3.5.жидкое состоние

3.5. Жидкое состояние
3.5.1. Вертикальная цилиндрическая стеклянная
трубка закрыта снизу пористым фильтром. В трубку
наливают ртуть, так что высота её столба составляет
h = 0,1 м. Посредствам поршня на поверхности ртути
создаётся избыточное давление р = 0,02 МПа, ртуть
начинает просачиваться сквозь поры фильтра. Каков
радиус каналов фильтра? Коэффициент поверхностного
натяжения ртути равен  = 0,465 Н/м.
Hg
h
Решение
1. Судя по условию задачи, ртуть не смачивает материал фильтра, поэтому на входе в каналы образуется мениск, с такой кривизной, что сила поверхностного натяжения, отнесённая к единице
поверхности, уравновешивает силу, обуHg
словленную внешним давлением, которое
в данном случае представляется в виде
суммы гидростатического давления ртутr
ного столба и давления поршня
2
.
(1)
p  gh 
r
2. Примем плотность ртути  = 13,55103 кг/м3 и разрешим (1) в
предположении, что минимальное значение радиуса кривизны равно
радиусу канала фильтра
2
2  0,465
r

 6 10 5 м  60 мкм .
(2)
3
p  gh 2 10  1,355 10 4 10  0,1
3.5.2. Коэффициент поверхностного натяжения воды измеряют
посредствам регистрации массы капли, полученной из пипетки с выходным отверстием радиусом r = 0,2 мм. Определить коэффициент
поверхностного натяжения, если средняя масса полученных капель составляла m  110 5 кг.
Решение
1. В равновесном состоянии, как это следует из термодинамических
законов, свободная энергия любой системы должна быть минимальной.
Если жидкость находится вне действия силовых полей, то она под дей230
ствием сил поверхностного натяжения должна принимать форму шара, потому что из всех объёмных
F
фигур шар имеет при данном объёме минимальную
С
поверхность. В идеале, получению капли сферичеr
mg
ской формы мешает сила тяжести. Потенциальная
энергия капли пропорциональна объёму капли
4
(1)
mg  V  r 3 ,
3
в то время как энергия обусловленная поверхностными силами пропорциональна площади капли s = 4r2. Таким образом, относительное влияние силы тяжести тем большее, чем больший объём занимает капля
2. В момент отрыва капли от пипетки она принимает форму, при
которой вертикальная составляющая силы поверхностного натяжения
равна по модулю и противоположна по направлению силе тяжести
1
(2)
F 
 4r 2  2r ,
2 r
mg
110 5 10
Н
(3)
2r  mg ,   

 0,079 .
2r 6,28  2 10 4
м
3.5.3. Ртутную каплю массой m = 110 5 кг
поместили между двумя стеклянными пластинками. Какой вертикальной силой каплю можно
расплющить до состояния круглого диска радиусом r = 510 2 м. Полагать, что стекло не смачивается ртутью, т.е. краевой угол равен нулю.
Решение
1. При изменении формы капли будем считать её диском радиуса r и
высотой h, которая определится из условия
m
.
(1)
m  V,  h 
r 2
2. Расплющивание сферической капли в диск представляет собой
процесс изменения кривизны ограничивающих поверхностей. Прилагая
усилие к верхней пластине, совершают работу против сил поверхностного натяжения. Силы поверхностного натяжения создают внутри капли
за счёт кривизны поверхностей дополнительное давление
(2)
p   2 h .
231
3. Сила, которую необходимо приложить к пластинке, равна произведению избыточного давления на площадь соприкосновения ртути и
стекла
2 r 2 2 r 2
2 2 r 4
(3)
F 

r 2 
 800 H .
h
m
m
3.5.4. Капля воды массой m = 10 мг помещена между двумя параллельными стеклянными пластинками, расположенными на расстоянии
d = 10 6 м друг от друга. Какова сила притяжения между пластинками?
Решение
1. Как известно из опыта, вода достаточно
хорошо смачивает стекло, поэтому при размеr
щении капли между близко расположенными
стелами, будет образовываться вогнутый мениск, т.е. силы поверхностного натяжения вызовут уменьшение давления внутри капли, что
d
и вызовет эффект притяжения пластин
2
p 
.
(1)
d
2. Сила, притягивающая пластинки друг к
другу, определится в виде произведения разности давлений снаружи и
внутри капли на площадь соприкосновения воды со стеклом
2 m 2  7,3 10 2 10 5
(2)
F  p s 

