Прогр_матан_1-2 курс_Би_ПИ_Чубарова Е.И. (1)

Правительство Российской Федерации
Национальный исследовательский университет –
Высшая школа экономики
Факультет Бизнес-информатики
Отделение Программной Инженерии
Программа дисциплины
Математический анализ
Для направления 080700.62 «Бизнес-информатика»
подготовки бакалавра
(2009 - 2010 учебный год)
Автор программы:
к.ф.-м.н, доцент Е.И. Чубарова
Рекомендована секцией УМС
По бизнес-информатике
Председатель Ю.В. Таратухина
_______________________
«_____» __________________ 2009 г.
Одобрена на заседании кафедры
Высшей математики
на факультете Экономики
Зав. кафедрой Ф.Т. Алескеров
_______________________
«____»__________________ 2009
г
Утверждена Ученым Советом
Факультета Бизнес-информатики
Ученый секретарь В.А. Фомичев
_________________________________
« ____» ___________________2009 г.
Москва 2009
1
I. Пояснительная записка
Автор программы:
к.ф.-м.н, доцент Е.И. Чубарова
Общие сведения об учебном курсе.
Курс читается студентам бакалавриата отделения программной инженерии
факультета бизнес-информатики ГУ ВШЭ. Он входит в состав вузовского
компонента блока общих математических и естественно-научных дисциплин,
определяющих направление «Бизнес-информатика». Курс читается в 1 – 4
модулях первого учебного года и в первом модуле второго учебного года.
Количество кредитов – 10. Продолжительность курса составляет 324
учебных часа, из них 144 аудиторных часа - 72 часа лекций, 72 часа
семинарских занятий и 180 часов самостоятельной работы. В том числе по
курсам: на первом курсе 216 часов (7 кредитов), из них 112 аудиторных
часов – 56 часов лекций, 56 часов семинарских занятий и 104 часа
самостоятельной работы; на втором курсе 108 часов (3 кредита), из них 32
аудиторных часа – 16 часов лекций, 16 часов семинарских занятий и 76
часов самостоятельной работы.
Рубежный контроль включает 2 домашних задания, 3 контрольные работы,
зачеты по окончании 1 модуля 1 курса и 1 модуля 2 курса, экзамены по
окончании 2, 4 модулей 1 курса и 1 модуля 2 курса.
Требования к студентам:
Освоение курса первого года не предполагает никакой предварительной
подготовки, кроме школьного курса алгебры и начал анализа, и доступно
всем студентам, принятым на 1 курс. Освоение продолжения курса на втором
году обучения требует владения материалом 1 курса.
Учебная задача курса:
Развить математический кругозор студентов. Обучить студентов важнейшим
теоретическим положениям математического анализа, аналитическим методам,
выработать у них навыки решения конкретных задач, требующих исследования
функций и вычисления связанных с ними величин.
В результате изучения курса студенты должны:
знать точные формулировки основных понятий, уметь интерпретировать
их на простых модельных примерах;
- знать основные теоремы о пределах и непрерывности функций одной и
нескольких переменных, уметь вычислять пределы, доказывать
существование предела или его отсутствие;
- знать основные понятия и теоремы дифференциального исчисления
функций одной и нескольких переменных, уметь вычислять производные,
частные производные и дифференциалы функций, исследовать свойства
функций и строить графики, находить наибольшие и наименьшие значения
дифференцируемых функций;
- знать основные понятия интегрального исчисления функций одной и
нескольких переменных, важнейшие теоремы, уметь вычислять
неопределенные и определенные интегралы, доказывать сходимость и
-
2
расходимость несобственных интегралов, вычислять геометрические и
другие величины при помощи определенных и кратных интегралов;
вычислять криволинейные и поверхностные интегралы.
- знать основные понятия и теоремы теории числовых и функциональных
радов: признаки сходимости, равномерная сходимость функциональных
последовательностей и рядов, свойства равномерно сходящихся
функциональных рядов, радиус сходимости степенного ряда, условия
разложимости функции в ряд Тейлора, уметь исследовать на сходимость
числовые ряды, определять области сходимости и равномерной сходимости
функциональных последовательностей и рядов, находить радиусы и
интервалы сходимости степенных рядов, раскладывать в ряд Тейлора
основные элементарные функции.
- знать основные типы обыкновенных дифференциальных уравнений,
постановки задачи Коши, простейшие условия существования и
единственности решений, методы решения некоторых классов
дифференциальных уравнений первого и более высоких порядков.
Аннотация:
Курс соответствует государственному образовательному стандарту
