Разделитель на основе пористой мембраны Введение

Разделитель на основе пористой мембраны
Введение
Рассматривается разделитель разреженного газа на основе пористой мембраны.
Исследуется коэффициент разделения смесей при прохождении через данный
разделитель. Разделитель состоит из каналов двух типов с разными размерами. Узкие
каналы используются чтобы вызвать эффект разделения газов, в то время как широкие
используются для создания потоков газа с большими скоростями
течения.
Подобные устройства были рассмотрены, например, в [6]. Там уравнение Больцмана
решалось методом прямого моделирования Монте-Карло (DSMC).
Рисунок 1
Постановка задачи
Требуется обнаружить эффект разделения смесей из двух газов с разной массой молекул
при прохождении через пористую мембрану. Течение предполагается плоским
двумерным. Два канала разделены между собой пористой мембраной толщиной 𝑙 ,
обладающей “порами” размера 𝑑. Давления газа равны 𝑝1𝐴 , 𝑝1𝐵 на входе и выходе верхнего
канала, соответственно, и 𝑝2𝐴 , 𝑝2𝐵 на входе и выходе нижнего канала. Давления 𝑝1𝐴 , 𝑝2𝐴 на
входе заданы. Давления на выходе связаны с давлениями на входе через безразмерный
градиент давления 𝑎: 𝑝1𝐵 = 𝑝1𝐴 (1 − 𝑎𝐿⁄𝐷), 𝑝2𝐵 = 𝑝2𝐴 (1 − 𝑎𝐿⁄𝐷).
Задача решается как начально-краевая методом установления до достижения
стационарного режима течения.
Граничные условия:
Граничным условием на стенках является условие диффузного отражения - все
отраженные от стенки молекулы имеют максвелловское распределение с температурой,
равной температуре стенки в точке отражения.
Рассмотрим, для простоты, одномерный случай отражения от стенки 𝑥 = 𝑎 при условии,
что нормаль стенки направлена против оси 𝑥.
𝑝2
𝑓(𝑝, 𝑡) = 𝑙(𝑡) exp (− 2𝑚𝑇 ) , 𝑝 < 0
𝑤
(1)
где 𝑙(𝑡) некоторая функция от времени (см. ниже), а 𝑇𝑤 − температура стенки.
Найдем 𝑙(𝑡), поставив на стенке условие не протекания газа:
𝑝𝑐𝑢𝑡
∫0
0
𝑝𝑓(𝑝, 𝑡)𝑑𝑝 = ∫−𝑝 |𝑝| 𝑓(𝑝, 𝑡)𝑑𝑝
𝑐𝑢𝑡
(2)
Из (1) и (2) получаем:
0
𝑙(𝑡) =
∫−𝑝
𝑐𝑢𝑡
|𝑝|𝑓(𝑝,𝑡)𝑑𝑝
𝑝2
𝑝
∫0 𝑐𝑢𝑡 𝑝𝑓(𝑝,𝑡)exp(−2𝑚𝑇 )
(3)
ст
Формулы для трехмерного случая выглядят аналогично.
Граничные условия на входах и выходах широких каналов являются максвелловскими
функциями, определяемыми макропараметрами.
Распределение скорости газа на входах и выходах каналов задается следующей формулой
𝐴,𝐵
𝐴,𝐵
𝑣1,2
(𝑦) = −𝑏1,2
(𝑦 − 𝑦1,2+ )(𝑦 − 𝑦1,2− ), где 𝑦1+ , 𝑦1− , 𝑦2+ , 𝑦2− координаты стенок каналов,
а коэффициенты 𝑏1𝐴 , 𝑏1𝐵 , 𝑏2𝐴 , 𝑏2𝐵 определяются в процессе счета так, что потоки газа через
границу равны потокам через области Ω1𝐴 , Ω1𝐵 , Ω2𝐴 , Ω𝐵2 вблизи границ. Относительные
𝜒𝐴
концентрации на входах 𝜒1𝐴 , 𝜒2𝐴 заданы так, что 1⁄ 𝐴 = 1, на выходах доли газов 𝜒1𝐵 , 𝜒2𝐵
𝜒2
𝐵
определяются путем усреднения долей в областях Ω1 , Ω𝐵2 .
