7.7. примеры молекулных и термодинамических влений в

7.7. Примеры молекулярных и термодинамических явлений в жидкостях
Пример № 1. Вертикальная цилиндрическая стеклянная трубка закрыта снизу пористым фильтром. В трубку наливают ртуть, так что
высота её столба составляет h = 0,1 м. Посредствам поршня на поверхности ртути создаётся избыточное давление р = 0,02 МПа, ртуть начинает просачиваться сквозь поры фильтра. Каков радиус каналов фильтра? Коэффициент поверхностного натяжения ртути равен δ = 0,465
Н/м.
1. Судя по условию задачи, ртуть не смачивает материал фильтра, поэтому на входе в каналы образуется мениск, с такой кривизной, что сила
поверхностного натяжения, отнесённая к единице поверхности, уравновешивает силу, обусловленную внешним давлением, которое в данном случае представляется в виде суммы гидростатического давления ртутного
столба и давления поршня
2σ
p + ρgh =
.
(1)
r
2. Примем плотность ртути ρ = 13,55⋅103 кг/м3 и разрешим (1) в предположении, что минимальное значение радиуса кривизны равно радиусу
канала фильтра
2σ
2 ⋅ 0,465
r=
≅
≅ 6 ⋅10−5 м ≡ 60 мкм .
(2)
3
p + ρgh 2 ⋅10 + 1,355 ⋅10 4 ⋅10 ⋅ 0,1
Пример № 2. Коэффициент поверхностного натяжения воды измеряют посредствам
регистрации массы капли, полученной из пипетки с выходным отверстием радиусом r = 0,2
мм. Определить коэффициент поверхностного натяжения, если средняя масса полученных
капель составляла m ≅ 1⋅10 − 5 кг.
1. В равновесном состоянии, как это следует из
термодинамических законов, свободная энергия любой системы должна быть минимальной. Если жидкость находится вне действия силовых полей, то она
под действием сил поверхностного натяжения должна
принимать форму шара, потому что из всех объёмных
фигур шар имеет при данном объёме минимальную
поверхность. В идеале, получению капли сферической
формы мешает сила тяжести. Потенциальная энергия
капли пропорциональна объёму капли
4
mg = ρV = πr 3ρ ,
(1)
3
в то время как энергия, обусловленная поверхностными силами пропорциональна площади
капли s = 4πr2. Таким образом, относительное влияние силы тяжести тем большее, чем
больший объём занимает капля
2. В момент отрыва капли от пипетки она принимает форму, при которой вертикальная
составляющая силы поверхностного натяжения равна по модулю и противоположна по направлению силе тяжести
287
1σ
⋅ 4πr 2 = 2πrσ ,
2 r
mg
1 ⋅10 −5 ⋅10
Н
2πrσ = mg, ⇒ σ =
≅
≅ 0,079 .
2πr 6,28 ⋅ 2 ⋅10 −4
м
Fσ =
(2)
(3)
Пример № 3. Ртутную каплю массой m = 1⋅10 − 5 кг поместили между двумя стеклянными пластинками. Какой вертикальной силой каплю можно расплющить до состояния круглого диска радиусом r = 5⋅10 − 2 м. Полагать, что стекло не смачивается ртутью, т.е. краевой угол равен нулю.
1. При изменении формы капли будем считать её диском радиуса r и высотой h, которая определится из условия
m
.
(1)
m = ρV, ⇒ h =
ρπr 2
2. Расплющивание сферической капли в диск представляет собой процесс изменения
кривизны ограничивающих поверхностей. Прилагая усилие к верхней пластине, совершают
работу против сил поверхностного натяжения. Силы поверхностного натяжения создают
внутри капли за счёт кривизны поверхностей дополнительное давление
p σ = 2σ h .
(2)
3. Сила, которую необходимо приложить к пластинке, равна произведению избыточного
давления на площадь соприкосновения ртути и стекла
2σπ r 2 2σπ r 2
2σρπ2 r 4
Fσ =
=
ρπr 2 =
≅ 800 H .
(3)
h
m
m
Пример № 4. Капля воды массой m = 10 мг помещена между двумя
параллельными стеклянными пластинками, расположенными на расстоянии d = 10 − 6 м друг от друга. Какова сила притяжения между
пластинками?
1. Как известно из опыта, вода достаточно хорошо смачивает стекло, поэтому при размещении капли между близко расположенными
стелами, будет образовываться вогнутый мениск, т.е. силы поверхностного натяжения вызовут уменьшение давления внутри капли, что и
вызовет эффект притяжения пластин
2σ
pσ =
.
