Индивидуальная траектория подготовки

Индивидуальная траектория
подготовки
участника III этапа школьной
олимпиады по математике
ученика 10-а класса
МКОУ СОШ № 10
села Юца
Толмасова Анатолия
Учитель математики
высшей категории
Комарова Галина Петровна
2012
Юца
Овладение любой современной профессией требует определенных
математических знаний. Представление о роли математики в современном
мире, математические знания стали необходимым компонентом общей
культуры. Для жизненной самореализации, возможности продуктивной
деятельности в информационном мире требуется достаточно прочная
математическая подготовка.
Роль и место математики в науке и жизнедеятельности общества,
ценность математического образования, понимание предмета математики,
структура личности обучающегося обуславливает цели математического
образования.
Выделяют
три
группы
целей,
соотнося
их
с
общеобразовательными, воспитательными и практическими функциями.
Олимпиады являются одной из наиболее массовых форм внеурочной работы
по математике.
Целями подготовки к математическим олимпиадам являются:

расширение кругозора учащихся;

развитие интереса учащихся к изучению математики;

повышение математической культуры, интеллектуального уровня
учащихся;

выявление учащихся, способных к математике, для организации
индивидуальной работы с ними.
Олимпиады готовят учащихся к жизни в современных условиях, в
условиях конкуренции. Умение решать задачи, особенно олимпиадные,
всегда являлось одним из показателей математической одаренности ученика.
Школа
сегодня
уже
не
является
монопольным
источником
информации, знаний, умственного развития учащихся. В частности, большой
вклад в их обучение вносит система дополнительного образования детей.
Поэтому результаты, достигаемые учащимися в мероприятиях, проводимых в
данной
системе,
должны
учитываться
при
определении
перспектив
дальнейшего обучения.
2
Программа подготовки к III этапу школьной олимпиады.
Модуль 1. Арифметические задачи. Решение олимпиадных задач с
целыми числами.
Условие:
Найдите сумму всех трехзначных натуральных чисел n, таких, что
первая и последняя цифры числа n^2 равны 1
Решение:
Последняя цифра квадрата - 1, значит последняя цифра самого числа 9 либо 1.
100<=n<=999
10000<=n^2<999999
Если n^2 пятизначное, то, учитывая, что первая цифра квадрата - 1,
10000<=n^2<=19999
100<=n<=141 => 101, 109, 111, 119, 121, 129, 131, 139, 141
Если n^2 шестизначное, то, учитывая, что первая цифра квадрата - 1,
100000<=n^2<=199999
316<n<448
319,441 и пары 32x, 33x, 34x, 35x, 36x, 37x, 38x, 39x, 40x, 41x, 42x, 43x, где x 1,9. Сумма каждой пары даст 650, 670, ... , 870
Суммируем парами: 210+230+250+270+141=(по арифм.
прогрессии)=141+960=1101
319+441+650+...+870=319+441+(650+870)/2*12=9120+319+441=9120+760=98
80
Итого: 9880+1101=10981
Ответ:
10981
3
Модуль 2. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы
решения систем уравнений и неравенств
Условие:
Решить неравенство:
log2((7−x2−3)*(7^−x2+16−1))+log2((7−x2−3)/(7^−x2+16−1)) > log2(77-x2-2)2
Решение:
На самом деле, это неравенство значительно проще, чем кажется на
первый взгляд.
Разберёмся с ОДЗ:
1. Выражение под первым знаком логарифма должно быть больше нуля:
(7^(-(x^2))-3)*(7^(-(x^2)+16)-1) > 0
-x^2 всегда меньше или равно нулю, следовательно,
7^(-x^2) <= 1, следовательно,
7^(-x^2)-3 <= -2 < 0