Начальные условия:
Начальные условия для обоих газов одинаковы. Считаем, что в начальный момент в
каналах находится однородный газ с максвелловским распределением. Температура газа в
верхнем канале 𝑇1 , а в нижнем 𝑇2 < 𝑇1 . Давление газа меняется линейно от 𝑝1𝐴 на входе
верхнего канала к 𝑝1𝐵 < 𝑝1𝐴 на выходе, и, соответственно, от 𝑝2𝐴 на входе нижнего канала к
𝑝2𝐵 < 𝑝2𝐴 на выходе.
Начальное распределение с температурой 𝑇0 :
𝑝⃗2
∞
∞
∞
𝑝⃗2
𝑓(𝑝⃗) = 𝐶𝑒𝑥𝑝 (− 2𝑚𝑇 ) , 𝐶 = 𝑛0 (∫−∞ ∫−∞ ∫−∞ exp(− 2𝑚𝑇 )𝑑𝑝⃗)−1 , 𝑝⃗ < 𝑝⃗𝑐𝑢𝑡
0
0
Начальное условие для дискретной функции получается после перенормировки:
𝑝𝛼2 + 𝑝𝛽2 + 𝑝𝛾2
0
𝑓𝛼,𝛽,𝛾 = 𝐶𝑒𝑥𝑝 (−
),
2𝑚𝑇0
𝑁𝑝 𝑁𝑝 𝑁𝑝
𝐶 = 𝑛0 (∑ ∑ ∑ 𝑒𝑥𝑝 (−
𝛼=1 𝛽=1 𝛾=1
𝑝𝛼2 + 𝑝𝛽2 + 𝑝𝛾2
2𝑚𝑇0
2
))−1 , (𝑝𝛼2 + 𝑝𝛽2 + 𝑝𝛾2 ) < 𝑝𝑐𝑢𝑡
Возьмем 𝑛0 в качестве характерной величины плотности. Тогда 𝑛0 = 1 .
Тогда для двух газов с разными массами 𝑚1 = 1 и 𝑚2 = 2 получаем следующее начальное
распределение:
∞
𝑝⃗2
𝑓1 (𝑝⃗) = 𝐶𝑒𝑥𝑝 (−
),
2𝑚1 𝑇0
∞
∞
𝑝⃗2
𝐶 = ( ∫ ∫ ∫ exp (−
) 𝑑𝑝⃗)
2𝑚1 𝑇0
−1
, 𝑝⃗ < 𝑝⃗𝑐𝑢𝑡
−∞ −∞ −∞
∞
𝑝⃗2
𝑓2 (𝑝⃗) = 𝐶𝑒𝑥𝑝 (−
),
2𝑚2 𝑇0
∞
∞
𝑝⃗2
𝐶 = ( ∫ ∫ ∫ exp (−
) 𝑑𝑝⃗)
2𝑚2 𝑇0
−1
, 𝑝⃗ < 𝑝⃗𝑐𝑢𝑡
−∞ −∞ −∞
Уравнение Больцмана, на основе которого построено решение:
𝜕𝑓
𝜕𝑡
+
𝑝𝑥 𝜕𝑓
𝑚 𝜕𝑥
+
𝑝𝑦 𝜕𝑓
𝑚 𝜕𝑦
= 𝐼(𝑓)
(4)
Здесь 𝑓(𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑝𝑥 , 𝑝𝑦 , 𝑝𝑧 ) – функция распределения, представляющая собой плотность газа
в (𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑝𝑥 , 𝑝𝑦 , 𝑝𝑧 ) пространстве.
Нелинейный интегральный оператор 𝐼(𝑓) учитывает столкновения между молекулами.
