Исследование гармонических колебаний

Северо-Восточный федеральный университет им.М.К.Аммосова
Физико-технический институт
Кафедра РТ и ИТ
отчет по лабораторной работе №1
«Исследование гармонических колебаний»
дисциплина: Теория колебаний
выполнил: Акимов А.В
Группа: РТ-10
проверил: Федоров В.Н.
Якутск 2013г.
Цель работы: Изучение условий возникновения колебаний и их вида в
RLC – контуре.
Теоретическая часть
На рис. 3.1 приведена схема параллельного RLC- контура, состоящего
из катушки индуктивности L, сопротивления R, конденсатора C и источника
постоянного напряжения Е.
Рис. 3.1 – Схема параллельного RLC-контура подключенного к источнику постоянного
напряжения Е
В соответствии с законом Кирхгоффа для этого контура можно записать:
U
U
U
E
L
R
C
(3.1)
где UС, UL,UR – падение напряжений на конденсаторе, индуктивности и
сопротивлении, соответственно.
В соответствии с законом Ома
U R  Ri ,
(3.2а)
где i – ток в контуре.
Продифференцировав определение емкости C=q/Uc (учитывая, что
i
dq
, где q-заряд на конденсаторе) имеем:
dt
i C
dUc
.
dt
(3.2б)
В соответствии с определение индуктивности:
UL  L
di
,
dt
(3.2в)
Из (3.2) следует::
d2U
C
U

LC
L
2 ,
dt
dU
U
С C,
R R
dt
(3.3а)
(3.3б)
Подставив (3.3) в (3.1) получаем дифференциальное уравнение второго
порядка – математическую модель RLC-контура:
2
d
U
dU
C
C
LC

RC

U

E
.
C
2
dt
dt
На
рис.
2.2
приведен
(3.4)
состоящего
RLC-контур,
из
катушки
индуктивности L=100 mH с сопротивлением R=1 Ohm и конденсатора C=1
mF, который через ключ [S] подключен к источнику напряжения Е=12 В. К
конденсатору параллельно подключен осциллограф. Справа приведена
осциллограмма
переходного
процесса
-
изменения
напряжения
на
конденсаторе при подключения контура к источнику Е=10 В.
Период собственных колебаний контура (без учета потерь):


3
T

2
LC

6
.
28
100
*
1
*
10

62
,
8
ms
,
(3.5)
Рис. 3.2 – Схема RLC-контура и осциллограмма изменения напряжения на конденсаторе Uc
при замыкании ключа S
что соответствует осциллограмме на рис. 3.2 (в одной клетке 200 ms
укладывается 3 колебания). Из осциллограммы видно, что по окончанию
переходного
процесса
на
конденсаторе
устанавливается
напряжение
Uc=E=10 В (в одной клетке 5 В)..
Приведем уравнение (3.4) к виду (2.3):
2
d
U
dU
C

E
1

K
1C

K
0

U
.
C
2
dt
dt
1

E
/
LC
,
K
1

R
/
L
,
K
0

1
/
LC
где E
.
Отсюда, подставив значения R,L,C из рис.3.2 имеем:
(3.5)
E
1

100
kV
,
K
1

10
V
/
V
,
K
0

10
kV
/
V
.
Как следует из (3.5) модель колебательного контура должна содержать
сумматор, источник возмущающего сигнала U0, два масштабирующих блока
(усилителя) K0,1 и два интегратора. На рис.3.3 приведена модель RLCконтура
и
результаты
моделирования
-
осциллограмма
изменения
напряжения на конденсаторе Uc при замкнутом ключе S.
Сравнение осциллограмм рис. 3.2 и 3.3 показывают, что форма и
амплитуда сигналов на емкости конденсатора С колебательного контура и на
выходе его модели совпадают.
Рис. 3.3 – Модель RLC-контура и осциллограмма изменения напряжения на конденсаторе
Uc при замкнутом ключе S
Из рис. 3.4 видно также, что период затухающих колебаний
колебательного переходного процесса равен Т=Т2-Т1=257.5598/4=64.39 ms,
что немного больше, чем расчет Т по формуле (3.5). Это вызвано тем, что
наличие потерь увеличивает период колебаний.
Рис. 3.4 – Использование визирных линий и индикаторных окошек для определение
длительности 4 периодов колебаний
На
рис.
3.5
приведена
фазовая
характеристика
RLC-контура
–
скручивающаяся логарифмическая спираль. По вертикале (канал А) отложена
dUc/dt, по горизонтали (канал В) значение Uc
Отсюда следует, что
Рис. 3.5 – Фазовая характеристика контура – скручивающаяся логарифмическая спираль
Выполнение работы
L=100 мГн, R=1 Ом, С=1 мФ, Е=10 В
Период собственных колебаний контура (без учета потерь):
Т=2π√LC= 6,28*√100 ∗ 10−3 ∗ 1 ∗ 10−3 = 1,9 мс
Рис. 1- Схема RLC-контура и осциллограмма изменения напряжения на конденсаторе Uc при
замыкании ключа S
Период собственных колебаний контура (с учетом потерь):
T=2,14 мс
E1 = E/LC =
K1 = R/L =
10
100∗10−3 ∗1∗10−3
1
100∗10−3
K0 = 1/LC =
= 100000 кВ
= 10 В/В
1
100∗10−3 ∗1∗10−3
= 1000 В/В
Период затухающих колебаний колебательного переходного процесса равен
T = T2 – T1 =
8,56∗10−3
4
= 2,14 мс
Рис. 2 – Модель RLC-контура и осциллограмма изменения напряжения на конденсаторе Uc при
замкнутом ключе S
Рис. 3 – Фазовая характеристика контура – скручивающаяся логарифмическая спираль
Вывод:
В данной лабораторной работе работа заключается в построении RLC
контура, построении модели, расчет периода колебаний и сравнение с
осциллограммой.
Исходя из расчетов и измерений получены:
Измерение периода из осциллограммы
Т=2,8320мc
Расчет по формуле Т=2,8мс
Использование визирных линий и индикаторных окошек для определения
длительности 3 периодов и расчет периода.
Т=2,96мс
Период затухающих колебаний колебательного переходного процесса
равен Т=Т2-Т1=2,96мс ms, что немного больше, чем расчет Т по формуле .
Это вызвано тем, что наличие потерь увеличивает период колебаний