Лекция № 11 сов.

Лекция № 11
Алгоритмизация исследования на ЭВМ качества систем автоматизации технологических процессов.
Комплекс требований определяющих поведение системы в установившемся режиме и особенно в переходном процессе отработки заданного воздействия, объединяется понятием качества
процесса управления, для оценки которого используют совокупность показателей.
Промышленные установки с системами автоматического управления можно разделить на
две большие группы:
1. Установки, в которых время переходного процесса пренебрежимо мало по сравнению с
установившимся режимом. В этих случаях динамические режимы не оказывают существенного
влияния ни на качество продукции, ни на производительность оборудования и более важной характеристикой качества является точность установившегося режима. Их примерами являются
насосы, вентиляторы, транспортеры и т. д.
2. Установки, в которых время переходного процесса соизмеримо с временем установившихся режимов, или, такие, в которых отклонение регулируемой переменной в динамике существенно влияет на качество продукции, на пример, станки, роботы, следящие системы и т. д. Для
данных установок важное значение имеют оба направления оценки качества управления.
Для оценки точности линейной системы управления используется величина ошибки в
различных установившихся режимах. Выражение для ошибки линейной САУ вытекает из дифференциального уравнения системы относительно ошибки и включает две составляющие:
x  xg  x f ,
(1)
где xg – ошибка воспроизведения задающего воздействия;
xf – ошибка, создаваемая возмущением (при нескольких возмущениях имеет место соответствующее число слагаемых).
Значения составляющих ошибки в установившемся режиме можно определить с помощью
теоремы о конечном значении оригинала ( lim f ( t )  lim sF(s) ):
t 
s0
x g  lim sФ x G , x f  lim sФ xf F ,
(2)
s 0
s 0
где G, F – изображения задающего и возмущающего воздействий соответственно,
Ф x , Ф xf - передаточные функции системы относительно ошибки и относительно ошибки
по возмущению.
На понятии ошибки в установившемся режиме базируется деление систем на статические и
астатические. В статической системе постоянное внешнее воздействие создает ошибку в установившемся режиме. Если же постоянное внешнее воздействие не создает установившейся ошибки,
то система астатическая относительно этого воздействия. В общем случае порядок астатизма
системы может быть определен по количеству интегрирующих звеньев или по степени множителя
j в знаменателе передаточной функции разомкнутой системы.
На основании разложения в выражениях (2) передаточных функций в степенные ряды были
получены формулы для вычисления установившихся ошибок через так называемые коэффициенты
ошибок:
dg C 2 d 2 g C 3 d 3g
df C d 2 f C f 3 d 3f
x g  C 0 g  C1


 ... , x f  C f 0 g  C f 1  f 2

 ... , (3)
dt
2! dt 2
3! dt 3
dt
2! dt 2
3! dt 3
d 2Ф x 
 dФ 
где C 0  Ф x s0 , C1   x  , C 2  
 ...
 ds  s0
 ds 2  s0
 d 2 Ф xf 
 dФ 
C f 0  Ф xf s0 , C f 1   xf  , C f 2  
 ...
 ds  s0
 ds 2  s0
В литературе (Макаров, Менский «Линейные автоматические системы») имеются формулы
для расчета коэффициентов ошибок для типовых структур передаточных функций.
Таким образом, использование ЭВМ для расчета показателей точности установившегося режима САУ сводится к составлению простых программ, реализующих вычисления по
приведенным формулам.
Алгоритм оценки поведения системы в установившемся режиме заключается в следующем:
- анализ функциональной или структурной схемы САУ и вывод выражений для передаточных функций системы относительно ошибки и относительно ошибки по возмущению;
- выбор математического метода расчета величины ошибки (с помощью теоремы о конечном значении или на основе коэффициентов ошибок);
- составление программы и расчет значений составляющих ошибки в установившемся режиме;
- анализ полученных результатов.
Значительно более сложной является задача оценки качества переходных процессов. Переходные процессы системы, в зависимости от изменения параметров, могут сильно различаться по
виду, иметь разные частоту колебаний, время завершения, амплитуду отклонения от заданной величины. В связи с этим возникает необходимость сравнения, оценки устойчивых временных характеристик систем.
Основными областями применения алгоритмов оценки качества САУ являются:
- сравнительный анализ систем при изменении параметров объекта управления, или при
сравнении систем разного вида для одного и того же объекта управления;
- выбор параметров систем, обеспечивающих заданные критерии качества переходных процессов, требованиям технического задания на разработку системы.
Основными показателями качества переходного процесса линейной САУ являются (рис.3):
Рис.3
- длительность переходного процесса (время регулирования) t p есть время, протекающее с момента подачи задающего воздействия до момента, после которого отклонение переходной
характеристики от установившегося значения не превышает допустимой ошибки h  h уст  ,   const .
Под  обычно понимают некоторую долю входного воздействия, составляющую, как правило, 1-5%.
- перегулирование есть максимальное отклонение от установившегося значения, выраh max 1  h уст
женное в относительных единицах или процентах -  
 100% . В большинстве слуh уст
чаев перерегулирование не должно превышать 10-30%, но иногда допускают и до 50-70%, а для
робототехнических систем   0% .
- число колебаний переходной характеристики за время регулирования. Обычно бывает одно-два колебания. В некоторых системах допускается по 3-4 колебания, а иногда 0 колебаний.
Кроме указанных показателей также используют:
2
– частота колебаний –  
, где T– период колебаний.
T
– время достижения первого максимума t м .
– время нарастания переходного процесса, время от начала переходного процесса до момента первого пересечения графиком линии установившегося значения, t н .
– декремент затухания, равный отношению модулей двух смежных перегулирований –
h max 1  h уст
k
.
h max 2  h уст
Методы оценки показателей качества переходного процесса системы делятся на два крупных класса: прямые и косвенные.
Прямые методы подразумевают непосредственное построение и анализ переходного процесса в САУ. Применительно к линейным системам можно выделить следующие методы:
- анализ экспериментально полученной кривой переходного процесса;
- математическое моделирование переходного процесса в системе.
В рамках первого метода производят оценку требуемых показателей качества системы
непосредственно по экспериментально полученному графику. В рамках второго метода аналитически получают выражение для управляемой величины в ходе переходного процесса, строят график ее изменения во времени и на его основе осуществляют оценку требуемых показателей качества. Основными аналитическими способами получения кривой переходного процесса являются
решение дифференциальных уравнений системы путем прямого или численного их интегрирования, на основе принципов операционного исчисления, а также построение искомой кривой по частотной характеристике системы.
Построение переходной характеристики на основе экспериментально снятой частотной
характеристике системы основано на теоретической зависимости вида:
h(t) 
2
sin( t )
Re( )
d ,

