Основные понятия квадратного уравнения

МОУ «Сосновская основная общеобразовательная школа»
(д. Васькино Моргаушского района Чувашской республики)
Максимова Светлана Степановна
Урок проводится в 8 классе
Тема урока: Определение квадратного уравнения.
Неполные квадратные уравнения.
Цели урока:
1. Обучающая
– ввести понятие квадратного уравнения; формировать умения записывать квадратное
уравнение в общем виде, различать его коэффициенты;
- ввести понятие приведённого и неприведённого квадратного уравнения;
- ввести понятия полного и неполного квадратного уравнения, обобщить способы
решения неполных квадратных уравнений.
2. Развивающая – развитие познавательного интереса учащихся, развивать
математическую речь, умения наблюдать, сравнивать, делать выводы.
3. Воспитывающая – воспитание к стремлению новых знаний.
Расширять кругозор и познакомить учащихся с историческими сведениями.
Тип урока: Комбинированный
Оборудование: презентация
На доске в углу «Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится
величественное здание алгебры».
План урока:
I. Организационный момент
II. Устный опрос по теории
III. Определение квадратного уравнения, коэффициенты
IV. Приведённое и неприведённое квадратное уравнение
V. Здоровьесберегающие технологии
VI. Полное и неполное квадратное уравнение
VII. Виды неполных квадратных уравнений и их корни
VIII. Здоровьесберегающие технологии
IX. Закрепление, тренировочные упражнения
X. Сообщение домашнего задания
XI. Исторические сведения
I. Организационный момент
(Нацелить учащихся на урок).
— Здравствуйте, садитесь. Зовут меня Светлана Степановна. Откроем тетради и запишем
сегодняшнее число: 19. 01. 11г.
- Запишем тему урока:
Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения.
Цели и задачи:
Сегодня на уроке мы узнаем, какие уравнения называют квадратными, ознакомимся
приведёнными, неприведёнными, полными и неполными квадратными уравнениями.
Способами решения неполных квадратных уравнений.
Надеюсь, все будут плодотворно, активно и коллективно работать в течение урока.
II. Устный опрос по теории
Уравнение — равенство, в котором одна из букв является неизвестным числом.
Решить уравнение — найти неизвестное число. Оно называется корнем уравнения.
а) х - 5 = 0;
г ) х² = 16;
б) 2х- 4 = 0;
д) х² – 9 = 0 ;
в) х(х + 5) = 0;
е) 5х² = 0.
III. Определение квадратного уравнения, коэффициенты.
Определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида ах2+вх+с=0, где хпеременная, а,в,с- любые действительные числа, причем а≠0.
В каждом из уравнений вида ах2+вх+с=0, где а отличен от нуля, наибольшая степень
переменной х — квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение. Ещё называют
уравнением второй степени.
-Почему а не рано нулю? (При а=0, уравнение не будет квадратным).
Число а не может быть равным нулю, так как в этом случае уравнение примет вид
bх + с = 0, а это линейное уравнение.
Числа а, в, с – коэффициенты квадратного уравнения.
Число а – первый
или
старший коэффициент,
в – второй коэффициент
или
коэффициент при х,
с – свободный член.
Является ли квадратным уравнение?
а) 2х² + 7х – 3 = 0;
д) х² – 6х + 1 = 0;
б) 5х – 7 = 0;
е) 7х + 5х = 0;
в) –х² – 5х – 1 = 0;
ж) 4х² + 1 = 0;
г) 3х + 4 = 0;
з) х² – 36 = 0.
Приведите уравнение к виду
ах² + bх + с = 0
а) –х + 2х² – 4 = 0;
г) 18 – 7х + х² = 0;
б) 2х² – 3х = – 1;
д) 3 – х² + х = 0.
в) х + 8 – 9х² = 0;
Определите коэффициенты квадратного уравнения:
6х2 + 4х + 2 = 0
-2х2 + х - 1 = 0
а=
а=
b=
b=
c=
c=
8х2 – 7х = 0
х2 – 0,7 = 0
а=
а=
b=
b=
c=
c=
№24.22
Составьте квадратное уравнение, у которого:

старший коэф. 5, второй 8, свободный член 1;

первый коэффициент 1, коэффициент при х=3, свободный член -4;

Старший коэффициент 2/9; второй коэффициент -2; свободный член 7/13.
№24.7 (письменно)
IV. Приведённое и неприведённое квадратное уравнение.
Определение: Квадратное уравнение называют приведённым, если его старший
коэффициент =1; квадратное уравнение называют неприведённым, если старший
коэффициент отличен от 1.
№24.9, 24.36.
-Что надо сделать чтобы квадратное уравнение ах2+вх+с = 0 стало приведённым? (Каждый
коэффициент разделить на а)
Преобразуйте квадратное уравнение в приведённое:
•
а) –х² + 2х – 5 = 0;
г) 3х² + 9х –21 = 0;
•
б) х² + 3х – 1 = 0;
д) 5х² + 10х + 20 = 0;
•
в) 2х² – 4х = 0;
е) 8х²+24 = 0.
V. Здоровьесберегающие технологии.