 1,46 10 3 H .
12
3
d d
10 10
3.5.5. Чему равна теплота образования единицы поверхности жидкой плёнки?
Решение
1. Чтобы увеличить поверхность плёнки на бесконечно малую величину ds необходимо произвести работу по преодолению сил поверхностного натяжения
A  ds .
(1)
2. Рабата, как известно, входит наряду с изменением внутренней
энергии в уравнение первого начала термодинамики
(2)
Q  dU  A  dU  ds .
232
3. Элементарное тепло Q связано с изменением энтропии dS следующим соотношением
Q
(3)
dS 
,  Q  TdS .
T
4. Перепишем уравнение (2) с учётом уравнения (3)
(4)
TdS  dU  ds,  dU  TdS  ds .
5. Свободная энергия термодинамической системы определяется как
(5)
  U  TS ,
откуда
d  SdT  ds .
(6)
6. Выразим из уравнения (6) энтропию
  
S  
(7)
 ,
 T  s
и подставим в уравнение (5)
  
  U  T
(8)
 .
 T  s
7. Подставим в последнее уравнение   s
  s  
s  U  T 
(9)
 .
 T  s
8. Коэффициент поверхностного натяжения не зависит от площади,
но зависит от температуры, что даёт основание переписать (9) следующим образом
d 
 d  
U  s  Ts
(10)
  s  
.
dT 
 dT  
9. Чтобы увеличить площадь плёнки при постоянной температуре,
ей нужно сообщить дополнительно количество тепла
d 
d

Q  U  s  s   T
ds .
(11)
  s  T
dT
dT


10. Количество тепла, сообщаемое единице поверхности плёнки,
таким образом, определится соотношением
d
q  T
.
(12)
dT
3.5.6. Капиллярная трубка с тонкими стенками подвешена к одному
из плеч коромысла рычажных весов. Весы тщательно уравновешены.
Когда к трубке снизу поднесли чашку с водой, так что поверхность
233
капилляра только коснулась воды, равновесие нарушилось. Для восстановления равновесия пришлось добавить массу m = 0,14 г. Определить
радиус капилляра, считая поверхность стекла полностью смачиваемой
водой.
Решение
1. Поверхностное натяжение приводит к возникновению сил, которые, будучи приложенными, к внешней и внутренней поверхности радиуса r, стремятся перемещать капилляр вниз.
2. Величина результирующей силы поверхностного натяжения определится в виде произведения коэффициента поверхностного натяжения
на длину линии действия сил
(1)
F  22r  4r .
2. Чтобы компенсировать действие силы F к другому плечу коромысла весов должна быть приложена сила mg
mg
1,4 10 4
(2)
4r  mg ,  r 

 1,5 10  4 м .
4 12,56  7,3 10  2
3.5.7. Оцените максимальный размер капель воды, которые могут
висеть на потолке предбанника.
Решение
1. За счёт высокой влажности в предбаннике вода конденсируется на
поверхностях, в частности, на потолке. Капля на потолке может увеличивать свой объём до того момента, когда, обусловленные поверхностным натяжением силы станут меньше силы тяжести.
2. В первом приближении примем, что
капля имеет полусферическую форму. В этом
F
случае
(1)
F    2r .
r
3. Сила тяжести
2
mg  r 3g .
(2)
mg
3
4. Условие отрыва капли
2 3
r g  2 r,  r 
3
3

g
234
3  7,3 10 2
 4,7 мм .
10 4
(3)
3.5.8. Сколько капель генерируется из V = 110 6 м3 воды при её истечении из вертикальной стеклянной трубки с внутренним радиусом r
= 0,9 мм. Диаметр капель совпадает с диаметром трубки.
Решение
1. Для того, чтобы определить число капель N необходимо вычислить массу m1 одной кали.
2. Массу капли целесообразно определить для момента её отрыва от шейки трубки, когда сила тяжести превзойдёт по модулю силу, вызванную поверхностным
натяжением
2 r
.
(1)
m1g  2r,  m1 
g
3. Объём одной капли определится как
m
2 r
.
V1  1 