0

(4)
где Re() - вещественная часть АФЧХ системы.
Построение переходной характеристики осуществляют путем численного нахождения интеграла (4) методом трапеций или треугольников. Долгое время данный способ широко применялся для исследования качества систем, что повлекло разработку различных упрощенных способов
расчетов и создание специальные справочных таблиц. Однако с развитием ЭВМ и специализированного и универсального математического программного обеспечения данные методы отошли на
второй план, что, прежде всего, связано с их меньшей точностью по сравнению с другими охарактеризованными методами.
Таким образом, обобщенный алгоритм оценки качества системы прямыми методами заключается в следующем:
- анализ функциональной и структурной схем системы и выбор математического метода
для построения переходной характеристики системы;
- подготовка уравнений динамики системы и составление программы для расчета переходного процесса;
- автоматизированный расчет и построение графика переходного процесса;
- определение (по полученному графику) показателей качества переходного процесса;
- сравнение полученных оценок показателей качества с предъявляемыми к системе требованиями и формулировка выводов.
В отличие от прямых, косвенные методы позволяют оценить качество переходных процессов без непосредственного построения кривой переходного процесса. К косвенным методам
относятся частотные, корневые и интегральные методы.
Частотные методы предполагают приближенную оценку качества систем на основе анализа ее частотных характеристик. Теоретической основой их использования является зависимость
вида (4). На ее основе были разработаны правила приближенной оценки качества переходного
процесса, которые не требуют дополнительных расчетов (с ними можно познакомиться в литературе по ТАУ, например Макаров, Менский «Линейные автоматические системы»)
Корневые методы основаны на анализе характера и расположения корней характеристического уравнения системы, которые определяют характер ее переходных процессов. Это позволяет
формулировать требования к показателям качества переходных процессов путем определения
условий к корням характеристического уравнения.
Среди корневых методов исследования качества системы наиболее часто используется
оценка степени устойчивости  - расстояние от мнимой оси до ближайшего корня характеристического уравнения (то есть значение его вещественной части).
Корни характеристического уравнения, расположенные ближе к мнимой оси, то есть имеющие наименьшую по абсолютному значению вещественную часть, дают составляющие переходной характеристики, которые затухают наиболее медленно. Поэтому по степени устойчивости
можно оценить быстродействие системы. При этом время переходного процесса определяется по
следующей приближенной формуле:
tп 
tп 
1

1

ln h уст - если ближайший к мнимой оси корень вещественный,
ln h уст - если ближайшей к мнимой оси является пара комплексно-сопряженных
корней,
при h уст  0,05  t п 
3

