Математика_1631

Министерство образования и науки Российской Федерации.
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
“Ивановский государственный энергетический университет имени В. И. Ленина”
Кафедра высшей математики
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ФЗВО
(2 курс)
Иваново 2004
3
Составители Б.Ф. Сковорода,
В.В. Астраханцев,
Л. Н. Соснина
Редактор
В. И. Варламов
Методические указания содержат 4 контрольные работы по высшей
математике для студентов 2 курса заочного факультета ИГЭУ:
3 семестр – контрольные работы № 5 и 6,
4 семестр – контрольные работы № 7 и 8.
Приводятся программа по курсу высшей математики для 3 и 4 семестров
и указания к выполнению контрольных работ № 5 − 8.
Утверждены цикловой методической комиссией ИВТФ.
Рецензент
кафедра высшей математики Ивановского государственного энергетического
университета.
Уважаемые студенты !
В каждой контрольной работе вам нужно решить задачи, последняя
цифра номера которых совпадает с последней цифрой вашего шифра. Так,
например, если ваш шифр оканчивается цифрой 3, то в контрольной работе №5
вам нужно решить задачи № 223, 233, 243, 253, 263 и 273.
4
Программа по высшей математике для ФЗВО (3, 4 семестры)
Функции нескольких переменных
Понятие функции нескольких переменных. Область определения. График
функции двух переменных. Линии и поверхности уровня. Предел и
непрерывность. Частные производные.
Полное приращение и полный дифференциал функции нескольких
переменных. Понятие дифференцируемости функции нескольких переменных.
Достаточные условия дифференцируемости. Применение дифференциала в
приближенных вычислениях. Теорема о производной сложной функции.
Теорема об инвариантности полного дифференциала. Частные производные и
дифференциалы высших порядков. Уравнения касательной плоскости и
нормали к поверхности z  f ( x, y ) и F ( x, y, z )  0 .
Градиент и производная по направлению. Градиент как направление
наискорейшего роста функции. Неявные функции и их дифференцирование.
Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие
экстремума. Достаточное условие экстремума. Условный экстремум.
Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой
области.
Дифференциальные уравнения
Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Задача Коши.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными,
однородные, линейные, Бернулли. Дифференциальные уравнения высших
порядков. Задача Коши, формулировка теоремы существования и
единственности решения задачи Коши. Дифференциальные уравнения,
допускающие понижение порядка. Численные методы решения задачи Коши
для обыкновенных дифференциальных уравнений: методы Эйлера и РунгеКутта.
Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка. Понятия
фундаментальной системы решений и определителя Вронского. Теорема о
структуре общего решения линейного однородного дифференциального
уравнения.
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами. Характеристическое уравнение. Формулы для общего
решения однородного линейного дифференциального уравнения второго
порядка.
Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного
решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Принцип
наложения частных решений.
5
Системы дифференциальных уравнений. Теорема существования и
единственности решения задачи Коши для нормальной системы. Системы
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Операционное исчисление
Преобразование Лапласа. Свойства и таблица изображений. Нахождение
изображения по оригиналу и оригинала по изображению. Решение линейных
дифференциальных уравнений и систем операционным методом.
Ряды
Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Гармонический ряд. Ряд,
члены которого образуют геометрическую прогрессию. Необходимый признак
сходимости ряда. Достаточные признаки: признак сравнения, интегральный
признак Коши, признак Даламбера.
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак
Лейбница.
Интервал сходимости степенного ряда и его нахождение. Свойства
степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена. Ряд Маклорена для функций

y  sin x , y  cos x , y  e x , y  ln 1  x  и y  1  x  , где   R .
Разложение периодической функции в ряд Фурье. Случай четной и
нечетной функции.
Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы,
векторный анализ
Двойные и тройные интегралы. Определение и геометрический смысл.
Вычисление в декартовых, полярных и цилиндрических координатах.
Криволинейный интеграл по плоской и пространственной кривой.
Определение и вычисление. Формула Грина.
Поток векторного поля через поверхность. Определение и вычисление.
Формулы Стокса и Остроградского.
Потенциальные поля. Нахождение потенциала.
Теория вероятностей
Случайные события. Классическое и статистическое определение
вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная
вероятность. Формулы полной вероятности и Байеса. Случайные величины.
Закон распределения дискретной случайной величины. Функция распределения
случайной величины и ее свойства. Биномиальное, равномерное, нормальное
распределение. Числовые характеристики случайных величин. Предельная
теорема Муавра-Лапласа и теорема Пуассона.
6
Контрольная работа №5
Функции нескольких переменных
221 – 230. Написать уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к
данной поверхности S в точке M 0 .
221. S : x 2  3 y 2  4 z 2  16;
M 0 (2; 4; 3) .
222. S : 2 x 2  3z 2  6 y;
M 0 (3; 5;  2) .
223. S : x 2  2 y 2  3z 2  11z;
M 0 (2;  1; 3) .
224. S : 3x 2  2 y 2  5z;
M 0 (4;  3; 6) .
225. S : 2 x 2  3 y 2  z 2  x  1;
M 0 (5; 4;  2) .
z2
226. S: 3x  y   9 x;
2
M 0 (1;  2; 2) .
227. S: 3x 2  4 y 2  8 z  0;
M 0 (2;  1;  2) .
228. S : 2 x 2  5z 2  3 y 2  1;
M 0 (2; 1; 2) .
229. S : x 2  y 2  z 2  5x  3z;
M 0 (4;  2; 3) .
230. S : 3y 2  4 z 2  ( x  3) 2 ;
M 0 (1; 2; 1) .
2
2
231 – 240. Найти экстремумы функции.
1
231. z  x 2 y  y 3  4 x  5 y  1 .
3
233. z 
232. z  x3  xy 2  6 x 2  y 2 .
2 4
  xy .
x y
234. z  x2  2 x y  2 x  2 y .
235. z   y  x  e .
236. z  x3  xy 2  21x  12 y  2 .
237. z  x 2 y  y 3  x 2  6y 2 .
238. z 
239. z  2 x y  y 2  3x  8 y .
240. z  x 2  6 y  e 3 .
2
x
2
8 1
  xy .
x y
y
7
241 − 250. Найти градиент функции z  f ( x, y ) в точке А и производную этой
функции в направлении вектора AB в точке А. Постройте линию
уровня функции z  f ( x, y ) , проходящую через точку А, и
найденный градиент с началом в точке А.
x2
241. z    y 2 ,
4
A(3; 2) ,
B(6 ;  2) .
242. z  arcsin ( xy ) ,
A(1; 0,6) ,
B(3; 3,6) .
A(2; 2) ,
B(1; 6) .
244. z  ln( 2 x  3 y) ,
A(2; 1) ,
B(9;  23) .
245. z  5arctg  xy  ,
A(1; 2) ,
B(2;  2) .
y2
246. z  x 
,
x
A(1; 2) ,
B(4;  2) .
y2
247. z  4 x 
,
x
A(2 ;  2) ,
B(5; 2) .
x2  y2
248. z 
,
x  2y
A(2 ; 0) ,
B(5; 24) .
x2
249. z  4 y  ,
y
A(2; 2) ,
B(1;  2) .
x2
250. z  y  ,
y
A(2 ; 1) ,
B(6 ; 4) .
243. z 
x2
,
y
Операционное исчисление
251 − 260. Найти изображение данного оригинала.
251. а)
2t  3e ,
252. а)
3t  2e
t
2 t
,
б)
sin 3t  2 cos 3t e
б)
sin 2t  3cos2t e ,
2 t
t
6
,
в) t sin 2t .
в) sin t  cos2t .
253. а)
t  2e ,
254. а)
4t  1e
3 t
255. а)
2t  1e
2t
256. а)
3t  5e
257. а)
4t  3e
3t
258. а)
5t  4e
2 t
259. а)
2t  5e
4t
260. а)
2t  3e
3t
б)
sin 4t  2 cos4t e
б)
sin 3t  4 cos3t e
,
б)
3sin 2t  2 cos2t e
t
,
б)
2 sin 4t  3 cos 4t e
3t
,
б)
4sin 3t  cos3t e
t
б)
sin 2t  3 cos 2t e
4t
б)
2sin 3t  5cos3t e
t
t
,
,
,
,
3t
2t
в) t cos 3t .
,
в) sin t  sin 2t .
,
,
в) t 2sh2t .
,
в) cost  cos2t .
,
в) t 2ch4t .
,
в) sht  cos2t .
4 t
в) t 3sh3t .
,
б)  sin 4t  2 cos 4t e 2t ,
в) ch2t  sin 3t .
261 − 270. Найти оригинал по заданному изображению.
261. а)
2p 1
,
9 p 2  12 p  4
б)
3p  2
,
p 2  4 p  13
в)
p3
.
2 p2  3 p  2
262. а)
3p 1
,
p  4p  4
б)
2p 1
,
p  4 p  13
в)
2p 1
.
3p  4 p 1
263. а)
4p  3
,
p  6p  9
б)
4 p 1
,
p  6 p  13
в)
2p 1
.
3p  8p  4
264. а)
2p  3
,
4 p  12 p  9
б)
3p 1
,
p  8 p  25
в)
3p  2
.
4p  7p  3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
265. а)
3p  2
,
p  4p  4
б)
4p  3
,
p  2p  5
в)
3p 1
.
5p  8p  3
266. а)
4 p 1
,
p  6p  9
б)
2p  5
,
p  4 p  29
в)
5p  2
.
2 p2  p  1
267. а)
3p  2
,
4 p2  4 p  1
б)
3p 1
,
p  8 p  20
в)
3p  5
.
3p  7 p  2
2
2
2
2
2
7
2
2
268. а)
4p  3
,
9p  6p 1
б)
5p  3
,
p  6 p  25
в)
4p  7
.
4 p  11 p  6
269. а)
2 p 1
,
4p  4p 1
б)
4p  5
,
p  2 p  17
в)
5p  2
.
10 p 2  11 p  3
270. а)
3p 1
,
9 p2  6 p  1
б)
2p  3
,
p 2  4 p  20
в)
p2
.
3 p2  5 p  2
2
2
2
2
2
271 − 280. Используя операционное исчисление, решить задачу Коши.
271. а) 2 y  y  2tet ,
б) y  2 y  5 y  e 2t ,
y(0)  2 ,
y (0)  1,2 , y (0)  0,4 .
272. а) y  2 y  et cos 2t ,
б) y  y  2 y  3et ,
y(0)  0,8 ,
y (0)  1 , y (0)  2 .
273. а) y  2 y  3t 5e2t ,
б) y  6 y  13 y  e2t ,
y(0)  0,5 ,
y (0)  0,8 , y (0)  1,6 .
274. а) y  2 y  e3t sin 2t ,
б) y  4 y  3 y  2e t ,
y(0)  0,6 ,
y (0)  3 , y (0)  1 .
275. а) 3 y  y  6te t ,
б) y  2 y  5 y  3e2t ,
y(0)  2,5 ,
y (0)  1 , y (0)  0,4 .
276. а) y  2 y  et sin 2t ,
б) y  3 y  2 y  e2t ,
y(0)  0,6 ,
y (0)  3 , y (0)  1 .
277. а) y  3 y  t 4e3t ,
б) y  6 y  13 y  2e2t ,
y(0)  2 ,
y (0)  1,4 , y (0)  0,2 .
278. а) y  2 y  e3t cos 2t ,
б) y  y  12 y  7e4t ,
y(0)  1,2 ,
y (0)  2 , y (0)  2 .
279. а) 2 y  y  2te t ,
б) y  2 y  10 y  e2t ,
y(0)  1 ,
y (0)  1,1, y (0)  0,6 .
280. а) y  2 y  et sin 3t ,
б) y  3 y  4 y  5et ,
y(0)  0,7 ,
y (0)  2 , y (0)  1 .
8
Контрольная работа №6
Дифференциальные уравнения
281 − 290. Найти решение задачи Коши.
x
 1y  2 xy 2  0 ,
y (0)  1 .
282. y  x 2  y 2 dx  xdy  0 ,

1
y   0 .
2
283. y  6 x  3 y 2 ,
y 1  8 .
284. x 2  1y  4 xy  3 ,
y(0)  1.
285. 1  y  e y ,
y(0)  ln 2 .
286. x  y  y  3x 2 ,
y 2   3 .
281.
2

287. x  1 dy  2 y  2 dx  0 ,
y(0)  3 .
288. xy   y ln y  ln x  ,
y1  e 2 .
289. y dx  ctg x dy  0 ,
2
 
y  
.
4 2
290. xy  y  x  1e x ,
y 1  e .
3
2
291 − 300. Найти общее решение дифференциального уравнения.
291. x5 y  x 4 y  1 .
292. y   y .
293. y  x ln x  y  .
294. x 3 y  2 x 2 y  4 .
295.  x  1 y   y   x  1 .
2
296. xy  y   y .
297. 1  sin x  y   2 y  cos x .
298. (1  x 2 ) y  2 xy  x 2 .
299. y  
2
300. 1  x 2 y  xy .
ex
y   e x  1 .
x
e 1
9
301 − 310. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения.
301. y  6 y  9 y  6 x  7  cos 3x .
302. y  2 y  y 
e x
.
x2  1
303. y  2 y  2 y  3x  7  e x .
304. y  y 
2
.
cos3 x
305. y  3 y  4 y  10 x  3e x  4x .
306. y  4 y  4 y 
2e 2 x
.
x3
307. y  3 y  e3 x  6 x .
308. y  y 
1
.
sin x
309. y  y  2e x  x 2  2 x .
310. y  3 y  2 y 
1
.
e 1
x
311 − 320. Решить задачу Коши для системы дифференциальных уравнений,
где x  xt , y  yt  − неизвестные функции.
311.
 x   x  3 y  6e t ,