g
4. Искомое количество капель в заданном объёме воды
gV
10 3 10 10 6
N

 24 .
2 r 6,28  0,073  9 10 4
2r
r

F
mg
(2)
(3)
3.5.9. Определить массу воды, поднявшейся по капиллярной трубке
внутренним радиусом r = 0,5 мм.
Решение
h
1. Массу в данном случае целесообразно представить через высоту столбика жидкости в капилляре и его радиус
m  hs  hr 2 .
(1)
2. Высоту столбика жидкости h определим из
условия равновесия между гидростатическим давлением и давлением,
вызванным силами поверхностного натяжения
2
hr 2 g  2r,  h 
.
(2)
gr
3. Масса воды, заключенной в цилиндрическом объёме высоты h
r
0,073  5 10 4
m  2
 6,28 
 2,29 10 5 кг .
(3)
g
10
235
2r1
h1
3.5.10. Найти разность уровней ртути в
двух сообщающихся капиллярах радиусами r1 =
5 мм и r2 = 3 мм. Краевой угол принять равным
/2, полное несмачивание.
2r2
h2
Решение
1. Поскольку жидкость находится в непор1
р2
движном состоянии, гидростатические давления р1 и р2 одинаковы. Уровень ртути в коленах
определяется условием равновесия между гидростатическим давлением
и избыточным давлением, обусловленным кривизной поверхности мениска жидкости. Математически оба эти условия можно записать следующим образом
2
2
.
(1)
gh1 
 gh 2 
r1
r2
2. Определим разность уровней ртути в коленах
2r2  r1 
2  0,465  2 10 3
h  h 1  h 2 

 0,9 мм .
(2)
gr1r2
13,55 10 3 10 1,5 10 5
3.5.11. Сферическую каплю ртути радиусом r0= 2 мм необходимо
разбить на две одинаковые капли. Какую работу при этом придётся
совершить?
Решение
1. Деление исходной капли радиусом r0 на две одинаковые радиуса r
сопровождается увеличением поверхности на величину s. Изменение
поверхности ввиду наличия поверхностного натяжения приводит к увеличению поверхностной энергии
E  s  A .
(1)
2. Объём исходной капли, имеющей сферическую форму, определится как
4
V0  r03 .
(2)
3
3. Объём капель после деления
2
4
V1  V2  0,5V0 r03  r 3 ,
(3)
3
3
r
откуда r  3 0 .
2
236
4. Запишем далее уравнения для поверхностей капель
8
s 0  4r02 , 2s  2  4r 2  3 r 2 .
4
5. Увеличение поверхности, таким образом, составит
 2

s  2s  s 0  4r02  4r02  3  1 .
 4 
6. Необходимая для деления работа
 2

A  4r02  3  1    4  3,14  4 10 6  6,5 10 6 Дж .
 4 
(4)
(5)
(6)
3.5.12. Воздушная полость сферической формы радиусом r0 = 1 мкм
находится на удалении h = 1м от поверхности воды. В жидкости возбуждены ультразвуковые колебания, под действием которых радиус
полости изменяется по законы rt   r0  5 107 sin t . Вычислить максимальное и минимальное значение давления внутри полости, пренебрегая диффузионными эффектами.
Решение
1. Воздушная полость будет находиться в равновесии в том случае,
когда давление газа в полости будет равно внешнему давлению, т.е.
2
,
(1)
p  gh  p 0 
r
где р0  атмосферное давление.
2. При воздействии акустических колебаний радиус полости будет
меняться по синусоидальному закону. Условие равновесия (1) в этом
случае можно переписать следующим образом
2
(2)
p
 gh  p 0 .
r0  A sin t
3. Минимальным давление в полости будет иметь место при максимальном радиусе, максимальное  наоборот, когда под действием ультразвуковых колебаний полость будет максимально сжата
(3)
p min  при sint  1, p max при sint  -1 .
4. Уравнение (2) с учётом условий (3) перепишутся следующим образом
2
0,073
p min 
 gh  p 0 
 10 3 10 1  10 5  0,16 МПа .
r0  A
110 6  5 10 7
237
p max 
2
0,073
 gh  p 0 
 10 3 10 1  10 5  0,26 МПа .
6
r0  A
110  5 10 7
h
l
3.5.13. Для получения очень мелких дробиh
l используется изогнутый под прямым углом капилляр с внутренним диаметром r = 0,1 мм заполненный расплавленным свинцом с коэффициентом поверхностного натяжения  = 0,442 Н/м
и плотностью  = 11,310 3 кг/м3. При какой минимальной частоте вращения сферические капли
свинца станут вылетать из капилляра, если h =
0,1 м, l = 0,2 м?
Решение
1. При вращении капилляра мениск в горизонтальной части выпуклый, а в вертикальной части  вогнутый. Движение жидкости в горизонтальной части капилляра будет ускоренным
v 2 2 l 2
an 