или t п 
3

соответственно.
Для вычисления  используют смещенное характеристическое уравнение ( p  ( z   ) ):
a n ( p   ) n  a n1 ( p   ) n1  ...  a1 ( p   )  a0  0
Алгоритм оценки быстродействия будет заключаться в следующем:
1) для заданных параметров системы находится выражение для ее характеристического
уравнения;
2) по критерию Рауса проводится оценка устойчивости системы; (далее алгоритм продолжается только для устойчивых систем)
3) определяется величина смещения b, шаг его увеличения b и осуществляется итерационная процедура оценки устойчивости системы по критерию Рауса. На каждом шаге выполняются
следующие операции:
- рассчитываются коэффициенты смещенного уравнения
n
j
i 0
k 0
jk
a n (p  b) n  a n 1 (p  b) n 1  ...  a 1 (p  b)  a 0   d i p i  0 , d n  j   a n k b jk C n k (1) jk ,
m
где C n  число сочетаний из n по m, j=n, n-1, …, 0.
- вычисляется таблица Рауса для смещенного уравнения
- проводится анализ ее первого столбца и принимается решение об устойчивости или
неустойчивости системы.
Увеличение смещения производится до тех пор пока система не перейдет в неустойчивое состояние; в качестве шага увеличения смещения выбирается значение, обеспеb
  ); если выбранное значение b сразу
чивающее заданную точность определения  b
приводит к переводу системы в неустойчивое состояние, то осуществляется его уменьшегр
ние (например, на 20%). В результате определяются максимальное значение b уст , при котором система является устойчивой, и ближайшее значение bнеуст , при котором система
становится неустойчивой.
4) рассчитывается значение степени устойчивости
 ( 
bгр
уст  b неуст
2
) и определяется
время переходного процесса t п .
Данный алгоритм можно использовать в качестве составляющей части алгоритма исследования качества системы путем построения линий уровня степени устойчивости в плоскости параметров линейной САУ. Суть данного алгоритма заключается в следующем:
- выбираются два параметра САУ, задаются области изменения их значений
q1min  Q1  q1max , q 2 min  Q 2  q 2 max и шаги квантования dQ1, dQ2 , которые определяют разбиение области значений степени устойчивости на N элементарных прямоугольников;
- последовательно (начиная с любого крайнего прямоугольника) для значений параметров,
соответствующих середине элементарного прямоугольника, проводится оценка степени устойчивости системы по вышеприведенному алгоритму и организуется массив значений  ij ;
- из полученного массива определяется максимальное значение
 ij , которое делится на
пять равных уровней; каждому  ij присваивается тот номер, под область значений какого уровня
он попадает;
- результат оценки степени устойчивости в виде таблицы условных номеров уровней качества по быстродействию системы на заданной области изменения параметров системы выводится
на экран или печать (в точках, в которых система становится неустойчивой,  ij присваивается
значение 0);
- полученная таблица, привязанная к координатным осям исследуемых параметров, дает
наглядное представление о быстродействии системы и оптимальных для данного показателя качества значениях исследуемых параметров.
Еще одним показателем, используемым в корневых методах является колебательность  .
По ее значению можно определить приближенное значение перерегулирования переходной харак-

теристики -   e   100% . Колебательность – это отношение мнимой части ближайшего ком
плексного корня к его вещественной части. Использование колебательности для исследования качества переходных процессов ограничена возможностями по определению комплексносопряженных корней характеристического уравнения. Соответствующие алгоритмы оценки перерегулирования и исследования качества системы относительно перерегулирования строятся аналогично описанным для степени устойчивости. При этом вместо блоков, реализующих критерий
Рауса, используются блоки расчета комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения и выбора корней, имеющих минимальную по модулю вещественную часть.
Приведенные алгоритмы справедливы для систем, передаточные функции которых не имеют нулей, то есть их числитель состоит только из передаточного коэффициента. В более общем
случае, когда передаточная функция замкнутой системы представляет собой дробнорациональную функцию применение рассмотренных алгоритмов возможно в случаях взаимной
компенсации корней характеристического уравнения (полюсов) и корнями числителя передаточной функции системы (нулями). Условие взаимной компенсации имеет вид –
i   j  0,1 i  0,1  j .
Тогда определение степени устойчивости  и колебательности  будет осуществляться по
так называемым доминирующим корням характеристического уравнения – некомпенсированным
ближайшим к мнимой оси корням.
Макаров И.М., Менский Б.М. Линейные автоматические системы (элементы теории, методы расчета и справочный материал) – 2-е изд., перераб. и допол. – М.: Машиностроение, 1982 –
504с.
Белова Д.А., Кузин Р.Е. Применение ЭВМ для анализа и синтеза автоматических систем
управления» - М.: Энергия, 1979. – 264с.
Бессекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления – изд. 4-е перераб. и допол. – СПб., Изд-во «Профессия», 2003 – 752 с.