МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина»
Утверждено на заседании
Ученого Совета
Тамбовского государственного
университета имени
Г.Р. Державина
протокол № 35 от
«25» марта 2014 г.
Ректор
В. М. Юрьев
ПРОГРАММА
ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ
ПО НАПРАВЛЕНИЮ ПОДГОТОВКИ
НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИХ КАДРОВ В АСПИРАНТУРЕ
01.06.01 «МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА»
ПРОФИЛЬ
«ВЕЩЕСТВЕННЫЙ, КОМПЛЕКСНЫЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ »
КВАЛИФИКАЦИЯ: ИССЛЕДОВАТЕЛЬ. ПРЕПОДАВАТЕЛЬ-ИССЛЕДОВАТЕЛЬ
Тамбов 2014
Программа вступительных испытаний по направлению подготовки научнопедагогических кадров в аспирантуре 01.06.01 «Математика и механика», по
профилю «Вещественный, комплексный и функциональный анализ»
разработана
профессорско-преподавательским
составом
кафедры
математического анализа, обсуждена и утверждена на заседании кафедры
математического анализа ТГУ имени Г.Р.Державина.
Протокол № 5 от «20» марта 2014 г.
В данной программе представлены вопросы к вступительным
испытаниям по направлению подготовки научно-педагогических кадров в
аспирантуре 01.06.01 «Математика и механика», по профилю
«Вещественный, комплексный и функциональный анализ».
Программа вступительных испытаний сформирована на основе
федеральных государственных образовательных стандартов высшего
образования по программам как специалитета, так и магистратуры, и дает
возможность оценить качество знаний поступающих в аспирантуру по
данному профилю.
Структура программы
1. Цели и задачи вступительных испытаний
Цель вступительных испытаний – отобрать кандидата, способного
творчески работать в математике и ее приложениях.
Основные задачи испытания:
способностей для научно-исследовательской работы;
поступающему данной
программой.
2. Требования к знаниям и умениям поступающего
В соответствии с предъявляемыми требованиями по направлению
подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре 01.06.01
«Математика и механика», по профилю «Вещественный, комплексный и
функциональный анализ», поступающий должен хорошо знать основные
математические курсы высшей школы (математический анализ, алгебра,
геометрия, функциональный анализ, дифференциальные уравнения,
теоретическая механика), понимать связи между ними, уметь применять эти
знания для решения задач, уметь развивать задачи и ставить новые задачи.
3. Содержание программы (аннотации тем)
1. Математический анализ
Действительные числа.
Ограниченные множества на прямой. Отображения множеств. Функции
действительного переменного.
Последовательности.
Числовые последовательности. Предел последовательности. Сходимость
монотонной последовательности. Лемма Больцано-Вейерштрасса. Критерий
Коши сходимости последовательности.
Предел и непрерывность функции.
Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности. Бесконечные
пределы функции.
Непрерывность функции в точке. Непрерывность функции на множестве.
Свойства непрерывных функций. Непрерывность основных элементарных
функций. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.
Производная и определенный интеграл.
Производная. Связь дифференцируемости с непрерывностью. Правила
дифференцирования. Основные теоремы дифференциального исчисления и
их приложения к исследованию функций. Дифференциал.Первообразная
функция. Неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования.
Определенный интеграл. Классы интегрируемых функций. Интеграл с
переменным верхним пределом, существование первообразной. Формула
Ньютона-Лейбница. Приложения определенного интеграла. Несобственные
интегралы. Гамма-функция. Бета-функция.
Функциональные последовательности и ряды.
Числовые ряды. Признаки сходимости. Знакочередующиеся ряды. Теорема
Лейбница. Абсолютная и условная сходимости. Функциональные
последовательности и ряды. Равномерная сходимость. Признак
Вейерштрасса равномерной сходимости. Непрерывность, интегрирование и
дифференцирование предельной функции и суммы ряда. Степенные ряды.
Теорема Абеля. Промежуток сходимости. Равномерная сходимость
степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда.
Разложение функций в степенной ряд. Ряд Тейлора. Условия разложения
функции в степенной ряд. Тригонометрический ряд Фурье. Неравенство
Бесселя, равенство Парсеваля. Сходимость ряда Фурье для кусочно-гладкой
функции. Ряд Фурье в комплексной форме.