(1)
d
2. Сила, притягивающая пластинки друг к другу, определится в виде произведения разности давлений снаружи и внутри капли на площадь соприкосновения воды со стеклом
2σ m 2 ⋅ 7,3 ⋅ 10 −2 ⋅ 10 −5
F = p σs =
≅
≅ 1,46 ⋅ 10 3 H .
−12
3
d ρd
10 ⋅ 10
(2)
Пример № 5. Чему равна теплота образования единицы поверхности жидкой плёнки?
1. Чтобы увеличить поверхность плёнки на бесконечно малую величину ds необходимо
произвести работу по преодолению сил поверхностного натяжения
δA = −σds .
(1)
288
2. Рабата, как известно, входит наряду с изменением внутренней энергии в уравнение
первого начала термодинамики
δQ = dU − δA = dU − σds .
(2)
3. Элементарное тепло δQ связано с изменением энтропии dS следующим соотношением
δQ
dS =
, ⇒ δQ = TdS .
(3)
T
4. Перепишем уравнение (2) с учётом уравнения (3)
TdS = dU − σds, ⇒ dU = TdS + σds .
(4)
5. Свободная энергия термодинамической системы определяется как
Ψ = U − TS ,
(5)
откуда
dΨ = −SdT + σds .
(6)
6. Выразим из уравнения (6) энтропию
⎛ ∂Ψ ⎞
S = −⎜
(7)
⎟ ,
⎝ ∂T ⎠ s
и подставим в уравнение (5)
⎛ ∂Ψ ⎞
Ψ = U + T⎜
(8)
⎟ .
⎝ ∂T ⎠ s
7. Подставим в последнее уравнение Ψ = σs
⎡ ∂ (σs ) ⎤
σs = U + T ⎢
(9)
⎥ .
⎣ ∂T ⎦ s
8. Коэффициент поверхностного натяжения не зависит от площади, но зависит от температуры, что даёт основание переписать (9) следующим образом
dσ ⎞
⎛ dσ ⎞ ⎛
(10)
U = σs − Ts⎜
⎟ = s⎜ σ −
⎟.
dT ⎠
⎝ dT ⎠ ⎝
9. Чтобы увеличить площадь плёнки при постоянной температуре, ей нужно сообщить
дополнительно количество тепла
dσ ⎞
dσ
⎛
(11)
Q = ΔU − σs = s⎜ σ − T
ds .
⎟ − σs = −T
dT ⎠
dT
⎝
10. Количество тепла, сообщаемое единице поверхности плёнки, таким образом, определится соотношением
dσ
q = −T
.
(12)
dT
Пример № 6. Капиллярная трубка с тонкими стенками подвешена к одному из плеч
коромысла рычажных весов. Весы тщательно уравновешены. Когда к трубке снизу поднесли чашку с водой, так что поверхность
капилляра только коснулась воды, равновесие
нарушилось. Для восстановления равновесия
пришлось добавить массу m = 0,14 г. Определить радиус капилляра, считая поверхность стекла полностью смачиваемой водой.
1. Поверхностное натяжение приводит к возникновению сил, которые, будучи приложенными, к внешней и внутренней поверхности радиуса r, стремятся перемещать капилляр
вниз.
2. Величина результирующей силы поверхностного натяжения определится в виде произведения коэффициента поверхностного натяжения на длину линии действия сил
289
Fσ = 2(2πrσ ) = 4πrσ .
(1)
2. Чтобы компенсировать действие силы Fσ к другому плечу коромысла весов должна
быть приложена сила mg
mg
1,4 ⋅ 10 −4
(2)
4πrσ = mg, ⇒ r =
≅
≅ 1,5 ⋅ 10 −4 м .
−2
4πσ 12,56 ⋅ 7,3 ⋅ 10
Пример № 7. Оцените максимальный размер капель
воды, которые могут висеть на потолке предбанника.
1. За счёт высокой влажности в предбаннике вода
конденсируется на поверхностях, в частности, на потолке. Капля на потолке может увеличивать свой объём до
того момента, когда, обусловленные поверхностным натяжением силы станут меньше силы тяжести.
2. В первом приближении примем, что капля имеет
полусферическую форму. В этом случае
Fσ = σl = σ2πr .
3. Сила тяжести
2
mg = πr 3ρg .
3
4. Условие отрыва капли
2 3
3σ
πr ρg ≥ 2πσr, ⇒ r ≈
≅
3
ρg
3 ⋅ 7,3 ⋅ 10 −2
≅ 4,7 мм .
