Правильные многогранники

Правильные многогранники
Правильные многогранники были описаны еще в Древней Греции. Эти
многогранники носят название «платоновых тел», по имени древнегреческого
философа Платона (428 – 348 до н.э.).
Правильные многогранники построены из одинаковых правильных
многоугольников, причем в каждой вершине сходится одно и то же число
ребер. Существует пять видов правильных многогранников:
Тетраэдр
Тетраэдр (в переводе с греческого означает
четырехгранник).
Поверхность образована четырьмя
равносторонними треугольниками, а каждая
его вершина является вершиной трех
треугольников.
У тетраэдра в каждой вершине сходится три
ребра.
Символизировал огонь.
Куб
Поверхность образована шестью равными
квадратами.
Каждая вершина является вершиной трех
квадратов.
В каждой вершине сходится три ребра.
Символизировал землю.
Октаэдр
Октаэдр (восьмигранник).
Поверхность состоит из восьми
равносторонних треугольников, а каждая его
вершина является вершиной четырех
треугольников.
В каждой вершине сходится четыре ребра.
Символизировал воздух.
Икосаэдр
Икосаэдр (двадцатигранник).
Поверхность составлена их двадцати равных
равносторонних треугольников.
Каждая вершина икосаэдра является
вершиной пяти равносторонних
треугольников.
В каждой вершине сходится пять ребер.
Символизировал воду.
Додекаэдр
Додекаэдр (двенадцатигранник).
Поверхность составлена из двенадцати
правильных пятиугольников.
Каждая вершина является вершиной трех
правильных пятиугольников.
В каждой вершине сходится три ребра.
Символизировал Вселенную.
Для правильных многогранников существует «закон взаимности». Он
заключается в следующем: если соединить отрезками центры соседних граней
правильного многогранника, то эти отрезки станут ребрами другого
правильного многогранника.
У куба – октаэдр:
У октаэдра – куб:
У икосаэдра – додекаэдр:
У додекаэдра – икосаэдр:
У тетраэдра – тетраэдр:
Тип
многогранника
Число
ребер граней вершин
Площадь
поверхности
Объем
Тетраэдр
6
4
4
а2 3
а3 2 /12
Октаэдр
12
8
6
2а2 3
а3 2 /3
Икосаэдр
30
20
12
5а2 3
5а3(3- 5 )/12
Куб (гексаэдр)
12
6
8
6а2
а3
Додекаэдр
30
12
20
3а2 5(5  2 5 )
а3(15+7 5 )/4
Примеры разверток
Тетраэдр
Октаэдр
Икосаэдр
Куб
Додекаэдр
Если использовать не только обычные правильные многоугольники, но и
звездчатые и разрешить им пересекаться, то можно получить звездчатые
правильные многогранники.
В 1810 году французский математик Пуансо построил четыре правильных
звездчатых многогранника: малый звездчатый додекаэдр, большой звездчатый
додекаэдр, большой додекаэдр, большой икосаэдр.
В 1812 году французский математик Коши доказал, что кроме пяти
«платоновых тел» и четырех «тел Пуансо» больше нет правильных
многогранников.
Кроме правильных многогранников существует
полуправильных многогранников, которые носят названия
поскольку он первый их описал. Это тела, составленные из
двух видов, причем в каждой вершине сходится одно
многоугольников каждого вида.
большое число
«тел Архимеда»,
многоугольников
и то же число
Примеры решения задач
Задача № 1. На ребре тетраэдра ABCD с длиной ребра 4 см взята точка М
такая, что МА:МD=3:1. Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью,
содержащей точку М и перпендикулярной ребру AD.
Дано: ABCD – тетраэдр, АВ=4 см,
МА:МD=3:1.
Найти: SMPN
Решение:
Для построения сечения в плоскостях ADC и ADB проведем через точку М
прямые, перпендикулярные AD, которые пересекут ребра CD и BD в точках Р и
N.
Полученной сечение MPN перпендикулярно AD (согласно признаку
перпендикулярности прямой и плоскости).