высшего профессионального образования по направлению подготовки
бакалавров 080700.62 «Бизнес-информатика». Он включает основные разделы
математического анализа и начальные разделы теории обыкновенных
дифференциальных уравнений, необходимые как для изучения других
математических и естественно-научных дисциплин, так и для
профессиональной деятельности бакалавра по указанному направлению
подготовки.
II. Тематический план учебной дисциплины
№
Название темы
Всего
часов
Аудиторные часы
Лекции
Семинары
Самостоятельная
работа
Первый курс
1
2
1 модуль
Введение
Теория пределов и
непрерывных функций
одной переменной.
2 модуль
Дифференциальное
исчисление для функций
одной переменной
54
14
14
26
54
14
14
26
3
3
4
5
3 модуль
Дифференциальное
исчисление для функций
многих переменных.
4модуль
Интегральное исчисление
для функций одной
переменной.
Интегральное исчисление
для функций многих
переменных.
Итого на первом курсе
54
14
14
26
54
14
14
26
216
56
56
104
Второй курс
6
7
1 модуль
Числовые и
функциональные ряды.
Степенные ряды.
Обыкновенные
дифференциальные
уравнения
Итого на втором курсе
III.
52
8
8
36
56
8
8
40
108
16
16
108
Формы рубежного контроля и правила вывода оценок зачета и
экзамена
Предусмотрены 3 контрольные работы (в первом и третьем модулях первого курса и в
первом модуле второго курса) и 2 домашних задания (для оценки выполнения домашних
заданий проводятся контрольные работы во втором и четвертом модулях). Во втором
модуле 1 курса проводится зачет, в четвертом модуле 1 курса и по окончании 1 модуля 2
курса – экзамены.
Оценки выводятся по следующим формулам.
Оценка за зачет (2 модуль) «ОЗач» = 0,2 «ОКр1мод» + 0,2 «ОДз1-2мод» + 0,6 «ОЗач.раб.».
Оценка за экзамен (4 модуль) «ОЭкз» = 0,1 «ОЗач » + 0,2« ОКр3мод» + 0,2 «ОДз2-4мод» +
0,6 «ОЭкз.раб.» по десятибалльной шкале.
Оценка за экзамен (2 курс) «ОЭкз» = 0,4«ОКр» + 0,6 «ОЭкз.раб.» по десятибалльной
шкале.
Оценки выставляются в ведомость и зачетную книжку. В экзаменационную ведомость и
зачетную книжку студента выставляется также и оценка по данной дисциплине по
пятибалльной шкале, получаемая из оценки по десятибалльной шкале в
соответствии с приведенной ниже таблицей соответствия (см. Приложение № 2 к
приказу Ректора ГУ-ВШЭ № 1002 от 17.06.2002)
Таблица соответствия оценок
4
по десятибалльной и пятибалльной системам.
По десятибалльной шкале
1  неудовлетворительно
2  очень плохо
3  плохо
4  удовлетворительно
5  весьма удовлетворительно
6  хорошо
7  очень хорошо
8  почти отлично
9  отлично
10 блестяще
По пятибалльной шкале
неудовлетворительно  2
удовлетворительно  3
хорошо  4
отлично  5
Образцы типовых задач приводятся после программы.
IV.
Содержание программы
1. Введение. Элементы теории множеств и функций. ([1], т.1, гл. 1, §§ 1, 2, [5], гл.
1, §§ 1 – 4)
Понятие множества и подмножества. Операции: объединение, пересечение,
дополнение.
Отображения множеств (функции). Числовые функции. Область определения,
множество значений функции. Основные элементарные функции.
Теория пределов и непрерывных функций одной переменной. ([1], т.1, гл. 1, §§ 3 - 8,
[5], гл. 1, §§ 5 – 9)
Числовые последовательности. Примеры.
Понятие предела последовательности.
Теорема о единственности предела сходящейся
последовательности.
Ограниченные и неограниченные последовательности. Теорема об ограниченности
сходящейся последовательности.
Теорема о переходе к пределу в неравенствах.
Теорема о вынужденном пределе.
Теорема о сходимости монотонных ограниченных последовательностей.
Определение числа е.
Бесконечно малые последовательности. Связь со сходящимися последовательностями.
Арифметические свойства бесконечно малых и сходящихся последовательностей.
Бесконечно большие последовательности, их связь с бесконечно малыми.
Арифметические свойства для последовательностей, имеющих конечные и
бесконечные пределы. Неопределенности.
Определение предела функции в точке в терминах окрестностей, неравенств (Коши) и
последовательностей (Гейне). Теорема об эквивалентности этих определений.
Односторонние пределы, их связь с двусторонними.
Пределы функции в бесконечности.
Арифметические свойства функций, имеющих пределы (конечные или бесконечные) в
точке или в бесконечности. Неопределенности.
Теоремы о переходе к пределу в неравенствах, о вынужденном пределе.
5
Теорема о пределе сложной функции.
Первый и второй замечательные пределы Сравнение функций, о-символика