10 4
(1)
(2)
(3)
Пример № 8. Сколько капель генерируется из V = 1⋅10 − 6 м3 воды при её истечении из вертикальной стеклянной трубки с внутренним радиусом r = 0,9 мм.
Диаметр капель совпадает с диаметром трубки.
Решение
1. Для того, чтобы определить число капель N необходимо вычислить массу
m1 одной кали.
2. Массу капли целесообразно определить для момента её отрыва от шейки
трубки, когда сила тяжести превзойдёт по модулю силу, вызванную поверхностным натяжением
2πσr
m1g ≥ σ2πr, ⇒ m1 =
.
(1)
g
3. Объём одной капли определится как
m
2πσr
.
(2)
V1 = 1 =
ρ
ρg
4. Искомое количество капель в заданном объёме воды
ρgV
10 3 ⋅ 10 ⋅ 10 −6
N=
≅
≅ 24 .
2πσr 6,28 ⋅ 0,073 ⋅ 9 ⋅ 10 −4
(3)
Пример № .9. Определить массу воды, поднявшейся по капиллярной трубке внутренним
радиусом r = 0,5 мм.
290
1. Массу в данном случае целесообразно представить через высоту
столбика жидкости в капилляре и его радиус
m = ρhs = ρhπr 2 .
(1)
2. Высоту столбика жидкости h определим из условия равновесия
между гидростатическим давлением и давлением, вызванным силами
поверхностного натяжения
2σ
ρhπr 2 g = σ2πr, ⇒ h =
.
(2)
ρgr
3. Масса воды, заключенной в цилиндрическом объёме высоты h
σr
0,073 ⋅ 5 ⋅ 10 −4
(3)
m = 2π
≅ 6,28 ⋅
≅ 2,29 ⋅ 10 −5 кг .
g
10
Пример № 10. Найти разность уровней ртути в двух
сообщающихся капиллярах радиусами r1 = 5 мм и r2 = 3 мм.
Краевой угол принять равным π/2, полное несмачивание.
1. Поскольку жидкость находится в неподвижном состоянии, гидростатические давления р1 и р2 одинаковы.
Уровень ртути в коленах определяется условием равновесия
между гидростатическим давлением и избыточным давлением, обусловленным кривизной поверхности мениска жидкости. Математически оба эти условия можно записать следующим образом
2σ
2σ
.
ρgh 1 +
= ρgh 2 +
r1
r2
2. Определим разность уровней ртути в коленах
2σ(r2 − r1 )
2 ⋅ 0,465 ⋅ 2 ⋅ 10 −3
Δh = h 1 − h 2 =
≅
≅ 0,9 мм .
ρgr1r2
13,55 ⋅ 103 ⋅ 10 ⋅ 1,5 ⋅ 10 −5
(1)
(2)
Пример № 11. Сферическую каплю ртути радиусом r0= 2 мм необходимо разбить на две
одинаковые капли. Какую работу при этом придётся совершить?
1. Деление исходной капли радиусом r0 на две одинаковые радиуса r сопровождается
увеличением поверхности на величину Δs. Изменение поверхности ввиду наличия поверхностного натяжения приводит к увеличению поверхностной энергии
ΔE = σΔs = A .
(1)
2. Объём исходной капли, имеющей сферическую форму, определится как
4
V0 = πr03 .
(2)
3
3. Объём капель после деления
2
4
V1 = V2 = 0,5V0 πr03 = πr 3 ,
(3)
3
3
r
откуда r = 3 0 .
2
4. Запишем далее уравнения для поверхностей капель
8π
s 0 = 4πr02 , 2s = 2 ⋅ 4πr 2 = 3 r 2 .
(4)
4
5. Увеличение поверхности, таким образом, составит
291
⎛ 2
⎞
Δs = 2s − s 0 = 4πr02 = 4πr02 ⎜⎜ 3 − 1⎟⎟ .
⎝ 4
⎠
6. Необходимая для деления работа
⎛ 2
⎞
A = 4πr02 ⎜⎜ 3 − 1⎟⎟ ⋅ σ ≅ 4 ⋅ 3,14 ⋅ 4 ⋅ 10 −6 ≅ 6,5 ⋅ 10 −6 Дж .
⎝ 4
⎠
(5)
(6)
Пример № 12. Воздушная полость сферической формы радиусом r0 = 1 мкм находится
на удалении h = 1м от поверхности воды. В жидкости возбуждены ультразвуковые колебания, под действием которых радиус полости изменяется по законы r (t ) = r0 + 5 ⋅ 10 −7 sin ωt .
Вычислить максимальное и минимальное значение давления внутри полости, пренебрегая
диффузионными эффектами.
