучении.
      .
 - мезон в космических лучах распадается на - мезоны и на мюонное нейтрино.
Аналогично
      ~
В связи с этим стало необходимо ввести еще одну характеристику.
4.3.3. Изотопический спин
Он указывает на мультиплетность данного класса частиц
a ) - синглет

M б )  дублет
в ) - ттрипле

одна частица в группе
две частицы в группе
62
три частицы в группе
М – мультиплексность
Выполняется соотношение
I 
M 1
2
а) электрон − М = 1;
б) нуклон  может существовать в виде нейтрона и протона. Тогда
М=2
I=
1
2
-мезон  +, - , 0
М=3
I=1
После того, как были введены данные условные величины Гелл
Манн и Нишиджима получили соотношение, которое связывало основные характеристики элементарных частиц: q, ее изотопический
спин и барионный заряд
QI
B
2
(1)
Данное соотношение выполняется во всех известных ядерных реакциях.
Однако в 1949 году в космических лучах были обнаружены частицы с m = 1000mе, которые распадались на мюоны и нейтрино.
Частицы назвали К-мезоны (каоны). Оказалось, что существуют К+,
К0 и К- - каоны.
К     
К   0
Реакции были обнаружены в космических лучах, а позже в ускорителях.
Оказалось, что в этих реакциях не выполняется (1), поэтому
ввели новую характеристику элементарной частицы, которую
назвали странность.
S  0,1,2
63
Для всех частиц, не участвующих в реакциях типа распада К-онов S
= 0.
Тогда уравнение (1) запишется в виде
QI
B S

2 2
(2)
Соотношение (2) выполняется для всех известных элементарных частиц.
Взаимодействия с участием странных частиц были названными
слабыми.
  10 14   10 10  10 8 сек
Каждое из квантовых чисел, характеризующих элементарную
частицу при ядерных реакциях сохраняется. Поэтому существуют
соответствующие законы сохранения.
Задания к теме
Задание 12
В осушествлении
участвует…
ядерной
реакции
14
17
1
7 N  X  8O  1H
*1) α-частица; 2) протон; 3) нейтрон; 4) электрон.
Задание 13
При бомбардировке протонами ядер лития 73Li образуется αчастица. Вторым продуктом реакции является…
*1) α-частица; 2) протон; 3) 2 протона; 4) нейтрон; 5) 2 нейтрона.
Задание 14
При бомбардировке протонами ядер изотопа азота 147N
нейтронами образуется изотоп углерода 116С. Еще в ядерной реакции
образуется…
*1) α-частица; 2) нейтрон; 3) 2 нейтрона; 4) протон; 5) 2 протона.
Задание 15
Два ядра гелия 42 He слились в одно, при этом был излучен протон. В результате этой реакции образовалось ядро . . .
*1) 73 Li ;
Задание 16
2) 74 Be ;
3) 64 Be ;
4) 63 Li ;
5) 83 Li .
64
При бомбардировке ядер изотопа азота
14
7N
нейтронами образу-
ется изотоп бора 115 B . Ещё в этой ядерной реакции образуется
*1) α-частица; 2) нейтрон;
3) 2 нейтрона; 4) протон; 5) 2 протона.
Задание 17
Произошло столкновние -частицы с ядром берилия 94 Ве . В
результате образовался нейтрон и изотоп …
1) 126 С ;
2) 125 B ;
3) 106 С ;
*4) 136 С ;
5) 83 Li .
Задание 18
На рисунке показана кварковая диаграмма распада -гиперона.
Эта диаграмма соответствует реакции …
n
d
s
u
d
u
~
u
d
*1) 0  p   
2) 0  p  0 ;
3) 0  n    ; 4) 0  n    .
Задание 19
Взаимодействие K 0 - мезона с протоном в водородной пузырьковой камере идёт по схеме

K0  p
0  p   
Если спин π – мезона Sπ = 0, то характеристиками K0 – мезона будут..
*1) q = 0; S = 0; 2) q > 0; S = 0; 3) q = 0; S = 1/2; 4)q > 0; S = 1/2.
Задание 20
На рисунке показана фотография взаимодействия K0-мезона с
протоном в водородной пузырьковой камере, которое идет по схеме
65
0

КK 0  p
0


p

0
+ p
Если спин π-мезона Sπ= 0, то спин 0 -гиперона
1
*1) S  0  ;
2
2) S 0  1;
3) S  0  0 .
Задание 21
На рисунке показана кварковая диаграмма распада K+-мезона.
u
~s
u
~
d
~
u
u
Эта диаграмма соответствует реакции. . .
*1) K      0 ; 2) K   K     ; 3) K        ; 4) K   0    .
Задание 22
Взаимодействие  - мезона с протоном в водородной пузырьковой камере c образованием неизвестной частицы Х идёт по схеме
  p
K 0    
0  Х   
Если спин -мезона S = 0, то заряд и спин частицы Х равны …
*1) q  0; S  1 2 ; 2) q  0; S  0 ; 3) q  0; S  1 2 ; 4) q  0; S  0 .
Задание 23
66
На рисунке показана кварковая диаграмма захвата нуклоном μмезона


u
u
d
d
u
d
Диаграмма соответствует реакции…
*1)    p  n    ; 2)   n  n~   ; 3)   p  ~p   ; 4)   n  p  
Задание 24
На рисунке показана фотография
взаимодействия π -мезона с протоном
в водородной пузырьковой камере,
которое идет по схеме
Если спин -мезона S = 0, то спин частицы Х будет равен …
X

0
K0
 p

+
*1) SX  1 2 ;
2) SX  0 ;
3) SX  1 .