Определения непрерывности функции в точке, их эквивалентность. Точки разрыва, их
классификация. Непрерывность основных элементарных функций.
Арифметические свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности сложной
функции.
Теоремы о локальной ограниченности и локальном сохранении знака для функций,
непрерывных в точке.
Свойства функций, непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Вейерштрасса,
теорема Коши).
Критерий непрерывности монотонной функции на промежутке.
Критерий существования и непрерывности обратной функции на промежутке.
2. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной. ([1], т.1, гл. 1,
§§ 9 – 14 , [5], гл. 1, §§ 10 – 15)
Понятие производной функции в точке. Геометрический смысл производной.
Уравнение касательной к графику функции в точке.
Понятие дифференцируемости функции в точке. необходимое и достаточное условие
дифференцируемости.
Правила дифференцирования. Теорема о дифференцируемости и производной сложной
функции. Теорема о дифференцируемости и производной обратной функции. Таблица
производных основных элементарных функций.
Производные функций, графики которых заданы параметрически.
Понятие гладкой кривой, касательный вектор к гладкой кривой в точке.
Понятие дифференциала (первого) функции в точке. Геометрический смысл
дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала.
Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной в точке.
Понятие об экстремумах функции одной переменной. Локальный экстремум.
Необходимое условие для внутреннего локального экстремума (теорема Ферма).
Основные теоремы о дифференцируемых функций на отрезке (теорема Ролля,
формулы Лагранжа и Коши). Правило Лопиталя.
Многочлен Тейлора и формула Тейлора для функций одной переменной с остаточным
членом в форме Пеано и Лагранжа. Формулы Тейлора-Маклорена для основных
элементарных функций. Применения для приближенных вычислений.
Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции на промежутке.
Достаточные условия локального экстремума для функции одной переменной.
Выпуклые (вогнутые) функции одной переменной. Достаточные условия выпуклости
(вогнутости).
Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия для точки перегиба.
Асимптоты графика функции одной переменной.
Определение глобального максимума (минимума) функции одной переменной в
области ее определения.
3. Дифференциальное исчисление для функций многих переменных. ([1], т.1, гл. 2,
[5], гл. 2)
Понятие метрического пространства, окрестностей точки, предельных и внутренних
точек, открытых и замкнутых множеств в нем. Примеры. Понятие n-мерного евклидова
пространства и метрики в нем. неравенство треугольника. Сферические и прямоугольные
окрестности точки, эквивалентность систем сферических и прямоугольных окрестностей.
Связные, несвязные, ограниченные, неограниченные множества. Замкнутые, открытые,
компактные множества. Примеры.
6
Понятие функции многих переменных. Определение предела функции многих
переменных. Арифметические свойства пределов.
Понятие непрерывности функции многих переменных в точке. Свойства непрерывных
функций. Теорема о непрерывности сложной функции. Непрерывность элементарных
функций многих переменных.
Свойства непрерывных на компакте функций (теоремы Вейерштрасса). Теорема Коши
о промежуточных значениях непрерывной на связном множестве функции.
Определение частных производных функции многих переменных в точке. Определение
дифференцируемости функции в точке. Первое и второе необходимые условия
дифференцируемости функции в точке. Достаточное условие дифференцируемости
функции в точке.
Арифметические свойства дифференцируемых функций. Теорема о
дифференцируемости сложной функции.
Понятие и уравнение касательной плоскости к графику функции двух переменных в
точке.
Понятие дифференциала (первого) функции многих переменных в точке.
Геометрический смысл первого дифференциала для функции двух переменных.
Инвариантность формы первого дифференциала.
Частные производные и дифференциалы высших порядков функции многих
переменных. Теорема о равенстве смешанных производных.
Производная по направлению для функций двух и трех переменных.
Градиент функций двух и трех переменных в точке.
Понятие неявной функции, определяемой уравнением. Терема о существовании и
дифференцируемости неявной функции. Формула для производных неявной функции.
Понятие системы неявных функций, определяемых системой уравнений.
Экстремумы функций многих переменных (абсолютный, условный, локальный,
