Задача № 8.

Задача № 8. В горизонтальной трубе длиной l находится положительно заряженный шарик.
Вблизи противоположных концов трубы находятся закрепленные положительные заряды 𝑞1 и 𝑞2 .
Найти положение равновесия шарика из условия минимальности потенциальной энергии системы в
этом положении.
Задача № 9. Два одинаковых положительных заряда величиной q расположены на
расстоянии a друг от друга. В какой точке на оси симметрии напряженность результирующего поля,
созданного этими зарядами, максимальна?
Задача № 10. При действии на механическую колебательную систему гармонически
изменяющейся внешней силы 𝐹 = 𝐹0 ∙ sin𝜔𝑡 в ней устанавливаются вынужденные колебания с
амплитудой:
𝐹0
𝐴=
,
𝑚√( 𝜔02 −𝜔2 )2 +4𝛽2 𝜔2
где m – масса системы, 𝜔0 – собственная циклическая частота колебаний системы, 𝛽 – показатель
затухания, характеризующий силу сопротивления среды. При какой частоте 𝜔 периодической
внешней силы наступит резонанс, то есть амплитуда станет максимальной?
Задача № 11. По какой наклонной плоскости, образующей угол 𝛼 с горизонтом, втаскивают
за веревку ящик. Коэффициент трения ящика о плоскость 𝜇. При каком угле 𝛽 между веревкой и
горизонтом потребуется минимальное усилие для втаскивания ящика?
Задача № 12. Человек может двигаться по полю со скоростью v, а по шоссе – со скоростью u.
Ему необходимо из точки А в поле попасть в точку С на шоссе. Под каким углом к шоссе ему нужно
двигаться, чтобы попасть в точку С за минимальное время?
Задача № 13. Из миномета ведут обстрел склона горы. Какова максимальная дальность
обстрела вдоль склона, если начальная скорость мин 𝑣0 , угол, образуемый склоном горы с
горизонтом, 𝛽? Сопротивление воздуха не учитывать.
Задача № 14. В вертикальной трубе находится столб жидкости высотой Н. На какой высоте h
от основания следует проделать отверстие в стенке трубы, чтобы дальность полета струи оказалась
максимальной?
Задача № 15. Гелий массой m в цилиндре под поршнем занимает объем 𝑉1 при давлении 𝑝1.
Этот газ медленно переводят в состояние с параметрами 𝑉2 и 𝑝2 , причем процесс перехода
характеризуется законом 𝑝 = 𝑏 − 𝑎 ∙ 𝑉. Определить максимальную температуру в этом процессе.
Задача № 16. Электрически заряженная частица с зарядом e и массой m, пролетев поле
конденсатора, вылетает из него под углом 𝛽 к пластине. Напряженность поля внутри конденсатора
Е, длина пластины l. Оценить интервал значений кинетической энергии влетающей частицы, если
угол 𝛼, под которым она влетает, не регистрируется.
Решение к задаче № 12.
Выделим два отрезка траектории – AB и BC и введем обозначения
𝐴𝐵
𝐵𝐶
(смотри рис.). Общее время движения: 𝑡0 = 𝑣 + 𝑢 . Используя
чертеж, выразим отрезки AB и BC через h, l и 𝜑:
ℎ
ℎ
𝐴𝐵 = sin 𝜑; 𝐵𝐶 = 𝑙 − tg 𝜑. После подстановки при заданных v и u время
ℎ
𝑙
ℎ
выражается как функция угла: 𝑡0 = 𝑣 sin 𝜑 + 𝑢 − 𝑢∙tg 𝜑 . Эту функцию
необходимо исследовать на экстремум.
Решение к задаче № 13.
В полете мина испытывает действие только силы тяжести.
Поэтому ее траектория – парабола. Расстояние до точки ее пересечения
со склоном OA обозначим S. Свяжем с точкой выстрела систему
координат (смотри рис.). Как видно из чертежа: 𝑆 = √𝑥12 + 𝑦12 (*) или
𝑥
𝑆 = cos1𝛽 (**). Наклонная дальность максимальна при максимальном x.
Поэтому будем отыскивать угол 𝛼 , при котором максимальна
координата x точки А. Выразим x и y через параметры начальной
скорости: 𝑥1 = 𝑣0 cos 𝛼0 𝑡; 𝑦1 = 𝑣0 sin 𝛼0 𝑡 −
g
g𝑡 2
2
. Исключая 𝑡 = 𝑣
𝑥
0 cos 𝛼0
получим: 𝑦 = tg 𝛼0 ∙ 𝑥1 − 2𝑣2 cos2 𝛼 𝑥12 (***).
0
0
На основе равенств (*), (**), (***) произведем преобразования:
2
1
g𝑥1
2
2
𝑥1 ( 2 − 1) = 𝑥1 (tg 𝛼0 − 2 2 ) ⟹
cos 𝛽
2𝑣0 cos 𝛼0
g
⟹ tg 𝛽 = ± (tg 𝛼0 − 2𝑣2 cos2𝛼 ∙ 𝑥1 ).
0
0
Полученное равенство позволяет выразить x как функцию угла:
𝑥1 =
𝑣02
g
∙ (sin 2𝛼 ± tg 𝛽 ∙ cos 2 𝛼0 ). Исследование этой функции на
экстремум приводит к окончательному ответу на вопрос задачи.
Решение к задаче № 14.
Смотри рис. Горизонтальная дальность полета струи зависит от
ее скорости и времени полета 𝑥 = 𝑣0𝑥 ∙ 𝑡. Начальная скорость струи
определяется расположением отверстия относительно уровня
свободной поверхности: 𝑣0𝑥 = √2g(𝐻 − ℎ), а время полета зависит от
высоты: ℎ =
g𝑡 2
2
2ℎ
, 𝑡 = √ g . На основании приведенных соотношений
2ℎ
для горизонтальной дальности получим: 𝑥 = √2g(𝐻 − ℎ) ∙ √ g или
𝑥 = 2√ℎ ∙ (𝐻 − ℎ) (*). Считая переменной h, функцию (*) исследуем
на экстремум.
Решение к задаче № 15.
Микроскопические параметры состояния газа связаны уравнением
𝑚
Менделеева – Клапейрона: 𝑝𝑉 = 𝑀 𝑅𝑇. Здесь М – молярная масса газа,
R – универсальная газовая постоянная. Подводим сюда выражение p:
𝑚
(𝑏 − 𝑎𝑉) ∙ 𝑉 = 𝑅𝑇 . Отсюда температура как функция объема:
𝑀
𝑀
𝑇(𝑉) = 𝑚𝑅 ∙ (𝑏𝑉 − 𝑎𝑉 2 ) (*). Значения параметров начального и
конечного состояний газа позволяют конкретизировать коэффициенты
𝑝 = 𝑏 − 𝑎𝑉1 ,
a и b. { 1
Решая данную систему, получим:
𝑝2 = 𝑏 − 𝑎𝑉2 .
𝑝 −𝑝
𝑝 𝑉 −𝑝 𝑉
𝑎 = 𝑉1 −𝑉2 и 𝑏 = 1𝑉2−𝑉2 1 . Итак, следует исследовать на экстремум
2
1
2
1
функцию (*) и воспользоваться полученными выражениями для
коэффициентов.