t
 y   x  y  2e .
x0   1,
312.
 x  x  2 y  3t  1,

 y  2 x  y  4t.
1
x0  ,
5
313.
 x  2 x  5 y  5e 2 t ,

2t
 y    x  2 y  5e .
x0  1,
10
y 0   1 .
y0 
2
.
5
y0  2 .
314.
 x  2 x  y,

 y  2 x  4.
x0  4 ,
315.
 x  y  5 cos t ,

 y  2 x  y.
x0  1,
y0  6 .
316.
 x  5 x  3 y  2e 3t ,

t
 y   x  y  5e .
x0  5 ,
y 0   2 .
317.
 x  3 x  y  4e 2 t ,

2t
 y   x  y  4e .
x0   2,
y 0  0 .
318.
 x   y  2e t ,

2
 y  x  t .
x0  1,
y 0  4 .
319.
 x  y  tg 2t  1,

 y   x  tgt.
x0  1,
y 0  0 .
320.
 x  2 x  4 y  cost ,

 y   x  2 y  sin t.
x0  0,
y0  2 .
y 0  5 .
321 − 330.
321. По закону Ньютона скорость охлаждения тела в воздухе
пропорциональна разности температур тела и воздуха. Если
температура воздуха равна 20ºС и тело за 10 мин. охлаждается от 100ºС
до 60ºС, то за какое время оно охладится от 100ºС до 25ºС ?
322. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М0 (2; 0), если для
любой точки кривой М ордината точки пересечения касательной с осью
Оу равна кубу абсциссы точки касания М.
323. Корабль замедляет свое движение под действием силы сопротивления
воды, которая пропорциональна скорости корабля. После включения
двигателя скорость корабля равна 10 м/с, его скорость через 20с − 8 м/с.
Найти скорость корабля через 1 мин. после выключения двигателя.
324. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М0 (3; -2), если для
любой точки кривой М произведение ординаты точки пересечения
касательной с осью Оу и абсциссы точки касания М равно 6.
325. Сосуд объемом 40 л содержит 80% азота и 20% кислорода. В сосуд
каждую секунду поступает 1 л кислорода и вытекает такое же
количество смеси. Через какое время в сосуде будет 95% кислорода?
11
326. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М0 (4; 0), если для
любой точки кривой М квадрат ординаты точки пересечения
касательной с осью Оу равен абсциссе точки касания М.
327. За 30 дней распалось 50% первоначального количества радиоактивного
вещества. Через какое время останется 0,1% от первоначального
количества, если скорость распада в каждый момент времени
пропорциональна количеству радиоактивного вещества.
328. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М0 (1; 5), если для
любой точки кривой М произведение ординаты точки пересечения
касательной с осью Оу и квадрата абсциссы точки касания М равно 3.
329. Количество света, поглощаемого тонким слоем воды, пропорционально
толщине слоя и количеству света, падающего на его поверхность. Если
при прохождении через слой воды толщиной 3 м поглощается половина
первоначального количества света, то какая часть этого количества
света дойдет до глубины 20 м ?
330. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М0 (5; 2,5), если для
любой точки кривой М абсцисса точки пересечения касательной с осью
Оx равна квадрату абсциссы точки касания М.
Контрольная работа №7
Ряды
331 − 340. Сходится ли числовой ряд?
331.
1
1
1
1



 ... .
1  5 3  8 5  11 7  14
332.
2 5 8 11 14
     ... .
5 9 13 17 21
333.
1
1
1
1



 ... .
ln 2 2 ln 3 3 ln 4 4 ln 5
334.
1 4 7 10 13
   
 ... .
2 4 8 16 32
335.
2n
.

n
n 1 1  3
336.
n!
 2n ! .
n2
338.  3
.
n 1 n  5



337.
n 1
2
2
1
.
 ln n

n 1


339.
n
1
.

n 1 n 
n
340.

n 1
n
n 1
2
.
341 − 350. Сходится ли знакочередующийся числовой ряд? Если сходится, то
условно или абсолютно?
12
341.
1
1
1
1



 ... .
2 ln 2 4 ln 4 6 ln 6 8 ln 8
342.
343.
1 3 5 7
9
     ... .
2 4 8 16 32
344.
345.
2 4 8 16
    ... .
1! 2! 3! 4!
346.
347. 1 
349. 1 
1
1
1
1

 
 ... .
6
11 4
21
348.
3 5 7
9
    ... .
5 9 13 17
1
1
1
1



 ... .
1  1 4  2 9  3 16  4
2 4 8 16
 
  ... .
3 9 27 81
1
1
1
1



 ... .
2
5
8
11
1 1 1
1
1
1
   

 ... .
2 5 10 17 26 37
350. 2 
5 8 11 14 17
  
  ... .
4 9 16 25 36
351 − 360. Найти область сходимости степенного ряда.
351.
x
x2
x3
x4



 ... .
2
5
8
11
352. 3x 
353. x 
9 x 2 27 x 3 81x 4


 ... .
2!
3!
4!
x2
x3
x4


 ... .
2  ln 2 3  ln 3 4  ln 4
x
x2
x3
x4
354. 


 ... .
2 4  2 9  3 16  4
x
x2
x3
x4
355. 


 ... .
2 4 2 8 3 16 4
x x2 x3 x4


 ... .
356. 
3 9 27 81
357.
x 2 x 4 x 6 x 8 x10


 
 ... .
2
4
8 16 32
9 x 2 27 x 3 81x 4


 ... .
358. 3x 
4
9
16
13
359. x 
360.
4 x 2 7 x 3 10 x 4


 ... .
2!
3!
4!
x
x3
x5
x7



 ... .
3 2  9 3  27 4  81
a
361 − 370. Представить определенный интеграл
 f  x dx числовым рядом.
0
x2

2
x2
3
a2 .
362. f x   e
363. f x   sin x 2  ,
a 3 .
364. f x   sin x 3  ,
a4 .
365. f x  cosx 3  ,
a2 .
366. f x   cosx 2  ,
a2 .
367. f x   ln 1  x 4  ,
1
a .
2
1
a .
3
368. f x   ln 1  x 3  , a 
361. f  x   e
,
369. f x   1  x 3 ,
370. f x  
a 3 .
,
1
1 x
3
,
1
.
3
1
a .
2
371 − 380. Разложить периодическую функцию f(x) с периодом Т в ряд Фурье.
 1,  1  x  0,
371. f ( x)  
 x, 0  x  1 ;
T  2.
372. f ( x)  cos x, 0  x   ;
T  .


0
,

 x  0,

2
373. f ( x)  

sin x,
0 x ;

2
T  .
 x 2 ,  1  x  0,
374. f ( x)   2
0  x  1;
 x ,
T  2.
 x  1,  1  x  0,
375. f ( x)  
0  x  1;
1,
T  2.
376. f ( x)  1  2 x, 0  x  1 ;
T  1.
14
377. f ( x)  sin x, 0  x   ;
T  .
0,  1  x  0,
378. f ( x)  
 x, 0  x  1;
T  2.
379. f ( x)  1  x 2 , x  1;
T  2.
380. f ( x)  x , 

2
x
3
;
2
T  2 .
381 − 390. С помощью двойного интеграла найти объем тела, ограниченного
данными поверхностями.
381. y  x 3 ,
y  1, z  0 , z  x .
382. x2  y 2  1, z  0 , z  x , z  y
383. y  x 2 , z  0 ,
z  0 .
y  z  1.
384. x 2  y 2  1, z  0 , z  x  y , ( z  0).
385. y  x 2 , z  0 , z  x  y .
386. x 2  y 2  1,
387. y  x 3 ,
y  1, z  0 , z  x  y .
388. x 2  y 2  1,
389. y  x 2 ,
y  0 , z  0 , z  x  y , ( y  0 , z  0).
y  3x ,
z  0,
z  y , ( z  0 , y  3x) .
y  0, z  0, z  1  x.
390. x 2  y 2  1,
y  0 , z  0 , z  y  x , ( y  0 , z  0).
15
391 − 400. Вычислить криволинейный интеграл  ydx  xdy , в котором
L
замкнутый контур L − граница треугольника АВС :
а) непосредственно как криволинейный интеграл;
б) по формуле Грина.
391.
392.
393.
394.
395.
396.
397.
398.
399.
400.
A(1; 0),
A(1; 0),
A(0; -1),
A(0; -1),
A(-1; 1),
A(-1; 0),
A(-2; 0),
A(1; -1),
A(-1; 0),
A(-2; 0),
B(3; 2),
B(3; 1),
B(1; 0),
B(2; 0;),
B(2; 0),
B(2; -1),
B(1; 1),
B(2; 2),
B(2; -1),
B(1; -2),
C(0; 1).
C(0; 2).
C(-1; 2).
C(1; 2).
C(0; 2).
C(1; 1).
C(0; 2).
C(0; 1).
C(0; 3).
C(0; 3).
401 − 410. Является ли данное векторное поле F потенциальным? Если
является, то найдите потенциал векторного поля F .
 z 2 y 1 xz
410. F    3 ; 2  2 ;
y
y x x
xy 
y x
401. F   ; ;  2  .
z 
z z
 1

2 x
;  2 yz ;  2  y 2  .
403. F  
z
z x

1

1
405. F    xy 2 z 2 ;  x 2 yz 2 ; x 2 y 2 z  .
y
x

xi  y j  z k
.
x2  y2  z 2
z 2 2 yz 
 yz 2
409. F    2  2 x ; ;
.
x x 
 x
407. F 
1

x
402. F   ; z 2  2 ; 2 yz  .
y
y

2
2
 y z 2 yz y 
404. F    2 ;
; .
x x 
 x
406. F 
xi  y j  z k
x2  y2  z2
 y 1
 ;
408. F  
x
z

.
x
x
;  2  .
y
z 
16
x
.
y 
Контрольная работа №8
Теория вероятностей
411 − 420. Классическое и геометрическое определение вероятности.
411. Пятнадцать команд случайным образом разбивают на три группы по
пять команд в каждой. Найти вероятность того, что две сильнейшие
команды окажутся в одной группе.
412. В квадрате со стороной, равной 5 см, наугад выбирается точка. Найти
вероятность того, что расстояние от выбранной точки до ближайшей
стороны квадрата будет не больше 1 см.
413. В двенадцати папках лежат четыре рукописи (каждая рукопись в трех
папках). Наугад взяли пять папок. Найти вероятность того, что три из
них содержат некоторую рукопись.
414. В треугольнике с вершинами А(3; 0), В(3; 3), С(0; 3) наугад выбирается
точка. Найти вероятность того, что наименьшая из координат
выбранной точки не превосходит 1.
415. В ящике двенадцать деталей, из которых восемь окрашенных. Найти
вероятность того, что из пяти наугад взятых деталей три детали
окрашенные.
416. В квадрате ABCD со стороной, равной 6 см, наугад выбирается точка.
Найти вероятность того, что расстояние от выбранной точки до
диагонали квадрата АС не больше 2 см.
417. Номер автомобиля имеет четыре цифры. Что вероятнее: случайно
выбранный номер имеет три одинаковые цифры или две пары
одинаковых цифр?
418. В треугольнике с вершинами А(3;0), В(3; 3) и С(0; 3) наугад выбирается
точка. Найти вероятность того, что наибольшая из координат
выбранной точки не превосходит 2.
419. В квадратной матрице n-ого порядка, где n  2 , наугад выбирают два
элемента. Найти вероятность того, что выбранные элементы не
принадлежат одной строке или одному столбцу.
420. В кубе со стороной, равной 2 см, наугад выбрана точка. Найти
вероятность того, что расстояние от центра куба до выбранной точки не
более 1см.
421 − 430. Формулы сложения и умножения вероятностей. Формула полной
вероятности и формула Байеса.
421. Два стрелка делают по два выстрела (каждый по своей мишени).
Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого
стрелка равна 0,8 , а для второго − 0,7. Найти вероятность того, что
число попаданий у первого стрелка больше, чем у второго.
422. В первом ящике 6 окрашенных и 8 неокрашенных деталей, во втором −
5 окрашенных и 3 неокрашенных. Из первого ящика наугад берут три
детали, а из второго − две детали. Затем из взятых пяти деталей наугад
берут одну. Найти вероятность того, что взятая деталь окрашенная.
423. В пункте проката пять телевизоров фирмы М и четыре телевизора
фирмы С. Телевизор фирмы М безотказно работает в течение года с
вероятностью 0,9 , а телевизор фирмы С − с вероятностью 0,6 . Взятый
наугад телевизор безотказно работает в течение года. Найти
вероятность того, что это телевизор фирмы М.
424. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры
наугад берут три мяча, после игры их кладут обратно. Найти
вероятность того, что после трех игр в коробке не останется новых
мячей.
425. В первом ящике 4 черных и 5 белых шаров, во втором − 5 черных и 6
белых. Из наугад выбранного ящика наугад взяли три шара. Найти
вероятность того, что только один из взятых шаров черный.
426. В ящике три арбуза совхоза “Луч” и семь арбузов совхоза “Победа”.
Каждый арбуз совхоза “Луч” спелый с вероятностью 0,9 , а арбуз
совхоза “Победа” − с вероятностью 0,6. Наугад взятый арбуз оказался
спелым. Найти вероятность того, что это арбуз совхоза “Луч”.
427. Стрелок стреляет в мишень до второго попадания. Найти вероятность
того, что будет сделано три выстрела, если вероятность попадания в
мишень при одном выстреле равна 0,7.
428. В пункте проката шесть телевизоров фирмы М и пять телевизоров
фирмы С. Телевизор фирмы М безотказно работает в течение года с
вероятностью 0,9 , а телевизор фирмы С − с вероятностью 0,7 . Найти
вероятность того, что наугад взятый телевизор будет безотказно
работать в течение года.
429. Имеются три игральные кости, причем у одной из них 6 очков на двух
гранях, а две другие кости обычные. Наугад выбранную кость бросают
два раза, и оба раза выпадает 6 очков. Найти вероятность того, что была
выбрана игральная кость, у которой 6 очков на двух гранях.
430. Вероятность ошибки при одном измерении равна 0,4. Сделано три
независимых измерения. Найти вероятность того, что сделано не более
одной ошибки.
431 − 440. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики.
431. На шести карточках написаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Случайная величина
Х − наименьшее число из чисел, написанных на трех наугад выбранных
карточках. Найти математическое ожидание случайной величины Х.
19
432. В урне два белых и четыре черных шара. Из урны без возвращения
берут по два шара до появления хотя бы одного белого шара. Найти
математическое ожидание числа взятых шаров.
433. У стрелка три патрона. Стрелок стреляет в мишень до первого
попадания. Пусть случайная величина Х – число сделанных выстрелов.
Найти математическое ожидание случайной величины Х, если при
каждом выстреле стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,7.
434. В урне пять шаров, пронумерованных числами 1, 2, 3, 4, 5. Из урны
наугад берут два шара. Случайная величина Х – модуль разности
номеров взятых шаров. Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины Х.
435. В кошельке шесть монет по 5 рублей и четыре монеты по 2 рубля.
Наугад взяли три монеты. Найти математическое ожидание взятой
суммы.
436. Семь карточек пронумерованы числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Случайная
величина Х – наибольший номер карточки, из четырех наугад
выбранных. Найти математическое ожидание случайной величины Х.
437. В урне четыре белых и три черных шара. Из урны без возвращения
берут по одному шару до появления белого шара. Пусть случайная
величина Х – число взятых шаров. Найти математическое ожидание и
среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.
438. На двух гранях кубика написано число 5, а на остальных – число 2.
Кубик бросили четыре раза. Найти математическое ожидание и
дисперсию суммы выпавших чисел.
439. Два стрелка по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания
стрелков в мишень равны 0,8 и 0,6. Найти математическое ожидание и
дисперсию числа попаданий в мишень.
440. У продавца восемь арбузов, из которых шесть спелых. Покупатели
наугад купили три арбуза. Пусть случайная величина Х – количество
спелых арбузов, оставшихся у продавца. Найти математическое
ожидание случайной величины Х.
441 – 450. Дана плотность распределения f(x) случайной величины Х. Найти
неизвестный параметр с, а также функцию распределения,
медиану, математическое ожидание и дисперсию случайной
величины Х.
441.
x   3; 0 ,
 2 xc,
 27
f ( x)  c ,
0 ,