1. Воздушная полость будет находиться в равновесии в том случае, когда давление газа в
полости будет равно внешнему давлению, т.е.
2σ
p = ρgh + p 0 +
,
(1)
r
где р0 − атмосферное давление.
2. При воздействии акустических колебаний радиус полости будет меняться по синусоидальному закону. Условие равновесия (1) в этом случае можно переписать следующим образом
2σ
(2)
p=
+ ρgh + p 0 .
r0 + A sin ωt
3. Минимальным давление в полости будет иметь место при максимальном радиусе,
максимальное − наоборот, когда под действием ультразвуковых колебаний полость будет
максимально сжата
p min − при sinωt = 1, p max при sinωt = -1 .
(3)
4. Уравнение (2) с учётом условий (3) перепишутся следующим образом
2σ
0,073
p min =
+ ρgh + p 0 ≅
+ 10 3 ⋅ 10 ⋅ 1 + 10 5 ≅ 0,16 МПа .
−6
−7
r0 + A
1 ⋅ 10 + 5 ⋅ 10
2σ
0,073
p max =
+ ρgh + p 0 ≅
+ 10 3 ⋅ 10 ⋅ 1 + 10 5 ≅ 0,26 МПа .
−6
−7
r0 − A
1 ⋅ 10 − 5 ⋅ 10
Пример № 13. Для получения очень мелких дробин используется изогнутый под прямым углом капилляр с длиной горизонтального участка l и внутренним диаметром r = 0,1 мм заполненный расплавленным свинцом с коэффициентом поверхностного натяжения σ = 0,442 Н/м и плотностью ρ = 11,3⋅10 3
кг/м3. При какой минимальной частоте вращения сферические
капли свинца станут вылетать из капилляра, если h = 0,1 м, l =
0,2 м?
1. При вращении капилляра мениск в горизонтальной части
выпуклый, а в вертикальной части − вогнутый. Движение жидкости в горизонтальной части
капилляра будет ускоренным
v 2 ω2 l 2
an =
=
= ω2 l .
(1)
R
l
2. Отрыв капель свинца начнётся в момент, когда сумма динамического и статического
давлений превзойдёт давление, обусловленное поверхностными эффектами
292
ρv 2
4σ ρω2 l 2 4σ
+ ρgh ≥
,
=
− ρgh .
2
r
2
r
3. Выразим из уравнения (2) угловую скорость ω
(8σ r ) − 2ρgh ≅ 5,3 рад .
ω≥
ρl 2
с
(2)
(3)
Пример № 14. Какой радиус должен иметь бериллиевый
шарик, натёртый воском, чтобы он «держался» на поверхности воды? Плотность бериллия ρ1 = 1,84⋅103 кг/м3.
1. Поверхность, натёртую воском можно считать не смачиваемой водой. На шарик, опущенный на поверхность воды,
будут действовать три силы: сила тяжести, сила Архимеда и сила, вызванная поверхностным
натяжением. Условие «плавания» шарика будет определяться условием равновесия перечисленных сил.
2. Составим уравнение равновесия сил
4 3
2
πr ρ1g − πr 3ρ 2 g = 2πrσ ,
(1)
3
3
где ρ2 = 103 кг/м3 плотность воды, σ = 0,073 Н/м коэффициент поверхностного натяжения
3. Выразим из уравнения (1) радиус шарика
3σ
3 ⋅ 0,073
r=
≅
≅ 2,86 мм .
(2)
g(2ρ1 − ρ 2 )
10(2 ⋅ 1840 − 1000)
Пример № 15. В одном из многочисленных проектов Perpetuum
mobile предлагалось использовать конструкцию, состоящую из сосуда с водой, капиллярной изогнутой трубки и лёгкой турбинки. По
мнению авторов за счёт капиллярного эффекта жидкость должна
подниматься по капилляру, капать с его конца на лопасти, совершая полезную работу. В чём заключается несостоятельность конструкции?
1. Чтобы жидкость поднималась по капилляру, она не должна
смачивать его внутреннюю поверхность. В этом случае образуется
выпуклый мениск, возникает сила Fσ, обусловленная поверхностным натяжением. Именно как следствие действия этой силы, жидкость поднимается вверх по капилляру.
2. При истечении из капилляра тоже образуется мениск, но сила поверхностного натяжения
стремится втянуть образовавшуюся поверхность
внутрь капилляра, т.е. капать вода не будет и колёсико останется в покое. Авторы этого проекта
пытались внутренние силы системы преобразовать во внешние, которые могут изменять механическое состояние системы.
293