Задания по математике отраслевой предметной олимпиады

Задания по математике отраслевой предметной олимпиады
школьников вузов Росрыболовтсва на 2014/15 уч.г.
( 1 этап)
8 классов
Задача 1. У Карлсона в вазочке на 10% больше варенья, чем у Малыша.
Карлсон съел 10% своего варенья, а Малыш 1% своего. У кого из них
осталось больше варенья?
Задача 2. Даны 6 цифр: 0; 1; 2; 3; 4; 5. Сколько четырёхзначных нечётных
чисел с разными цифрами можно записать этими цифрами?
|х| + |у| = 2
Задача 3. Укажите такое число а, чтобы система уравнений {
у = ах + 2
имела бесконечно много решений.
Задача 4. Точки А, В, С являются вершинами неравнобедренного
непрямоугольного треугольника. Сколькими способами можно поставить на
плоскости точку D так, чтобы совокупность точек А, В, С, D имела ось
симметрии? Ответ обосновать.
Задача 5. Решить уравнение в целых числах ху=х+у+3.
9 класс
Задача 1. Трёхзначное число делится на 37. Можно ли в этом числе
переставить цифры так, чтобы получилось число, которое также делится на
37. Ответ обосновать.
Задача 2. Сумма коэффициентов квадратного трёхчлена равна 2. Найти его
корни, если точка (4; -2,5) является вершиной графика соответствующей ему
квадратичной функции.
Задача 3. Решить систему неравенств {
|х + 2| − х|х| ≤ 0
.
(х2 − х − 6)√8 − х ≤ 0
Задача 4. На каникулах группа школьников пошла в поход. Сначала они
шли по горизонтальной дороге, затем поднялись в гору и по старому
маршруту возвратились назад в исходный пункт. Их скорость на
горизонтальном участке была 4км/ч, 3 км/ч при подъёме в гору и 6 км/ч при
спуске с горы. Какое расстояние прошли школьники, если они были в пути 5
часов?
Задача 5. Точки А, В, С являются вершинами неравнобедренного
непрямоугольного треугольника. Сколькими способами можно поставить на
плоскости точку D так, чтобы совокупность точек А, В, С, D имела ось
симметрии? Ответ обосновать.
10 класс
Задача 1. На каникулах группа школьников пошла в поход. Сначала они
шли по горизонтальной дороге, затем поднялись в гору и по старому
маршруту возвратились назад в исходный пункт. Их скорость на
горизонтальном участке была 4км/ч, 3 км/ч при подъёме в гору и 6 км/ч при
спуске с горы. Какое расстояние прошли школьники, если они были в пути 5
часов?
Задача 2. Трёхзначное число делится на 37. Можно ли в этом числе
переставить цифры так, чтобы получилось число, которое также делится на
37. Ответ обосновать.
Задача 3. Найти все значения параметра а, для которых каждое решение
неравенства х2− 3х+2< 0 будет содержаться среди решений неравенства
ах2− (3а+1)х+3≥ 0.
Задача 4. Сумма удвоенного седьмого члена арифметической прогрессии и
суммы первых её восьми членов равна 9. Найти пятый член этой прогрессии.
Задача 5. Около окружности описана равнобедренная трапеция, отношение
1
оснований которой равно . Найти угол при большем основании трапеции.
3
11 класс
Задача 1. Вычислить log 3 2 ∙ log 4 3 ∙ log 5 4 ∙ log 6 5 ∙ log 7 6 ∙ log 8 7
Задача 2. Решить уравнение sin 6х+2 = 2cos 4х.
Задача 3. Найти все значения параметра а, при которых функция
3
2
у = еах +3х +х возрастает на всей области определения данной функции.
Задача 4. На каникулах группа школьников пошла в поход. Сначала они
шли по горизонтальной дороге, затем поднялись в гору и по старому
маршруту возвратились назад в исходный пункт. Их скорость на
горизонтальном участке была 4км/ч, 3 км/ч при подъёме в гору и 6 км/ч при
спуске с горы. Какое расстояние прошли школьники, если они были в пути 5
часов?
Задача 5. Точки А, В и С лежат соответственно на трёх рёбрах куба,
1
4
выходящих из его вершины D, причём АD= , ВD= , СD=1. Найти радиус
3
3
шара, вписанного в пирамиду АВСD.