ТЕМА 1 МНОЖЕСТВА

1 Множества
1.1 Множество. Способы задания множеств
(Множество, элементы множества, способы задания множеств, конечные и
бесконечные множества, упорядоченные множества, парадоксы)
В повседневной жизни и
прак
тической деятельности часто
приходится говорить о некоторых совокупностях различных объектов:
предметов, понятий, чисел, символов и т.п. Например, совокупность деталей
механизма, аксиом геометрии, чисел натурального ряда, букв русского
алфавита. На основе интуитивных представлений о подобных совокупностях
сформировалось математическое понятие множества. Основателем теории
множеств считается Георг Кантор. Он в конце XIX – начале XX века первым
исследовал формально понятие множества. Впоследствии теория множеств
стала вполне определенной и обоснованной областью математики, а в
настоящее время она приобрела фундаментальное значение. Большинство
ученых считают, что все в современной математике можно представить на
языке теории множеств. Теория множеств является основанием для всех
разделов дискретной математики и компьютерных наук в целом, является
одной из основ таких областей математики, как функциональный анализ,
топология, общая алгебра и т.д. Ведутся глубокие исследования в самой
теории множеств. Эти исследования связаны с самыми основами математики.
Теория множеств вместе с другими разделами дискретной математики
имеют множество полезных приложений в программировании. Она
используется для построения систем управления базами данных, при
построении и организации работы компьютерных сетей, в частности сети
Интернет.
Мы начнем рассмотрение теории множеств с изучения понятия
множества. Множество относится к категории наиболее общих,
основополагающих понятий математики, поэтому вместо строгого
определения принимается некоторое основное положение о множестве и его
элементах. Георг Кантор придерживался точки зрения, что множество - есть
объединение отдельных объектов в единое целое.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество – это совокупность элементов
произвольной природы, объединенных каким - либо способом. Элементы
множества – это объекты, которые образуют данное множество, и могут
обладать некоторыми свойствами и находиться в некоторых отношениях
между собой или с элементами других множеств.
ПРИМЕР. Множеством может быть школа, состоящая из элементов
множества – учеников и работников школы. Множеством может быть море,
если подумать о множестве капель. В то же время множество молекул может
быть твердым телом.
ОБОЗНАЧЕНИЯ. Множества обозначают заглавными, а элементы
множеств - строчными латинскими буквами или строчными латинскими
буквами с индексами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.
Например, запись А={a,b,d,h} означает, что множество А состоит из четырех
элементов a,b,d, и h. В общем виде утверждение, что конечное множество A
состоит из n элементов записывается так: A={a1,a2,...,an}. Принадлежность
элемента множеству обозначается символом : a  A (читают: элемент а
принадлежит множеству А). В противном случае обозначают a  A (читают:
элемент а не принадлежит множеству А)..
В дальнейших исследованиях мы будем использовать различные
множества чисел. Введем обозначения для некоторых из них. Обозначим
N – множество натуральных чисел. N={1,2,3,…};
Z – множество целых чисел. Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…};
Q – - множество рациональных чисел. Всякое рациональное число
можно представить в виде дроби: a/b, где a,bZ.
R – множество действительных чисел. Всякое действительное
число можно представить в виде: a,b1b2b3…bn… – это десятичные дроби с
целой частью aZ и бесконечной дробной частью b1b2b3…bn…. Множеству
действительных чисел соответствует множество точек на прямой.
Элементами множеств могут быть другие множества.
ПРИМЕРЫ.
1. A = {D,C}, D={a, b}, C={c, d, e}. При этом DA, CA, но aA и
сA.
2. A = {{x,y},z}. Эта запись означает, что множество A содержит два
элемента: множество {x,y} и элемент z.
3. B= {{{v}}}. Это означает, что единственным элементом множества
B является множество, элементом которого является множество {v}.
4. Одна книга из множества книг в шкафу может рассматриваться как
множество страниц.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество называется конечным, если оно
содержит конечное число элементов и бесконечным, если оно содержит
неограниченное число элементов.
ПРИМЕР. Множество цифр в десятичной системе счисления конечно:
A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}, а множество точек окружности бесконечно.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Упорядоченным называется такое множество, в
котором важны не только его элементы, но и порядок их следования в
множестве. В таком множестве каждый элемент имеет свой порядковый
номер. Обозначают упорядоченное множество, как правило, либо круглыми,
либо треугольными скобками.