x  0; 3 ,
x 3 .
20
442.
443.
444.
445.
446.
447.
448.
449.
450.
0,4 ,

f ( x)  0,41  x ,
0 ,

x   2; 0 ,
x  2
 9 ,

f ( x)  c( x  7) ,
0 ,

0,1x  0,5 ,

f ( x)  0,5 ,
0 ,

3c ,

f ( x)  c3  x  ,
0 ,

x
 36  c ,

f ( x)  c (1  x) ,
0 ,

c( x  4),

f ( x)  4c ,
0,

c ,

x
f ( x)  c  ,
6

0
,

 2  x  1 ,
 3
f ( x)   2 ,
3
0 ,

x   2; 0 ,
x
12  c ,

f ( x)  c ,
0 ,

x   4; 0 ,
x  0; c  ,
x  2 или x  c .
x  0; 7 ,
x  2 или x  7 .
x   2; 0 ,
x  0; c  ,
x  2 или x  c .
x   1; 0 ,
x  0; 3 ,
x  1 или x  3 .
x   8; 0 ,
x  0; 1 ,
x  8 или x  1 .
x   4; 0 ,
x  0; 2 ,
x  4 или x  2 .
x   2; 0 ,
x  0; 2 ,
x 2 .
x  с; 0 ,
x  0; 1 ,
x  с или x  1 .
x  0; 1 ,
x  4 или x  1 .
451 – 460. Предельные теоремы для биномиального распределения: теоремы
Муавра-Лапласа и теорема Пуассона.
21
451. В парке посадили 400 деревьев. Каждое дерево приживается с
вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что: а) приживается более
365 деревьев; б) приживается от 351 до 374 деревьев.
452. Игральная кость брошена 180 раз. Найти вероятность того, что шесть
очков выпадут 31 раз.
453. По каналу связи передается текст, содержащий 1000 знаков. Каждый
знак независимо от остальных с вероятностью 0,001 может быть принят
неправильно. Найти вероятность того, что будут неправильно приняты:
а) 3 знака, б) менее трех знаков, в) более трех знаков.
454. Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы с вероятностью
0,95 частота выпадения шести очков отличалась от 1 менее, чем на
6
0,01.
455. В парке посадили 800 деревьев. Предположим, что каждое дерево
приживается с вероятностью 0,8 , т.е. в среднем должно прижиться 640
деревьев. Найти вероятность того, что приживется ровно 640 деревьев.
456. Электронное устройство содержит 10000 одинаковых элементов.
Каждый элемент независимо от других может выйти из строя за время t
с вероятностью 0,0002. Найти вероятность того, что за время t выйдут
из строя: а) 5 элементов, б) меньше 5 элементов, в) больше 5
элементов.
457. Сколько раз нужно подбросить монету, чтобы с вероятностью 0,9
частота выпадения орла отличалась от 1 меньше, чем на 0,02.
2
458. В магазин привезли 1000 бутылок минеральной воды “Боржоми” При
перевозке бутылка может разбиться с вероятностью 0,003. Найти
вероятность того, что при перевозке разобьются: а) четыре
бутылки, б) меньше четырех бутылок, в) больше четырех бутылок.
459. Стрелок стреляет в мишень 475 раз. Вероятность попадания в мишень
при одном выстреле равна 0,95. Найти вероятность того, что стрелок
попадет в мишень: а)460 раз, б) не менее 460 раз.
460. Банк выдал кредит размером 1000 у.е. каждому из 400 клиентов на один
год под 15% годовых. Вероятность невозврата кредита каждым из
клиентов равна 0,1. Какой доход гарантирован банку: а) с вероятностью
0,95 , б) с вероятностью 0,9?
22
Методические указания к выполнению контрольных работ
Контрольная работа №5
К задачам 221 − 230.
Если поверхность S задана уравнением F ( x, y, z )  0 , то уравнение
касательной плоскости к поверхности S в точке M 0 x0 ; y0 ; z 0  , имеет вид
A x  x0   B y  y 0   C  z  z 0   0 ,
где A 
F
 x
, B
M0
F
 y
, C
M0
F
 z
– частные производные
M0
функции F ( x, y, z ) по переменным x, y, z , вычисленные в точке касания M 0 .
При вычислении частной производной, например, по переменной x , остальные
переменные ( y и z ) считаются фиксированными (постоянными).
Нормалью к поверхности S в точке M0 называется прямая,
проходящая через точку M0 и перпендикулярная касательной плоскости к
поверхности S в точке M0 .
Из определения нормали следует, что нормальный вектор N = (A;B;C)
касательной
плоскости
будет
направляющим
вектором
нормали.
Следовательно, канонические уравнения нормали к поверхности S в точке M0
будут иметь вид
x  x0 y  y 0 z  z 0
.


A
B
C
Пример. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к
поверхности x 2  y 2  ( z  1) 2  35 в точке M 0 5;3;0 .
Решение.
Запишем
уравнение
поверхности
в
виде
2
2
2
2
2
x  y  ( z  1)  35  0 . Тогда F ( x, y, z)  x  y  ( z  1)  35 . Вычисляем
частные производные от этой функции в точке M 0 :
2
 F
 2x ,
 x
A
F
 x
 10 ,
M0
F
 2y ,
y
B
 F
 y
F
 2( z  1) ;
z
 6 ,
C
M0
Искомое уравнение касательной плоскости
10( x  5)  6( y  3)  2 z  0 или 5x  3 y  z  34 .
23
 F
z
 2 .
M0
запишется
в
виде
Нормаль перпендикулярна касательной плоскости. Следовательно,
нормальный вектор N =(−5;3;−1) касательной плоскости будет направляющим
вектором нормали. Канонические уравнения нормали будут иметь вид
x5 y 3 z
.


5
 3 1
Ответ: 5x  3 y  z  34 – уравнение касательной плоскости,
x5 y 3 z
– уравнения нормали.


5
3
1
К задачам 231 – 240.
Для нахождения экстремумов функции z =f (x,y) сначала нужно найти
стационарные точки этой функции, в которых частные производные функции
z =f (x,y) равны нулю. Для этого нужно решить систему уравнений:
 z x/  0 ,
(1)
 /
z

0
.
y

Условие (1) является необходимым условием экстремума, но оно не
является достаточным, т.е. в стационарной точке экстремума может и не быть.
Рассмотрим достаточное условие экстремума. Пусть точка M0 –
стационарная точка функции z=f (x,y), которая имеет непрерывные частные
производные второго порядка на некоторой окрестности точки M0,
A  z x// M 0 , B  z xy// M 0 , C  z y// M 0  и
2

2
A B
– определитель второго порядка.
B C
Если >0, то экстремум в точке M0 есть, при этом M0 – точка минимума
при A>0 и M0 – точка максимума при A<0. Если <0, то экстремума в точке M0
нет.
При =0 требуются дополнительные исследования функции в
окрестности точки M0, мы не будем рассматривать этот случай.
Пример. Найти экстремумы функции z = x3 + y3 – 6xy.
Решение. Найдем стационарные точки данной функции. Для этого
находим частные производные функции z = x3 + y3 – 6xy, приравниваем их к
нулю и решаем полученную систему уравнений.
z x  3x 2  6 y , z y  3 y 2  6 x .
 z x  0 ,
 
z y  0;
3 x 2  6 y  0 ,
 2
3 y  6 x  0 ;
x 2  2 y  0,
 2
 y  2x  0;
24
x2

y

,

2
 2
 x  2x  0;
 4
x2

y  ,
2

 x  0 или x  2 .
Получили две стационарные точки: М1(0; 0), М2(2; 2). Выясним, есть ли в
этих точках экстремумы. Находим частные производные второго порядка.



z x  3x 2  6 y x  6 x ; z xy  3x 2  6 y y  6 ; zy  3 y 2  6 x y  6 y .
2
2
1) Вычислим значения частных производных второго порядка в точке М1:
A  zx M 1   0, B  zxy M 1   6, C  zy M 1   0 .
2
2
Находим определитель Δ 
A B
B C
Δ
:
0
6
 36 .
6 0
Поскольку   0, то экстремума в точке М1 нет.
2) Вычислим значения частных производных второго порядка в точке М2.
A  zx M 2   12, B  zxy M 2   6, C  zy M 2   12 .
2
Определитель Δ 
12
2
6
 144  36  108 .
 6 12
Поскольку   0 и А  0, то М2 – точка минимума.
zmin = z(2, 2) = 8 + 8 – 24 = − 8 .
Ответ: zmin = z(2, 2) = − 8 .
К задачам 241 − 250.
Градиентом функции z  f ( x, y ) в некоторой точке A( x; y) называется
вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным
данной функции:
grad z 
 z   z   z  z 
 .
i
j  
;
 x
 y
 x  y 
Пусть из данной точки A проведен луч l , параллельный некоторому

вектору a . Производной функции z  f ( x, y ) по направлению этого луча
называется скорость изменения функции в заданном направлении, то есть
 z
z ( M )  z ( A)
 lim
.
 l MM l A,
AM
Если луч l образует с осями 0 x и 0 y углы  и  соответственно, то

cos и cos  являются координатами единичного вектора a0 , параллельного
l , и производную по направлению можно вычислить по формуле
 z
 z
  z
 grad z  a0 
cos 
cos  .
l
 x
 y
25
1 


При этом, если направление определяется вектором a  a x ; a y , то a0   a и
a
значит
ay
ax
.
cos 
,
cos


a x2  a y2
a x2  a y2
Линия уровня функции z = f(x, y) – это линия, определяемая уравнением
f(x, y) = С, где СR.
x
Пример. Дана функция z  arctg
и две точки A(2;3) и B(4;1) .
y
Найти градиент функции z в точке A и производную в точке A в
направлении вектора AB .
Решение. Вычислим частные производные в точке A :
z
1
1
y
z
3
;



;


x2 y x2  y 2
x
x A
13
1 2
y
z
1  x
x
z
2
.





;


2 
x  y 2 
y
x2  y 2
y A
13
1 2
y
2
 3
Значит, grad z A    ;   .
 13 13 
Найдем направляющие косинусы:
AB  (4  2; 1  (3))  (2;4);
cos 
2
2 5

1
;
5
AB  4  16  2 5 ;
cos  
4
2 5

2
.
5
Вычисляем по формуле производную в заданном направлении:
 z
3 1
2 2
7
.
 
 

l
13 5 13 5
13 5
Ответ: grad z
A
7
2  z
 3
  ;  ;
.

13 5
 13 13   l
26
К задачам 251 – 280.
Операционное исчисление (преобразование Лапласа)
В
операционном
исчислении
функции
f (t ) действительной
t ставится в соответствие функция
переменной
F ( p) комплексной
переменной p .
Функция f (t ) называется оригиналом, F ( p) – изображением, что обозначают
f ( t )  F ( p ) или F ( p )  f ( t ) .
Соответствие, определяемое формулой

f (t )  F ( p )   f (t )e  pt dt ,
0
называется преобразованием Лапласа.
Рассмотрим некоторые свойства преобразования Лапласа.
1) Линейность:
Af (t )  AF ( p) ,
f 1 (t )  f 2 (t )  F1 ( p)  F2 ( p) .
Постоянный множитель A сохраняется при нахождении изображения.
Изображение суммы равно сумме изображений.
2) Теорема смещения:
f (t )e t  F ( p   ) .
При умножении оригинала на показательную функцию e t в изображении
надо из аргумента p вычесть число  .
3) Дифференцирование изображения:
dF
.
f (t )  t   F ( p)  
dp
При умножении оригинала f ( t ) на t надо изображение F ( p ) продифференцировать и производную умножить на (-1).
4) Изображение производных:
f (t )  F ( p) ,
f (t )  pF ( p)  f (0) ,
f (t )  p 2 F ( p)  pf (0)  f (0) .
27
Таблица изображений
1
1
,
p
A
1
t n1
,

p n ( n  1)!
e t 
1
,
p
A
,
p
tn 
n!
,
p n1
cos at 
p
,
p  a2
sin at 
a
,
p  a2
ch at 
p
,
p  a2
sh at 
a
.
p  a2
2
2
2
2
Здесь n! 1  2  3  ...  n , гиперболические функции
ch t 
et  e t
;
2
sht 
et  e t
.
2
Примеры.
1. Найти изображение данного оригинала.
1)
t3  2  t 
3! 2 1
6 2 1
  2  4  2.
4
p
p p
p
p p
Использовали свойство линейности и формулы
tn 
2)
cos 2t  sin 3t  2e 3t 
3)
t 2e2t  te t 
n!
,
p n1
A
A
.
p
p
3
2
.


p2  4 p2  9 p  3
2
1
, так как

3
( p  2) ( p  1)2
t2 
2
,
p3
t
1
.
p2
По теореме смещения в изображении функции t 2 из аргумента p вычли 2 ,
в изображении t из p вычли (1) .
4)

 1 
2p
  2
t sin t   2
,
2
p

1

  p  1
28
так как
sin t 
1
.
p2 1
По
свойству дифференцирования изображения оригинал
(sin t )
 1 
умножили на t , а от изображения  2
 нашли производную и умножили
p
1


на – 1.
2. Найти оригинал по заданному изображению.
1)
1
4 2 t2

   4t  2 .
p3 p2 p 2
Использованы формулы :
1
t n1

,
p n (n  1)!
2)
A
 A.
p
1 t3 t3
  .
p 4 3! 6
Если в изображении
1
p4
из
p вычесть  , то по теореме смещения
t3
оригинал
надо умножить на e t :
6
1
t 3 2t
 e ,
 p  24 6
3)
4)
5)
6)
1
t 3 t
 e .
( p  1) 4 6
p
( p  2)  2
1
2
t 2 2t
2t




te

2

e  te 2t (1  t ) .
3
3
2
3
( p  2)
( p  2)
( p  2) ( p  2)
2!
p3
p
3
2
3
 2
  2
 cos 2t  sin 2t .
2
p 4 p 4 2 p 4
2
3
t
1
1
2
2 2
3
2




e sin
t.
2
2
2
p  p 1
2
3
3
3
3
1
1
p

p

2
4
2
4




p
( p  2)  2
p2
2



 e 2t cost  2e 2t sin t .
2
2
2
2
p  4 p  5 ( p  2)  1 ( p  2)  1 ( p  2)  1
29
Чтобы найти оригинал, соответствующий правильной рациональной
дроби, надо представить ее в виде суммы простейших дробей, разложив
знаменатель на множители.
7)
3p  1
A
B
.


