Метод рационализации решения показательно

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ЛЮБУЧАНСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА
ЧЕХОВСКОГО РАЙОНА МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ
ОТКРЫТЫЙ УРОК
Метод рационализации
решения показательностепенных неравенств
Алгебра 11 класс
Учитель математики
Жданкина Е. М.
2012 год
Сценарий урока алгебры 11 класс, автор учебника Мордкович А. Г.
Тип урока: практикум
Тема: Метод рационализации решения показательно-степенных неравенств
Основная цель:
Сформировать способность к применению метода рационализации решения
показательно-степенных неравенств
Задачи:
1. Познакомить учащихся с новым методом решения неравенств и их
применению
2. Вызвать интерес к занятию, придать ему проблемно-творческий характер
3. Развивать умения анализировать, обобщать, систематизировать
4. Развивать коммуникативные навыки
5. Формировать способность к рефлексии.
Оборудование.
1) Листы для самопроверки самостоятельной работы
2) Мультимедийный проектор
3) Презентация
2
Ход урока
Самоопределение к деятельности
I.
- Начать хочется словами Л. Н. Толстого «Знания только тогда знание, когда
оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью»
- Желаю вам, пробрести знания усилиями своей мысли, а не смотреть, как это
делают другие
- Сегодня практикум (последний урок) по решению неравенств
- Сформулируйте теорему о решении показательных неравенств
– Сегодня мы продолжим работать с неравенствами, разберём неравенства
из ЕГЭ С3.
Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности
II.
– Для успешной работы разберём несколько устных заданий:
1 x
1
а) 5 > 625, б) ( ) >
5
625
x
2 −1
1 x
в) ( )
7
≤ 1, г) √2−x ≤ 128
- Разберём решение одного из домашних заданий (сканированное решение
одного из заданных неравенств).
- Своё решение у доски прокомментирует…
-А теперь сравним с моим решением
2 −x−2
(x + 1)x
(𝑥 + 1)𝑥
2 −𝑥−2
>1
> (𝑥 + 1)0
x 2 − x − 2 > 0,
{
x + 1 > 1,
[ 2
x − x − 2 < 0,
{
0 < 𝑥 + 1 < 1,
x 2 − x − 2 > 0,
{
x > 0,
[ 2
x − x − 2 < 0,
{
−1 < 𝑥 < 0,
3
Ответ: (−1; 0) ∪ (2; +∞)
Данное неравенство относится к показательно-степенным, поэтому
необходимо проверить решение для основания 1. Т. о. x+1=1, т. е. x=0.
Данное значение не является решением неравенства (0>0 ложно)
Т. о. ответ верен
III. Постановка проблемы
– Получилось решение довольно громоздкое, а можно ли решить данное
неравенство, не переходя к совокупности систем? (нет, необходимо
учитывать два случая)
– Хочу вам
предложить метод рационализации решения показательно-
степенных неравенств, позволяющих не переходить к совокупности систем
- Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F (x) на
более простое выражение G(x), при которой неравенство G(x) ∨ 0
равносильно неравенству F (x) ∨ 0 в области определения выражения F (x).
– Тема урока (Метод рационализации решения показательно-степенных
неравенств)
– Запишите тему урока.
IV. Построение проекта выхода из затруднения
Равносильная замена по знаку показательного неравенства в области
определения исходного неравенства:
ab > ac ⇔ (a − 1)(b − c) > 0,
𝑎 ∈ (0; 1) ∪ (1; +∞)
4
Доказательство:
1. 𝑎 > 1 ⇒ 𝑏 > 𝑐
𝑎−1>0
𝑏−𝑐 >0
Т. о. (𝑎 − 1)(𝑏 − 𝑐) > 0
2. 0 < 𝑎 < 1 ⇒ 𝑏 < 𝑐
𝑎−1<0
𝑏−𝑐 <0
Т. о. (𝑎 − 1)(𝑏 − 𝑐) > 0
Аналогичное свойство справедливо для показательно-степенных неравенств
𝑎(𝑥) > 0,
𝑎(𝑥)𝑓(𝑥) > 𝑎(𝑥)𝑔(𝑥) ⇔ {
(𝑎(𝑥) − 1)(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) > 0,
– Обращаю ваше внимание на значимость этой темы. Умение решать задания
быстрым способом поможет вам на ЕГЭ сделать большее количество, а
знание разных способов необходимо для самопроверки. Кроме того, через
несколько уроков мы с вами перейдём к решению логарифмических
неравенств, которые могут быть решены свойствами, аналогичными
данным.