A=<1,2,3> , в общем случае: A=<a1,a2,..,an>, nN;
В=(а,b,с).
ПРИМЕР. Рассмотрим упорядоченное множество действий по
забиванию гвоздя в стенку: если сначала постучать молотком по стене, а
потом пойти в магазин, чтобы купить гвоздь - вряд ли что-нибудь получится.
Но здесь все зависит от подхода и условий задачи. Возможно, что порядок
следования окажется совершенно не важен, тогда можно рассматривать
данное множество как неупорядоченное.
Рассмотрим, каким образом множество может быть задано.
Способы задания множеств.
1. Множество можно задать простым перечислением элементов
А = {a1, a2,... , an } .
ПРИМЕР. Множество отличников в классе 1а обозначим Z1а и зададим
его перечислением: Z1а = {Иванов, Петров, Сидоров, Кукушкина}
Способ задания множества перечислением его элементов не пригоден
для задания бесконечных множеств и даже в случае конечных множеств
часто практически нереализуем. Например, невозможно перечислить
множество рыб в Тихом океане, хотя совершенно очевидно, что их число
конечно.
2. Другой способ задания множества состоит в описании элементов
определяющим свойством:
Множество
Х = {х | Р(x) },
где Р(х) – описывает свойства элементов х множества Х.
ПРИМЕР. Множество N10 всех натуральных чисел, меньших 10 можно
задать так: N10={x | xN, x<10}.
Свойства элементов могут быть заданы не формально, а с помощью
описания на естественном языке.
ПРИМЕРЫ.
1. Множество слонов, множество птиц, множество рыб, множество
натуральных чисел N.
2. В геометрии часто приходится иметь дело с множествами,
заданными своими характеристическими свойствами. Так, определение
“окружностью называется геометрическое место точек плоскости,
равноудаленных от данной точки этой плоскости” означает, что множество
точек плоскости, равноудаленных от данной точки этой плоскости, совпадет
с множеством точек некоторой окружности.
3. Множество может быть задано рекурсивно. В этом случае должен
быть задан способ порождения его элементов.
ПРИМЕРЫ.
1. Е = {x: x=0 или х={y},yE}. Элементами этого множества являются
0, {0}, {{0}}, {{{0}}}, …
2. Множество значений рекурсивной функции является рекурсивно -
заданным множеством F={f(1), f(2), f(3), …}.
f(1)=1
f(2)=1
f(n)= f(n-2)*3+ f(n-1)
Понятие рекурсивно заданного множества тесно связано с понятиями
функции, алгоритма и формальной системы, которые будут изучаться далее.
При задании множеств могут возникать ошибки и противоречия.
Множество задано верно, если для любого элемента можно определить,
принадлежит он множеству или нет. Напротив, множество задано
неправильно, если для какого-либо элемента нельзя определить его
принадлежность множеству.
ПРИМЕРЫ.
1. Определение множества A как множества, содержащего любые пять
чисел не является правильным, поскольку невозможно определить точно
элементы A.
2. Множество всех простых чисел является правильным определением
множества. Для любого числа теоретически можно определить, принадлежит
ли оно этому множеству, хотя практически на это может потребоваться очень
много времени.
3. Множество всех динозавров, живших на Земле, является
множеством, заданным верно. Хотя практически невозможно определить
элементы этого множества, но теоретически ясно, что если животное, когдалибо жившее на Земле, является динозавром, то оно принадлежит к этому
множеству, в противном случае – нет.
Множество может содержать себя в качестве одного из своих
элементов.
ПРИМЕР. Пусть M - множество всех множеств, содержащих
бесконечное число элементов. Очевидно, что само это множество тоже
содержит бесконечно много элементов, поэтому оно также является
элементом множества M. Аналогично элементами самих себя являются
множество всех множеств, имеющих в качестве элементов некоторые
множества, множество всех множеств, не содержащих в качестве элементов
натуральные числа и т.д.
При определении принадлежности элемента множеству может
возникать противоречие. Рассмотрим примеры.
ПРИМЕРЫ.