Рассмотрим треугольник MDР: PMD=90o, MDP=60o, MD=AD/4=1 см.
Следовательно, DP=AD/2=2 см и PM=MDtg60o= 3 см.
Аналогично, из треугольника DMN: MN= 3 см, DN=2 см. Следовательно,
PN=2 см.
По формуле Герона вычисляем SMPN= 2 см2.
Ответ: 2 см2
Задача № 2. Дан куб ABCDA1B1C1D1, длина ребра которого равна 4 см.
На ребре АА1 взята точка Е так, что АЕ=1 см. Найти объем пирамиды,
вершиной которой является точка А1, а основанием - сечение куба, проходящее
через точки D, Е и произвольную внутреннюю точку ребра ВВ1.
Дано: ABCDA1B1C1D1 – куб, АЕ=1 см,
АВ=4 см.
Найти: Vпир
Решение:
Построив сечение, получим на ребре СС точку S, служащую общей вершиной
двух треугольных пирамиды SEA1K и SEA1D, сумма объемов которых равна
объемы четырехугольной пирамиды AE1KSD.
SA1DE=A1EDA/2=6 см2.
4
3
Расстояние от точки S до плоскости AED равно 4 см, поэтому VSEA1D= SA1DE=8
см3. Аналогично находим VSEA1К=8 см3.
Следовательно, искомый объем равен VSEA1D+VSEA1К=16 см3.
Ответ: 16 см3
Задача № 3. В тетраэдр DABC вписана сфера. Вычислите объем
тетраэдра, если расстояние от середины ребра АВ то точки Т, в которой сфера
касается грани DAB, равно 2 см.
Дано: ABCD – тетраэдр, AD=2 см, DC=3
см, DD1=10 см.
Найти: V
Решение:
Объем тетраэдра находится по формуле V=SABCDF/3, где точка F – центр
основания пирамиды.
Площадь основания SABC=AB2 3 /4.
Пусть точка К – середина ребра АВ, тогда KF=KT=2 см (отрезки касательных,
проведенных из одной точки). Так как СК=3KF=6 см, то из уравнения 6= AB 3
/2 находим АВ=4 3 см.
В треугольнике DKF (DFK=90o, FK=2 см) длина катета DF= DK 2 FK 2 =
DK 2 4 .
В треугольнике DKВ (DKВ=90o, KВ=2 3 см) DК= DK 2  KB2 =6 см.
Таким образом, DF=4 2 см и V=SABCDF/3=16 6 см3.
Ответ: 16 6 см3
Задача № 4. SABC – тетраэдр. Точки F и К – середины ребре АВ и АС
соответственно. Найдите косинус угла между прямыми SF и ВК.
Дано: SABC – тетраэдр, AF=FB, AK=KC.
Найти: cosDOK
Решение:
В плоскости SFC через точку О=ВКFC проведем прямую OD, параллельную
прямой SF. Тогда угол DOK – искомый.
Соединим точку D с точкой К и найдем косинус угла DOK треугольника DOK.
Для нахождения косинуса угла вычислим стороны треугольника и
воспользуемся теоремой косинусов.
Пусть длина ребра тетраэдра равна а, DOK=х.
В треугольнике DKC (CD=2SC/3=2a/3, CK=a/2, KCD=60o) DK2=CK2+CD22CKCDcos60o, DK2=13a2/36.
2
3
В треугольнике SFC OD║SF, OC=2FC/3, следовательно, OD= SF=
2
SA2  FA2
3
=a/ 3 .
В треугольнике DOK (OD=a/ 3 , OK=BK/3=a 3 /6) DK2=OD2+OK22ODOKcosx, отсюда cosx=1/6.
Ответ: 1/6
Задача № 5. Найдите расстояние от вершины В куба ABCDA1B1C1D1 до
точки пересечения диагоналей грани DD1C1C, если ребро куба равно 6 см.
Дано: ABCDA1B1C1D1 – куб, AВ=6 см,
О=D1CDC1.