V. Реализация построенного проекта
2 −x−2
(x + 1)x
2 −x−2
(x + 1)x
>1
> (x + 1)0
Применим свойство:
𝑎(𝑥) > 0,
𝑎(𝑥)𝑓(𝑥) > 𝑎(𝑥)𝑔(𝑥) ⇔ {
(𝑎(𝑥) − 1)(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) > 0,
x + 1 > 0,
{
(𝑥 + 1 − 1)(𝑥 2 − 𝑥 − 2) > 0,
x > −1,
{
2
𝑥(𝑥 − 𝑥 − 2) > 0,
5
x > −1,
{
𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 1) > 0,
Ответ: (−1; 0) ∪ (2; +∞)
VI. Первичное закрепление
3x2 −x
2x 2
( 4
)
x +1
3x2 −x
2x 2
( 4
)
x +1
−x−1
x4 + 1
>(
)
2x 2
x+1
2x 2
>( 4
)
x +1
Применим свойство:
𝑎(𝑥) > 0,
𝑎(𝑥)𝑓(𝑥) > 𝑎(𝑥)𝑔(𝑥) ⇔ {
(𝑎(𝑥) − 1)(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) > 0,
2x 2
− 1) (3x 2 − x − x − 1) > 0,
( 4
x +1
2x 2
> 0,
x4 + 1
{
2x 2 − x 4 − 1
(
) (3x 2 − 2x − 1) > 0,
{
x4 + 1
x ≠ 0,
(x 4 − 2x 2 + 1)(3x 2 − 2x − 1) < 0,
{
x ≠ 0,
(x 2 − 1)2 (3x 2 − 2x − 1) < 0,
{
x ≠ 0,
1
2
2 (x
3(x
−
1)
−
1)
+
(x
) < 0,
{
3
x ≠ 0,
6
1
Ответ: (− ; 0) ∪ (0; 1)
3
VII. Самостоятельная работа с проверкой
– Можете ли вы теперь уверенно сказать, что научились решать данным
методом неравенства (Нет, нам надо выполнить самостоятельную работу и
проверить себя).
–Решите неравенство:
2 −11x+28
(x − 5)x
≥1
– Время истекло. Проверим результаты решения. У кого какие ответы?
– А теперь сверьте своё решение с решением на листах и проведите при
необходимости коррекцию.
2 −11x+28
(x − 5)x
2 −11x+28
(x − 5)x
≥1
≥ (x − 5)0
Применим свойство:
𝑎(𝑥) > 0,
𝑎(𝑥)𝑓(𝑥) > 𝑎(𝑥)𝑔(𝑥) ⇔ {
(𝑎(𝑥) − 1)(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) > 0,
(𝑥 − 5 − 1)(𝑥 2 − 11𝑥 + 28) ≥ 0,
{
x − 5 > 0,
(𝑥 − 6)(𝑥 2 − 11𝑥 + 28) ≥ 0,
{
x > 5,
(𝑥 − 6)(𝑥 − 7)(𝑥 − 4) ≥ 0,
{
x > 5,
7
Ответ: (5; 6] ∪ [7; +∞)
VIII. Рефлексия деятельности
Домашнее задание: стр. 101-102 Мордкович, учебник, пример 5 –
рассмотреть решение неравенства традиционным способом.
Решить неравенство рациональным способом
(𝑥 2 + 𝑥 + 1)𝑥 ≤ 1.
– Закончите предложение:
– Я узнал, что…
– Я научился…
– Мне интересно…
– Мы с вами были сегодня на уроке полноправными партнёрами. И оценки
следующие: …….
Спасибо за урок!
8