08-08-05

08-08-05. Связанный вектор в пространстве
1. Определение вектора, связанного с началом координат. Радиус-вектор.
Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. В этом параграфе
мы рассмотрим векторы, связанные с началом O прямоугольной системы координат.
Вектором OM , связанным с точкой O , называется направленный отрезок с
началом O и концом M .
Иногда вектор OM , связанный с точкой O , называют радиус-вектором точки M .
При этом считают, что точке O соответствует нулевой радиус-вектор OO который
записывают в виде O .
Каждый ненулевой связанный вектор в пространстве характеризуется длиной и
направлением.
Длина вектора OM определяется как длина отрезка OM и обозначается  OM  .
Для задания направления вектора, связанного с точкой O , рассмотрим сферу S
единичного радиуса с центром O . Если M — точка пространства, отличная от точки O ,
то луч OM пересекает сферу S в единственной точке F . Будем говорить, что точка F
задает направление вектора OM .
2. Координаты вектора, связанного с началом.
Координатами вектора OM в прямоугольной системе координат называются
координаты точки M .
Например, если точка M имеет координаты (1;1;1), то и вектор OM также имеет
координаты (1;1;1), то есть
OM  (111)
3. Задание траектории в пространстве с помощью радиусов-векторов.
С помощью радиус-векторов можно задавать траектории движения в пространстве.
Пример 1. Пусть для каждого t из промежутка [0;2] определен радиус вектор

OM t (t t t (2  t )) .
Составим таблицу
t
x(t )
y (t )
z (t )
0
0
0
0
0,25
-0,25
0,25
0,44
0,5
-0,5
0,5
0,75
0,75
-0,75
0,75
0,94
1
-1
1
1
1,25
-1,25
1,25
0,94
1,5
-1,5
1,5
0,75
1,75
- 1,75
1,75
0,44
2
-2
2
0
Поставив по этой таблице точки M t с координатами ( x(t ) y(t ) z (t )) , можно
получить представление о траектории движения (рисунок 3).
4. Определение суммы векторов, связанных с началом координат. Примеры.
"Правило параллелограмма", "Правило параллелепипеда".
Определим в пространстве сумму связанных векторов.
Суммой двух векторов, связанных с началом O системы координат, называется
вектор, координаты которого равны суммам соответствующих координат
слагаемых.
Таким образом, если OM  ( x1 y1 z1 ) и ON  ( x2  y2  z2 ) , то по определению
сложения векторов в пространстве
OK  OM  ON  ( x1  x2  y1  y2  z1  z2 )
Пример 2. Пусть a  OM  (3 01) , b  ON  (1 0 2) (рисунок 4). Тогда
c  a  b  (3  1 0 2  1)  (4 0 3)  OK 
Заметим, что в этом примере векторы a , b , c лежат в плоскости Oxz , а правило
сложения векторов соответствует правилу параллелограмма.
Пример 3. Пусть a  OM  (2 0 3) b  ON  (0 5 0) (рисунок 5). Тогда
c  a  b  (2  0 0  5 3  0)  (2 5 3)  OK 
Заметим, что в этом примере OMKN — прямоугольник. Поэтому правило сложения
векторов также соответствует правилу параллелограмма.
5. Противоположный вектор.
В пространстве вектор x называется противоположным вектору a , если
a  x  O
Вектор x , противоположный вектору a , обозначается как a .
6. Разность векторов. Пример.
С помощью противоположных векторов в пространстве определяется операция
вычитания.
Пусть a и b — векторы, связанные с точкой O . Тогда разностью a  b
называется вектор, равный сумме векторов a и b .
Пример 4. Пусть
a  OM  (0 2 0)
и
b  ON  (0 0 3)
(рисунок 6). Тогда
ON  OK  (0 03) , а поэтому
a  b  OM  ON  OM  OK 
 (0 23)  OP
7. Произведение вектора на действительное число.
Определим в пространстве произведение связанного вектора на число.
Произведением вектора OM  (a b c) на число t называется вектор OK с
координатами (ta tb tc ) .
8. В пространстве геометрические свойства, связанные с умножением вектора на
число, аналогичны свойствам этой операции для векторов на плоскости.
Пусть a  OM  O .
При умножении вектора a на число t  0 получается вектор ta , имеющий
направление вектора a , и длина которого равна t  a  . При умножении вектора a на
число t  0 получается вектор ta , имеющий направление, противоположное
направлению вектора a , и длина которого равна  t    a  .
