Урок по алгебре и математическому анализу в 10 классе по теме «Решение тригонометрических неравенств с помощью метода интервалов» Обучающая цель: Изучить возможности применения метода интервалов для решения тригонометрических неравенств Развивающая цель: Развивать навыки сравнения, обобщения, анализа. Воспитательная цель: Воспитывать ответственные отношения за результаты своего труда I Устная работа 1.1.(х+1.5)(х-1)≤0 1.2.(х+1.5)⁷(х-1)2001 ≤0 1.3.(х+1.5)(х-1)≤0 Повторить суть метода интервалов для рациональных неравенств 2.Найти период: F(x) 2.1.у=Sinx+Cos2x 2.2.у=SinxCosx Обзор по теме: «Нахождение периода тригонометрических функций» Нахождение периода тригонометрических функций 1)y=l(wc), где l- одна из тригонометрических функций Пример : y= Sin 2x , T₁=∏ y= tg 3x , T₁=∏/3 2)Период тригонометрических функций, приводимых к простейшей функции. Пример: 1) y= 2 Sin² 2x y= 1-Cos 4x, T₁=∏/2 2) y= Sinx Cosx Cos2x Cos4x y= 1/8 Sin8x,T₁=∏/4 Период функции, представляющих алгебраическую сумму простейших функций Пример: 1) y= Sin 2x +Sin 2x/3 T₁=∏, T₂=3∏ T₁/ T₂=1/3 T= T₂=3 T₁=3∏ 2) y= Cos2x Cos 3x Необходимо привести к алгебраической сумме y=1/2(Cos (2x+3x)+Cos (2x-3x)) y= 1/2Cos5x+ 1/2Cosx T₁=2∏/5 T₂= 2∏ T₁/ T₂=1/5 T= 5T₁= T₂= 2∏ 3.Решить неравенства: 3.1.Sinx≥0 3.2.Sinx≥1 3.3.Cosx≤0 3.4.Sin3xCosx≥0 Акцент на неравенство. Обсудить версии Одна из них - составление систем неравенств. Ученики - исследователи, решавшие неравенства этим путем, показывают, насколько этот путь трудоемкий. Формируется тема урока, ставятся его цели и задачи. Sin3x≥0 Sin3x≤0 Cosx≥0 Cosx≤0 II Изучение нового материала 1)Ученица рассказывает решение неравенства Sin2t - Sin3t>0, опираясь на мультимедийную презентацию. Учащиеся должны уловить алгоритм, перечислить и записать шаги (опора на слайд). 1) T₁= π ; T₂= T=2T₁=3T₂=2π 2) y(t)=sin2t-sin3t=0 – непрерывна на R. Найдём её нули на [0;2π). sin2t-sin3t=0 a) б) При kϵ{0,1,3,5,7,9} tϵ[0;2π). Это числа 3) Вынесем нули функции на числовую прямую, выбрав удобный масштаб: - соответствует 1 клетке, тогда - 10 клеткам. + + + 0 4) Определим знак функции y(t) при 5) Проведём кривую знаков. Видим, что данное неравенство выполняется на 6) . Учитывая периодичность функции, получим 1. 2. Найти основной период l функции f. Найти корни уравнения f(t)=0, лежащие на промежутке [0;l), а также точки разрыва функции f на этом промежутке. 3. 4. 5. Найденные точки делят промежуток [0;l) на такие части, что на каждой из них функция f имеет постоянный знак. Методом пробных точек определить знак на каждой из частей. Отобрать те части, где знак имеет требуемое по условию значение. Записать ответ, учитывая периодичность функции. В ходе объяснения учитель задает вопросы : 1)Можно ли было взять в качестве интервала для исследования [-π;π] (удобство: нечетность функции – удобно ли это?) 2)Др. интервал 3)При каком значении t удобна проверка знаков? Какому промежутку принадлежит это значение аргумента? 4)Можно ли было использовать тригонометрический круг? ( Да, если Т=2π) 5)На каком свойстве функции основано применение метода? (непрерывность функций) Алгоритм на странице 12 брошюры (Пример 2) «Решение неравенств методом интервалов» А) Изучается по книжке. Пример 3 (это комментарий к домашнему заданию) Б) Как решить это неравенство проще и быстрее ? IV Закрепление Решается неравенство: sin 3 x * cos x ≥0 y = sin 3 x * cos x непрерывная функция 1 y = sin 3 x * cos x = (sin 4 x - sin2x) 2 1) T = 2 2) a) sin 3x = 0 n x= 3 б) cosx = 0 x = + k 2 0; x= Масштаб : 2 3 2 6 ; 3 ; ; ; x= 4 5 ; 3 3 3 2 - 1 клетка на R 𝜋 3𝜋 = 2 6 3𝜋 9𝜋 = 2 6 2𝜋 4𝜋 = 3 6 4𝜋 8𝜋 = 3 6 𝜋 𝜋 𝜋 3) 𝑦 ( ) = 𝑠𝑖𝑛 ∗ 𝑐𝑜𝑠 > 0 6 2 6 Ответ: [0 + 2𝜋𝑛; 𝜋 3 𝜋 2 + 2𝜋𝑛) ; [ + 2𝜋𝑛; 2𝜋 3 + 2𝜋𝑛] ; [𝜋 + 2𝜋𝑛; 4𝜋 3 3𝜋 2 + 2𝜋𝑛] ; [ + 2𝜋𝑛; 5𝜋 3 + 2𝜋𝑛] Можно ли было решить это неравенство по кругу? Ответ: да Это удобно, если период 2𝜋. Если Т >2𝜋, то нельзя использовать метод интервалов на круге. V Итог. Выясняется вопрос: «Чем отличается применение метода интервалов для тригонометрических неравенств?» (Период, значение функции проверяется на удобном промежутке) 1)Чему научились на уроке? 2)Возможности метода интервалов? (Универсальный метод, применяемый для решения рациональных и иррациональных тригонометрических неравенств. В 11 классе будет применяться при решении показательных и логарифмических неравенств.) Выясняется вопрос: «Кто готов к самостоятельному решению неравенств подобного типа?» VI Домашнее задание: стр. 305 №667(8,4)