Найти: ВО
Решение:
Треугольник BDC1 – равносторонний, так как его стороны – диагонали равных
квадратов: BD=BC1=DC1= DC 2 CC12 =6 2 см.
Точка О – середина отрезка DC1 (диагонали квадрата точкой пересечения
делятся пополам), следовательно, отрезок ВО – медиана треугольника BDC1.
Так как треугольник BDC1 – равносторонний, то его медиана ВО является
высотой.
В треугольнике BDO (BOD=90o, BD=6 2 см, DO=DC1/2=3 2 см) катет ВО=
BD 2  DO 2 =3 3 см.
Ответ: 3 3 см
Задания для самостоятельной работы
Вариант 1
1. Укажите правильный многогранник, изображенный на рисунке…
1) Куб; 2) Тетраэдр; 3) Икосаэдр; 4) Пирамида
2. У икосаэдра все грани – правильные…
1) Пятиугольники
2) Четырехугольники
3) Треугольники
3. Из приведенного списка укажите тела, которые могут быть правильными
многогранниками…
1) Четырехугольная пирамида
2) Треугольная пирамида
3) Прямоугольный параллелепипед
4) Пятиугольная призма
4. Объем куба вычисляется по формуле…
1) а3 2 /12
2) а3 2 /3
3) 5а3(3- 5 )/12
4) а3
5. Вычислите площадь полной поверхности куба, если его ребро равно 2 см.
6. Чему равно ребро куба, если площадь его диагонального сечения равна 25 2
см2?
7. АВСDА1В1С1D1 – куб. Площадь поверхности правильного тетраэдра АСВ1D1
равна 16 3 см2. Найдите площадь поверхности куба.
8. Ребро октаэдра равно 3 2 см. Найдите расстояние между двумя его
противолежащими вершинами.
9. Вычислите угол между двумя ребрами октаэдра, которые имеют общую
вершину, но не лежат в одной грани.
10. В полушар радиусом
3
см вписан куб так, что четыре его вершины лежат
2
на основании полушара, а другие четыре вершины расположены на
сферической поверхности. Найти объем куба.
Вариант 2
1. Тело, изображенное на рисунке, относится к…
1) Телам Архимеда
2) Телам Платона
3) Телам Пуансо
2. Как называется многогранник, у которого грани – правильные треугольники,
а в каждой вершине сходится по четыре ребра…
1) Куб
2) Октаэдр
3) Икосаэдр
4) Тетраэдр
3. Треугольная пирамида, у которой все грани равносторонние треугольники,
называется…
1) Октаэдр
2) Тетраэдр
3) Тело Архимеда
4) Прямая пирамида
4. Площадь поверхности куба вычисляется по формуле…
1) а2 3
2) 2а2 3
3) 5а2 3
4) 6а2
5. Вычислите объем куба, если длина его ребра 3 см.
6. Через два противоположных ребра куба проведено сечение, площадь
которого равна 64 2 см2. Найдите ребро куба.
7. Расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней
куба равно 2 см. Определить полную поверхность куба.
8. Вычислить объем тетраэдра, если радиус окружности, описанной около его
грани, равен 6 см.
9. Найти отношение объема куба к объему тетраэдра, ребро которого равно
диагонали грани куба.
10. Через каждое ребро тетраэдра проведена плоскость, параллельная
противоположному ребру. Найдите отношение объема полученного
параллелепипеда к объему тетраэдра.
Вариант 3
1. Укажите правильный многогранник, изображенный на рисунке…
1) Куб
2) Тетраэдр
3) Икосаэдр
4) Додекаэдр
2. Сколько существует типов правильных выпуклых многогранников…
1) 3
2) 4
3) 5
4) 6
3. Правильные многогранники иначе называются…
1) Тела Архимеда
2) Тела Платона
3) Тела Эйлера
4) Тела вращения
4. Объем тетраэдра вычисляется по формуле…
1) а3 2 /12
2) а3 2 /3
3) 5а3(3- 5 )/12
4) а3
5. Вычислите объем тетраэдра, если его ребро равно 3 2 см.
6. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 2 см. Найти расстояние меду AD1 и В1С.
7. Найти расстояние между серединами двух скрещивающихся ребер куба,
полная поверхность которого равна 36 см2.
8. В тетраэдре ребра равны 6 2 см. Через середину ребра проведена
перпендикулярная ему плоскость. Найдите объем пирамиды, вершина которой
совпадает с вершиной тетраэдра, а основанием является полученное сечение.
9. Найти объем куба, если расстояние от его диагонали до непересекающегося с
ней ребра равно 2 см.
10. Центры граней тетраэдра служат вершинами нового тетраэдра. Найти
отношение их полных поверхностей.
Вариант 4
1. Тело, изображенное на рисунке, относится к…
1) Телам Архимеда
2) Телам Платона
3) Телам Пуансо
2. Как называется выпуклый многогранник, если его грани правильные
многоугольники с одним и тем же числом сторон, в каждой вершине
многогранника сходится одно и то же число ребер…
1) Правильным
2) Наклонным
3) Прямым
4) Усеченным
3. Многогранник называется правильным, если…
1) Все грани правильные многоугольники
2) Все грани параллельны между собой
3) В каждой вершине сходится четное количество ребер
4. Площадь поверхности тетраэдра вычисляется по формуле…
1) а2 3
2) 2а2 3
3) 5а2 3
4) 6а2
5. Вычислите объем октаэдра, если его сторона равна 3 2 см.
6. Найдите площадь боковой поверхности куба, если его диагональ равна 5 3
см.
7. В кубе АВСDА1В1С1D1 через середины ребер А1D1, D1D и вершину В1
проведено сечение. Найти площадь сечения, если длина ребра куба равна 4 5
см.
8. На ребрах АВ, ВС и SB правильного тетраэдра SABC взяты соответственно
точки М, D и К – середины этих ребер. Найдите угол между плоскостью АВС и
плоскостью, проходящей через прямую МК параллельно прямой SD.
9. Найдите угол между двумя ребрами правильного октаэдра, которые имеют
общую вершину, но не принадлежат одной грани.
10. В кубе центры оснований соединены с центрами боковых граней. Найдите
ребро куба если поверхность полученного октаэдра равна 49 3 см2.
Вариант 5
1. Тело, изображенное на рисунке, относится к…
1) Телам Архимеда
2) Телам Платона
3) Телам Пуансо
2. Если соединить отрезками центры соседних граней октаэдра, то получится…
1) Тетраэдр
2) Икосаэдр
3) Куб
4) Додекаэдр
3. К правильным многогранникам относятся…
1) Куб
2) Пирамида
3) Тетраэдр
4) Медиатор
5) Нонаэдр
4. Объем октаэдра вычисляется по формуле…
1) а3 2 /12
2) а3 2 /3
3) 5а3(3- 5 )/12
4) а3
5. Чему равна сторона икосаэдра, если его площадь полной поверхности равна
20 3 см2?
6. Площадь сечения куба плоскостью, проходящей через концы трех ребер,
выходящих из одной вершины, равна 18 3 см2. Найти длину ребра куба.
7. Площадь сечения куба, представляющего собой правильный шестиугольник,
равна 3 3 см2. Найти полную поверхность куба.
8. Найти высоту тетраэдра, если его полная поверхность равна 24 3 см2.
9. В кубе центры оснований соединены с центрами боковых граней. Вычислить
длину ребра куба, если поверхность полученного октаэдра равна 16 3 см2.
10.Центр верхнего основания куба с ребром, равным 5 см, соединен с
серединами сторон нижнего основания, которые также соединены в
последовательном порядке. Вычислите полную поверхность полученной
пирамиды.
Вариант 6
1. Укажите правильный многогранник, изображенный на рисунке…
1) Октаэдр
2) Тетраэдр
3) Икосаэдр
4) Додекаэдр
2. Если соединить отрезками центры соседних граней куба, то получится…
1) Тетраэдр
2) Икосаэдр
3) Додекаэдр
4) Октаэдр
3. Число граней тетраэдра составляет…
1) 2
2) 4
3) 8
4) 12
4. Площадь поверхности октаэдра вычисляется по формуле…
1) а2 3
2) 2а2 3
3) 5а2 3
4) 6а2
5. Чему равна сторона икосаэдра, если площадь одной грани равна 4 3 см2?
