trig.metodx

КОНСПЕКТ УРОКА ПО ТЕМЕ: «МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»
Преподаватель математики
ГБОУ СПО «Перемышльский техникум
эксплуатации транспорта»
Поляков М. М.
Тип урока: комбинированный.
Цели урока:
Образовательные: способствовать формированию навыков решения
тригонометрических уравнений различными методами; ввести новые методы
решения тригонометрических уравнений;
Развивающие: способствовать развитию умения применять имеющиеся знания в изменённой ситуации;
Воспитательные: способствовать формированию математической
культуры личности.
Оборудование: ноутбук, проектор, презентация, таблицы со значениями тригонометрических функций и основными формулами тригонометрии.
План урока
Актуализация знаний
1. Организационный момент
2. Проверка домашнего задания
3. Актуализация знаний по решению тригонометрических уравнений
4. Постановка проблемной ситуации
II. Формирование новых знаний и способов действий
1. Введение новых методов решения тригонометрических уравнений
А) Метод вспомогательного угла
Б) Метод универсальной тригонометрической подстановки
III. Формирование умений и навыков
1. Самостоятельная работа
IV. Итоги урока
1. Подведение итогов урока
2. Обсуждение домашнего задания
I.
Ход урока
Актуализация знаний
Учитель: Здравствуйте, ребята! Садитесь. Тема урока: «Методы решения тригонометрических уравнений». Сегодня вы вспомните уже известные
вам методы решения тригонометрических уравнений и изучите новые методы (слайд 1).
Учитель: Проверим домашнюю работу //Один из учащихся выходит к
доске и излагает ход решения домашнего задания//.
Учащиеся:
Найти область значений функции 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥.
Решение: 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = √2 (
√2
𝑠𝑖𝑛 𝑥
2
−
√2
𝑐𝑜𝑠 𝑥)
2
𝜋
𝜋
= √2𝑠𝑖𝑛⁡(𝑥 − );
4
Так как областью значений функции 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛⁡(𝑥 − ) является отрезок
4
[−1; 1], то областью значений функции 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 является отрезок
[−√2;⁡√2] (слайд 2).
Учитель: Молодец! Садись.
Учитель: Вашему вниманию предложены тригонометрические уравнения. Вам необходимо указать метод решения каждого уравнения (слайд 3).
Учащиеся: Первое уравнение сводится к квадратному уравнению относительно косинуса после применения основного тригонометрического тождества. Второе уравнение является однородным уравнением второй степени.
Оно сводится к квадратному уравнению относительно тангенса после деление на квадрат косинуса. Третье уравнение решается методом разложения на
множители с помощью вынесения общего множителя за скобки. Четвёртое
уравнение также решается методом разложения на множители, только с помощью формулы преобразования суммы тригонометрических функций в
произведение. Пятое уравнение является однородным уравнением первой
степени. Оно сводится к простейшему уравнению относительно тангенса после деления на косинус.
Учитель: Правильно. Перечисленные вами методы позволяют решить
большое количество тригонометрических уравнений. Тем не менее, очень
предлагаемые на выпускных и вступительных экзаменах тригонометрические
уравнения не могут быть решены данными методами. Например, в пятом
уравнении заменим ноль в правой части на число 5. Полученное уравнение
не является однородным. Как решать это уравнение?
Учащиеся: Методы, которые мы знаем непригодны для данного уравнения. Должен быть какой-нибудь другой метод для решения данного уравнения.
Формирование новых знаний и способов действий
Учитель: Данное уравнение имеет вид 𝑎𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑏𝑐𝑜𝑠⁡𝑥 = 𝑐. Для решения этого уравнения используется метод вспомогательного угла. Вы уже знаете этот метод. Только применяли его для нахождения области значений
функции 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥. Обе части уравнения делятся на √𝑎2 + 𝑏 2 . Получившиеся коэффициенты являются значениями синуса и косинуса некоторого угла φ. После замены коэффициентов на значения синуса и косинуса угла
φ применяется одна из формул сложения. Далее решается простейшее уравнение (слайд 4).
Учащиеся:
Учитель: Молодцы. Данное уравнение можно решить ещё одним методом. Этот метод использовался вами при упрощении тригонометрических
выражении и доказательстве тригонометрических тождеств. Это метод универсальной тригонометрической подстановки. Суть данного метода состоит
в следующем: все тригонометрические функции заменяются на выражения,
зависящие от тангенса половинного угла. Затем с помощью замены данное
уравнение сводится к алгебраическому (слайд 5).
Учащиеся:
𝑥
𝑥
1 − 𝑡𝑔2
2 , 𝑐𝑜𝑠 𝑥 =
2
𝑠𝑖𝑛 𝑥 =
𝑥
𝑥
1 + 𝑡𝑔2
1 + 𝑡𝑔2
2
2
𝑥
2𝑥
2𝑥
6𝑡𝑔 + 4 − 4𝑡𝑔
1 + 𝑡𝑔
2
2=5
2
𝑥
𝑥
1 + 𝑡𝑔2
1 + 𝑡𝑔2
2
2
𝑥
2𝑥
2𝑥
6𝑡𝑔 + 4 − 4𝑡𝑔 − 5 − 5𝑡𝑔
2
2
2=0
𝑥
1 + 𝑡𝑔2
2
𝑥
𝑥
2
9𝑡𝑔 − 6𝑡𝑔 + 1 = 0
2
2
2𝑡𝑔
𝑥
=𝑡
2
9𝑡 2 − 6𝑡 + 1 = 0
1
𝑡=
3
𝑥 1
𝑡𝑔 =
2 3
𝑥
1
= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
2
3
1
𝑥 = 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
3
𝑡𝑔
Учитель: Верно. Только необходимо учитывать следующее: если исходное уравнение не содержит тангенса половинного угла, то необходима
проверка значений 𝑥 = 𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍 , а если тангенс половинного угла в
уравнении содержится то проверку делать не нужно.
Учащиеся: В этом уравнении необходима проверка. Она показывает,
что данная серия значений не является решением данного уравнения.
Формирование умений и навыков
Учитель: Мы рассмотрели применение двух методов решения тригонометрических уравнений: метод вспомогательного угла и метод универсальной тригонометрической подстановки. Для проверки того, как вы усвоили эти методы, проведём самостоятельную работу (слайд 6).
Итоги урока
Учитель: Сегодня вы изучили два новых метода решения тригонометрических уравнений. Как они называются?
Учащиеся: Метод вспомогательного угла и универсальная тригонометрическая подстановка.
Учитель: Как вы думаете, какие недостатки есть у каждого из этих методов?
Учащиеся: Метод вспомогательного угла применяется только для уравнений вида 𝑎𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑏𝑐𝑜𝑠⁡𝑥 = 𝑐 , а универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к алгебраическим уравнениям высоких степеней.
Учитель: Вы хорошо освоили эти методы. Помимо них есть ещё несколько методов решения тригонометрических уравнений определённых видов. Те учащиеся, которые заинтересовались, могут найти описание этих методов в Интернет и соответствующей литературе. Домашнее задание: решить
уравнение 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 несколькими способами (не менее трёх). Урок
окончен.
Учащиеся: До свидания.