Значит, чтобы первое условие на ОДЗ выполнялось, нужно, чтобы
7^(-(x^2)+16)-1 < 0
7^(-(x^2)+16) < 1 = 7^0
-(x^2)+16 < 0
x^2 > 16
x принадлежит (-бесконечность; -4) U (4, +бесконечность)
2. Выражение под вторым знаком логарифма должно быть больше нуля. Но
там результат будет такой же, как и в первом пункте, поскольку в скобках
стоят одинаковые выражения.
3. Выражение под третьим знаком логарифма должно быть больше нуля.
(7^(7-x^2)-2)^2 > 0
Это неравенство всегда справедливо, за исключением случая, когда
7^(7-x^2)-2 = 0
4
7^(7-x^2) = 7^(log_7(2))
7-x^2 = log_7(2)
x^2 = 7 - log_7(2)
x = (+-)sqrt(7-log_7(x))
Оценим, чему примерно равно sqrt(7-log_7(x)).
1/3 = log_8(2) < log_7(2) < log_4(2) = 1/2
2 = sqrt(4) < sqrt(7-1/2) < sqrt(7-log_7(2)) < sqrt(7-1/3) < sqrt(9) = 3
То есть, условие x не равно (+-)sqrt(7-log_7(x)) уже лишнее, поскольку в п.
(1) мы уже выбросили из ОДЗ включающий эти точки интервал.
Итак, ещё раз ОДЗ:
x принадлежит (-бесконечность; -4) U (4, +бесконечность)
4. Теперь, пользуясь свойствами логарифма, исходное неравенство можно
преобразовать вот так:
log_2((7^(-x^2)-3)^2) > log_2((7^(7-x^2)-2)^2)
log_2(x) - функция возрастающая, поэтому избавляемся от логарифма, не
меняя знак:
(7^(-x^2)-3)^2 > (7^(7-x^2)-2)^2
Оценим сверху и снизу выражения (7^(-x^2)-3)^2 и (7^(7-x^2)-2)^2,
принимая во внимание ОДЗ:
-x^2 < -16
0 < 7^(-x^2) < 1
-3 < 7^(-x^2)-3 < -2
4 < (7^(-x^2)-3)^2 < 9
-x^2 < -16
0 < 7^(7-x^2) < 1
-2 < 7^(-x^2)-2 < -1
1 < (7^(-x^2)-3)^2 < 4
Значит, неравенство выполняется для любых x, принадлежащих ОДЗ.
Ответ:
(−∞; -4) ∪ (4; +∞)
5
Модуль 3. Параметры и модули. Решение уравнений и неравенств
с модулем. Методы решений уравнений и неравенств с параметром
Условие:
Найдите все положительные значения параметра а, при каждом из
которых уравнение аx= x имеет единственное решение.
Решение:
Пусть f(x) = a^x, g(x) = x.
Функция g(x) - непрерывная, строго возрастающая на всей области
определения и может принимать любое значение от минус бесконечности до
плюс бесконечности.
При 0 < a < 1 функция f(x) - непрерывная, строго убывающая на всей
области определения и может принимать значения в интервале
(0;+бесконечность). Поэтому при любых таких a уравнение f(x) = g(x) имеет
ровно одно решение.
При a = 1 функция f(x) тождественно равна единице, и уравнение f(x) =
g(x) также имеет единственное решение x=1.
При a > 1:
Производная функции h(x) = (a^x-x)
равна
(a^x-x)' = a^x*ln(a)-1
Приравняем её к нулю:
a^x*ln(a) = 1
a^x = 1/ln(a)
x = -log_a(ln(a)).
У производной единственный ноль. Слева от этого значения функция
h(x) убывает, справа - возрастает.
Поэтому она либо вообще не имеет нулей, либо имеет два нуля. И один
корень она имеет только в том случае, когда он совпадает с найденным
экстремумом.
6
То есть, нам требуется найти такое значение a, при котором функция
h(x) = a^x-x достигает экстремума и обращается в ноль в одной и той же
точке. Иными словами, когда прямая y=x является касательной к графику
функции a^x.
То есть a^x = x
a^x*ln(a) = 1
Подставляем a^x = x во второе
уравнение:
x*ln(a) = 1, откуда ln(a)=1/x, a = e^(1/x).
Снова подставляем во второе
уравнение:
(e^(1/x))^x*(1/x) = 1
e^1 = x
x = e.
А это подставляем в первое уравнение:
a^e = e
a = e^(1/e)
Ответ:
(0;1] ∪ {e(1/e)}
Модуль 4. Логические задачи повышенной сложности. Принцип
Дирихле
Условие
