Моделирование коротковолновых структур и автоволн в цепочке

УДК 539.3
МОДЕЛИРОВАНИЕ КОРОТКОВОЛНОВЫХ СТРУКТУР И АВТОВОЛН
В ЦЕПОЧКЕ ЧАСТИЦ КОНЕЧНОГО РАЗМЕРА
А. А. Васильев, С. В. Дмитриев
Тверской государственный университет, Тверь, Россия,
Институт проблем сверхпластичности металлов РАН, Уфа, Россия
На основе упруго-шарнирной модели [1], [2] и разработки многополевой теории
обобщенной механики [3] для нелинейных систем решается задача моделирования
коротковолновых стационарных структур и структурных переходов в цепочке частиц конечного
размера, распространяющихся в виде бегущей автоволны.
Упруго-шарнирная модель. Рассматривается нагруженная осевой сжимающей
нагрузкой величины p цепочка частиц длины h , соединенных упругими шарнирами
жесткости f (рис. 1). Сопротивление смещениям системы со стороны окружающей среды
моделируется нелинейным потенциалом k0vn2 / 2  k1vn4 / 4 , k0  0 , k1  0 . В настоящей
статье в шарнирах предполагается действие поперечных нагрузок коротковолнового вида
(1) n g , учтено вязкое трение. В случае малых смещений ( vn  h ) уравнения динамики
записываются в безразмерном виде
n
un  un  F4un  P2un  un  un3   1 G  0 ,
(1)
где
un  vn k1 / k0 ,   t k0 / m , F  f /(k0 h 2 ) , P  p /(k0 h) ,
 2un  un 1  2un  un 1 ,  4un  un  2  4un 1  6un  4un 1  un  2 , G  g / k0 .
Двух-, трех- и четырехпериодические структурные переходы в цепочке частиц в
отсутствии продольной нагрузки ( G  0 ) и вязкого трения (   0 ) на основе упругошарнирной модели с использованием многополевых моделей изучались ранее в [1, 2].
Стационарные
коротковолновые
двухпериодические
решения.
Ищем
стационарные двухпериодические решения вида  u2 k  u2 k 1  w . Подстановка в
уравнение движения (1) приводит к многочлену третьей степени
(2)
w3  (4P  16F  1) w  G  0
для нахождения величины смещений w . С использованием методов, которые получили
развитие и применение в теории катастроф, в пространстве параметров P , F , G может
быть найдена граница областей с одним и тремя корнями многочлена (2)
G  4 P  16 F  1 3 .
(3)
Для параметров внутри области (3) существуют две устойчивые и одна неустойчивая
двухпериодические структуры с величинами смещений w1 , w3 , w2 соответственно,
32
w1  w2  w3 . Устойчивые структуры энергетически не равнозначны, однако в силу
принципа максимального промедления в системе могут быть реализованы структуры
обоих типов. Если же возникает их соприкосновение, то происходит переход одной
структуры в другую. При этом на бесконечностях сохраняются исходные структуры w1 и
w3 . Если в системе существует диссипация, например вязкое трение, поглощающее
выделяющуюся энергию, то возможно возникновение автоволны перехода одной
структуры в другую, движущейся вдоль цепочки с постоянной скоростью.
Обобщенная двухполевая модель. Аналитическое приближение, описывающее
волну перехода, строим на основе двухполевой модели. Рассматривая макроячейку из
Рис. 1. Упруго-шарнирная модель: (1) – ячейка,
(2) – макроячейка. Используемые обозначения.
Рис. 2. Бегущая волна перехода одной
двухпериодической структуры в другую.
Двухполевая аппроксимация.
двух элементарных ячеек (рис. 1) и введя для смещений четных и нечетных узлов
обозначения u2 k и v2 k 1 , переписываем для них уравнение (1) в виде двух уравнений
un  un  F (un2  4vn1  6un  4vn1  un2 )  Pvn1  2un  vn1   un  un3  G  0,
vn1  vn1  F (vn1  4un  6vn1  4un2  vn3 )  Pun  2vn1  un2   vn1  vn31  G  0,
где n  2k , k – номер ячейки.