( p  1)( p  2) p  1
p2
Линейному множителю p  a знаменателя соответствует простейшая
A
дробь первого рода
.
pa
Находим числа A, B . Для этого складываем дроби в правой части и
приравниваем числители.
3 p  1  A( p  2)  B( p  1) .
Придаем значения p , обращающие одну из скобок в нуль:
7  3B  B  73 ,

p  1 :  2  3 A A  2 .
3
p  2:
7
2
3p 1
2
7
3

 3  e t  e 2 t .
( p  1)( p  2) p  1 p  2 3
3
8)
2 p3  p  1
Ap  B Cp  D
 2

.
2
2
 p  1 p  2 p  1 p 2  2
Квадратному трехчлену с комплексными корнями знаменателя
соответствует простейшая дробь 2-го рода, у которой числитель есть линейная
функция с неизвестными коэффициентами.
2 p3  p  1   Ap  B p2  2  Cp  D p2  1.
Для нахождения A, B, C и D приравниваем коэффициенты при
одинаковых степенях р в левой части и в правой. При p 3 : 2  A  C , при
p 2 : 0  B  D , при p1 : 1  2 A  C , при p 0 : 1  2B  D . Получим систему
уравнений, решая которую, находим коэффициенты A, B, C и D .
30
A  C  2 ,
B  D  0 ,


2 A  C  1 ,
2 B  D  1 ,
 A  1 ,
B  1 ,


C  3 ,
 D  1 .
Подставляя найденные коэффициенты и используя таблицу изображений,
находим оригинал для данного изображения:
2 p3  p 1
 p 1 3 p 1
p
1
p
1
2






3




 p 2  1 p 2  2 p 2  1 p 2  2 p 2  1 p 2  1 p 2  2 2 p 2  2
  cost  sin t  3 cos 2t 
9)
1
sin 2t .
2
2 p
2 p
A B Cp  D
.


 
p 4  p 2 p 2  p 2  1 p 2 p p 2  1
Множителю p 2 соответствуют две простейшие дроби первого рода со
знаменателями p 2 и p .
2  p  A p 2  1  Bp p 2  1  (Cp  D)  p 2 .
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях р. При
p : 0  B  C , при p 2 : 0  A  D , при p1 : 1  B , при p 0 : 2  A . Решая
полученную систему, находим, что A  2 , B  1, C  1, D  2 . Используя
таблицу изображений, получим, что
3
2 p
2 1
p
2
 2  2
 2
 2t  1  cost  2 sin t.
4
2
p p
p
p p 1 p 1
Решение линейных дифференциальных уравнений
и систем операционным методом
1) Пусть требуется решить дифференциальное уравнение
ax   bx  f (t )
(a, b  const )
при начальном условии x(0)  x0 .
Обозначим x(t )  X ( p) , тогда x (t )  pX ( p)  x0 .
Найдем изображение левой и правой частей данного уравнения:
31
a pX ( p)  x0   bX ( p)  F ( p) .
Получим уравнение 1-ой степени относительно X ( p ) . Решив его, найдем
X ( p ) . Зная X ( p ) , находим его оригинал x ( t ) . Это и есть искомое частное
решение.
2) Рассмотрим линейное уравнение 2-го порядка.
ax  bx  cx  f (t )
(a, b, c  const )
при начальных условиях x(0)  x0 , x(0)  x1 .
Обозначим x(t )  X ( p) ,
x(t )  pX ( p)  x0 ,
тогда
x(t )  p2 X ( p)  px0  x1 .
Найдем изображение обеих частей данного уравнения:
a p 2 X  p  px0  x1   b pX  p  x0   cX  p  F ( p) .
Из полученного уравнения находим X ( p)
решение.
3) Система линейных уравнений имеет вид:
и затем
x(t ) – искомое
 x  ax  by  f1 (t ) ,

 y   cx  dy  f 2 (t ) , (a, b, c, d  const ).
Начальные условия: x(0)  x0 , y (0)  y 0 .
Обозначим x(t )  X ( p), y(t )  Y ( p) и найдем изображения обеих частей
каждого уравнения системы. Решив систему двух уравнений с двумя
неизвестными, найдем X ( p) и Y ( p) , а затем их оригиналы x(t ) и y (t ) . Это и
будет искомое решение.
Пример. Решить дифференциальное уравнение
x   x   2t
при начальных условиях x(0)  1, x(0)  1.
Обозначим x(t )  X ( p), тогда x (t )  pX ( p)  1,
x(t )  p 2 X ( p)  p  1.
p 2 X  p   p  1  pX  p   1 
2
X  p    p  p   2  p  2,
p
2
32
2
,
p2
p3  2 p2  2
X  p  2 2
,
p  p  p
p3  2 p2  2 A
B C
D
,
X  p 
 3 2  
3
p  p  1
p
p
p p 1
p 3  2 p 2  2  A( p  1)  Bp( p  1)  Cp 2 ( p  1)  Dp3 .
Знаменатель p 3  p  1 имеет два корня p  0 и p  1 . Подставляя в последнее
равенство p  0 , получим, что A  2 ; подставляя p  1 , получим, что D  1 .
Коэффициенты В и С найдем из системы, полученной приравниванием
коэффициентов при p 3 и при p 2 .
C  D  1 ,

B  C  2 ,
C  0 ,

 B  2 .
Теперь находим оригинал для функции X  p  :
2 2
1
t2
X  p  3  2  0 
 2   2t  et  x(t ) .
p
p
p 1
2
Ответ. x  et  t 2  2t .
Контрольная работа №6
К задачам 281 – 290.
Для решения дифференциального уравнения 1-го порядка F ( x, y, y )  0
нужно сначала определить его тип, чтобы выбрать правильный метод решения.
Разберем методы решения трех важнейших типов уравнений 1-го порядка.
1. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными –
это уравнение вида M 1 ( x) N 1 ( y )dx  M 2 ( x) N 2 ( y )dy  0 . Для нахождения общего
решения нужно разделить переменные, то есть привести уравнение к виду
 1 ( x)dx   2 ( y )dy и проинтегрировать это равенство:

2
( y)dy   1 ( x)dx  C .
y   y cos x  2 cos x .
Пример.
Покажем, как решается уравнение
Заметим, что если в левой части уравнения оставить только y  , то правая часть
уравнения раскладывается в произведение двух множителей, один из которых
зависит только от x , другой – только от y : y   cos x  ( y  2) . Запишем y 
dy
dy
как отношение дифференциалов
, получим
 cos x  ( y  2) , откуда
dx
dx
33
dy  cos x( y  2)dx . Для разделения переменных делим обе части равенства на
dy
dy
y  2 , считая, что y  2  0 :
  cos xdx  C или
 cos xdx , откуда 
y2
y2
ln y  2  sin x  C .
Обозначим C  ln C1 и потенцируем равенство:
ln y  2  sin x  ln C1 ,
y2 e
sin x  ln C1
 C1 e sin x ,
y  2  C1esin x ,
y  C1e sin x  2 .
Если y  2  0 , то y  2 и y   (2)  0 . Подставив y  2 в
первоначальное уравнение, получим 0  0 , то есть y  2 является решением
нашего уравнения. Оно получится из равенства y  C1e sin x  2 , если C1  0 .
Значит, общее решение уравнения имеет вид y  C1e sin x  2 , где C1 –
произвольная постоянная.
 y
2. Дифференциальное уравнение y   f   называется однородным
 x
уравнением 1-го порядка.
Его решение можно найти с помощью введения новой неизвестной
y
функции z  z (x) по формуле z  . В случае такой замены имеют место
x
очевидные соотношения y  zx, y   z x  z .
Пример. Найти общее решение уравнения
y
2
 xy dx  x 2  2 xy dy  0 .
Решение. Разделив обе части уравнения на dx и на x 2  2 xy , приведем
его к виду
y y2

xy  y 2
y  2
или y  x xy .
x  2 xy
1 2 x

34
Правая часть уравнения зависит только от отношения
однородное уравнение 1-го порядка. Полагаем z 
z x  z 
y
, то есть это
x
y
, получим уравнение
x
z  z2
.
1  2z
Произведем в нем разделение переменных:
z  z2
 z,
1  2z
dz
z2
,
x
dx
1  2z
z x 
1  2z
dx
.
dz

z2
x
(обе части уравнения делим на z 2 , считая здесь, что z  0 ).
1  2z
dx
Тогда,  2 dz    C ,
откуда, заменяя
C  ln C1 , найдем
z
x
1
1
y
  2 ln z  ln x  ln C1 , или
 ln C1 xz 2  0 . Подставив z  и упростив,
x
z
z
2
y
получим x  y ln C1
 0.
x
y
Если же z  0 , то
 0 , и, значит, y  0 и y   0 . Подставив y  0 в
x
первоначальное уравнение, получим 0  0 . Значит, y  0 тоже является
решением данного уравнения.
Ответ.
C1 y 2
x  y ln
 0,
x
y  0.
y   p ( x) y  f ( x)
3. Уравнение вида
называется
линейным
дифференциальным уравнением 1-го порядка. Его решение можно найти в
виде произведения двух функций, то есть полагая y  uv . Тогда y   u v  uv .
Подставляя в уравнение, получим
u v  uv   p( x)uv  f ( x) .
Найдем функцию v  v(x) , удовлетворяющую уравнению v   p( x)v  0 .
Тогда для функции u получим уравнение u v( x)  f ( x) . Если u  u ( x, C ) – его
35
общее решение, то общее решение данного линейного уравнения имеет вид
y  u ( x, C )v( x) .
Пример. Найти общее решение уравнения x 2 y  x 2  (2 x  1) y .
1  2x
y  1. Это линейное
x2
дифференциальное уравнение 1-го порядка. Ищем решение в виде y  uv ,
тогда y   u v  uv . Подставляя в уравнение, получим
Решение. Перепишем уравнение в виде
u v  uv 
Для
v получим уравнение
y 
1  2x
uv  1 .
x2
1  2x
v  2 v  0 .
x
Разделяем в нем
переменные и интегрируем:
dv 2 x  1

v,
dx
x2
1
ln v  2 ln x  ,
x

ve
dv
2x 1
  2 dx .
v
x
2 ln x 
1
x,
или v 
1
2 x
x e
.
Тогда для функции u получим уравнение
1
x
u x e  1,
2
откуда du 
1  1x
e dx . Интегрируем обе части этого равенства:
x2
1
1


1  1x
1
x 
u   2 e dx  C   e d     C  e x  C .
x
 x
1
  1x
 2 1x 

Тогда y  uv   e  C  x e  1  Ce x  x 2 .




1


Ответ: y  1  Ce x  x 2 .


К задачам 291 − 300.
Для решения этих уравнений нужно знать методы понижения
порядка дифференциального уравнения.
36
1. Если дифференциальное уравнение 2-го порядка не содержит явно
функцию y , т.е. имеет вид F ( x, y , y )  0 , то полагаем y   p , где p –
функция от x . Тогда y   p , и получаем дифференциальное уравнение 1-го
порядка F ( x, p, p )  0 относительно новой неизвестной функции p  p(x) .
y
 0 не содержит функцию y . Обозначим
x
y   p . Подставляя в данное уравнение, получим
Пример. Уравнение y  
y   p ( p  p( x)) , тогда
p
p    0 . В этом уравнении можно разделить переменные:
x
dp
p
 ,
dx
x
dp
dx
 .
p
x
Интегрируя, получим
p  y  , получим y  
ln p   ln x  ln C1 , откуда
p
C1
. Подставив
x
C1
C
, тогда dy  1 dx и y  C1 ln x  C2 .
x
x
2. Если дифференциальное уравнение не содержит явно аргумент (x ) ,
т.е. имеет вид F ( y, y , y )  0 , то полагаем y   p , где p – функция от y .
dp
Тогда y  
 p . Получаем дифференциальное уравнение 1-го порядка
dy

dp 
F  y, p,  p   0 относительно новой неизвестной функции p  p( y) .
dy 

y  2 y( y) 3  0 отсутствует
dp
x . Обозначим y   p , где p  p( y) , тогда y  
 p . Получаем уравнение
dy
 dp

dp
 p  2 yp 3  0 , или p  2 yp 2   0 .
dy
 dy

Пример. В дифференциальном уравнении
Если
p  0 , то y   0 , то есть
y  C . При
p  0 получим уравнение
dp
 2 yp 2  0 . В нем можно разделить переменные и проинтегрировать:
dy

dp
 2 ydy ,
p2
37
1
 y 2  C1 ,
p
1
1


p

y
.
Подставив
здесь
,
получим
. Это тоже
y

y 2  C1
y 2  C1
дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
p
откуда
dy
1
,
 2
dx y  C1
y
2
 C1 dy  dx ,
откуда, интегрируя, найдем соотношение
y3
 C1 y  x  C 2 ,
Ответ:
3
y3
 C1 y  x  C 2 .
3
y C.
К задачам 301 − 310.
1. Общее решение линейного неоднородного дифференциального
уравнения 2-го порядка
y   py   qy  f (x)
(1)
равно сумме общего решения y соответствующего однородного уравнения
y   py   qy  0
и какого-нибудь частного решения
y * неоднородного уравнения (1), то есть
y  y  y* .
2. Если p, q – числа, то для нахождения y нужно определить корни
k1 , k 2 характеристического уравнения
k 2  pk  q  0 .
Если
k1 , k 2
p


 q  0 ,
D 
4


k1x
y  e  C1  C2 x  ;
2
действительные
то y  C1ek1x  C2ek2 x ;
не
(2)
равные
если
друг
k1  k 2
k1, 2     i
если корни комплексные,
y  e x  C1 cos x  C2 sin  x  .
другу
корни
( D  0) ,
то
( D  0) , то
3. Пусть правая часть f (x) данного неоднородного уравнения (1) имеет
вид