Быстро поморгаем, закроем глаза и посидим спокойно, медленно считая до 5. (2
раза)
VI. Полное и неполное квадратное уравнение.
Определение: Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором
присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты
в и с отличны от нуля.
Определение: Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором
присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы
один из коэффициентов в, с равен нулю.
-2х2+7 = 0, 3х2-10х = 0, -4х2 = 0 -неполные квадратные уравнения.
Например:
а) 5х²-2=0 – неполное квадратное уравнение, где а=5, в=0, с=-2;
б) -3х²+7х=0 - неполное квадратное уравнение, где а=-3, в=7, с=0;
в) 7х²=0 - неполное квадратное уравнение, где а=7, в=0, с=0;
VII. Виды неполных квадратных уравнений и их корни.
а) ах2+с = 0 , где с≠0.
Тогда х² =- с/а.
Если (-с/а)>0, то корни х1 = -
Если (-с/а)<0, то уравнение корней не имеет.
№24.18 (а, б) - устно,
№24.12(в)- письменно
б) ах2+вх = 0, где в≠0 .
Тогда х·(ах+в)=0.
Корни: х1=0 и х2=-в ⁄а
№ 24.12(а,б) - письменно
в) ах2= 0
Имеет единственный корень х=0.
№24.20(б,г) - письменно
VIII. Здоровьесберегающие технологии.
Двигайте глазами из стороны в сторону, сначала глядя как можно дальше вправо, затем
влево, не двигая головой и телом.
IX.
Закрепление. Тренировочные упражнения.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Какое уравнение называется квадратным?
– Может ли коэффициент а в квадратном уравнении быть равным нулю?
– Является ли уравнение 3х2 – 7 = 0 квадратным? Назовите коэффициенты этого
уравнения.
– Какое квадратное уравнение называется неполным?
– Какое квадратное уравнение называется приведённым?

Как преобразовать неприведённое квадратное уравнение в приведённое?
На повторение:
Какие из уравнений являются квадратными:
а) 3х+х2=0;
д) х2+8х+1=0;
б) 2х-5=4;
е) х2-9х=0;
в) -3х2+2х-5=0;
ж) 5х2=0;
г) 2х2-7=0;
з) х+2=0;
Какие из этих уравнений являются неполными квадратными? { а),г),е),ж) }
Укажите коэффициенты уравнений в пунктах а), в), д).
Домашнее задание.
§ 24, №24.13,
24.8,
24.11
XIII. Итоги урока.
— Сегодня мы узнали, какие уравнения называются квадратными, ознакомились
приведёнными, неприведёнными, полными и неполными квадратными уравнениями.
Способами решения неполных квадратных уравнений.
Все работали плодотворно, активно и коллективно в течение урока.
Урок окончен.
4.Исторические сведения.
А когда люди научились решать квадратные уравнения?
Древние греки - Евклид и другие ученые - решали геометрическим путем. Задачи,
которые они решали, имели практическую направленность. Например, найти сторону
квадрата по его площади, или радиус круга тоже по площади.
В Древнем Вавилоне образованные люди (это были жрецы и чиновники) умели решать
задачи на определение длины и ширины прямоугольника по площади и периметру.
Багдад 9 век. Математик аль-Хорезми предлагает правило решения квадратных
уравнений в точности соответствующее действиям по нашим формулам, но изложено
риторически.
Выдающийся французский математик 16 века Франсуа Виет ввел для коэффициентов
буквы и получил равенство, связывающее корни уравнения.
После трудов нидерландского математика Жирара, а также Декарта и Ньютона способ
решения квадратных уравнений принял современный вид.
5. Дополнительные упражнения
1. Составьте квадратное уравнение по его коэффициентам:
а) а = –4; b = 3; с = 1;
б) а =1; b = 0; с = -9 ;
в) а = –1; b = ; с = 0;
г) а = 2; b = 0; с = 0.
2. Какие из данных уравнений являются приведёнными; неполными?
а) х² – 3х + 5 = 0;
г) х² – х = 0;
б) –х² – 7х + 1 = 0;
д) х² = 0;
в) х² + 5х – 1 = 0;
е) х² – 5 = 0.