турнир 3 деньx

Ижевский командный турнир математиков
Ижевск, 30 января – 1 февраля
6 класс, высшая лига, III тур, 1 февраля
1. Шашка может ходить по диагонали на соседнюю клетку. Если
она достигает восьмой горизонтали, то становится дамкой. Изначально шашка стоит на поле e1. Сколько существует различных маршрутов, по которым она сможет пройти в дамки?
2. Вася записал по кругу несколько натуральных чисел так, что любые два соседние числа
отличаются на 1. После этого он подсчитал сумму A всех чисел, которые больше каждого
из двух своих соседей и сумму B всех чисел, которые меньше каждого из двух своих соседей. Эти две суммы Вася сообщил Пете. Сможет ли Петя по числам A и B установить
количество чисел, записанных по кругу?
3. Треугольник разрезан на три треугольника так, что два из них – остроугольные. Определите вид третьего треугольника: остроугольный, прямоугольный или тупоугольный.
4. В кассе купца Калашникова впервые за долгое время появились деньги – 27 монет: 9
копеек, 9 «двушек» и 9 «пятаков». Стало известно, что одна из них – фальшивая, легче
настоящей (а настоящие весят соответственно 1, 2, и 5 г). Разгневанные работник и требуют немедленной выдачи зарплаты, причем настоящими монетами. У приказчика есть
чашечные весы без гирь. Как только становится ясно, что какие-либо монеты – настоящие, они выплачиваются работникам и, естественно, в дальнейших взвешиваниях не
участвуют. Сможет ли приказчик наверняка выявить фальшивую монету за три взвешивания?
5. В государстве каждый житель – либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Все жители знакомы друг с другом. Президент однажды сделал два утверждения – «Я знаком с четным числом рыцарей» и «Я знаком с нечетным числом лжецов». Докажите, что любой другой житель сделает такие же утверждения (Президент входит в число жителей).
6. Одно пятизначное натуральное число записывается только
двойками и тройками, а другое пятизначное– только тройками и четверками. Может ли
их произведение записываться одними двойками?
7. В некоторой компании более 10 человек, и у каждого количество знакомых делится на
10. Докажите, что есть хотя бы 11 человек с одинаковым количеством знакомых.
8.. Можно ли представить 2009 в виде суммы 6 натуральных слагаемых так, чтобы все
цифры в записи этих слагаемых были различны?
Ижевский командный турнир математиков
Ижевск, 30 января – 1 февраля
6 класс – первая лига, III тур, 1 февраля
1. Из квадрата со стороной 5 клеток вырезали одну клетку, после чего его разрезали на 8
одинаковых прямоугольников размером 3×1. Какую клетку изначально
вырезали из квадрата?
2. Дано равенство: МАША = ОТЛИЧНИЦА. Маша смогла заменить каждую букву на свою цифру так, что равенство стало верным. Значение какой буквы можно узнать по этим данным? (Различные буквы соответствуют различным циф рам, одинаковые – одинаковым, точки – это
знак умножения).
3. Треугольник разрезан на три треугольника так, что два из них – остроугольные. Определите вид третьего треугольника: остроугольный, прямоугольный или тупоугольный.
4. Есть 27 монет: 9 копеек, 9 «двушек» и 9 «трояков». Известно, что среди монет есть одна фальшивая, которая легче настоящей. Настоящая копейка весит 1 г, «двушка» – 2 г,
«трояк» – 3 г. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь выявить фальшивую
монету?
5. Назовем натуральное число палиндромом, если оно читается одинаково слева направо и справа налево. Найдите все палиндромы, которые являются простыми числами и содержат в своей десятичной записи четное количество
цифр.
6. В лесу, состоящем только из елок и берез, компания «Пень-инвест» вырубила одну треть всех елок и одну шестую часть всех берез. Докажите,
что отчет экологической организации «Зеленый мститель», утверждающий, что была вырублена половина деревьев, сфальсифицирован.
7. Урфин Джюс выстроил 66 дуболомов в шеренгу, пересчитал их и понял, что перестроить их в шеренгу по пять ему не удастся. Тогда он решил
между любыми двумя дуб оломами, стоящими в шеренге, поставить еще
по одному дуболому. Сможет ли он, повторив эту операцию несколько
раз, добиться того, чтобы число дуболомов стало кратным 5?