f ( x)  e x  a0  a1 x  ...  an x n  e x  Pn ( x) ,
38
где Pn (x) – многочлен степени n . Отметим, что при n  0 P0 ( x)  a 0 –
константа, а если   0 , то f ( x)  Pn ( x) – многочлен степени n . Тогда
частное решение y * можно найти в виде


y *  e x  Qn ( x) x r  e x  A0  A1 x  ...  An x n  x r ,
где A0 , A1 ,..., An – некоторые коэффициенты, r  0 , если число  не является
корнем характеристического уравнения (2) (и тогда x r  x 0  1), r  1 , если
один из корней уравнения (2) равен  , другой не равен  , r  2 , если оба
корня уравнения (2) равны  .
Для случая, когда f ( x)  e x (a cos x  b sin  x) частное решение y *
можно найти в виде
y *  e x ( A cos x  B sin  x) x r ,
где A, B – некоторые коэффициенты;
r  0 , если    i не является корнем характеристического уравнения (2)
(и тогда x r  x 0  1),
r  1 , если    i является корнем уравнения (2).
Коэффициенты ( A0 , A1 ,..., B ) находят, подставляя функцию y * и ее
производные в уравнение (1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых
функциях в обеих частях полученного равенства.
4. Если в правой части уравнения (1) стоит сумма функций различного
f ( x)  f 1 ( x)  f 2 ( x) , то частное решение y * равно сумме частных
вида
решений y *  y1*  y2* , где yk* – решение уравнения y   py   qy  f k (x)
(k  1,2) (принцип наложения частных решений).
5. Константы C1 , C 2 находят из начальных условий y  x0   y 0 , y  x0   y1 .
Пример.
Найти
частное
решение
уравнения
y   3 y   x  cos x ,
1
удовлетворяющее начальным условиям y (0)  0, y (0)   .
9
Решение. Запишем характеристическое уравнение k 2  3k  0 , откуда
k1  0 , k 2  3 . Общее решение соответствующего однородного уравнения
имеет вид y  C1  C 2 e 3 x .
В правой части нашего уравнения стоит сумма двух функций f1 ( x)  x и
f 2 ( x)  cos x . Частное решение y1* , соответствующее правой части f1 ( x)  x ,
f 1 ( x) – многочлен степени
нужно искать в виде y1*   A0  A1 x x1 , т.к.
n  1, r  1 поскольку число 0 является корнем характеристического уравнения.
39
Частное решение y 2* , соответствующее правой части f 2 ( x)  cos x , ищем в
виде y2*  A cos x  B sin x (в данном случае    i  0  1i  i , это число не
является корнем характеристического уравнения). По принципу наложения
частных решений y *  A0 x  A1 x 2  A cos x  B sin x . Находим производные:
y   A
*
0
 2 A1 x  A sin x  B cos x ,
y   2 A  A cos x  B sin x .
*
1
Подставив в данное уравнение, получим
2 A1  A cos x  B sin x  3 A0  6 A1 x  3 A sin x  3B cos x  x  cos x .
Приравниваем
при
x :  6 A1  1 ,
коэффициенты при одинаковых функциях. При
cos x :  A  3B  1 ,
при
при
x 0 : 2 A1  3 A0  0 ,
1
1
sin x :  B  3 A  0 . Из этой системы уравнений найдем, что A1   , A0   ,
6
9
1
3
A   , B   . Подставив эти числа в y* и сложив y и y * , найдем общее
10
10
решение данного уравнения :
1
y  C1  C 2 e 3 x 
x x2 1
3
  cos x  sin x .
9 6 10
10
Для нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным
1
условиям y (0)  0, y (0)   , дифференцируем y :
9
1 x 1
3
y   3C 2 e 3 x    sin x  cos x .
9 3 10
10
Подставляем x  0 в y и в y  , получаем:
1

C1  C 2  10  0,

3C  1  3   1 ,
 2 9 10
9
1
откуда C 2 
и C1  0 . Значит,
10
искомое частное решение.
40
1 3x x x 2 1
3
y  e    cos x  sin x –
10
9 6 10
10
К задачам 311 − 320.
Для решения линейной неоднородной системы
дифференциальных уравнений
 x  a11 x  a12 y  f1 (t ) ,

 y  a21 x  a22 y  f 2 (t )
можно использовать метод исключения неизвестной функции. Если a120, то из
первого уравнения можно выразить неизвестную функцию y и подставить во
второе уравнение, или наоборот, если a210, то из второго уравнения выразить
неизвестную функцию x и подставить в первое. Получим линейное
дифференциальное уравнение второго порядка, решив которое, найдём одну
неизвестную функцию. Другую неизвестную функцию находим с помощью
формулы, использованной при исключении. Неизвестные функции будут
зависеть от двух произвольных постоянных, которые находим из начальных
условий.
Пример. Решить задачу Коши :
 x  x  4 y  8tet ,
x (0) = − 1 , y (0) = 1.


y

2
x

3
y
.

Решение. Из второго уравнения системы выразим x:
(1)
x  1 y  3 y
2
2
и подставим в первое уравнение, исключив неизвестную функцию x.
1 y  3 y   1 y  3 y  4 y  8te t ,
2
2
2
2
1 y  3 y  1 y  5 y  8te t ,
2
2
2
2
y   4 y   5 y  16te t .
(2)
Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго
порядка с постоянными коэффициентами относительно неизвестной функции y.
Найдём общее решение этого уравнения.
Запишем характеристическое уравнение: k2 – 4k – 5 = 0. Его корни k1=5,
k2= − 1. Общее решение соответствующего однородного дифференциального
уравнения y  c1e 5t  c 2 e  t .


Правая часть дифференциального уравнения (2) имеет вид f t   Pn t e t ,
где  = 1, n = 1, т.е. Pn t   16t – многочлен первой степени. Значит, частное
решение дифференциального уравнения (2) нужно искать в виде
y *   At  B e t  t r , где r = 0, т.к. число  = 1 не является корнем
характеристического уравнения (см. указания к задачам 301 – 310). Найдём
неопределённые коэффициенты А и В.
y *   At  B e t ,
41
y   Ae   At  Be ,
y   2 Ae   At  Be .
*
t
*
t
t
t
Подставляя в дифференциальное уравнение (2) и
коэффициенты при линейно независимых функциях, получим:
приравнивая
2 Ae t   At  B et  4 Ae t  4 At  B et  5 At  B et  16te t ;
 2 Ae t  8 At  B e t  16te t ;
A  4 At  B   8t ;

4 A  8 ,
 A  2 ,

B  1 .

 A  4B  0 ;

2
*
t
1
Таким образом, y   2t e − частное решение дифференциального
2
уравнения (2), а y  y  y*  c1 e5t  c2 et  1  2t et − общее решение этого
2
дифференциального уравнения.
Вторую неизвестную функцию находим по формуле (1).
x  1 y  3 y  5 c1 e5t  1 c 2 e t  1  2et  1  2t et  3 c1 e5t  3 c 2 e t
2
2
2
2
2
2
2
2
 3 1  2t et  c1 e5t  2 c 2 e t  2t  3 et .
2 2
2
Запишем общее решение данной системы дифференциальных уравнений:
 x  c e5t  2 c et  2t  3 et ,
1
2

2

5t
t
y  c1 e  c2 e  1  2t et .


2
Из начальных условий находим постоянные c1 и c2.

c  2c  3  1 ,
c  2c  1 ,
c  1 ,
2
2
 x(0)  1 ,
 1
 1
1
2
2
2




1
1
c 2  0 .
 y (0)  1 ;
c1  c 2   1 ;
c1  c 2  2 ;
2











 



3

Ответ. x  1 e 5t   2t   e t ,
2
2


1

y  1 e 5t    2t  e t .
2
2

К задачам 321 − 330.
1. При составлении дифференциального уравнения в задачах с
физическим содержанием нужно помнить следующее:
1) скорость изменения некоторой физической величины x – это
d 2x
dx
производная по времени
, а ускорение – вторая производная
;
dt 2
dt
2) прямолинейное движение материальной точки массы m подчиняется второму закону Ньютона mx  F , где x  x(t ) – координата точки в
момент времени t , F – сила, действующая на точку.
42
2. При составлении дифференциального уравнения кривой используется
геометрический смысл производной ( y  дает нам угловой коэффициент
касательной к кривой) или уравнение касательной, проведенной в некоторой
точке M ( x; y) : Y  y  y ( X  x) , где ( X ; Y ) – координаты точки на
касательной.
Пример. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1;0) и
обладающей тем свойством, что ордината точки пересечения касательной с
осью Оy равна длине радиус-вектора точки касания.
Решение. Пусть искомая линия имеет уравнение y  y (x) , и пусть
касательная проведена в некоторой точке M ( x; y) этой кривой. Тогда длина
радиус-вектора OM
будет равна x 2  y 2 . Положим X  0 в уравнении
касательной Y  y  y ( X  x) , тогда Y  y  y x – ордината точки пересечения
касательной с осью
Из условия задачи получаем уравнение
Oy .
y  y x  x 2  y 2 .
2
y
 y
y   1    .
x
 x
Перепишем уравнение в виде
Это однородное
y
 z , тогда y  zx, y   z x  z . Получим
x
дифференциальное уравнение
z x  z  z  1  z 2 , или
xz    1  z 2 .
Разделяем переменные и интегрируем:
уравнение 1-го порядка. Положим
dz
1 z2

Подставим z 
dx
,
x
ln z  1  z 2   ln x  ln c ,
z  1 z2 
c
.
x
y
:
x
y
y2 c
 1 2 
или y  x 2  y 2  c .
x
x
x
Подставив
x 1
и
y  0,
получим
c  1 и искомое уравнение
y  x 2  y 2  1. Его можно преобразовать:
x 2  y 2  1  y,
Ответ:
y
x2  y2  1 2y  y2 ,
1 x2
.
2
43
y
1 x2
.
2
Контрольная работа № 7
Числовые ряды
К задачам 331 − 340. Числовой ряд

a1  a2  a3  ...   an
n 1
задается несколькими первыми членами или формулой n -го члена an  f (n) .
Ряд называется сходящимся, если существует предел n -ой частичной
суммы:
lim S n  lim a1  a2  a3  ...  an   S .
n
n
Число S называется суммой ряда.
Если lim S n не существует, то ряд называется расходящимся.
n
Приведем примеры сходящихся и расходящихся рядов.
Рассмотрим ряд
a1  a1 q  a1 q 2  ... ,
(1)
члены которого образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q .
Если q  1 , то ряд сходится и его сумма
S
a1
.
1 q
Если q  1 , то ряд расходится.
Ряд

1 1
1
1    ...  
2 3
n 1 n
(2)
называется гармоническим рядом.
Гармонический ряд расходится.
Необходимый признак сходимости ряда.
Если ряд a1  a 2  a3  ... сходится, то
lim an  0 .
n
Если
lim an  0
n
(необходимый признак не выполняется), то ряд
расходится.
44
Если lim an  0 (необходимый признак сходимости ряда выполняется),
n
то для исследования ряда на сходимость надо применить какой-нибудь
достаточный признак.
Пример.
признака:
Исследовать ряд на сходимость с помощью необходимого
1 3 5 7
    ...
7 10 13 16
Составим формулу n -го члена ряда.Заметим, что числители дробей, как и
знаменатели, образуют арифметическую прогрессию.
n -ый член арифметической прогрессии
bn  b1  d (n  1) ,
где b1 – первый член, d – разность прогрессии.
Поэтому n -ый член ряда
an 
1  2(n  1) 2n  1
,

7  3(n  1) 3n  4
2n  1 2
  0.
n 
3n  4 3
lim a n  lim
n 
Необходимый признак сходимости не выполняется, и ряд расходится.
Достаточные признаки сходимости ряда
с положительными членами
1. Признак Даламбера
Пусть в ряде с положительными членами
a1  a2  a3  ... ,
lim
n 
an1
l.
an
Тогда: а) если l  1, то ряд сходится,
б) если l  1 , то ряд расходится.
При l  1 надо использовать другой признак.
2. Интегральный признак Коши
45
Пусть в ряде с положительными убывающими членами
a1  a2  a3  ... an  0, a1  a2  a3  ...
n -ый
член ряда определяется формулой
an  f ( n) ,
где y  f (x)  непрерывная, положительная и убывающая функция на
промежутке 1;    . Тогда несобственный интеграл

 f ( x)dx
и числовой
1
ряд

a
n 1
n
одновременно сходятся или одновременно расходятся.
3. Признак сравнения рядов
Пусть даны два ряда с положительными членами, и члены первого ряда
меньше соответствующих членов второго:
a1  a2  a3  ...
(1)
b1  b2  b3  ...
(2)
a n  bn
(3)
Тогда:
1) если ряд (2) сходится, то ряд (1) тоже сходится,
2) если ряд (1) расходится, то ряд (2) тоже расходится.
Итак, если члены данного ряда меньше членов сходящегося ряда, то данный
ряд тоже сходится. Если члены данного ряда больше членов расходящегося
ряда, то данный ряд тоже расходится.
Примеры. Исследовать ряд на сходимость.
1 1 1
   ...
4 9 16
1
1
an  2 , функция f x   2 является непрерывной, положительной и
n
x
убывающей на 1;    . Применим интегральный признак Коши.
1) 1 


1
a

a
dx
dx
 1
 1 
f ( x)dx   2  lim  2  lim     lim    1  1 .
a  1 x
a  
x 1 a  a 
1 x
46

 f ( x)dx
Несобственный интеграл
сходится, следовательно, данный
1
числовой ряд сходится.
1 2 3 4
2)     ...
2 4 8 16
1 2 3 4
n
.