Подробнее см.[1].
Переход к безразмерным переменным:
Выберем температуру 𝑇2 в качестве масштаба температур, тогда 𝑇2 = 1.0.
За единицу массы молекул мы берем массу молекул первого газа, тогда 𝑚1 = 1, 𝑚2 = 2.
2𝑘𝑇1
В качестве масштаба скоростей выберем 𝜉1 = √
𝑚
– среднеквадратичную скорость для
𝑇1 , тогда 𝜉1 = 1.0.
В качестве масштаба длины выберем среднюю длину свободного пробега молекул, то есть
λ = 1. Пусть задано число Кнудсена: 𝐾𝑛 =
𝜆
𝐿
1
= 𝐿, где L – размер области счета. Эти
параметры мы используем при расчете интеграла столкновений.
В качестве масштаба масс выберем массу молекулы 𝑚 = 1(газ пока одноатомный).
В качестве масштаба размеров молекул выберем радиус молекулы 𝑟 = 1.
Метод решения
Расщепление по физическим процессам:
Мы представим разностную схему, аппроксимирующую уравнение Больцмана
𝜕𝑓 𝑝𝑥 𝜕𝑓 𝑝𝑦 𝜕𝑓
+
+
= 𝐼(𝑓)
𝜕𝑡 𝑚 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑦
где 𝐼(𝑓) − интеграл столкновений,
в виде последовательной цепочки из схемы, аппроксимирующей уравнение релаксации
𝜕𝑓
𝜕𝑡
= 𝐼(𝑓)
и схемы, аппроксимирующей уравнение переноса
(6)
𝜕𝑓
𝜕𝑡
+
𝑝𝑥 𝜕𝑓
𝑚 𝜕𝑥
+
𝑝𝑦 𝜕𝑓
=0
𝑚 𝜕𝑦
(7)
Другими словами, на малом интервале времени мы можем разбить нашу задачу решения
уравнения Больцмана на две последовательные: на задачу релаксации и задачу переноса
без столкновений.
Рассмотрим их по отдельности.
Уравнение релаксации (6) можно переписать в виде:
𝑡
𝑓(𝑥, 𝑝, 𝑡) = 𝑓(𝑥, 𝑝, 0) + ∫0 𝐼[𝑓(𝑥, 𝑝, 𝑠)]𝑑𝑠
(8)
Где 𝑡 – некоторый выбранный временной интервал.
Или в виде разностной схемы:
𝑓𝑖
(𝜗+1)
= 𝑓𝑖
(𝜗)
(𝜗)
̃𝜗 , 𝑓𝑖
+ 𝜏𝛿𝐼𝑖 , 𝜗 = 1, … , 𝑁
(1)
𝑗
= 𝑓𝑖 , 𝑓𝑖
̃𝜗 +1)
(𝑁
= 𝑓𝑖
𝑗+1
(9)
Преимущество данной схемы в том, что мы меняем функцию распределения не скачком
каждую итерацию, а непрерывно – в процессе суммирования. Кроме того, в этой схеме
контролируется не отрицательность функции распределения.
Схему, аппроксимирующую уравнение переноса (7), смотри в формуле (13) и дальше.
Метод решения задачи для смеси газов:
Рассмотрим два разреженных газа с массами молекул 𝑚1 = 1, 𝑚2 = 2. Учет
взаимодействия между ними идет только при расчете интеграла столкновений.
Как уже упоминалось выше (см. (6)), на малом интервале времени мы можем разбить
нашу задачу решения уравнения Больцмана на две последовательные: на задачу
релаксации и задачу переноса без столкновений.