8. Средний рост восьми баскетболистов равен 195 см. Какое наибольшее количество из
этих игроков может быть ниже, чем 191 см?
Ижевский командный турнир математиков
Ижевск, 30 января – 1 февраля
7 класс – высшая лига, III тур, 1 февраля
1. На шахматной доске стоит 10 белых фигур. Докажите, что
можно поставить на эту доску черного шахматного коня так,
чтобы он не нападал ни на одну из этих фигур?
2. Вася записал по кругу несколько натуральных чисел так, что любые
два соседние числа отличаются на 1. После этого он подсчитал сумму
A всех чисел, которые больше каждого из двух своих соседей и сумму B всех чисел, которые меньше каждого из двух своих соседей. Эти
две суммы Вася сообщил Пете. Сможет ли Петя по числам A и B установить количество
чисел, записанных по кругу?
3. Боря обнаружил, что для трех чисел a, b и c выполняется равенство
ab + c = (a + c)(b + c), а при некоторой перестановке этих чисел равенство нарушается. Чему равно произведение abc?
4. В государстве каждый житель – либо рыцарь, либо лжец. Рыцари
всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Все жители знакомы друг
с другом. Президент однажды сделал два утверждения – «Я знаком с
четным числом рыц арей» и «Я знаком с нечетным числом лжецов».
Докажите, что любой другой житель сделает такие же утверждения
(Президент входит в число жителей).
5. На сторонах AB, BC и AС треугольника ABС с прямым углом А отмечены точки K, L и M соответственно такие, что AKLM – квадрат. Лучи
KM и BC пересекаются в точке X. Докажите, что XAC = ABC.
6. Точки C1 и A1 –середины сторон AB и BС треугольника ABС. На стороне AC отмечена точка M такая, что MA1 < CA1. Докажите, что MС1 > AС1.
7. Дорожки парка идут вдоль краев двух квадратных газонов с одной общей стороной. Холмс и Ватсон гуляют каждый вокруг своего газона по часовой стрелке,
время от времени, встречаясь на общей дорожке. Во второй раз они встретились
через 10 минут после первого, а в третий – через 10 минут после второго. Через какое время они встретятся в 4-й раз, если известно, что Холмс ходит на 20% быстрее
Ватсона?
8. Докажите, что среди чисел вида 201020102010…2010 найдется число, делящееся на 2009.
Ижевский командный турнир математиков
Ижевск, 30 января – 1 февраля
7 класс – первая лига, III тур, 1 февраля
1. Бумажный прямоугольник ABCD перегнули по отрезку AE (см.
рис). Вершина D попала в точку D´ – середину стороны BC.
Найдите СЕ, если AE = 30 см.
2. Боря обнаружил, что для трех чисел a, b и c выполняется равенство ab + c = (a + c)(b + c), а при некоторой перестановке этих чисел равенство
нарушается. Чему равно произведение abc?
3. Есть 27 монет: 9 копеек, 9 «двушек» и 9 «трояков». Известно, что среди монет
есть одна фальшивая, которая легче настоящей. Настоящая копейка весит 1 г,
«двушка» – 2 г, «трояк» – 3 г. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь
выявить фальшивую монету?
4. Назовем натуральное число палиндромом, если оно читается одинаково слева
направо и справа налево. Найдите все палиндромы, которые являются простыми
числами и содержат в своей десятичной записи четное количество цифр.
5. В государстве каждый житель – либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят
правду, а лжецы всегда лгут. Все жители знакомы друг с другом. Президент однажды сделал два утверждения – «Я знаком с четным числом рыцарей» и «Я знаком
с нечетным числом лжецов». Докажите, что любой другой житель сделает такие
же утверждения (Президент входит в число жителей).
6. На плоскости расположены два прямоугольника – P и Q, пересечением которых
является равносторонний восьмиугольник. Докажите, что P и Q – квадраты.
7. Майор выстроил 66 призывников в шеренгу, пересчитал их и понял,
что перестроить их в шеренгу по пять ему не удастся. Тогда он решил
между любыми двумя призывниками, стоящими в шеренге, поставить еще по одному призывнику. Сможет ли он, повторив эту операцию несколько раз, добиться того, чтобы число призывников стало
кратным 5?
8. Назовем трехзначное число замечательным, если оно самое маленькое среди
натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр. Чему равна сумма всех
трехзначных замечательных чисел?