глобальный). Необходимое условие локального абсолютного экстремума. Достаточное
условие локального абсолютного экстремума. Условия знакоопределенности
квадратичной формы.
Функция Лагранжа и множители Лагранжа для задачи на
условный экстремум, Необходимое условие локального условного экстремума, его
геометрическая интерпретация. Достаточное условие.
Нахождение экстремумов непрерывной функции на компакте.
4. Интегральное исчисление для функций одной переменной. ([1], т.1, гл. 3, [5], гл.
3)
Понятие первообразной и неопределенного интеграла функции, определенной на
промежутке. Замена переменных и формула интегрирования по частям. Таблица
интегралов.
Интегрирование рациональных функций. Основные классы функций, интегрирование
которых сводится к интегрированию рациональных функций.
Понятие интегральной суммы для функции, заданной на отрезке, и определенного
интеграла. Необходимое условие интегрируемости функции на отрезке.
Основные классы интегрируемых функций.
Основные свойства определенного интеграла (интеграл единицы, линейность,
интегрируемость произведения интегрируемых функций, аддитивность, инерционность,
интегрируемость на подотрезках, свойства, выражаемые неравенствами, теоремы о
среднем, интегрируемость модуля интегрируемой функции, Интеграл с переменным
верхним пределом. Теоремы о непрерывности и дифференцируемости интеграла с
переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
Замена переменных и формула интегрирования по частям для определенного
интеграла.
7
Понятие квадрируемости и площади плоского множества. Множества площади (меры)
ноль, свойства. Необходимое и достаточное условие квадрируемости плоского множества.
Теорема о квадрируемости и площади криволинейной трапеции.
Понятие о спрямляемости и длине дуги кривой. Теорема о спрямляемости и длине дуги
гладкой кривой.
Понятие несобственных интегралов первого и второго рода. Критерий Коши
сходимости несобственного интеграла. Понятия абсолютной и условной сходимости
несобственного интеграла.
Замена переменных и формула интегрирования по частям для несобственных
интегралов.
Признаки сравнения в непредельной и предельной формах для несобственных
интегралов от положительных функций. Эталонные интегралы.
Признак Дирихле сходимости несобственного интеграла первого рода.
5. Интегральное исчисление для функций многих переменных.
([1], т.2, гл. 6, §§ 44 – 52, [5], гл.5, §§ 42 – 48, 5, гл. X - XI)
Понятие интегральной суммы для функции двух переменных, определенной на
замкнутом квадрируемом множестве. Понятие двойного интеграла для функции двух
переменных. Необходимое условие интегрируемости функции двух переменных. Суммы
Дарбу, их свойства. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции двух
переменных. Основные классы интегрируемых функций.
Основные свойства двойного интеграла (интеграл единицы, линейность,
интегрируемость произведения интегрируемых функций, аддитивность, инерционность,
интегрируемость на квадрируемых подмножествах, свойства, выражаемые неравенствами,
теоремы о среднем, интегрируемость модуля интегрируемой функции, неравенство КошиБуняковского).
Теорема о сведении двойного интеграла к повторному и ее применение для
вычисления двойного интеграла.
Замена переменных в двойных интегралах. Переход к полярным координатам в
двойных интегралах.
Понятие кубируемости и объеме множества и пространстве. Множества объема (меры)
ноль, их свойства. Необходимое и достаточное условие кубируемости множества в
пространстве.
Понятие интегральной суммы для функции трех переменных, определенной на
замкнутом кубируемом множестве. Понятие тройного интеграла для функции трех
переменных. Необходимое условие интегрируемости функции трех переменных.
Основные классы интегрируемых функций. Основные свойства тройного интеграла.
Теорема о сведении тройного интеграла к повторному и ее применение для вычисления
тройного интеграла. Замена переменных в тройных интегралах. Переход к
цилиндрическим и сферическим координатам в тройных интегралах. Обобщение на nмерный случай.
Понятие интегральной суммы для функции трех переменных, определенной на дуге
гладкой кривой. Понятие криволинейного интеграла первого рода для функции трех
переменных. Необходимое условие интегрируемости функции трех переменных.
Основные классы интегрируемых функций. Основные свойства криволинейного
интеграла первого рода. Теорема о сведении криволинейного интеграла первого рода к
определенному.