Таким образом, один временной шаг выглядит следующим образом:
Применяется временной шаг с помощью уравнения переноса (подробнее (13)) для
первого газа:
𝜕𝑓1 𝑝1𝑥 𝜕𝑓1 𝑝1𝑦 𝜕𝑓1
+
+
=0
𝜕𝑡 𝑚1 𝜕𝑥 𝑚1 𝜕𝑦
И для второго газа:
𝜕𝑓2 𝑝2𝑥 𝜕𝑓2 𝑝2𝑦 𝜕𝑓2
+
+
=0
𝜕𝑡
𝑚2 𝜕𝑥 𝑚2 𝜕𝑦
После чего рассчитываются все столкновения (в том числе и между молекулами разных
газов) с помощью уравнения релаксации (подробнее см. (9)):
𝜕𝑓1
= 𝐼(𝑓1 , 𝑓1 ) + 𝐼(𝑓1 , 𝑓2 )
𝜕𝑡
𝜕𝑓2
= 𝐼(𝑓2 , 𝑓2 ) + 𝐼(𝑓2 , 𝑓1 ),
𝜕𝑡
где 𝐼(𝑓1 , 𝑓2 ) − интеграл столкновений.
Теорема Куранта:
Необходимым условием того, что явная схема, аппроксимирующая (4), будет устойчивой,
выступает следующее условие для временного шага:
𝜏=
min
0≤𝑖≤𝑁𝑥 ,0≤𝑗≤𝑁𝑦
|
ℎ𝑖,𝑗
𝜉
|
(10)
Условие (10) называется условием Куранта.
Доказательство теоремы опускается.
Метод расчета интеграла столкновений:
Введем следующие обозначения: пусть 𝒑, 𝒑1 − импульсы молекул до столкновения,
𝒑′ , 𝒑1′ −после, 𝑧, 𝑏, 𝜀 − цилиндрические координаты, 𝜀 − азимутный угол, 𝑏 − прицельное
расстояние. Импульсы после столкновения 𝒑′ , 𝒑1′ некоторым образом определяются из
начальных условий:
𝒑′ = 𝜑(𝒑, 𝒑1 , 𝑏, 𝜀),
𝒑1′ = 𝜑1 (𝒑, 𝒑1 , 𝑏, 𝜀),
𝑔 = |𝒑1 − 𝒑|,
где 𝜑, 𝜑1 – некоторые векторные функции определяемые потенциалом взаимодействия.
Тогда интеграл столкновений можно записать в виде:
𝐼(𝑓) = ∫(𝑓 ′ 𝑓1′ − 𝑓𝑓1 ) 𝑔𝑏𝑑𝑏𝑑𝜀𝑑𝒑1 𝑑𝒑
Где 𝑓 = 𝑓(𝒓, 𝒑, 𝑡), 𝑓1 = 𝑓(𝒓, 𝒑1 , 𝑡), 𝑓 ′ = 𝑓(𝒓, 𝒑′ , 𝑡), 𝑓1′ = 𝑓(𝒓, 𝒑1′ , 𝑡)
Явный вид интеграла столкновений:
𝑏𝑚𝑎𝑥 2𝜋
𝑝𝑐𝑢𝑡
𝐼(𝑝) = ∫ ∫
0
0
𝑝1 𝑝
∫ {𝑓 (𝜑(𝑝, 𝑝1, 𝑏, 𝜀)) 𝑓 (𝜑1 (𝑝, 𝑝1, 𝑏, 𝜀)) − 𝑓(𝑝)𝑓(𝑝1 )} | − | 𝑏𝑑𝑏𝑑𝜀𝑑𝑝1
𝑚 𝑚
−𝑝𝑐𝑢𝑡
Численный вид интеграла столкновений:
𝐼𝛾 =
2
𝑏𝑚𝑎𝑥
𝑉𝑠𝑝ℎ 𝑁
4√2
𝑁𝜈
(𝜈) (𝜈)
𝜈
∑𝑁
𝜈=1[𝛿𝛼𝜈, 𝛾 + 𝛿𝛽𝜈, 𝛾 − (1 − 𝑟𝜈 )(𝛿𝜆𝜈, 𝛾 + 𝛿𝜇𝜈, 𝛾 ) − 𝑟𝜈 (𝛿𝜆𝜈 +𝑠𝜈 ,𝛾 + 𝛿𝜇𝜈 −𝑠𝜈 ,𝛾 )]𝛺𝜈 (11)
1−𝑟𝜈
𝛺𝜈 = [(𝑓𝜆𝜈 𝑓𝜇𝜈 )
(𝜈)
(𝜈)
𝑟𝜈
(𝜈) (𝜈)
𝒑𝛼
(𝑓𝜆𝜈+𝑠𝜈 𝑓𝜇𝜈−𝑠𝜈 ) − 𝑓𝛼𝜈 𝑓𝛽𝜈 ] | 𝑚𝜈 −
𝒑𝛽𝜈
𝑚
|, 𝑉𝑠𝑝ℎ =
4𝜋
3
3
𝑝𝑐𝑢𝑡
Построение дискретной сетки:
Физическое пространство разбиваем на сетку 200x55 с шагом пространственной сетки ℎ.