9. На плоскости каждый связанный вектор удается разложить по двум
неколлинеарным векторам. Это значит, что если векторы OA и OB не лежат на одной
прямой, то для каждого вектора OM плоскости найдутся числа x и y такие, что
OM  x  OA  y  OB
В пространстве такое свойство уже не выполняется. Например, пусть OA  (1 0 0) и
OB  (01 0) . Тогда при любых x и y вектор x  OA  y  OB имеет координаты, которые
вычисляются следующим образом:
x  (1 0 0)  y  (01 0)  ( x 0 0)  (0 y 0) 
 ( x y 0)
Следовательно, третья координата всегда равна нулю. Но это означает, что,
например, вектор OC  (0 01) разложить по векторам OA и OB невозможно.
Однако, в пространстве каждый вектор, связанный с точкой O , удается разложить
по трем векторам OA , OB , OC , не лежащим в одной плоскости. Мы это пока доказывать
не будем, а ограничимся примером.
Пример 5. Пусть a  OA  (1 0 0) , b  OB  (01 0) , c  OC  (0 01) . Рассмотрим
вектор OM с координатами (m n k ) . Тогда
OM  (m n k )  (m 0 0)  (0 n 0)  (0 0 k ) 
 m  (1 0 0)  n  (01 0)  k  (0 01) 
 m a  n b  k c
Тем самым вектор OM разложен по трем векторам a , b , c .
Контрольные вопросы
1. Что такое направленный отрезок?
2. Дайте определение вектора, связанного с точкой O .
3. Что такое радиус-вектор точки M ?
4. Какой связанный вектор называется нулевым?
5. Как определяется длина связанного вектора?
6. В каком случае два связанных вектора имеют одинаковое направление?
7. Как определяются координаты вектора в пространстве, связанного с началом
системы координат?
8. Поясните, как с помощью радиус-вектора можно задавать траекторию
движения точки.
9. Как в пространстве определяется сумма двух связанных векторов?
10. В каком случае сумма двух связанных векторов в пространстве равна
нулевому вектору?
11. Как определяется вектор, противоположный вектору a ?
12. Как определяется разность двух векторов?
13. Как определяется произведение связанного вектора на число?
14. Какие геометрические свойства имеет операция умножения связанного
вектора на число?
15. Что означает на плоскости разложение вектора по двум составляющим?
16. Что означает в пространстве разложение вектора по трем составляющим?
Задачи и упражнения
1. Найдите в пространстве ГМТ концов векторов OM , если  OM  2 .
2. Найдите в пространстве ГМТ концов векторов OM , если все векторы OM
сонаправлены?
3. Что можно сказать о координатах вектора OM в пространстве если точка M лежит:
а) на оси Ox б) на оси ; Oy ;
в) на оси Oz г) в плоскости ; Oxy ;
д) в плоскости Oxz е) в плоскости ; Oyz ?
4. В координатном пространстве изобразите вектор OM с координатами:
б) а) (1;2;3); в) (2;-1;3); (-1;2;3);
г) е) (1;-3;2). д) (-2;-3;- 1); (3;-1;-2);
5. Пусть для t из отрезка [0;2] положение движущейся точки определяется радиус-вектором
OM t . Найдите траекторию движения, если:
а) OM t  (t 0 2t  t 2 ) б) ; OM t  (0 2t  t 2  t ) ;
в) OM t  (t  2t  t 2 t ) г) ; OM t  (t 2  2t  t  t ) .
Ответы и указания к решению наиболее трудных задач.
Задача 5. Указания. а) Все точки M t попадают в плоскость Oxz . Если обозначить
через ( x z ) координаты точки M t в этой плоскости, то z  2 x  x 2 для 0  x  2 . Поэтому
траекторией движения является часть параболы в плоскости Oxz .
б) Все точки M t попадают в плоскость Oyz . Если обозначить через ( y z )
координаты точки M t в этой плоскости, то z  2 y  y 2 для 0  y  2 . Поэтому траекторией
движения является часть параболы в плоскости Oyz . в) Все точки M t
в плоскость, которая проходит через ось Oy и прямую плоскости
попадают
Oxz,
заданную уравнением z = -x. Если в этой плоскости рассмотреть ось Os,
на рис. 2 , и обозначить координаты точки M t через (s,y), то s  t 2 ,
как изображено
t
s
2
, y  s 2  s2 для 0  s  2 2 . Поэтому траекторией движения является часть
2
параболы, расположенной в указанной плоскости.
г) Все точки M t попадают в плоскость, которая проходит через ось Ox и прямую
плоскости Oyz , заданную уравнением y  z . Продолжая действовать, как в предыдущем
пункте, также получим часть параболы.