Понятие скалярного и векторного поля. Понятие криволинейного интеграла второго
рода по дуге гладкой кривой. Зависимость от ориентации дуги. Сведение криволинейного
интеграла второго рода к определенному. Формула Грина.
Понятие гладкой поверхности и ее площади. Понятие интегральной суммы для
функции трех переменных, определенной на гладкой поверхности. Понятие
поверхностного интеграла первого рода для функции. Необходимое условие
8
интегрируемости функции на гладкой поверхности. Основные классы интегрируемых
функций. Основные свойства поверхностного интеграла первого рода. Теорема о
сведении поверхностного интеграла первого рода к двойному.
Односторонние и двусторонние поверхности. Поверхностный интеграл второго рода от
векторного поля по заданной стороне гладкой поверхности. Теорема о его вычислении.
Формула Гаусса-Остроградского.* Формула Стокса*. Условия независимости
криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования*.
6. Числовые и функциональные ряды. Степенные ряды.
([1], том 1, гл. 4; [5], гл. 4; [7], гл. VIII, IX)
Понятие числового ряда, сходящегося ряда и его суммы. Критерий Коши сходимости
ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Понятие абсолютной и условной
сходимости числового ряда. Необходимое и достаточное условие абсолютной сходимости
ряда.
Признаки сравнения в непредельной и предельной формах для положительных рядов.
Признаки Даламбера и Коши.
Интегральный признак Коши. Эталонные положительные ряды.
Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.
Функциональные последовательности и ряды.
Степенной ряд. Радиус сходимости степенного ряда.
Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда.
Задача о представлении функции функции в виде суммы степенного ряда. Теорема о
единственности представления. Ряд Тейлора функции.
Необходимое и достаточное условие сходимости ряда Тейлора для заданной функции к
заданной функции. Ряды Тейлора-Маклорена основных элементарных функций.
7. Обыкновенные дифференциальные уравнения ([3], гл. 1, 2, [4], [9])
Понятие дифференциального уравнения Порядок уравнения, решение (интеграл)
дифференциального уравнения, общее и частное решения.) Дифференциальные уравнения
первого порядка, разрешенные относительно производной. Интегральные кривые, задача
Коши. Теорема существования и единственности.
Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные уравнения первого порядка.
Уравнение Бернулли.
Дифференциальные уравнения второго порядка. Теорема существования и
единственности. Уравнения, допускающие понижение порядка.
Линейные однородные и неоднородные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами.
Понятие устойчивости по Ляпунову. Нахождение решений дифференциальных
уравнений дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
1.
2.
3.
4.
Литература
Основная.
Кудрявцев Л.Д. Математический анализ в двух томах. М.: «Высшая школа», 1981
(имеется также переработанное трехтомное издание М.: Дрофа, 2006).
Кудрявцев Л.Д. и др. Сборник задач по математическому анализу. Т. 1. Предел.
Непрерывность. Дифференцируемость. Т. 2. Интегралы и ряды. Т. 3. Функции
нескольких переменных. М.: Физматлит, 2003.
Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. –
М.: ЛБЗ, 2000.
Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.- М.: Наука,
1992.
9
Дополнительная.
5. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М: “Наука”, 1989 (имеется
также двухтомное издание: М.: Физматлит, 2005).
6. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. М.: Изд-во
Моск. ун-та, 2006.
7. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. М.: Физматлит,
2003.
8. Демидович Б.П. Сборник задач и и упражнений по математическому анализу. М.:
«Наука», 1997.
9. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах. Ч.II.
Образцы задач для контрольных, зачетных и экзаменационных работ по
математическому анализу
для 1 курса
Типовые задачи для подготовки к контрольной работе за 1 модуль
1. Используя определение предела последовательности, доказать, что
lim an  a , для an 
n 
1
9  n3
, a .
3
2
1  2n
2. Используя определение предела функции в точке, доказать, что
9 x2 1
lim
 6 .
x  1 x  1
3
3
3. Используя определение непрерывности функции в точке, доказать, что
1
функция f ( x)  ln(4 x  1) непрерывна в точке x0  .
2
4. Доказать, что последовательность xn  8  n  5 является
сходящейся.
5. Используя признак Вейерштрасса, доказать, что последовательность
n
xn 
1
3
n 1
3