 2 l .
(1)
R
l
2. Отрыв капель свинца начнётся в момент, когда сумма динамического и статического давлений превзойдёт давление, обусловленное
поверхностными эффектами
v 2
4 2 l 2 4
 gh 
,

 gh .
(2)
2
r
2
r
3. Выразим из уравнения (2) угловую скорость 

r
8 r   2gh
l
2
 5,3
рад
.
с
(3)
3.5.14. Какой радиус должен иметь бериллиевый шарик, натёртый воском, чтобы он
«держался» на поверхности воды? Плотность
бериллия 1 = 1,84103 кг/м3.
Решение
1. Поверхность, натёртую воском можно
считать не смачиваемой водой. На шарик, опущенный на поверхность
воды будут действовать три силы: сила тяжести, сила Архимеда и сила,
вызванная поверхностным натяжением. Условие «плавания» шарика
238
будет определяться условием равновесия перечисленных сил.
2. Составим уравнение равновесия сил
4 3
2
(1)
r 1g  r 3 2 g  2r ,
3
3
где 2 = 103 кг/м3 плотность воды,  = 0,073 Н/м коэффициент поверхностного натяжения
3. Выразим из уравнения (1) радиус шарика
r
3
3  0,073

 2,86 мм .
g21   2 
10 2 1840  1000 
(2)
3.5.15. В одном из многочисленных проектов PERHETUUM MOBILE предлагалось использовать конструкцию, состоящую из сосуда с водой, капиллярной изогнутой трубки и
лёгкой турбинки. По мнению авторов за счёт
капиллярного эффекта жидкость должна
подниматься по капилляру, капать с его конца
на лопасти, совершая полезную работу. В чём
заключается несостоятельность конструкции?
Решение
1. Чтобы жидкость поднималась по капилляру, она не должна смачивать его внутреннюю
поверхность. В этом случае образуется выпуклый
мениск, возникает сила F, обусловленная поверхностным натяжением. Именно как следствие
действия этой силы, жидкость поднимается вверх
по капилляру.
2. При истечении из капилляра тоже образуется мениск, но сила поверхностного натяжения
стремится втянуть образовавшуюся поверхность
внутрь капилляра, т.е. капать вода не будет и колёсико останется в покое. Авторы этого проекта
пытались внутренние силы системы преобразовать во внешние, которые могут изменять механическое состояние системы.
F
r
F
r
239
Использованные литературные источники
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Чертов А.Г., Воробьёв А.А. Задачник по физике: Учеб. пособие
для студентов втузов.  5-е изд., перераб. и доп.  М.: Высш.
шк., 1988.  527 с. ил.
Иродов И.Е. задачи по общей физике: Учеб. пособие.  2-е изд.
перераб.  М.: Наука. Гл. ред. физ.  мат. лит. 1988.  416 с., ил.
Воробъёв И.И., Зубков П.И., Кутузова Г.А., Савченко О.Я.,
Трубачёв А.М., Харитонов В.Г. Задачи по физике: Учеб.: пособие под ред. О.Я. Савченко.  2-е изд., перераб.  М.: Наука. Гл.
ред. физ.  мат. лит. 1988.  416 с., ил.
Все решения к «Сборнику задач по общему курсу физики» В.С.
Волькенштейн. В 2 кн. Кн. 1.  М.: Олимп ООО Фирма «Издательство АСТ», 1999.  432 с., ил.
Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике:
Учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений.  М.:
ООО «Издательство Астрель», ООО «Издательство АСТ»,
2001.  320 с., ил.
Гофман В.К. Законы, формулы, задачи физики. Наукова Думка,
1977.  576 с., ил.
Баканина Л.П., Белонучкин В.Е., Козел С.М., Мазанько И.П.
Сборник задач по физике: Учеб. пособие под ред. С.М. Козелла.
 2-е изд. перераб и испр.  М.: Наука, Гл. ред. физ.  мат. лит.
1990.  352 с., ил.
Аганов А.В., Сафиуллин Р.К., Скворцов А.И., Таюрский Д.А.
Физика вокруг нас: Качественные задачи по физике.  3-е изд,
тспр.  М.: Дом педагогики. 1998.  336 с., ил.
240