Функции нескольких переменных.
Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функций
нескольких переменных.
Дифференцируемость и дифференциал.
Частные производные. Дифференцируемость и дифференциал. Гладкость.
Связи
между
существованием
частных
производных,
дифференцируемостью, непрерывностью и гладкостью. Производная по
направлению. Градиент. Частные производные высших порядков.
Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.
Отображения.
Отображения из Rn в Rm. Линейные отображения. Криволинейные
координаты. Дифференцируемые отображения. Гладкие отображения.
Касательное отображение. Матрица Якоби, якобиан. Теорема о неявной
функции. Кривые, задаваемые уравнением
F(x,y)=0. Поверхности,
задаваемые уравнением F(x,y,z)=0.
Экстремумы.
Экстремумы функции двух переменных. Необходимое условие экстремума.
Достаточные условия экстремума. Условный экстремум.
Интегрирование.
Двойной интеграл. Вычисление двойного интеграла повторным
интегрированием. Замена переменной в двойном интеграле. Двойной
интеграл в полярных координатах. Приложения двойного интеграла.
Тройной интеграл. Криволинейный интеграл от дифференциальной формы.
Связь с криволинейным интегралом по длине кривой. Необходимое и
достаточное условие существования первообразной. Формула Грина.
Криволинейный интеграл от замкнутой дифференциальной формы на
плоскости. Поверхностный интеграл от дифференциальной формы по
параметризованной поверхности. Интеграл от дифференциальной формы по
ориентированной поверхности. Формула Стокса. Векторная форма формулы
Стокса. Криволинейный интеграл от замкнутой дифференциальной формы в
пространстве. Формула Остроградского-Гаусса. Векторная форма формулы
Остроградского-Гаусса.
2. Комплексный анализ
Комплексные числа. Стереографическая проекция. Комплексные функции
вещественного переменного. Комплексные функции комплексного
переменного. Предел, непрерывность. Производная. Необходимое и
достаточное условие дифференцируемости, уравнения Коши-Римана.
Геометрический смысл производной. Понятие аналитической функции.
Элементарные функции комплексного переменного. Определение интеграла
функции комплексного переменного. Связь с криволинейным интегралом.
Интегральная теорема Коши. Первообразная. Теорема Ньютона-Лейбница.
Интеграл с переменным верхним пределом. Интегральная формула Коши.
Последовательности и ряды комплексных чисел. Степенные ряды с
комплексными членами. Разложение функций в степенные ряды.
Равномерная сходимость. Аналитичность суммы степенного ряда. Ряд
Тейлора. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции. Нули
аналитической функции. Ряд Лорана. Теорема Лорана. Изолированные
особые точки. Вычеты и их приложения. Принцип аргумента. Теорема Руше.
Основная теорема алгебры.
3. Функциональный анализ
Эквивалентные множества. Мощность множества. Счетные множества.
Гипотеза континуума. Строение открытых и замкнутых множеств на прямой.
Совершенные
множества.
Мера
Лебега.
Измеримые
функции.
Эквивалентные функции. Интеграл Лебега. Сравнение интегралов Римана и
Лебега. Суммируемые функции. Метрические пространства. Полные
метрические пространства. Гильбертовы пространства. Ряд Фурье по
ортогональной системе в гильбертовом пространстве.
Сходимость ряда Фурье по ортогональной системе. Полные ортогональные
системы.
4. Линейные операторы в гильбертовом пространстве.
Вполне непрерывные операторы. Сопряженный оператор. Самосопряженные
операторы. Теорема Гильберта о вполне непрерывном самосопряженном
операторе. Интегральные уравнения. Интегральные операторы Фредгольма.
Оператор Гильберта-Шмидта. Теоремы Фредгольма. Резольвента. Спектр.
Спектр самосопряженного ограниченного оператора. Резольвента
самосопряженного ограниченного оператора. Спектральное разложение для
ограниченных самосопряженных операторов. Операторы в конечных
пространствах.
Матрица
линейного
оператора.
Инвариантные
подпространства. Собственные векторы и собственные значения линейного
оператора. Теорема о жордановой нормальной форме матрицы линейного
оператора. Билинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной
формы к диагональному виду.