1
3
n 2
3
 ... 
1
3
n  n 1
3
n
2
n
является сходящейся.
Вычислить пределы последовательностей (6, 7)
6. lim
n 
1  2  3  4  ...  (2n  1)  2n
3
n3  2n  2
10

2
2
2
2
lim
(
n

1)(
n

2)

(
n

1)(
n
 2)
7.
n 
Вычислить пределы функций (7 – 13)
( x 3  2 x  1)3
8. xlim
1
x 4  2 x  1 . 9.
x  7  11  x
. 11.
x2 2
10. lim
x 2
lim
x 


x2  2x  4  x2  4x  3
 5  3x 
lim 

x  7  3 x



.
2 x
.
1  cos 4 x 2
sin x  cos x
lim
12. lim
.
13.
.
2
2
x 
ln tgx
x 0 arcsin 3 x ln(1  sin 5 x)
4
lim arcsin
14.
x 
1 x
1 x
Типовые задачи для подготовки к зачетной работе за 2 модуль
1. Используя таблицу эквивалентных функций, вычислить предел
x 2 sin(12 x3 )
lim
.
x 0 ln(1  2 x)tg 2 3 x
( x 2  3x  2)2
2. Вычислить пределы: а) xlim
;
1 x 3  2 x 2  x  2
б)
ln(tgx )
; в)
lim
cos
2
x
x 
4
 3x  7 
lim 

x  3 x  2


 x 3
.
3. Найти f ( x0 ), f ( x0 ) , где f ( x)  esin x  tgx , x0  0 .
2. Вычислить f ( x ) :
а) y  e
arctg
x
2
3

x
x
2 20
 3e 2 ; б) f ( x )  (8 x  cos 4 x )  arcsin
.
3
3
( x  1)
3. Найти производную функции f ( x)  (2 sin( x 
x0 

