Типовые задачи по математике ГЭК2013_ ПМИ

Задачи для повторения и подготовки
к государственному экзамену по математическому анализу и
дифференциальным уравнениям
I. Предел функции и последовательности
1. Вычислить предел функции:
1 3 x
,
1 x
3) lim x 2e1 x ,
2) lim x 2e1 x ,
1) xlim
 1
x  
4) lim xsin x ,
x  
x 0
 ln( 1  x)1 x 1 
 ,
x2
x

tgx
1
5) lim
  ,
x 0
6) lim 
x 0
 x
x
1 

1 2  ,
7) lim

x
x 

8) lim (tgx)2 x  ,
x
x  arctgx
,
x3
x2  2
12) lim 2
,
x 1 2 x  x  1
3
x6 2
14) xlim
,
 2
x2
sin 7 x
16) lim
,
x  0 x 2  x
arcsin 2 x
18) lim
,
x 0 23 x  1
arctg 4 x 2
20) lim
.
2
x 0
ex  1
ln x
,
ln sin x
tgx  x
lim
,
x  0 x  sin x
4
x 2
,
lim
x 16
x 4
ln( 1  sin x)
lim
,
x0
sin 4 x
1  cos x
lim
,
x 0
x sin x
9) xlim
 0 0
11)
13)
15)
17)
2
10) lim
x 0
19) lim (1  tgx)ctgx ,
x 0
2. Найти предел последовательности:
1
1
 ...  n
1  2  ...  n
2 ,
а) lim 2
б) nlim
,
2

n 
1
1
n
1   ...  n
3
3
 1

1
1
.
в) lim 

 ... 
n  1  2  3
2 3 4
n(n  1)( n  2) 

1
1
1
3. Пусть x1 > 0, xn 1   xn   при n  1 . Доказать, что существует предел
2
xn 
lim xn и найти его.
n  
(Ответ. 1)
4. Пусть x1  2 , xn 1  2  xn . Доказать, что последовательность (xn) имеет
предел и найти его.
(Ответ. 2)
1
II. Непрерывность функции
5. Исследовать на непрерывность, построить график функции:

2
x  3
1,
x  3
а) f ( x)   x 2  9 ,

,
x  0,
 1,

б) f ( x)   x  1, 0  x  1,
 x  1,
x  2,

x  0,
 x  3,

в) f ( x)   x  1, 0  x  4,
3  x ,
x  4,

 x 2  4 x  3, x  2,
г) f ( x)  
x3 ,
x  2,

III. Производная и дифференцируемость функции
6. Найти производную функции:
(1  x 2 )e3 x 1  cos x
, 2) y  ( x3  2) 2 3 ( x 2  6) 2  ecos 3 x ,
arccos x
 y  t 2  2t
( x  2) 2 x  1
3) y 
,
4)
,

( x  5)3
x

ln(
t

1
)

1) y 
5) y  cos 2 ln x 2  1 ,
6) y  ln sin 2 5x ,
7) y  sin e x 1 ,
9) y  e x (sin 2 x  ln x) ,
8) y  arcsin( 3x  1)  x 2e x ,
10) f ( x)  ( x 2  2) x ,
2
x2  1
11) f ( x)  2 sin x
,
x2
1  cos 2 x
 x,
13) f ( x) 
sin 2 x
15) y  (sin x)cos x .
3
12) f ( x)  (cos 2 x  1)  tg 2 x ,
14) y  xln x ,
7. а) Определить углы, под которыми графики функций: sin x , tgx и ln x
пресекают ось абцисс.
б) Написать уравнение касательной и нормали к кривой y  x3  2 x 2  1 в
точке ее пересечения с параболой y  2x 2 .
в) Доказать, что уравнение касательной к эллипсу
(x0, y0) имеет вид
x2 y 2

 1 в точке
a 2 b2
xx0 yy0
 2  1.
a2
b
г) Тело массой 100 кг движется прямолинейно по закону S  2t 2  3t  1 .
Определить кинетическую энергию тела через 5 секунд после начала
движения.
2
8. Доказать тождество 2arctgx  arcsin
2x
  при x > 1.
1  x2
9. Доказать, что ln( 1  x)  x при x  0 .
IV. Интегрирование
10. Вычислить неопределенный интеграл:
1)  a x e x dx ,
2)  (1  3x)dx ,
4)  cos 2 x sin 2 xdx ,
6)


ln x
dx ,
x
6x  5
dx
dx ,
, 9) 
(1  x )arctgx
2 3x 2  5 x  1
12 x  4
x 4 dx
2
dx , 11)  x 1  x dx, 12) 
,
6x2  4x  1
x5  4
arctg 3 x
7) 
dx ,
1  x2
10)
5)  sin 2 x sin 2 xdx ,
x 1
dx ,
2 x
3)