5. Дифференциальные уравнения
Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
Простейшие дифференциальные уравнения и методы их решения. Линейные
дифференциальные уравнения n-го порядка и линейные системы.
6. Уравнения с частными производными.
Метод Фурье. Уравнение Лапласа. Фундаментальное решение. Задачи
Дирихле и Неймана. Задача Дирихле для круга.
4. Вопросы к вступительному испытанию
1. Действительные числа. Ограниченные множества на прямой.
2. Отображения множеств. Функции действительного переменного.
3. Числовые последовательности. Предел последовательности. Сходимость
монотонной последовательности.
4. Лемма
Больцано-Вейерштрасса.
Критерий
Коши
сходимости
последовательности.
5. Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности.
Бесконечные пределы функции.
6. Непрерывность функции в точке. Непрерывность функции на множестве.
Свойства непрерывных функций.
7. Непрерывность основных элементарных функций. Равномерная
непрерывность. Теорема Кантора.
8. Производная. Связь дифференцируемости с непрерывностью. Правила
дифференцирования.
9. Основные теоремы дифференциального исчисления и их приложения к
исследованию функций. Дифференциал.
10. Первообразная функция. Неопределенный интеграл. Основные методы
интегрирования.
11. Определенный интеграл. Классы интегрируемых функций. Интеграл с
переменным верхним пределом, существование первообразной.
12. Формула Ньютона-Лейбница. Приложения определенного интеграла.
Несобственные интегралы. Гамма-функция. Бета-функция.
13. Числовые ряды. Признаки сходимости. Знакочередующиеся ряды.
Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимости.
14. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость.
15. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости. Непрерывность,
интегрирование и дифференцирование предельной функции и суммы ряда.
16. Степенные ряды. Теорема Абеля. Промежуток сходимости.
17. Равномерная сходимость степенного ряда. Дифференцирование и
интегрирование степенного ряда.
18. Разложение функций в степенной ряд. Ряд Тейлора. Условия разложения
функции в степенной ряд.
19. Тригонометрический ряд Фурье.
Неравенство Бесселя, равенство
Парсеваля.
20. Сходимость ряда Фурье для кусочно-гладкой функции. Ряд Фурье в
комплексной форме.
21. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функций
нескольких переменных.
22. Частные производные. Дифференцируемость и дифференциал.
Гладкость.
23. Связи
между
существованием
частных
производных,
дифференцируемостью, непрерывностью и гладкостью. Производная по
направлению. Градиент.
24. Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших
порядков. Формула Тейлора.
25. Отображения из Rn в Rm. Линейные отображения. Криволинейные
координаты.
26. Дифференцируемые отображения. Гладкие отображения. Касательное
отображение.
27. Матрица Якоби, якобиан. Теорема о неявной функции.
28. Кривые, задаваемые уравнением F(x,y)=0. Поверхности, задаваемые
уравнением F(x,y,z)=0.
29. Экстремумы функции двух переменных. Необходимое условие
экстремума. Достаточные условия экстремума. Условный экстремум.
30. Двойной интеграл. Вычисление двойного интеграла повторным
интегрированием. Замена переменной в двойном интеграле.
31. Двойной интеграл в полярных координатах. Приложения двойного
интеграла. Тройной интеграл.
32. Криволинейный интеграл от дифференциальной формы. Связь с
криволинейным интегралом по длине кривой.
33. Необходимое и достаточное условие существования первообразной.
Формула Грина.
34. Криволинейный интеграл от замкнутой дифференциальной формы на
плоскости. Поверхностный интеграл от дифференциальной формы по
параметризованной поверхности.
35. Интеграл от дифференциальной формы по ориентированной
поверхности. Формула Стокса. Векторная форма формулы Стокса.
36. Криволинейный интеграл от замкнутой дифференциальной формы в
пространстве. Формула Остроградского-Гаусса. Векторная форма формулы
Остроградского-Гаусса.
37. Комплексные числа. Стереографическая проекция. Комплексные
функции вещественного переменного. Комплексные функции комплексного
переменного.
38. Предел, непрерывность. Производная. Необходимое и достаточное
условие дифференцируемости, уравнения Коши-Римана. Геометрический
смысл производной.
39. Понятие аналитической функции. Элементарные функции комплексного
переменного. Определение интеграла функции комплексного переменного.