4

4
)  3) 2 tgx 1 в точке
.
4. Найти первый и второй дифференциалы функции y(x), заданной неявно
3 2
2
2
уравнением 2 x y  2 xy  4 x  y  2 x  6 y  6  0 , в точке А(1,0).
11
5. Найти касательную прямую и нормаль, проведенные к графику функции
y  f ( x) , заданной параметрически:

1 t2  t
x 


1 t2

2t
y 

1 t2

, в точке А,
соответствующей значению параметра t0  0 .
6. Найти y
(n)
x2  3
( x) , если y ( x)  (2 x  1) sin 2 x  2
x 1 .
7. Разложить по формуле Маклорена до о(хn ) функцию f ( x)  x2 ln(2 x  3) .
Вычислить f (50) (0) .
8.Вычислить предел с помощью формулы Маклорена: lim e
x 0
arctgx
 ln(1  x)  1
2
.
4  x3
9. Найти участки возрастания, убывания и точки экстремума
2
4
функции f ( x)  8 x  x .
10.Найти асимптоты графика функции y 
x2  2x .
11. Провести полное исследование и построить график функции y  ln(tgx) .
Типовые задачи для подготовки к контрольной работе за 3 модуль
1.
1 4
u

arccos
 4 y  x2  y 2
Является ли область определения функции
x
(1) ограниченной (неограниченной) ; (2) замкнутой; (3) открытой;
(4) компактом; (5) областью?
2. Вычислить предел или доказать, что он не существует:
tg ( xy )
x  2y
а)
б) lim
.
lim
2
2 ;
3 1 x  2 y
x  y
x 0
x 0 1 
y 0
y 0
 y3  x2
2
2
 3 2 npu x  y  0,
y x
3. Выяснить, будет ли функция F ( x, y )  

npu x 2  y 2  0
 0
непрерывной в точке (0,0). Ответ обосновать.
4. Найти частные производные первого порядка для
а) f ( x, y ) 
x3
2 y
 x ln(sin y ) ;
б) f ( x, y, z)  ( x 2  2 y 2  xz )arcsin 2 x .
1
x
5. Найти первый дифференциал функции f ( x, y, z )  arctg
x y
в точке
z
(1,0,1).
6. Найти производную функции f ( x, y, z)  2 xy 2 z  3xy  8x 2 yz в точке А(1,1,0)
по направлению вектора MN , где М(2,4,5), N(1,2,3).
.
''
''
''
7. Найти частные производные второго порядка f xx , f xy , f yy для
f ( x, y )  ln( x  e xy ) .
12
8. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к графику функции
2y

в точке M (3,1, )
x 1
4
9. Исследовать на экстремум функцию z  x4  x2 y 2  y 4  6 x2  9 y 2 .
z  arcctg
10. Найти экстремумы функции
f ( x, y )  8 x  4 y  1
при условии 8 x  y  2  0 .
Типовые задачи для подготовки к контрольной и экзаменационной
работе за 4 модуль (итоговой за 1 курс)
1. Вычислить предел lim ( x  1)( x  2)  ( x  1)( x  3)
2
2
x  