6. Вычислить объем куба ABCDA1B1C1D1, если площадь треугольника СDA1
равна 2 2 см2.
7. На ребре СС1 куба ABCDA1B1C1D1 взята точка К – средина этого ребра.
Найдите угол между плоскостями BDK и АВ1С1.
8. В тетраэдре ребра равны 6 2 см. Через середину ребра проведена
перпендикулярная ему плоскость. Найдите объем пирамиды, вершина которой
совпадает с вершиной тетраэдра, а основанием является полученное сечение.
9. Ребро правильного октаэдра равно 4 2 см. Найдите расстояние между двумя
его противоположными вершинами.
10. Площадь сечения куба, представляющего собой правильный шестиугольник
равна 3 см2. Найдите полную поверхность куба.
Вариант 7
1. Укажите правильный многогранник, изображенный на рисунке…
1) Октаэдр
2) Тетраэдр
3) Икосаэдр
4) Додекаэдр
2. Если соединить отрезками центры соседних граней тетраэдра, то
получится…
1) Октаэдр
2) Тетраэдр
3) Икосаэдр
4) Додекаэдр
3. Количество вершин икосаэдра составляет…
1) 6
2) 8
3) 12
4) 24
4. Объем икосаэдра вычисляется по формуле…
1) а3 2 /12
2) а3 2 /3
3) 5а3(3- 5 )/12
4) а3
5. Чему равна сторона куба, если площадь его полной поверхности равна 150
см2?
6. Вычислите площадь боковой поверхности куба, если диагональ его грани
равна 4 2 см.
7. На ребре куба ABCDA1B1C1D1 взята точка Р – середина ребра, длина ребра
куба равна 4 см. Найдите расстояние между прямой B1D1 и прямой PD.
8. Объем правильного тетраэдра равен 72 см3. Чему равна площадь поверхности
вписанного в него шара?
9. Найдите объем куба, если площадь сечения, проходящего через диагональ
смежных граней, равна 8 3 см2.
10. Центры граней тетраэдра служат вершинами нового тетраэдра. Найти
отношение их объемов.
Вариант 8
1. Тело, изображенное на рисунке, относится к…
1) Телам Архимеда; 2) Телам Платона; 3) Телам Пуансо
2. Правильный многогранник, в каждой вершине которого сходится четыре
ребра, называется…
1) Тетраэдр
2) Октаэдр
3) Икосаэдр
4) Додекаэдр
3. Если соединить отрезками центры граней куба, получится…
1) Тетраэдр
2) Куб
3) Октаэдр
4) Икосаэдр
4. Площадь поверхности икосаэдра вычисляется по формуле…
1) а2 3
2) 2а2 3
3) 5а2 3
4) 6а2
5. Площадь одной грани додекаэдра равна 10 см2. Чему равна площадь его
полной поверхности?
6. В кубе через сторону основания проведено сечение под углом 30 о к
плоскости основания. Найти площадь сечения, если длина ребра куба равна 4 3
см.
7. На ребрах АВ и AD куба ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки Р и Q –
середины этих ребер, длина ребра куба равна 17 см. Через точки С1, Р и Q
проведено сечение куба. Найдите расстояние от точки С до секущей плоскости.
8. Объем вписанного в правильный тетраэдр шара равен 0,5 3 см3. Чему
равен объем этого тетраэдра?
9. Ребро правильного октаэдра равно 3 2 см. Найдите расстояние между
центрами двух смежных граней.
10. Найти объем общей части двух кубов, если один из них получен поворотом
на 90о другого куба вокруг оси, проходящей через среднюю линию одной из его
граней. Ребро куба равно 4 см.