...,
a

n
21 2 2 23 2 4
2n
Используем признак Даламбера. В формуле для a n заменим n на n  1 :
an1 
n 1
.
2 n1
a n 1
(n  1)  2 n
n 1 1
l  lim
 lim
 lim
  1.
n

1
n 
n 
n 
an
2 n
2n
2
l  1, ряд сходится.
3)
1
1
1
1


 ...
2  4 3  9 4  16
(1)
1 1 1
   ...
4 9 16
(2)
Сравним ряд (1) с рядом
1
Мы показали, что ряд (2) сходится по интегральному признаку Коши.
Члены ряда (1) меньше членов сходящегося ряда (2).
По признаку сравнения ряд (1) тоже сходится.
К задачам 341 − 350.
Абсолютная и условная сходимость
знакопеременных рядов
Пусть дан знакопеременный ряд
a1  a2  a3  ... ,
(1)
в котором некоторые члены положительны, а некоторые отрицательны.
Составим ряд (2) из абсолютных величин членов ряда (1):
47
a1  a 2  a3  ...
(2)
Тогда: 1) если ряд (2) сходится, то ряд (1) называется абсолютно сходящимся;
2) если ряд (2) расходится, а ряд (1) сходится, то ряд (1) называется
условно сходящимся.
Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда
Если в знакочередующемся ряде с убывающими членами
a
a1  a2  a3  a4  ...
n
 0;
a1  a 2  a3  ... ,
lim an  0 ,
n
то ряд сходится и его сумма S  a1 .
Таким образом, для знакочередующегося ряда с убывающими членами
необходимый признак сходимости является достаточным.
Примеры. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость.
1)
1
1 1 1
   ...
4 9 16
(1)
Рассмотрим ряд
1
1 1 1
   ...
4 9 16
(2)
Используя интегральный признак Коши, мы показали, что ряд (2)
сходится. Поэтому ряд (1) является абсолютно сходящимся.
2)
1
1 1 1
   ...
2 3 4
(1)
Рассмотрим ряд
1
1 1 1
   ...
2 3 4
(2)
Ряд (2) расходится, т.к. это гармонический ряд.
Ряд (1) сходится по признаку Лейбница, т.к.
1
0.
n 
n
lim an  lim
n 
48
Поэтому ряд (1) является условно сходящимся.
К задачам 351 − 360.
Область сходимости степенного ряда
Областью сходимости степенного ряда
a0  a1 x  a2 x 2  a3 x 3  ...
является интервал сходимости ( R; R) , включая, возможно, и концы этого
интервала.
Радиус сходимости находится по формуле
R  lim
n 
an
.
a n 1
Внутри интервала сходимости ( R  x  R) ряд абсолютно сходится, вне
интервала – расходится (рис. 1).
ряд абс. сход.
ряд расх.
-R
ряд расх.
R
x
Рис. 1
На концах интервала, при x   R и x  R , ряд надо исследовать на
сходимость отдельно.
Если R   , то ряд сходится абсолютно при всех x , т.е. на всей
числовой прямой; при R  0 ряд сходится в единственной точке x  0 .
Если степенной ряд записан по степеням x  a :
a0  a1 ( x  a)  a2 ( x  a) 2  a3 ( x  a) 3  ...,
то внутри интервала сходимости x надо заменить на x  a :
 R  x  a  R , т.е.
a  R  x  a  R.
При значениях x  a   R ряд надо исследовать на сходимость отдельно.
Пример. Найти область сходимости ряда
2( x  2) 3( x  2) 2 4( x  2) 3 5( x  2) 4
1



 ... ,
3
9
27
81
a n – коэффициент при ( x  2) n :
49
an 
n 1
,
3n
a n 1 
n2
.
3n 1
an
(n  1)  3 n 1
3(n  1)
R  lim

lim

lim
 3,
n
n 
a n 1 n 3  (n  2) n n  2
R  3,
 3  x  2  3.
Исследуем ряд на сходимость на концах интервала:
x  2  3:
x23 :
1  2  3  4  5  ... ряд расходится.
1  2  3  4  5  ... ряд расходится.
Концы интервала в область сходимости не входят.
 3  x  2  3,
1  x  5 .
К задачам 361 − 370.
Представление определённого интеграла числовым рядом
a
Чтобы определённый интеграл
 f ( x)dx
представить числовым рядом,
0
нужно подынтегральную функцию y = f (x) разложить в ряд Маклорена:
f ( x)  f (0)  f (0) x 
f ( n ) (0) 2
f ( n ) (0) n
x  ... 
x  ...
2!
n!
а затем почленно проинтегрировать полученный степенной ряд на отрезке
0; a . Если степенной ряд сходится при x  a , то полученный после
a
интегрирования числовой ряд тоже сходится, и его сумма будет равна
 f ( x)dx .
0
При решении этой задачи можно использовать известные ряды Маклорена для
элементарных функций, а именно:
xn
x2 x3
xn
e   1 x 

 ... 
 ... ,
2! 3!
n!
n  0 n!

x
xR ;
x 2 n1
x3
x 2 n1
n
sin x    1
 x   ...   1
 ... , x  R ;
2n  1!
2n  1!
3!
n 0
2n
2n

x2 x4
n x
n x
cos x   (1)
1

 ...  (1)
 ... , x  R ;
(2n)!
2! 4!
(2n)!
n 0

n
50

ln(1  x)   (1) n1
n 1
1  x 


xn
x2 x3
xn
x

 ...  (1) n1
 ... ,
n
2
3
n

 (  1)  ...  (  n  1)
n 1
n!
1 
 (  1)  ...  (  n  1)
n!
 xn  1    x 
x   1;1;
 (  1)
2!
x2   
x  (1;1),   R.
x n  ... ,
Пример. Представить определённый интеграл
1
2

3
1  x 2 dx числовым рядом.
0
Решение. Запишем ряд Маклорена для функции y  3 1  t , используя ряд
Маклорена для функции y  1  x  при   1 .
3
 
   

1 1 1
1 1  1 1  2  ...  1  n  1
2
3
3
3
3
3
1 t 1 1t 
t  ...  3 3
t n  ... 
3
2!
n!
2  5  ...  3n  4  n
 1  1 t  1 t 2  ...  (1) n 1
t  ... 
3 9
3n  n!

2  5  ...  3n  4  n
1
 1  t   (1) n 1
t , t   1;1.
3 n2
3n  n!
Подставим t = x2 , получим ряд Маклорена для подынтегральной функции :
2  5  ...  3n  4 2 n
x
, x   1;1 .
3n  n!
1
Полученный степенной ряд сходится при x  , значит левую и правую
2
 1
часть последней формулы можно проинтегрировать на отрезке 0;  , получим:
 2

2  5  ...  (3n  4) 2 n
2
3
1 x 2 dx 
1

x
dx

dx

(1) n1
x dx 

0
0
0 3

3n  n!
n2
0

3
1  x 2  1  1 x 2   (1) n1
3
n2
1
2
1
2
1
2
1
2

x3
2  5  ...  (3n  4) x 2 n 1
x 1
  (1) n 1


3 3 0 n2
3n  n!
2n  1 0
0

2  5  ...  (3n  4)
 1  1   (1) n 1
.
2 72 n2
(2n  1)  2 2 n1  3n  n!
1
2
1
2
1
2
К задачам 371 − 380.
Ряд Фурье
Ряд Фурье для периодической функции f (x) с периодом T имеет вид
51
f ( x) 
2
T
a0 
a0  
2
2 
   a n cos nx  bn sin
nx  ,
2 n 1 
T
T

C T

f ( x)dx 
C
T
2
T
2
2
f ( x)dx   f ( x)dx ,

T0
T T
2
an 
bn 
2
T
2
T
C T

f ( x) cos
C
C T

C
2
2
2
2
nxdx   f ( x) cos nxdx 
T
T0
T
T
T
2
2
2
2
nxdx   f ( x) sin nxdx 
T
T0
T
T
T
f ( x) sin
T
2

f ( x) cos
T
2

T
2


f ( x) sin
T
2
2
nxdx ,
T
2
nxdx .
T
Значение C в коэффициентах Фурье a0 , an , bn надо выбрать так, чтобы
на отрезке интегрирования [C; C  T ] была известна формула для функции
f (x) .
Перед тем как разлагать функцию в ряд Фурье, надо построить график
функции и из графика определить, не является ли функция четной или
нечетной.
Ряд Фурье для четной функции
f ( x)  f ( x) . График четной
Функция f (x) называется четной, если
функции симметричен относительно оси y .
Ряд Фурье для четной функции имеет вид
f ( x) 
a0 
2
  an cos nx,
2 n1
T
b
n
 0 ,
T
T
42
a0   f ( x)dx ,
T0
42
2
a n   f ( x) cos nxdx .
T0
T
Ряд Фурье для нечетной функции
Функция f ( x ) называется нечетной, если f (  x )   f ( x ) . График нечетной
функции симметричен относительно начала координат.
Ряд Фурье для нечетной функции имеет вид

f ( x)   bn sin
n 1
2
nx,
T
52
a
0
 0, an  0,
T
42
2
bn   f ( x) sin
nxdx .
T0
T
Пример. Разложить в ряд Фурье функцию
f ( x )   x,
 1  x  1;
T  2.
y
-1 0
2 2

 .
T
2
x
1
График функции симметричен
относительно начала координат
(рис. 2). Функция нечетная: a0  0 ,
an  0 .
Рис. 2

f ( x)   bn sin
n 1
bn 

2
nx   bn sin  nx .
T
n 1
T
2
1
4
2
f
(
x
)
sin
nxdx

2
x  sin
nxdx

0  



T0
T
u
dv
u  x, dv  sin  nxdx, du  dx

 udv  uv   vdu; v   sin  nxdx 
 cos nx 
n
1
1



1
 cos nx
 cos nx
 cos n
sin  nx 



 2 
x 

 dx
0

   2
2 2



n

n

n

n
u
0
du


 0


0

v
v
  cos n sin  n
 2 cos n
 2
 2 2  0 
, т.к.
 n
n
 n

sin  n  0 при n  1, 2, 3,...
bn 
2 cos n

;

n
53
n  1, 2, 3,...
b1 
2 1
 ,
 1
b2 
2 1
 ,
 2
b3 
2 1
 ,
 3
b4 
2 1
 ,...
 4

f ( x)   bn sin  nx  b1 sin  x  b2 sin 2 x  b3 sin 3 x  ... 
n 1
2
1
1
1

 sin  x  sin 2 x  sin 3 x  sin 4 x  ... .

2
3
4

К задачам 381 − 390.
Двойные интегралы
Двойной интеграл можно вычислить двумя способами:

b
2 ( x )
a
1 ( x )
d
2 ( y )
c
1 ( y )
 f ( x, y)dxdy   dx  f ( x, y)dy или  f x, y dxdy  dy  f ( x, y)dx .
D
a)
D
y   2(x)
y
б)
D
y  1( x )
0
y
yd
a
b
xa
xb
x   1( y )
yc
Рис. 3
0
D
x   2( y)
x
В первом случае область D лежит между вертикальными прямыми
x  a и x  b , а снизу и сверху ограничена линиями y  1 ( x) и y   2 ( x)
(рис. 3, а).
Во втором случае надо провести горизонтальные прямые y  c и y  d ,
между которыми лежит область D , а x   1 ( y ) и x   2 ( y ) – уравнения
линий, ограничивающих область D слева и справа (рис. 3, б).
Площадь плоской области
f ( x, y)  1 , то двойной интеграл дает площадь области
Если взять
интегрирования D :
 dxdy  S D .
D
Двойной интеграл в полярных координатах
При переходе к полярным координатам надо декартовы координаты x, y
выразить через полярные по формулам x  r cos , y  r sin  и элемент
площади dxdy заменить на rdrd (рис. 4).
Пусть область D лежит между двумя лучами    ,    , а изнутри
угла и снаружи ограничена линиями r  r1 ( ) и r  r2 ( ) (рис. 5).
54
y
r  r2 ( )
y  r sin 
M
 
D
dS  rdrd
r
y

0
y 
x  r cos 
r  r1 ( )
x
x
0
x
Рис. 5
Рис. 4
Тогда

D

r2 ( )

r1 ( )
f ( x, y )dxdy   f (r cos , r sin  )rdrd   d
D
Примеры. Вычислить площадь области,
линиями, с помощью двойного интеграла.
1)
D : y  x, x  2 y, y  1
r sin  )rdr .
ограниченной
yx
y
Область
D ограничена
сверху двумя линиями ( OA и
AB ). Поэтому через точку А
проведем вертикальную прямую
и разобьем область на две
области (рис. 6).
 f (r cos ,
A
0
данными
y
B
x
2
y 1
x
2
1
Рис. 6
x
1
x
2
1
1
0
x
2
1
x
2
0
1
2
S   dxdy   dx dy   dx dy   dx y   dx y 
D
1

x
2
1
2
0
1

x
42
2
x
1 x2
x2

 x
   x  dx   1  dx 
  x

2
2
2 2
4
0
1
1
1
1
1
3 1
 (1  0)  2  1  (4  1)   1   .
4
4
4
4 2
2)
2
r
,
sin 


4
,


2

.

y
2
r
2
sin 
Заданная область изображена
55
0
x
на рис. 7.
Рис. 7
2
sin 

S   dxdy   rdrd   d
D

4

2
r2 2 1
4
   2 d  2  ctg 
2  2 sin 
2
D

0
4

4



 2 ctg  ctg   2(0  1)  2 .
2
4

Объём тела
Если функция z = f (x ; y) непрерывна и неотрицательна на области D, то
объём тела, ограниченного поверхностью, заданной функцией z = f (x , y) ,
плоскостью z = 0 и цилиндрической поверхностью с образующими
параллельными оси Oz и проходящими через граничные точки области D, равен
двойному интегралу  f x, y dxdy .
D
При нахождении объёма тела, ограниченного данными поверхностями,
нужно найти проекцию этого тела на координатную плоскость Oxy, т.е. найти
область D, затем найти функцию z = f (x , y) и вычислить двойной интеграл
 f x, y dxdy . Если область D – часть круга, то при вычислении двойного
D
интеграла следует перейти к полярным координатам. Если тело ограничено
сверху двумя поверхностями (см. пример 382), то его нужно разбить на две
части так, чтобы каждая часть была ограничена сверху только одной
поверхностью. Объём каждой части нужно вычислить с помощью двойного
интеграла, а затем сложить результаты.
Пример. С помощью двойного интеграла найти объём
ограниченного поверхностями y  x , y = 0, z = 0 и x + y + z = 2.
тела,
Решение. Уравнения y  x и y = 0 не содержат переменной z, они
задают цилиндрические поверхности с образующими параллельными оси Oz.
Плоскости z = 0 и x + y + z = 2 ограничивают данное тело соответственно снизу
и сверху, пересекаются по прямой x + y = 2 в координатной плоскости Oxy.
Значит, область D (проекция данного тела на координатную плоскость Oxy)
будет ограничена линиями y  x , y = 0 и x + y = 2.
Построим область D (рис. 8). Заметим,
y
что линии y  x и x + y = 2 пересекаются в
точке А(1; 1).
y x
Из
уравнения
x + y + z =2
2
находим z = 2 – x – y , т.е. f (x, y) = 2 – x – y.
А
56
x + y =2
1
O
1 2
Находим объём данного тела:
x
Рис. 8
2 y
2 y
x2
V   (2  x  y )dxdy   dy  (2  x  y )dx   (2 x 
 xy ) dy 
2
y
D
0
0
y
1
1
2
2
2
1