2. Провести полное исследование и построить график функции y 
2x 1
x2 1
.
3. Разложить по формуле Маклорена до o( x n ) функцию f ( x)  (3  x) ln(1  4 x) .
x
4. Найти производную функции u  ( x2  2 y)e z
в точке N по направлению вектора MN , где M 1, 1, 1 , N (2,1, 1) .
3
2
2
2
5. Найти точки экстремума функции z  16 x  18xy  20 x  9 y .
6. Найти экстремумы функции z  xy  2 y при условии x2 y 2  y 2  8 ,
используя функцию Лагранжа.
7. Вычислить неопределенные интегралы
а)

arcsin 2 x  1
1  x2
dx
; б)  e2 x (4 x  3)dx ;
2 x3  7 x 2  7 x  1
 ( x  2)2 ( x2  x  1)dx .
в)
8. Вычислить определенные интегралы
а)
1
2x
0 2 x  1 dx ;
б)

x 2  ln x 2
1 x dx ;
e
в)
2

0
cos x  sin x
dx
(1  sin x) 2
9. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками
функций y  ( x  2)3 , y  4 x  8 .
10. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной графиками функций y  3sin x, y  sin x, 0  x   ,
вокруг оси ОХ.
11.Исследовать на сходимость несобственные интегралы:
а)

e
0
ex
x
 ex
б)  5  27 x4  x
x
1
dx ;
3
2
dx .
0
13
12.Используя признак сравнения, исследовать на сходимость
несобственные интегралы:
а)

ln(2  3 x )
0 3 x xdx ;
1
sin 4 2 x
б) 
3
0
3  5x4
dx
13. Вычислить двойные интегралы
а)
 y sin 2 xydxdy , область Е ограничена линиями
E
б)
 (18x y
2
2
1

3
x  , x  3, y  , y 
.
2
2
2
 32 x3 y3 )dxdy , область Е ограничена линиями
E
x  1, y  x3 , y   x .
14. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле
1
0
 dy  f ( x, y)dx
0
2

y
0
 dy 
1
f ( x, y )dx
 2 y 2
15.Вычислить тройные интегралы
2
а)  x e
xy
2
dxdydz ,
E : x  1, x  0, y  0, y  2, z  1, z  0,
E
б)
 
E
dxdydz
x y z
1    
2 3 4

6
x
2
y
3
z
4
, E :    1, x  0, y  0, z  0 .
y2
16.Пластина задана неравенствами: 1  x   9, y  0, y  4 x ,
16
2
 ( x, y ) 
y
– поверхностная плотность. Найти массу пластины.
x3
17.Найти объем тела, ограниченного поверхностями
z  36  x 2  y 2 ,9 z  x 2  y 2 .
14
Типовые задачи для подготовки к экзаменационной работе за 1
модуль (итоговой за 2 курс)
1. Найти сумму ряда
6n  5
.

7n
n 1

2. Исследовать на сходимость числовые ряды:


ln n
14n (n3  2n)
а) 
; б)  8 .
(n  2)!
n 1 n
n 1
3. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд

 (1)n1 
n 1
4. Будет ли данный ряд

 (1)
n ( n 1)
2
n2  2n  3
.
5n3
1
:
n n
а) абсолютно сходящимся; б) условно сходящимся?
sin
n 1
5. Найти радиус и области сходимости и расходимости степенного ряда

n2  5n  4
( x  2)n .

n2
3
n 0
1
6. Разложить функцию в ряд Маклорена: f ( x) 
.
5  2x
7. Найти общий интеграл уравнения
4  y 2 dx  ydy  x 2 ydy .
8. Найти общий интеграл уравнения 2 y 
y2
y
6 3.
2
x
x
1
9. Найти общее решение линейного уравнения 1 порядка y  y cos x  sin 2 x
2
и решить задачу Коши y (0)  0 .
10. Решить дифференциальное уравнение с помощью понижения порядка:
xy  2 y  0 .
11. Найти решение задачи Коши для уравнения Бернулли
2( xy  y)  y 2 ln x, y(1)  2 .
12. Найти общее решение дифференциального уравнения y  2 y  10e x (sin x  cos x) .
15