K 0    
0  Х   
Задание 25
На рисунке показана кварковая диаграмма β распада нуклона
67
d
u
d
d
u
u
e
~
e
Диаграмма соответствует реакции …
*1) n  p  e  ~
e ; 2) p  n  e  ~
e ; 3) n  n  e  ~
e ;
4) p  p  e  ~
 .
e
Задание 26
Нуклоны в ядре взаимодействуют посредством обмена виртуальными частицами. Процесс их образования соответствует схеме …
*1) n


p   ; 2) p


p   ; 3) n


p   ; 4) n


n   .
Задание 27
Законом сохранения спинового момента импульса запрещена
реакция. . .
*1) p    n  e  ; 2) e   e      ; 3)   e   e    ;
4)   e   e   e   e  .
Задание 28
Реакция n  p  e  e не может идти из-за нарушения закона
сохранения . . .
*1)Электрического заряда;
2)Лептонного заряда;
3)Барионного заряда;
4)Спинового момента импульса.
Задание 29
68
Установить
соответствие процессов взаимопрев-ращения частиц:
1
β- распад
А
0
0
1 e  1e  2 
2
β+ распад
Б
1
1
0
1 p0 n  1e  e
3
K - захват
В
1
0
1
1 p 1e0 n  e
4
аннигиляция
Г
1
1
0
~
0 n1p 1e  e
Д
1
0
1
0 n  1e1p  e
*1) 1-Г, 2-Б, 3-В, 4-А;
2) 1-Б, 2-В, 3-А, 4-Д;
3) 1-А, 2-Б, 3-Г, 4-Д;
4) 1-Б, 2-Г, 3-А, 4-Д.
Задание 30
Законом сохранения барионного заряда запрещена реакция…
*
1) n  p  e  e ;
2) e  n  p  e ;
pp~
n n.
3)   e   e   e   e  ;
4) ~
Задание 31
Законом сохранения лептонного заряда запрещена реакция…
 ;
*1)    e   e  ~
2) e  n  p  e ;
3) ~
4)      e    .
  p  n  e ;

e
Задание 32
Законом сохранения
реакция…
*1) n  e  p  e ;
3) n  ~
p  e  ~
 ;
e
e
электрического
заряда
запрещена
2)   n  p    ;
  .
4)    e   ~
e

Задание 33
Реакция    e   e   не может идти из-за нарушения
закона сохранения…
*1) лептонного заряда;
2) спинового момента импульса;
3) электрического заряда;
3) барионного заряда.
Задание 34
 невозможна
Реакция распада электрона по схеме e       ~
вследствии невыполнения закона сохранения …
*1) электрического заряда; 2) лептонного заряда; 3) энергии.
Задание 35
Нестабильная частица движется со скоростью 0,6·с. (с  скорость света в вакууме). Тогда время её жизни . . .
69
1) Увеличивается на 25%;
2) уменьшается на 10%;
3) уменьшается на 20%;
4) увеличивается на 10%.
Задание 36
В процессе сильного взаимодействия не принимают участие . .
*1) фотоны;
2) нейтроны;
3) протоны.
Задание 37
В процессе сильного взаимодействия принимают участие. . .
*1)протоны;
2) фотоны;
3) электроны.
Задание 38
В процессе сильного взаимодействия принимают участие…
*1) нуклоны; 2) электроны;
3) фотоны.
Задание 39
Позитрон является античастицей по отношению к…
*1) электрону;
2) нейтрону;
3) протону; 4) нейтрино.
Задание 40
В гравитационном взаимодействии принимают участие…
*1) все элементарные частицы;
2) Только частицы, имеющие нулевую массу покоя;
3) Только нуклоны.
Задание 41
Атомное ядро состоит из протонов и нейтронов. Ядерные силы
притяжения действуют между парами частиц …
*1) Протон-протон, протон-нейтрон, нейтрон-нейтрон;
2) Только протон-протон;
3) Протон-протон, нейтрон-нейтрон;
4) Протон-протон, протон-нейтрон;
5) Протон-нейтрон, нейтрон-нейтрон;
6) Только нейтрон-нейтрон.
Задание 42
Укажите квантовую схему, соответствуюшую гравитационному
взаимодействию
*
70
1)
2)
 m1
p
m2
e
~

3)
q1
G
q2
n
*1);
2);
3).
Задание 43
Укажите квантовую схему, соответствуюшую гравитационному
взаимодействию
фотон
1)
 m1
нуклон
2)
m2
3)
q1
q2
g
g
*1);
2);
3).
Задание 44
Взаимодействие, в котором принимают участие все
элементарные частицы, является …
*1) гравитационным; 2) сильным; 3) слабым;4) электромагнитным.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Савельев, И. В. Курс физики т.3 [Текст]: учеб. пособие / И. В. Савельев; СПб.: Изд. «Лань», 2006. 320 c.
2. Ландсберг, Г. С. Оптика [Текст]: учеб. Пособие для вузов / Г. С.
Ландсберг; М.: Физматлит, 2006. 928 с.
3. Трофимова, Т. И. Курс физики [Текст]: учеб. пособие / Т. И. Трофимова; М.: Высш. шк., 2003. 542 с.: ил.
4. Детлаф, А. А. Курс физики [Текст]: учеб. пособие / А. А. Детлаф, Б.
М. Яворский; М.: Наука, 2001. 718 с.
71