40. Связь с криволинейным интегралом. Интегральная теорема Коши.
41. Первообразная. Теорема Ньютона-Лейбница. Интеграл с переменным
верхним пределом. Интегральная формула Коши.
42. Последовательности и ряды комплексных чисел. Степенные ряды с
комплексными членами.
43. Разложение функций в степенные ряды. Равномерная сходимость.
Аналитичность суммы степенного ряда.
44. Ряд Тейлора. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции.
Нули аналитической функции.
45. Ряд Лорана. Теорема Лорана. Изолированные особые точки. Вычеты и их
приложения.
46. Принцип аргумента. Теорема Руше. Основная теорема алгебры.
47. Эквивалентные множества. Мощность множества. Счетные множества.
Гипотеза континуума.
48. Строение открытых и замкнутых множеств на прямой. Совершенные
множества. Мера Лебега. Измеримые функции. Эквивалентные функции.
49. Интеграл Лебега. Сравнение интегралов Римана и Лебега. Суммируемые
функции.
50. Метрические пространства. Полные метрические пространства.
Гильбертовы пространства.
51. Ряд Фурье по ортогональной системе в гильбертовом пространстве.
Сходимость ряда Фурье по ортогональной системе. Полные ортогональные
системы.
52. Линейные операторы в гильбертовом пространстве. Вполне непрерывные
операторы. Сопряженный оператор. Самосопряженные операторы.
53. Теорема Гильберта о вполне непрерывном самосопряженном операторе.
Интегральные уравнения. Интегральные операторы Фредгольма.
54. Оператор Гильберта-Шмидта. Теоремы Фредгольма. Резольвента.
Спектр.
55. Спектр самосопряженного ограниченного оператора. Резольвента
самосопряженного ограниченного оператора. Спектральное разложение для
ограниченных самосопряженных операторов.
56. Операторы в конечных пространствах. Матрица линейного оператора.
Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные
значения линейного оператора.
57. Теорема о жордановой нормальной форме матрицы линейного оператора.
Билинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к
диагональному виду.
58. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
59. Простейшие дифференциальные уравнения и методы их решения.
Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка и линейные системы.
60. Уравнения с частными производными. Метод Фурье. Уравнение Лапласа.
Фундаментальное решение. Задачи Дирихле и Неймана. Задача Дирихле для
круга.
5. Рекомендуемая литература
Основная литература
1. Винберг Э.Б. Курс алгебры. М.: Факториал, 2010
2. Евграфов М.А. Аналитические функции. Изд-во "Лань", 2011.
3. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. Издво"Лань", 2011.
4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. Изд-во "Лань", 2013.
5. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа.
Изд-во "Лань", 2011.
6. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. Изд-во "Лань", 2011.
7. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций, в двух томах, Издво"Лань", 2011.
8. Молчанов В.Ф. Гармонический анализ на полупростых симметрических
пространствах. Изд. дом ТГУ им. Г.Р.Державина, 2013.
9. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного.
Изд-во "Лань", 2011.
10. Рудин У. Основы математического анализа. Изд-во "Лань", 2009.
11. Рудин У. Функциональный анализ. Изд-во "Лань", 2009.
12. Спивак М. Математический анализ на многообразиях. Изд-во "Лань",
2009.
13. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления, в трех томах, Изд-во "Лань", 2011.
14. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, в двух томах, Издво"Лань", 2011.
15. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ, в двух томах. Издво"Лань", 2009.
Дополнительная литература
1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука,
1971.
2. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом
пространстве. М.: Наука, 1966.
3. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.:
Наука, 1976.
4. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу. М.: Наука, 1972.
5. Зорич В.А. Математический анализ. Часть 1. М.: Наука, 1981.
6. Зорич В.А. Математический анализ. Часть 2. М.: Наука, 1984.
7. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы.
М.: Мир, 1971.
8. Колмогоров А.Н.,
Фомин С.В. Элементы теории функций и
функционального анализа. М.: Наука, 1976.
9. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. М.:
Наука, 1978.
10. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.; Гостехиздат,
1958.
11. Шилов Г.Е. Математический анализ. Спецкурс. М.: Наука, 1960.
12. Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики. М.:
МЦНМО, 2001.