Далее, введя две полевые функции u ( x, ) и v( x, ) такие, что в узлах
u (2kh, )  u2 k ( ) , v(2kh  1, )  v2 k ( ) и используя разложения в ряды Тейлора с учетом
производных не выше четвертого порядка, для функций u ( x, ) и v( x, ) получаем два
связанных уравнения двухполевой модели:
utt  ut  F [8(u  v)  4h 2 (u xx  vxx )  h 4 (4u xxxx  vxxxx )] 
 P[2(v  u )  h 2vxx  h 4vxxxx / 12]  u  u 3  G  0,
(4)
vtt  vt  F [8(v  u )  4h 2 (vxx  u xx )  h 4 (4vxxxx  u xxxx )] 
 P[2(u  v)  h 2u xx  h 4u xxxx / 12]  v  v 3  G  0.
Многополевые автосолитоны. Отметим, что система (4) содержит найденные
ранее два устойчивых и одно неустойчивое двухпериодические стационарные решения с
величинами смещений w1 , w3 , w2 , где w1  w2  w3 являются корнями кубического
уравнения (2). Далее на ее основе найдем решения переходного типа.
Разыскиваем решения вида v( x, )  u ( x, )  w( x, ) . Подстановка в уравнения (4) с
учетом производных не выше второго порядка по x , дает уравнение
wtt  Awxx  Bw  w3  G  wt  0 ,
(5)
где A  ( P  8F )h , B  4P  16F  1,   1 . Ищем решение этого уравнения в виде
бегущей волны w( x, )  W ( x  c ) . Подстановка в (5) дает уравнение
( c2  A)W  cW  BW  W 3  G  0 ,
2
где   x  c . Решение этого уравнения, принимающее на бесконечностях значения w1 и
w3 , имеет вид
( w3  w1 )
W ( )  w1 
.
 ( w3  w1 ) 2 ( A  c 2  )
1 e
Решение существует в области B  0 , A  c 2 , | G | 2( B / 3)3 2 . Эта область находится
внутри области с границей, в которой существуют два устойчивых двухпериодических
решения. Скорость распространения автоволны определяется балансом энергии
выделяемой при переходе и поглощаемой средой из-за вязкого трения
 (3w2 / 2 ) A
.
c
 2  (3w2 / 2 ) 2 
Таким образом, построено аналитическое приближение
u2k  t   W (2kh  n0h  c ), u2k 1 t   W ((2k  1)h  n0h  c ),
описывающее переход одной двухпериодической структуры в другую в виде
распространяющейся с постоянной скоростью c автоволны из двух взаимопроникающих
кинков, один из которых описывает смещения четных, а другой – нечетных узлов (рис. 2).
Заключение. На основе дискретной упруго-шарнирной модели цепочки частиц
конечного размера построена ее двухполевая континуальная модель (4). В классическом
варианте континуальным приближением для рассматриваемой дискретной системы
служит однополевая модель, в которой смещения узлов описываются одной функцией
смещений. Однако построенные при таком подходе уравнения не описывают
коротковолновые структуры. Действительно, из рис. 2 видно, что при описании смещений
системы двухпериодического вида одной функцией такая функция должна быстро
изменяться, и континуальная модель, в которой пренебрегают производными высокого
порядка, не описывает такие коротковолновые решения. Использование одного поля – это
гипотеза классической модели. В отличии от классической в многополевой теории [3] при
построении модели используется не одно, а несколько полей описывающих смещения в
системе. Такая модель описывает и позволяет находить в рамках континуальной механики
на основе модели с производными низшего порядка как стационарные двухпериодические
решения, так и переходы между ними, поскольку, как видно из рис. 2, смещения узлов
могут быть эффективно описаны двумя медленно изменяющимися функциями. При этом
двухпериодические дискретные решения на бесконечностях описываются двумя
постоянными функциями многополевой модели, а область перехода – функциями в виде
двух взаимопроникающих кинков. При этом погрешность тем меньше, чем медленнее
изменяются функции в этой области.
Работа была поддержана грантами РФФИ 07-08-12152, 08-02-91316-ИНД_а.
ЛИТЕРАТУРА
Dmitriev S.V., Shigenari T., Vasiliev A.A., Abe K. Dynamics of Domain Walls in an
Incommensurate Phase Near the Lock-in Transition: One-Dimensional Crystal Model // Physical
Review B. – 1997. – V. 55. – P. 8155–8164.
Shigenari T., Vasiliev A.A., Dmitriev S.V., Abe K. Domain walls in one dimensional 3periodic structure // Ferroelectrics. – 1997. – V. 203. – P. 335–347.
Vasiliev A.A., Dmitriev S.V., Miroshnichenko A.E. Multi-field approach in mechanics of
structural solids // препринт: http://arxiv.org/abs/0906.5240.