2  y
y4
 y4

2
3
   22  y  
 2  y  y  2 y 
 y dy     y 3  3 y 2  2 y  2 dy 
2
2
2
0
0 2


1
y2
 y5 y4 3 y3
1 1 1 1
 
   2
 2 y      1  2  0,85 .
2
 10 4 2 3
 0 10 4 2
Ответ: 0,85.
Вычисление криволинейного интеграла
по плоской кривой
Криволинейный интеграл по плоской кривой
 P( x; y)dx  Q( x; y)dy

AB
сводится к определенному интегралу, если из уравнения кривой AB выразить
одну координату через другую, например,
dy  f ( x)dx
y  f ( x),
и результат подставить в криволинейный интеграл. Пределы интегрирования –
x A и xB .
Для горизонтальной прямой y  b, dy  0 , для вертикальной – x  a ,
dx  0 .
Формула Грина
Формула Грина
 Q  P
dxdy

x  y 
D 
 Pdx  Qdy    
L
57
выражает циркуляцию векторного поля F  ( P; Q) по замкнутому контуру
L (криволинейный интеграл по замкнутому контуру) через двойной интеграл
по области D , ограниченной этим контуром.
Пример.
Вычислить
  ydx  (2 x  y)dy ,
L
где L есть треугольник ABCA: A(2;0), B(2;2), C (1;1) ;
а) непосредственно и б) по формуле Грина.
B
y
( AB ) : x  2, dx  0, y A  0, y B  2;
C
( BC ) : y  x, dy  dx, x B  2, xC  1;
A
0
x
2
1
(CA) : y  2  x, dy  dx, xC  1, x A  2 .
y  2 x
Рис. 9
2
2
а)
x  y )dy   (4  y )dy  4 y 
  (2 
  y dx

0
AB
0
2
y2
8  2  6 ,
2
0
1
  ydx  (2 x  y)dy  ( x  2 x  x)dx  0 ,

2
BC
2
  ydx  (2 x  y)dy   (2  x)dx  (2 x  2  x)  (dx) 

1
CA
2
2
2
1
1
  (2  x  3x  2)dx    2 xdx   x 2  (4  1)  3 ,
1
  ydx  (2 x  y)dy  6  0  3  3
.
L
y
б)
В
L
1
С
А
0
 Q  P
dxdy .

x  y 
D 
 Pdx  Qdy   
2
1
Рис. 10
2
P   y, Q  2 x  y .
x
58
Q
 P
 y  const  2,
 x  const  1.
 x
 y
Q P

 2 1  3.
x  y
x
2
x
2
1
2 x
1
2
  ydx  (2 x  y )dy   3dxdy  3 dx  dy  3 dx
L
D
y  3 (2 x  2)dx 
2 x
1
2
 3 x 2  2 x  3(4  4  1  2)  3 .
1
Или
 3dxdy  3 dxdy  3S D  3  S ABC  3 
D
D
1
1
AB  h  3   2  1  3 .
2
2
Вычисление криволинейного интеграла
по пространственной кривой
Пусть задано векторное поле
F  ( P; Q; R)  P( x; y; z )i  Q( x; y; z ) j  R( x; y; z )k .
Криволинейный интеграл по пространственной кривой
 P( x; y; z )dx  Q( x; y; z )dy  R( x; y; z )dz

AB
сводится к определенному интегралу, если в уравнениях кривой AB две
координаты выразить через третью, например,
 y  y ( x), dy  y( x)dx ,

 z  z ( x), dz  z ( x)dx ,
и результат подставить в криволинейный интеграл.
x A , x B – пределы интегрирования в определенном интеграле.
Вводятся следующие понятия.
Оператор Гамильтона – символический вектор  (набла):
59
 
  
 ;
  
;
;

x

y

z


дивергенция вектора F  ( P; Q; R ) – функция
div F    F 
P Q R
;


 x  y  z
ротор вектора F – векторное произведение векторов  и F :
i
j
k

  i  R   Q   j   R   P   k   Q   P  .
rot F    F  
 x  y  z   y  z    x  z    x  y 
P
Q
R
Если div F  0 , то поле F называется соленоидальным, если rot F  0 –
потенциальным.
Потенциал векторного поля F  ( P; Q; R )
Если
i
rot F    F  
x
P
j

y
Q
k
 0,
z
R
потенциальным, т.е. существует потенциал
u  u ( x; y; z ) , удовлетворяющая условию
т.е.
то
поле
вектора
F
является
F – функция
 u  u  z 
 ,
F  grad u  
;
;

x

y

z


u
u
u
 P,
 Q,
 R.
 x
 y
 z
Чтобы найти потенциал u , нужно вычислить криволинейный интеграл
 Pdx  Qdy  Rdz  u ( X ; Y ; Z )

AM
A x0 ; y 0 ; z 0 , M  X ; Y ; Z  и в
по любой линии, соединяющей точки
окончательном ответе X , Y , Z заменить малыми буквами x, y, z .
В качестве линии интегрирования удобно взять ломаную, звенья которой
параллельны осям координат, а за точку A выбрать начало координат O(0;0;0) ,
если поле F определено в этой точке.
60
Запишем уравнения звеньев ломаной и найдем дифференциалы функций,
полученных из уравнений звеньев.
 z  0, dz  0, x B  X ,
z
M ( X ; Y; Z )
(OB) : 
 y  0, dy  0, x0  0 .
О
 z  0, dz  0,
( BC ) : 
 x  X , dx  0,
y
yC  Y ,
y B  0.
 x  X , dx  0, z M  Z ,
(
CM
)
:

x
 y  Y , dy  0, zC  0.
Рис. 11
Пример. Показать, что векторное поле
B
C
F   y 2 z; 2 xyz ; xy 2  2 z 
является потенциальным и найти его потенциал u .
y 2 zdx  2 xyzdy  xy 2  2 z dz     

u( X ;Y ; Z ) 
OBCM
y
2

y

BC
2

OB
BC

.

CM
2
z dx  2 xyz dy

  0.
  xy  2 z dz
0
OB

0
0
z dx
z dy  xy 2  2 z dz
  2 xy 
  0.
0
0
0
Z


CM
2
2
2
2
2
2
y 2 z dx
  2 xyz dy
  xy  2 z dz    XY  2 z dz   XY z  z   XY Z  Z .
Z
0
0
0
0
u( X ; Y ; Z )  0  0  XY 2 Z  Z 2   XY 2 Z  Z 2 .
u( x; y; z)  xy 2 z  z 2  c .
В функцию u можно добавить произвольную постоянную c .
Проверка:
u
 y 2 z 1  0  y 2 z  P .
 x
u
 xz  2 y  0  2 xyz  Q .
 y
61
u
 xy 2  1  2 z  0  xy 2  2 z  R .
 z
Контрольная работа №8
К задачам 411 – 430. Одним из основных понятий теории вероятностей
является понятие случайного эксперимента. Так называют эксперимент, исходы
которого невозможно предсказать. Предполагается, что результатом
случайного эксперимента может быть только один какой-то исход. Чтобы
подчеркнуть это предположение, исходы случайного эксперимента называют
элементарными. Множество всех элементарных исходов случайного
эксперимента будем обозначать буквой . Любое событие, связанное со
случайным экспериментом, называется случайным событием. Случайному
событию можно сопоставить множество элементарных исходов А, которое
является подмножеством множества . Элементарный исход   А тогда и
только тогда, когда случайное событие, которому сопоставлено множество А,
наступает, если в случайном эксперименте наступает исход .
Суммой случайных событий А и В называется случайное событие,
обозначаемое А + В, которое наступает, если наступает хотя бы одно из этих
событий.
Произведением случайных событий А и В называется случайное событие,
обозначаемое АВ, которое наступает, если наступают оба эти события.
Противоположным событием случайному событию А называется
случайное событие, обозначаемое А , которое наступает, если событие А не
наступает.
Достоверным событием называется событие, которое происходит при
каждом проведении случайного эксперимента и обозначается .
Противоположное событие к достоверному называется невозможным и
обозначается .
Случайные события А и В называются несовместными, если они не
наступают одновременно, т.е. АВ = .
Каждому случайному событию А можно сопоставить по некоторому
правилу число, которое называется вероятностью этого события и обозначается
Р(А). Вероятность, как функция, определённая на множестве всех случайных
событий, должна удовлетворять трём аксиомам:
А1) вероятность любого случайного события неотрицательна;
А2) вероятность достоверного события равна единице;
А3) вероятность суммы конечного или счётного числа попарно
несовместных случайных событий равна сумме вероятностей этих
событий.
Запишем аксиому А3 для двух случайных событий: если случайные
события А и В несовместны, то
Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
62
Используя аксиомы, можно доказать следующие свойства вероятности:
1) Р() = 0;
2) Р( А ) + Р(А) = 1;
3) 0  Р(А)  1;
4) Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).
Классическое определение вероятности
Если случайный эксперимент имеет конечное число равновозможных
исходов, то вероятность случайного события А определяется по формуле
m( A)
,
Р( А) 
mΩ 
где m(А) – число элементарных исходов случайного эксперимента, при которых
случайное событие А наступает, m() – число всех элементарных исходов
случайного эксперимента.
При подсчёте числа исходов полезны формулы комбинаторики. Пусть из
n элементов выбирают k элементов. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ зависит от двух условий:
1) возвращаются выбираемые элементы в исходное множество или не
возвращаются;
2) учитывается порядок выбираемых элементов или не учитывается.
Если выбираемые элементы не возвращаются в исходное множество и
учитывается порядок выбора элементов (говорят, что выборка без возвращения
и упорядоченная), то число способов выбора k элементов из n элементов
называют числом размещений из n элементов по k и обозначают А kn . Это число
вычисляется по формуле
Аnk  n(n  1)(n  2)  ...  (n  k  1).
Если же выборка без возвращения и неупорядоченная, то число способов
выбора k элементов из n элементов называют числом сочетаний из n элементов
по k и обозначают С kn . Это число вычисляется по формуле
Ank n(n  1)( n  2)...(n  k  1)
C 

,
k!
1  2  3  ...  k
k
n
где 1 k  n , при k = 0 число С 0n = 1.
Имеется свойство: Ckn  Cnnk .
Пример. В ящике 10 деталей, из которых 6 окрашенные. Наугад взяли
5 деталей. Найти вероятность того, что среди взятых деталей две детали
окрашенные.
Решение. Случайный эксперимент состоит в том, что наугад из 10
деталей берут 5 деталей. Слово «наугад» означает, что все исходы этого
случайного эксперимента равновозможны, и поскольку число их конечно, то
63
для нахождения вероятности случайного события А = {среди пяти взятых
деталей две детали окрашенные} используем классическое определение
вероятности.
Число m() всех элементарных исходов этого случайного эксперимента
равно числу способов выбора 5 деталей из 10. Поскольку выбор без
возвращения и неупорядоченный, то
m(Ω )  С105 
10  9  8  7  6
 9  4  7.
1 2  3  4  5
Случайное событие А наступит, если будут взяты две окрашенные и три
неокрашенные детали. Число способов выбора двух окрашенных деталей из
6 окрашенных равно С 62 , а число способов выбора трёх неокрашенных деталей
из 4 неокрашенных равно С34 . Способы выбора окрашенных и неокрашенных
деталей комбинируются друг с другом и, значит, число m( A)  C62  C34 .
Учитывая, что C62  6  5  15 , а C34  C14  4 , получим
1 2
m( A) C 62  C 34 15  4
5
P( A) 