В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым две партии:
одну белыми фигурами, другую - черными. По окончании турнира оказалось,
что все участники набрали одинаковое количество очков (за победу дается 1
очко, за ничью - 1/2 очка, за поражение - 0 очков).
Докажите, что найдутся два участника, выигравшие одинаковое число
партий белыми.
7
Решение
Всего в турнире были сыграны n(n-1) партий, и в каждой
разыгрывалось 1 очко. Поэтому при равенстве всех результатов участники
набрали по n-1 очку. Каждый шахматист сыграл белыми n-1 партию, и
количество выигранных им партий белыми равно одному из n чисел: 0, ..., n
1. Предположим, что утверждение задачи неверно: все выиграли разное
число партий белыми. Тогда реализованы все возможные варианты от 0 до n1.
Рассмотрим двух участников турнира: A, выигравшего n-1 партию
белыми, и B, не выигравшего ни одной такой партии. Разберемся, каким мог
быть результат партии, которую A играл против B черными. С одной
стороны, A набрал n-1 очко, играя белыми, так что все свои партии черными,
в том числе и эту, он должен был проиграть. Но B не выиграл белыми ни
одной партии, значит, не мог выиграть и эту. Противоречие.
Модуль 5. Решение нестандартных геометрических задач
Условие
Две окружности радиусов r и p (r < p) касаются внешним образом, а
также обе касаются внутренним образом окружности радиуса R. Известно,
что треугольник с вершинами в центрах окружностей является
равнобедренным, а угол между боковыми сторонами больше
. Найдите
длину основания этого треугольника.
Подсказка
Против большего угла треугольника лежит большая сторона.
Решение
Пусть окружность с центром O1 радиуса r и окружность с
центром O2 радиуса p касаются между собой в точке C, а окружности с
центром O радиуса R — в точках A и B соответственно.
8
Поскольку линия центров двух касающихся окружностей проходит
через точку их касания, то O1O2 = r + p, OO1 = R - r, OO2 = R - p.
Стороны OO1 = R - r и OO2 = R - p не могут быть боковыми, т.к.
тогда R - r = R - p
r = p, что противоречит условию r < p. Поэтому одной
из боковых сторон является сторона O1O2 = r + p.
Угол между боковыми сторонами равнобедренного
треугольника O1OO2 больше 60o. Значит, углы при основании — меньше 60o.
Поскольку против большего угла треугольника лежит большая сторона, то
основание равнобедренного треугольника O1OO2 равно наибольшей из
величин R - r и R - p, а т.к. r < p, то R - r > R - p. Значит, OO1 = R - r —
наибольшая сторона треугольникаO1OO2.
Следовательно, основание треугольника равно R - r.
Ответ
R - r.
Модуль 6. Последовательности и прогрессии. Решение
олимпиадных задач
Условие
Дана геометрическая прогрессия. Известно, что её первый, десятый и
тридцатый члены являются натуральными числами. Верно ли, что её
двадцатый член также является натуральным числом?
9
Решение
Ответ: да, верно. Пусть a1, a2, ..., an, ... - данная геометрическая
прогрессия, q - её знаменатель. По условию a1, a10=a1q9 и a30=a1q29 натуральные числа. Поэтому q9 и q29 - положительные рациональные числа.
Отсюда следует, что q2=q29/(q9)3 - положительное рациональное число
и q=q9/(q2)4 также положительное рациональное число.
Пусть q=m/n, где m и n - натуральные взаимно простые числа.
Число a30=a1m29/n29 натуральное, m29 и n29 взаимно просты,
следовательно, a1 делится на n29. Отсюда получаем, чтоa20=a1q19=a1m19/n19 число натуральное.
10