1. Рассмотрим определение множества G как множества всех множеств,
которые не являются элементами самих себя. Определим, является ли само
множество G элементом множества G. Если да, то приходим к
противоречию, поскольку G содержит в качестве элементов только
множества, которые не являются элементами самих себя. Если множество G
не является элементом самого себя, то тогда по определению оно должно
быть элементом множества G, что является противоречием. Итак, мы не
можем определить, для множества G, принадлежит ли оно самому себе,
поэтому приведенное определение для G не верно.
2. Пусть в некотором городе N есть один парикмахер. Если он примет
решение брить только тех жителей города N, которые не бреются сами, то он
никогда не сможет определить, бриться ему или нет, поскольку, если он не
будет бриться, то будет жителем, который сам не бреется, то есть, одним из
тех, которых он должен брить. Как только он начнет бриться, то будет
принадлежать к тем жителям, которые бреются сами, то есть, которых ему не
следует брить. Рассмотрим множество людей, которых решил брить этот
парикмахер. Определяя принадлежность его самого этому множеству
приходим к противоречию.
Такие противоречия тесно связаны с логическими парадоксами, которые
изучаются в алгебре логики.
1.2 Основные понятия теории множеств.
(Равенство множеств, мощность множеств, включение множеств, универсальное и
пустое множества, степень множества. )
Рассмотрим понятие равенства множеств.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Неупорядоченные множества равны, если они
содержат одинаковый набор элементов. Обозначается A=B. Если множества
не равны, это обозначается AB.
Рассмотрим пример.
ПРИМЕР. Пусть заданы множества
A= {1,2,3,4,5};
B – множество натуральных чисел от 1 до 5;
С= {c | 1 c  5, cN};
D = {4,1,5,2,3}.
Эти множества содержат один набор элементов, поэтому получаем, что
A=B=C=D.
При задании множеств могут присутствовать неточности, которые
необходимо устранять. Рассмотрим примеры.
ПРИМЕРЫ
1. Пусть заданы множества:
A={Иванов, Петров, Сидоров};
B={Иванов, Петров, Сидоров}.
В этом случае A=B, если речь идет об одних и тех же людях. В противном
случае AB. Такие определения необходимо уточнять, чтобы можно было
безошибочно определить элементы множества.
2.
Рассмотрим множество остатков, получаемых при делении
натуральных чисел на 3. A={0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, …}. Это множество
содержит всего три элемента: 0, 1, 2. Поэтому его можно записать в виде
A={0, 1, 2}. Аналогично множество D={a, b, b, b, a} можно записать как
D={a, b}.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число элементов в конечном множестве М
называется мощностью М и обозначается |M|.
ПРИМЕРЫ.
1. Пусть задано множество A={x | 5x10}, тогда |A|=6.
2. Пусть B – множество всех видов шахматных фигур, а С – множество
всех шахматных фигур, участвующих в одной игре. Тогда |B|=6 (пешка,
ладья, офицер, конь, королева, король), а |С|=32 (16 белых и 16 черных).
3. Пусть A={7,7,8,8,0,7,8}, тогда |A|=3, поскольку A содержит только 3
различных элемента и является множеством A={7,8,0}.
Множества могут содержаться одно в другом. Рассмотрим
определение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество А, все элементы которого принадлежат
множеству В, называется подмножеством множества В.
ОБОЗНАЧЕНИЕ. Нестрогое включение обозначается АВ, означает,
что А - несобственное подмножество множества В. Строгое включение
обозначается АВ, и означает, что А - собственное подмножество
множества В. АВ читается “А включено в В”.
Отличия А  В и А  В заключается в том, что отношение А  В
допускает и тождественность (А=В), т. е. любое множество можно
рассматривать как подмножество самого себя (А  А), в то время как символ
строго включения А  В ставится тогда, когда мы хотим подчеркнуть, что
АВ, то есть в множестве В содержатся не только элементы множества А.
Выполнение соотношений А  В и В  А возможно только при А = В. И
обратно, А = В, если А  В и B  А. Эти соотношения являются признаком
равенства множеств через отношение включения.
ПРИМЕРЫ.
1. Множество положительных чисел является строгим подмножеством
множества действительных чисел. R+  R.