Вариант 9
1. Тело, изображенное на рисунке, относится к…
1) Телам Архимеда; 2) Телам Платона; 3) Телам Пуансо
2. Правильный многогранник, поверхность которого составлена их двадцати
равных равносторонних треугольников, называется
1) Октаэдр
2) Тетраэдр
3) Икосаэдр
4) Додекаэдр
3. Тело, состоящее из 12 ребер, 8 граней и 6 вершин, называется…
1) Куб
2) Тетраэдр
3) Октаэдр
4) Икосаэдр
4. Объем додекаэдра вычисляется по формуле…
1) а3 2 /12
2) а3(15+7 5 )/4
3) 5а3(3- 5 )/12
4) а3
5. Площадь одной грани икосаэдра равна 4 см2. Чему равна площадь его полной
поверхности?
6. Найдите ребро куба, если площадь сечения, проходящего через диагональ
нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания равна 16
3 см2.
7. В кубе АВСDА1В1С1D1 через вершины А, С1 и середину ребра DD1 проведено
сечение. Найти длину ребра куба, если площадь сечения равна 50 6 см2.
8. Найдите ребро тетраэдра DABC, если площадь сечения, проходящей через
центр грани АВС параллельно грани BDC равна 9 3 см2.
9. Объем правильного тетраэдра равен 45 5 см3. Чему равна площадь
поверхности вписанного в него шара?
10. Два тетраэдра соединены двумя гранями так, что образуют двойную
пирамиду. Центры шести боковых граней этой пирамиды приняты за вершины
прямой треугольной призмы. Вычислить объем полученной призмы, если ребро
тетраэдра равно 3 2 см.
Вариант 10
1. Укажите правильный многогранник, изображенный на рисунке…
1) Октаэдр; 2) Тетраэдр; 3) Икосаэдр; 4) Додекаэдр
2. Правильный многогранник, все грани которого являются правильными
пятиугольниками, называется…
1) Октаэдр
2) Тетраэдр
3) Икосаэдр
4) Додекаэдр
3. Одинаковое число ребер содержится у…
1) Куба и тетраэдра
2) Куба и октаэдра
3) Тетраэдра и октаэдра
4) Икосаэдра и тетраэдра
4. Площадь поверхности додекаэдра вычисляется по формуле…
1) а2 3
2) 3а2 5(5  2 5)
3) 2а2 3
4) 5а2 3
5. Объем куба равен 8 см3. Чему равна площадь его полной поверхности?
6. Чему равно ребро октаэдра, если площадь его диагонального сечения равна
256 см2?
7. В кубе АВСDА1В1С1D1 через середины ребер А1В1, D1С1 и вершину В
проведено сечение. Найти объем куба, если площадь сечения равна
9 5
см2.
2
8. Найдите ребро тетраэдра DABC, если площадь сечения тетраэдра
плоскостью, проходящей через центр грани ABC перпендикулярно к ребру AD
равна 2 2 см2.
9. Ребро правильного октаэдра равно 3 6 см. Найдите расстояние между
противоположными гранями.
10. Диагонали двух одинаковых кубов с ребром, равным 4 см, лежат на одной и
той же прямой. Вершина второго куба совпадает с центром первого, второй куб
повернут вокруг диагонали на 60о по отношению к первому. Найти объем
общей части этих кубов.
Ответы
Вариант
1
Вариант
2
Вариант
3
Вариант
4
Вариант
5
Вариант
6
Вариант
7
Вариант
8
Вариант
9
Вариант
10
1
1
3
2
3
1
4
3
2
1
1
2
3
2
3
1
3
4
2
2
3
4
3
2, 3
2
2
1
1, 3
2
3
3
3
2
4
4
4
1
1
2
2
3
3
2
2
5
24
27
9
36
2
4
5
120
80
12
6
5
8
2
100
6
8
64
2
8
16
7
48
7
3
90
24
30
4
3
10
27
8
6
9
36
90
4
36
12
36
9
2
9
90
3
8
90
4
8
64
2
15
6
10
1
3
9
7
50
8
27
16
2
9