Расчетная работа - Кафедра высшей математики СГАУ

Расчетная работа
Приближенное решение дифференциального уравнения
Образец
Решить задачу Коши
y '  x2  y 2 , y(0)  0,5; x [0, 1]
а) усовершенствованным методом Эйлера; число шагов n  20 ; вычисления выполнять с точностью до 0,0001;
б) методом разложения в ряд Тейлора; найти четыре члена ряда (с учетом нулевых).
Построить графики найденных решений. Указать отрезок, на котором эти решения отличаются не более чем на 0,1.
Решение. а) Согласно методу Эйлера, приближенное решение задачи Коши
y '  f ( x, y ), y ( x0 )  y0
находят по формулам
yi 1  yi  yiэ ,
Здесь функция
f
(то есть производная
где
yiэ  fi x, fi  f  xi , yi  , i  0, 1, 2, 3, ...
y ' искомой функции)
вычисляется в левой граничной точке отрезка
Существуют различные пути улучшения этого метода. Согласно одному из них, вычислив
приращение
yi  f
1 x, где
i
2
f
1
i
2
y 
x

 f  xi + , yi + iэ  
2
2 

[ xi , xi 1 ] .
yiэ ,
находят уточненное
f
(то есть производной
значение функции
y ' ) в середине отрезка [ xi , xi 1 ] . Затем вычисляют приближенное значение искомой функции y( x) :
yi 1  yi  yi . Данный способ решения задачи Коши называется усовершенствованным методом Эйлера. Это метод
второго порядка точности.
Решение усовершенствованным методом Эйлера приведено в таблице, график искомой функции – на рисунке.
.
i
xi
yi
fi
yiэ
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0,55
0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
1
0,5
0,5128
0,5266
0,5416
0,5583
0,5769
0,5979
0,6217
0,6489
0,6799
0,7154
0,7562
0,803
0,8568
0,9188
0,9904
1,0734
1,17
1,283
1,4161
1,5745
0,25
0,2655
0,2873
0,3159
0,3517
0,3953
0,4475
0,509
0,581
0,6648
0,7619
0,8743
1,0048
1,1566
1,3343
1,5435
1,7922
2,0913
2,456
2,9078
3,4789
0,0125
0,0133
0,0144
0,0158
0,0176
0,0198
0,0224
0,0255
0,0291
0,0332
0,0381
0,0437
0,0502
0,0578
0,0667
0,0772
0,0896
0,1046
0,1228
0,1454
0,1739
б) Искомую функцию
y( x)
xi 
y
x
yi  iэ
2
2
0,025
0,075
0,125
0,175
0,225
0,275
0,325
0,375
0,425
0,475
0,525
0,575
0,625
0,675
0,725
0,775
0,825
0,875
0,925
0,975
1,025
0,5062
0,5194
0,5338
0,5495
0,5670
0,5867
0,6090
0,6344
0,6634
0,6965
0,7344
0,7780
0,8281
0,8857
0,9521
1,0290
1,1182
1,2222
1,3443
1,4888
1,6614
f
i
1
2
0,2569
0,2755
0,3006
0,3326
0,3722
0,4199
0,4766
0,5431
0,6207
0,7108
0,8151
0,936
1,0764
1,2402
1,4323
1,6595
1,9311
2,2595
2,6629
3,1671
3,811
yi
yiT
0,0128
0,0138
0,015
0,0166
0,0186
0,021
0,0238
0,0272
0,031
0,0355
0,0408
0,0468
0,0538
0,062
0,0716
0,083
0,0966
0,113
0,1331
0,1584
0,1905
0,5
0,5129
0,5266
0,5416
0,5582
0,5765
0,5969
0,6198
0,6453
0,6739
0,7057
0,7412
0,7805
0,824
0,872
0,9248
0,9827
1,0459
1,1148
1,1897
1,2708
x0  0 , то есть рядом Маклорена
y '(0)
y ''(0) 2 y '''(0) 3
y ( x )  y (0) 
x
x 
x  ...
1!
2!
3!
представим степенным рядом на окрестности точки
(см. на об.)
По условию, y '  x  y . Последовательно дифференцируя обе части этого равенства по
производные второго и третьего порядка:
2
2
x,
найдем
y ''  2 x  2 y  y ' , y '''  2  2( y ')2  2 y  y '' .
Так как
y (0) 
1
,
2
то
2
2
1
1 1 19
1 1 1
1
1
y '(0)  0     , y ''(0)  2  0  2    , y '''(0)  2  2     2   
4
2 4 8
2 4 4
2
4
2
и
1 1 x 1 x 2 19 x 3
1 1
1
19



 ... или y ( x )   x  x 2  x 3  ...
2 4 1! 4 2! 8 3!
2 4
8
48
Значения этой функции в точках xi обозначены yiT и приведены в таблице, график решения – на рисунке.
данным таблицы, yi  yiT  0,1 на отрезке [0; 0,8] .
y( x) 
Согласно
y
1,50
1,25
1,00
0,75
0,50
0
0,25
0,75
0,50
x
Рис. Интегральные кривые
разложение в ряд ;
усовершенствованный метод Эйлера
Замечания. 1. Правила оформления рисунков см. на стр. 11 брошюры «Методы математического анализа.
Методические указания к курсовой работе по математике», составитель Ю.Л. Файницкий, СГАУ, 2006. Брошюра имеется в
библиотеке СГАУ и на сайте кафедры высшей математики.
2. Дополнительные материалы для подготовки на «отлично» в третьем семестре см. в пунктах 1.3, 3.1, 3.2, 4.2, 4.3,5.2
учебного пособия Ю.Л. Файницкого и Е.А. Денискиной «Специальные разделы высшей математики. Задачи для
самостоятельного изучения. Методические разработки практических занятий», СГАУ, 2007. Также имеется в библиотеке
СГАУ и на сайте кафедры высшей математики.