2. Обозначим множество учеников некоторого класса – X, множество
отличников в этом классе – Y. Тогда Y  X, поскольку множество
отличников в классе включено в множество учеников этого класса и
теоретически может быть равным ему. Пусть Z – множество учеников
школы, которой принадлежит рассмотренный нами класс. Тогда X  Z.
Включение X в Z строгое, поскольку кроме учеников класса Х, в школе
обязательно присутствуют ученики других классов.
3. Множество конденсаторов электронной сети является строгим
подмножеством всех ее компонентов.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Универсальным называется множество, которое
содержит все возможные элементы, встречающиеся в данной задаче.
Универсальное множество обозначается символом U.
Заметим, что универсальное множество U может отличаться для
каждой отдельной задачи и определяется в условии задачи. В общем случае
универсальным считается множество всех возможных множеств для любых
задач.
ПРИМЕР. Рассмотрим некоторую группу студентов. A – множество
юношей группы, B – множество отличников. В данной задаче универсальным
является множество студентов группы, а множества A и B являются его
подмножествами: AU, BU .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пустым называется такое множество, которое не
содержит никаких элементов. Пустое множество обозначается специальным
символом .
Роль пустого множества  аналогична роли числа нуль. Это понятие
можно использовать для
определения
заведомо несуществующей
совокупности элементов (например, множества зеленых слонов). Более
существенным мотивом введения пустого множества является то, что заранее
не всегда известно (или неизвестно вовсе) существуют ли элементы,
определяющие какое-то множество. Например, множество выигрышей в
следующем тираже спортлото на купленные билеты может оказаться
пустым. Пустое множество  является подмножеством любого множества,
т.е.   А, где А - любое множество. Следует помнить,что пустое множество
является множеством, поэтому если некоторое множество A не содержит ни
одного элемента, то A=; |A|=0. Запись A={} означает, что A содержит
один элемент - . |A|=1.
Таким образом, любое непустое множество обязательно имеет хотя-бы
два подмножества – пустое множество и само это множество. Важное
значение для решения многих задач имеет исследование всех возможных
подмножеств некоторого множества. Для этого определяется множество всех
подмножеств данного множества. Рассмотрим определение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Множество всех подмножеств множества X
назовем множеством-степенью X и обозначим  (X)
ПРИМЕР.
Пусть
задано
множество
A={a,b,c}.
(A)={,{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}}
Пустое множество имеет только одно подмножество – само пустое
множество, поэтому P()={}. Для произвольного множества X из n
элементов его множество-степень  (X) содержит 2n элементов:
| (X)|=2|X|
1.3 Геометрическая интерпретация множеств
(Диаграммы Венна, круги Эйлера)
Для наглядного изображения соотношений между подмножествами
универсального множества используются диаграммы Венна и круги Эйлера.
Построение диаграммы Венна заключается в разбиении плоскости на
n
2 ячеек с помощью n фигур. Каждая фигура на диаграмме представляет
отдельное множество, n - число изображаемых множеств. Разбиение
производится таким образом, что для любого набора этих фигур существует
одна и только одна ячейка, точки которой принадлежат всем фигурам из
набора и не принадлежат другим. Плоскость, на которой изображаются
фигуры, представляет универсальное множество U. Таким образом, точки, не
принадлежащие ни одной из фигур, принадлежат только U. Диаграмма Венна
для двух множеств A и B выглядит следующим образом.
U
B
A
 x1
 x2
 x3
 x4
Рис. 1.1… Диаграмма Венна для двух множеств A и B.
С помощью диаграмм Венна можно графически показать
принадлежность некоторого элемента xU рассматриваемым множествам.
Например, на рис. … элемент x1 принадлежит A и не принадлежит B, x2
принадлежит A и B, x3 принадлежит В и не принадлежит A, x4 не
принадлежит ни A ни B. Любой элемент принадлежит универсальному
множеству U.
Диаграмма Венна для трех множеств A, B и C выглядит следующим
образом.
A
B
U
 x1
 x2
C
Рис. 1.2 Диаграмма Венна для трех множеств A, B и C.
На рис. … элемент x1 принадлежит множествам A, B и C. Элемент x2
принадлежит B и C, и не принадлежит А.
Диаграмму Венна для четырех множеств A, B, C и D можно изобразить
следующим образом.
U
D
A
 x1
B
C
Рис. 1.3 Диаграмма Венна для четырех множеств A, B, C и D.