8) 
2
13)  cos(2 x  5)dx, 14)  3 sin 2 x cos xdx, 15)  e x cos(3e x  1)dx
e x dx
16)  x ,
e 1
sin 2 xdx
,
1  cos 2 x
xdx
20) 
2x  1
dx
,
23)  2
x  2x  1
17) 
19)  cos 2 xdx,
dx
,
x( x  1)
dx
25)  4 ,
cos x
28)  x cos xdx
22) 
18)  xex dx,
2
x2  1
dx,
x2  1
dx
,
24)  2
x  2x  5
21) 
26)  cos3 xdx,
27)  sin 5 xdx,
29)  xex dx,
30)  xarctgxdx,
31)  cos x sin 3 xdx , 32) 
dx
,
x x 1
33)  e x dx.
11. Вычислить определенный интеграл:
1
1)
4)
1

2)  (e x  1)3 e x dx ,
x  1dx,
0
0
1
2
 (x
2
1
x
dx ,
 1)3
2
dx
8) 
,
1 x 1  ln x
7)  cos xdx,
0
10)  x cos xdx,
0
1
13) 
0
0
e3
2
 /2
5)  sin x cos7 xdx,
1
11)  xex dx,
2
3)  e1 / x
1

6)  sin 3 x cos5 xdx,

2
9) 
1
e
e2 x  1
1
dx, 14)  x( x  2)dx,
0
1
9
1
4
16)  x 2 ( x 2  1)dx, 17) 
x
dx,
x 1
dx
,
x  x3
1
x
dx,
1  x2
0
12) 
0
x
dx
,
x2
1
15)  x 5 1  x 2 dx,
1

xdx
,
2 cos x  3

18) 
3
a
e
20)  x ln xdx.
19)  a  x dx,
2
2
1
0
12. а) Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями:
1) y  x  1, y  cos x и y  0 ;
2) y  ln x, x  e и y  0 ;
3) x  y 2 и x  2 y  1 ;
4) ( x2  y 2 )2  x2  y 2 ;
5) r  a cos 3 , a  const  0 .
б) Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом;
x  a cost, y  b sin t , 0  t  2 .
в) Найти длину кривой:
1) y  x 2 / 2 от точки (0;0) до точки ( 2 ;1);
2) x  a cos3 t , y  a sin 3 t , 0  t  2 (астроида);
3)   a(1  cos ), 0    2 (кардиоида).
V. Ряды
13. Найти сумму ряда

2n  1
 n (n  1)
n 1
2
2
.
14. Исследовать на сходимость:
а)


n 1
г)
1
n4  1
б)
,
n
,
n(n  1)

n 1
n


2
1 1
1   ,

n
n 1 4 
д)
в)

1
, ( s  R)

s
n 1 n

5n
,

n 1 n!


n 1
3n
е)  2n sin
.
15. Исследовать на абсолютную или условную сходимость:
а)

1
,
n
 (1)n 1
n 1
в)
б)

 (1)
n
n 1
n3  1

1
2n
г)  sin  i .
n
n!
n 1
,
n 1
(1)n 1
1
i 2 ,

n
n
n 1

16. Исследовать на равномерную сходимость функциональные ряды:
а)
в)

1
,

2n
 n2
n 1 x


n 1
б)
1
x
n3
n 1
x sin nx
1  n (1  nx )
2

2
, г)

x e
2  nx
,
.
n 1

cos nx
. Найти область определения этой
n3
n 1
17. Пусть задана функция f n ( x)  
функции и исследовать ее на непрерывность и дифференцируемость .
18. Найти сумму степенного ряда

 nx
n
.
n 1
19. Найти круг сходимости степенного ряда. Будет ли аналитической его
сумма в точке с ?
n 1
а)  n ( z  1) n , c  1  i,
n 1 (3i )

( z  i)n
б) 
, c  3i / 2.
n
n 1

4
20. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки z0=2 и найти
круг сходимости:
1
z
а) f ( x)  ,
б) f ( z )  sin( z  4).
21. Вычислить приближенно число 3 68 с точностью до 10-3.
22. Вычислить с точностью до 10 интеграл
-3
1
sin x
dx.
x
0

VI. Дифференциальные уравнения
23. Найти решение уравнения (1  y 2 )dx  xydy  0 , удовлетворяющее
начальному условию y (2)  1.
24. Проинтегрировать уравнение
y' 
y
(1  ln y  ln x).
x
25. Найти общее решение уравнения
y'2 xy  2 xe x .
2
26. Найти общее решение уравнения
y' (e x  xey )  e y  ye x  0.
27. Найти общее и особое решение уравнения
y  xy'( y' )2 .
28. Найти общее решение следующих уравнений:
а) y ' '4 y '4 y  0,
б) y ' ' y  0,
в) y ' '5 y '6 y  0,
г) y IV  2 y' ' ' y' '  0,
д) y IV  16 y  0,
29. Найти общее решение следующих неоднородных дифференциальных
уравнений:
а) y' '4 y  8 sin 2 x,
б) y' '4 y'4 y  3e3x ,
в) y ' ' y  ctgx,
30. Могут ли интегральные кривые данного дифференциального уравнения
y'  x  y 2 пересекаться в некоторой точке ( x0 , y0 ) плоскости Rxy2 ?
31. Найти общее решение дифференциальных уравнений в частных
производных:
а) utt  a 2u xx  0, a  const  0;
б) 2u xx  5u xy  3u yy  0.
5