 .
5
m( Ω )
C10
9  4  7 21
Ответ:
5
.
21
Геометрическое определение вероятности
Если случайный эксперимент имеет бесконечное число равновозможных
исходов, то вероятность случайного события А определяется по формуле
m( A)
,
P( A) 
mΩ 
где m(A) – мера множества элементарных исходов, при которых случайное
событие А наступает, m() – мера множества всех элементарных исходов
случайного эксперимента.
В качестве меры множества на плоскости возьмём площадь этого
множества, в пространстве – объём.
Пример. В прямоугольнике с вершинами О(0;0), А(4;0), В(4;2), С(0;2)
наугад выбирается точка. Найти вероятность того, что наименьшая из
координат выбранной точки не превосходит 1.
Решение. Случайный эксперимент состоит в том, что наугад выбирается
точка в прямоугольнике ОАВС. Поскольку точка выбирается наугад, то все
исходы такого случайного эксперимента равновозможны. Для нахождения
вероятности случайного события
Н = {(x; y)  ОАВС: min {x; y}  1}
64
используем геометрическое определение, в качестве меры множества взяв
площадь этого множества (рис. 12).
y
В
С
1
0
1
Н
Рис. 12
x
А
m() = SOABC = 8,
min {x; y}  1  x  1 или y  1,
m(H) = 5.
m( A) 5
Следовательно, P( A) 
 .
mΩ  8
5
Ответ: .
8
Условная вероятность. Независимость событий
Если Р(А)  0, то условной вероятностью случайного события В при
P( A  B)
условии, что случайное событие А наступило, называется отношение
и
P( A)
обозначается Р(ВА).
P( A  B)
Из формулы Р(ВА) =
получается формула
P( A)
Р(АВ) = Р(А)Р(ВА),
которая называется формулой умножения вероятностей. Формулу умножения
вероятностей можно записать для большого числа случайных событий,
например, для трёх:
Р(АВС) = Р(АВ) Р(САВ) = Р(А)Р(ВА)Р(САВ).
Пример. В ящике 8 окрашенных деталей и две неокрашенные. Найти
вероятность того, что три наугад взятые детали будут окрашенными.
Решение. Рассмотрим случайные события:
А = {три взятые детали окрашенные},
А1 = {первая взятая деталь окрашенная},
А2 = {вторая взятая деталь окрашенная},
А3 = {третья взятая деталь окрашенная}.
Поскольку А = А1А2А3, то Р(А) можно вычислить, используя формулу
умножения вероятностей:
Р(А) = Р(А1)Р(А2А1)Р(А3А1А2).
По условию детали берут наугад, поэтому для вычисления вероятностей в
правой части формулы можно использовать классическое определение
65
вероятности: P( A1 )  8  4 ; после того, как взяли одну окрашенную деталь, в
10 5
ящике осталось 9 деталей, из которых 7 деталей окрашенные. Значит, Р(А2А1) =
7 и, аналогично рассуждая, получим, что Р(А А ) = 6  3 .
3
2
9
8
4
Следовательно, искомая вероятность
4 7 3 7
P( A)     .
5 9 4 15
7
Ответ:
.
15
Случайные события А и В называются независимыми, если
Р(АВ) = Р(А)Р(В).
Случайные события А1, А2, …, Аn называются независимыми, если для
любого набора событий Ai1 , ..., Aik , 1  i1  … ik  n, 2  k  n, вероятность
произведения этих событий равна произведению вероятностей этих событий.
Из этого определения следует, что вероятность произведения любого числа
независимых случайных событий равна произведению вероятностей этих
событий.
Пример. Стрелки стреляют по одному разу в мишень. Вероятности
попадания в мишень у первого, второго и третьего стрелка соответственно
равны 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что будет только два попадания в
мишень.
Решение. Рассмотрим случайные события:
А = {только два попадания в мишень},
Аi = {i-ый стрелок попал в мишень},
Bi = {промахнулся только i-ый стрелок},
i = 1, 2, 3.
A  B1  B2  B3 , B1  A1  A2  A3 , B2  A1  A2  A3 , B3  A1  A2  A3 .
Случайные события A1 , А2, А3 являются независимыми, так как связаны с
независимыми случайными экспериментами, поэтому Р( A1 А2А3) =
=Р( A1 )Р(А2)Р(А3). Аналогично получим, что Р(А1 A2 А3) = Р(А1)Р( A2 )Р(А3) и
Р(А1А2 A3 ) = Р(А1)Р(А2)Р( A3 ).
Поскольку сумма вероятностей противоположных случайных событий
равна 1, то Р( A1 ) = 0,3; Р( A2 ) = 0,2 и Р( A3 ) = 0,1. Следовательно,
Р(А) = 0,3  0,8  0,9 + 0,7  0,2  0,9 + 0,7  0,8  0,1 = 0,378.
Ответ: 0,378.
Формула полной вероятности и формулы Байеса
66
Пусть наступление случайного события А влечёт наступление одного из
попарно несовместных случайных событий Н1, Н2,…,Нn, и Р(Нi)  0, i = 1,…, n,
тогда справедлива формула полной вероятности:
Р(А) = Р(Н1)Р(АН1) + Р(Н2)Р(АН2) +… + Р(Нn)Р(АНn),
а также формулы Байеса:
Р (НiА) =
P( H i ) P( A H i )
, i = 1, 2, …, n,
P ( A)
в которых Р(А) вычисляется по формуле полной вероятности.
Пример. В ящике пять деталей, изготовленных на заводе №1, и четыре
детали, изготовленных на заводе №2. Каждая деталь завода №1 не имеет
дефектов с вероятностью 0,8 , а каждая деталь завода №2 − с вероятностью 0,9.
Наугад взятая деталь не имеет дефектов. Найти вероятность того, что взятая
деталь изготовлена на заводе №1.
Решение. Рассмотрим случайные события
А = {взятая деталь не имеет дефектов},
Н1 = {взятая деталь изготовлена на заводе №1},
Н2 = {взятая деталь изготовлена на заводе №2}.
Нужно найти вероятность того, что взятая деталь изготовлена на заводе
№1 при условии, что она не имеет дефектов, т.е. найти условную вероятность
Р(Н1|А).
Случайные события Н1 и Н2 несовместны и образуют полную группу, т.е.
в случайном эксперименте (наугад берут деталь) всегда наступает одно из этих
событий. Значит, условную вероятность Р(Н1|А) можно найти по формуле
Байеса, а вероятность случайного события А по формуле полной вероятности
Р( А)  Р( Н1 ) Р( А Н1 )  Р( Н 2 ) Р( А Н 2 ) .
Используя классическое определение вероятности, найдем
5
4
Р( Н 1 )  , Р( Н 2 )  .
9
9
Из условия задачи Р( А Н 1 )  0,8 и Р( А Н 2 )  0,9 . Следовательно,
5
Р( Н 1 )  Р( А Н 1 ) 9  0,8 10
5
4
38

 .
, Р( Н 1 А) 
Р( А)   0,8   0,9 
38
Р( А)
19
9
9
45
45
10
Ответ:
.
19
К задачам 431 − 450.
Случайная величина Х − это функция, определенная на множестве
элементарных исходов Ω случайного эксперимента, и принимающая значения
во множестве действительных чисел.
67
Х  Х ( ) ,   Ω .
Если случайная величина, имеет конечное или счетное число значений, то
она называется дискретной. Чтобы задать закон распределения дискретной
случайной величины Х, нужно указать все значения хi этой случайной величины
и вероятности рi = Р(Х = хi) наступления случайных событий {Х = хi},
i = 1, 2 ,3, … Если все эти вероятности заданы правильно, то их сумма равна 1.
Пусть случайная величина Х имеет конечное число значений х1, х2, … , хn и
Р(Х = хi) = рi , i = 1, 2 , … , n , тогда математическим ожиданием случайной
величины Х называется число, обозначаемое М(Х) и определяемое формулой
M  X   x1 p1  x2 p2  ...  xn pn .
Математическое ожидание случайной величины Х определяет центр,
около которого расположены значения этой величины. Разброс значений
относительно этого центра характеризуется другой числовой характеристикой,
которая называется дисперсией и определяется формулой


D X   M  X  M  X  .
2
Для вычисления дисперсии можно использовать формулу
D X   M X 2   M  X  ,
2
где число M X 2   x12 p1  x22 p2  ...  xn2 pn называется вторым моментом
случайной величины Х. Значит, дисперсия случайной величины равна разности
второго момента и квадрата математического ожидания этой случайной
величины.
Пример. На одной грани кубика написано число 3, на двух − число 2 и на
трех − число 1. Кубик бросили три раза. Найти математическое ожидание и
дисперсию суммы выпавших чисел.
Решение. Пусть случайная величина Хi − это число, выпавшее при i-ом
бросании кубика, i = 1, 2, 3, а случайная величина Х − это сумма выпавших
чисел. Тогда Х  Х 1  Х 2  Х 3 . Найдем закон распределения случайной
величины Хi. Случайная величина Хi может принимать значения 1, 2 и 3.
Используя классическое определение вероятности, найдем вероятности
p1  Р X i  1 
3 1

,
6 2
p 2  P X i  2  
2 1

,
6 3
p3  P X i  3 
Следовательно,
1
1
1 5
 2  3  ,
2
3
6 3
1
1
1 10
,
M  X i2   x12 p1  x22 p2  x32 p3  1   4   9  
2
3
6 3
10 25 5
2
2
D X i   M X i  M  X i   
 , i = 1, 2, 3 .
3
9 9
M  X i   x1 p1  x2 p2  x3 p3  1 
 
68
1
.
6
Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме
математических ожиданий этих случайных величин, поэтому
5
M X   M X1   M X 2   M X 3   3   5 .
3
Случайные величины Х1, Х2, Х3 связаны с независимыми экспериментами,
поэтому эти случайные величины являются независимыми, а дисперсия суммы
независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих случайных
величин. Используя это свойство дисперсии, получим, что
5 5
D X   D X 1   D X 2   D X 3   3   .
9 3
5
.
3
Функцией распределения случайной величины Х называется функция
y = F(x) такая, что F(x) = P(X < x) для всех х  R .
Случайная величина Х называется абсолютно непрерывной, если ее
функция распределения y = F(x) дифференцируема во всех точках за
исключением, быть может, конечного числа точек, при этом функция
f  x   F  x  называется плотностью распределения случайной величины Х.
Пусть y = f(x) − плотность распределения абсолютно непрерывной
случайной величины Х, тогда
Ответ: M ( X )  5 , D X  

1)
 f x dx  1 ;

2) F ( x) 
x
 f (t )dt
− функция распределения случайной величины Х;


3) M  X    xf  x dx − математическое ожидание случайной величины Х

при условии, что несобственный интеграл сходится;
4) M  X

2
   x f x dx
2
−
второй момент случайной величины Х при

условии, что несобственный интеграл сходится;
5) D X   M X 2   M  X  − дисперсия случайной величины Х;
1
6) любое решение уравнения F ( х) 
, где y = F(x) − функция
2
распределения случайной величины Х, является медианой случайной
величины Х и обозначается Ме(Х).
Пример. Дана плотность распределения
2
69
3
 4 , x  (1; 0) ,

f ( x)  c , x  (0; c) ,
0 , x  1 или х  с


случайной величины Х. Найти неизвестный параметр с , а также функцию
распределения, медиану, математическое ожидание и дисперсию случайной
величины Х.

Решение. Найдем неизвестный параметр с из условия
 f x dx  1 .


0
3
c
3
 f ( x)dx   4 dx   cdx  4 x

1
0
c
0
 cx 
1
0
3
 c2
4
3
1
 c2  1 ; c   .
4
2
;
1
.
2
Найдем функцию распределения. Для этого рассмотрим несколько
случаев.
Поскольку плотность распределения должна быть неотрицательной, то с 
1) х  1 ;
2)  1  x  0 ;
1
3) 0  x  ;
2
1
4) х  ;
2
x
x


 f (t )dt   0dt  0
F ( x) 
1
x
;
x
3
3
F ( x)   f (t )dt   0dt   dt  t
4


1 4
1
x
3
1
3
F ( x)   0dt   dt   dt  t
4

1 4
0 2
0
0
1
2
3
1
3
F ( x)   dt   dt  t
4
1 4
0 2
0
1
 t
2
1
1
2
0

0
x

1
1
 t
2
1
3
x  1 ;
4
x

0
3 1
 x ;
4 2
3 1
 1 .
4 4
0, x  1 ,
3
  x  1,  1  x  0 ,
 4
F ( x)   1
1
 4 2 x  3, 0  x  2 ,

1, x  1 .

2
Найдем медиану. Если х  1 или х 
не имеет. Пусть  1  х  0 , тогда F ( x) 
1
1
, то уравнение F ( x)  решений
2
2
3
х  1 ,
4
70
1
x     1; 0 .
3
3
х  1  1 ;
4
2
Следовательно, Me( X )  

1
.
3
1
2
0
3
1
3
M ( X )   x f ( x)dx   x  dx   x  dx  x 2
4
2
8

1
0
0

1
1

0
2
3
1
1
M ( X 2 )   x 2 f ( x)dx   x 2  dx   x 2  dx  x 3
4
2
4

1
0
D X   M  X 2   M  X  
2
1 2
x
4
1
2
0
0
3 1
5
  
.
8 16
16
1
 x3
6
1
1
2
0

1 1 13


.
4 48 48
2
13  5  133
  
 0,173 .
48  16  768
1
1
5
Ответ: c  ; Me( X )   , M ( X )   , D( X )  0,173 ,
2
3
16
0, x  1 ,
3
  x  1,  1  x  0 ,
 4
F ( x)   1
1


2
x

3
,
0

x

,
4
2

1, x  1 .

2
К задачам 451 − 460. Случайная величина Х имеет биномиальное
распределение с параметрами р  0; 1 и n  N , если ее значения 0, 1, 2, … , n и
вероятность Р Х  k   Pn (k ) вычисляется по формуле Бернулли:
Pn (k )  Cnk p k q nk , k = 0, 1, 2, … , n , где q = 1 − p .
Случайную величину Х, имеющую биномиальное распределение с
параметрами р и n , можно рассматривать как число наступлений случайного
события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых случайное
событие А наступает с вероятностью р и не наступает с вероятностью q = 1 − р .
Если случайная величина Х имеет биномиальное распределение с
параметрами p и n, где 0  p  1 , то при большом числе испытаний n и малой
вероятности p для вычисления вероятности P X  k  применяется формула
Пуассона
71
k  
P X  k  
 e , где   np .
k!
Абсолютная погрешность формулы Пуассона не превосходит  p . Если
это число не является малым, то для вычисления вероятности P X  k  нужно
использовать локальную теорему Муавра − Лапласа, согласно которой
1
npq
P X  k  
 k  np 
,
f 

npq


2
1  x2
e − плотность распределения случайной величины, имеющей
где f  x  
2
стандартное нормальное распределение.
Интегральная теорема Муавра − Лапласа дает формулу для
приближенного вычисления вероятности Pk1  x  k 2  :
Pk1  x  k 2   Ф x2   Ф x1  ,
k 2  np
k1  np
1 x  z2
где x2 
, x1 
и Фx  
 e dz − функция Лапласа.
npq
npq
2 0
2
Заметим, что функция Лапласа является нечетной, т.е. Ф x   Ф x  для
любого х.
Функция Лапласа табулирована. Укажем ее некоторые значения.
x
0
0,4
0,6
0,8
1
1,5
 (x)
0
0,1554
0,2257
0,2881
0,3413
0,4332
x
1,64
1,65
1,84
1,96
2,5
4
 (x)
0,4495
0,4505
0,4671
0,4750
0,4938
0,499968
Если x  4 , то ( x)  0,5 .
Пример. Найти вероятность того, что из 100 проверенных изделий а) 90
изделий, б) не более 95 изделий окажутся изделиями первого сорта, если
каждое проверяемое изделие является первосортным с вероятностью 0,9.
72
Решение. Пусть Х − число изделий первого сорта из 100 проверенных
изделий. Случайная величина Х имеет биномиальное распределение с
параметрами p  0,9 и n  100 .
а) Для нахождения вероятности P X  90  используем локальную
теорему Муавра-Лапласа
 k  np 
1
,
P X  k  
f 
npq  npq 
где k  90 , n  100 , p  0,9 , q  1  p  0,1.
1
1 1
 0,133 .
npq  3 и P X  90   f 0  
3
3 2
б) Для нахождения вероятности P X  95 используем интегральную
теорему Муавра-Лапласа.
Следовательно, n  p  90 ,
P X  95  P0  X  96   Фx 2   Фx1  ,
0  90
96  90
 30 , x2 
 2 , Ф 30   Ф30   0 , Ф2  0,4772 .
3
3
Следовательно, P X  95  0,4772 .
Ответ: а) 0,133 ; б) 0,4772 .
где x1 
Библиографический список
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 1, 2. М.: Наука, 1981.
2. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. - Т. 2. - М.: Высш. шк., 1981.
3. Бугров Я.С., Никольский С.М.
Высшая математика.
Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции
комплексного переменного. - М.: - Наука, 1980.
4. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. - М.:
Наука, 1980.
5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.:
Наука, 1972.
73
Контрольные задания
и методические указания
по курсу высшей математики
для студентов заочного факультета
(2 курс)
Составители: СКОВОРОДА Борис Федосьевич
АСТРАХАНЦЕВ Виктор Васильевич
СОСНИНА Лидия Николаевна
Редактор Н. О. Козина
Лицензия ИД №05875 от 4.07.01
Подписано в печать
.Формат 60  84 116 . Печать плоская.
Усл. печ. л. 4,18. Тираж 1000 экз. Заказ
Ивановский государственный энергетический университет.
153003 Иваново, ул. Рабфаковская, 34.
74