На рисунке … в качестве примера изображен элемент x1,
принадлежащий всем четырем множествам: A, B, C и D. Для более ясного
представления, заштрихуем каждую обасть этой диаграммы, используя более
густую штриховку там, где точки принадлежат большему числу множеств.
- принадлежит только одному из множеств
- принадлежит только двум из множеств
- принадлежит только трем из множеств
- принадлежит всем четырем множествам
U
D
A
B
C
Рис. 1.4 Диаграмма Венна для четырех множеств A, B, C и D.
При построении диаграмм Венна рассматривается возможность
наличия общих элементов для любой группы, состоящей из рассматриваемых
множеств, а также элементов, которые не принадлежат любой из этих групп.
Диаграммы Венна не отражают реальные отношения включения,
установленные между множествами, а рассматривают их в общем случае.
Индивидуальные отношения между заданными множествами изображают с
помощью Кругов Эйлера. В этом случае множества, не имеющие общих
элементов, изображают не пересекающимися фигурами. Отношение
включения на множествах изображают, располагая одну фигуру вложенной в
другую. Рассмотрим построение кругов Эйлера на примере рис … .
A
B
A
B
B
А
А = {1, 4, 6};
В = {1, 5, 8};
Общий элемент - 1
А = {1, 4, 6};
В = {1, 6};
BA
А = {1, 4, 6};
С = {3, 5, 8};
Нет общих элементов
1.4
Операции на множествах
(Объединение, пересечение, разность, дополнение.)
Множества рассматриваются как объекты, над которыми можно
производить операции, аналогичные операциям стандартной арифметики.
Определим теперь операции над множествами. Для наглядного
представления операций будем использовать диаграммы Венна, в которых
круги изображают множества, участвующие в операции, а заштрихованная
часть - результат операции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Объединение (сумма) AB есть множество,
которое содержит все элементы, входящие либо в A, либо в B, либо в A и B
одновременно.
U
B
A
Рис. 1.6 Диаграмма Венна для AB.
ПРИМЕРЫ.
1. Пусть даны множества А={a, b, m}; В={n, c, p}, тогда их
объединение АВ={a, b, c, m, n, p}
2. Пусть даны три множества среди всех учеников некоторой школы:
А - множества успевающих учеников,
В - множества девочек,
С - множества неуспевающих мальчиков.
Множество всех учеников школы является суммой этих трех множеств:
D= АВD
Рассмотрим следующую операцию алгебры множеств.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пересечение (произведение) AB есть множество,
содержащее только элементы, входящие в A и B одновременно.
U
A
B
ПРИМЕРЫ.
1. А = {1, 2, ..., 59}; В = {2, 4, ..., 80}; АВ = {2, 4, ..., 58}
2. Пересечением множеств А и В учеников школы, где А - множество
успевающих учеников, а В - множество девочек, будет множество F
успевающих девочек.
Рассмотрим еще одну операцию алгебры множеств – разность.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Разность A\B есть множество, содержащее все
элементы A, не входящие в B.
U
B
A
Рис.1.9 Диаграмма Венна для A\B.
Разность множеств можно выразить через операции отрицания и
пересечения следующим образом:
A\B = AB̄
ПРИМЕРЫ.
1. А = {a, b, ..., p}; В = {a, b, ..., k}; А \ В = {l, m, n, o, p}
2. Разностью множеств А и В учеников школы, где А - множество
успевающих учеников, а В - множество девочек, будет множество G
успевающих мальчиков.
Теперь рассмотрим операцию, которая имеет только один операнд.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дополнение (отрицание) Ā (читается “не А”) есть
множество U\A.
U
A
Рис. 1.8 Диаграмма Венна для A.
ПРИМЕРЫ.
1. Будем производить все действия на множестве целых чисел
Z = {…,-2,-1,0,1,2,…}. Тогда в этой задаче U=Z. Пусть Z′ - множество
отрицательных чисел и 0, тогда Z′ = {… -2, -1, 0}. Дополнением к множеству
Z′ будет множество натуральных чисел N={1,2,…}: Z̄′ =N.
2. Рассматривая множество учеников школы, дополнением множества
девочек В будет множество мальчиков.
В теории множеств, по аналогии с обычной арифметикой, используется
операция разности множеств.