Скоростное пространство разбиваем на сетку 20x20x20, то есть ∆𝜉 =
2𝜉𝑐𝑢𝑡
16
=
𝜉𝑐𝑢𝑡
8
, где
𝜉𝑐𝑢𝑡 − скорость обрезания 𝜉𝑐𝑢𝑡 = 4.8𝜉1 = 4.8. Тогда 𝑝𝑐𝑢𝑡 = 𝑚𝑚𝑎𝑥 𝜉𝑐𝑢𝑡 , где 𝑚𝑚𝑎𝑥 = 𝑚2 = 2.
На рисунке 4 видно как физическое пространство задачи разбивается на ячейки. Красным
выделена увеличенная часть сетки.
Рисунок 2
После перехода к дискретной сетке скоростей и безразмерным переменным начальные
условия выглядят следующим образом:
0
𝑓𝛼,𝛽,𝛾
= 𝐶𝑒𝑥𝑝 (−
𝜉𝛼2 + 𝜉𝛽2 + 𝜉𝛾2
2𝑇0
𝑁𝜉
),
𝑁𝜉 𝑁𝜉
𝜉𝛼2 + 𝜉𝛽2 + 𝜉𝛾2 −1 2
1
2
𝐶=
(∑ ∑ ∑ 𝑒𝑥𝑝 (−
)) , (𝜉𝛼 + 𝜉𝛽2 + 𝜉𝛾2 ) < 𝜉𝑐𝑢𝑡
3
(∆𝜉)
2𝑇0
𝛼=1 𝛽=1 𝛾=1
Число Куранта:
Временной шаг выбирается на основе максимальной скорости 𝜏 = 𝜉
ℎ
𝑐𝑢𝑡
, чтобы условие
Куранта (см. (5)) соблюдалось для всех скоростей.
Число Куранта – это безразмерное число, которое сравнивает временной шаг в
вычислениях с характерным временем прохождения элемента жидкости через
контрольный объём. Для скорости 𝜉𝛼 число Куранта:
𝛾=ℎ
𝜏
⁄𝜉
𝛼
=
𝜉𝛼 ℎ
ℎ 𝜉𝑐𝑢𝑡
=
𝜉𝛼
𝜉𝑐𝑢𝑡
(5)
Число Куранта будет нужно в разностной схеме.
Расщепление уравнения переноса по координатам:
Здесь активно используется материал пособия [5].
Рассмотрим уравнение переноса:
𝜕𝑓
𝜕𝑡
+
𝑝𝑥 𝜕𝑓
𝑚 𝜕𝑥
+
𝑝𝑦 𝜕𝑓
𝑚 𝜕𝑦
=0
(12)
Мы разбиваем это уравнение на малом шаге по времени на чередование двух:
𝜕𝑓
𝜕𝑡
𝜕𝑓
𝜕𝑡
+
+
𝑝𝑥 𝜕𝑓
𝑚 𝜕𝑥
𝑝𝑦 𝜕𝑓
𝑚 𝜕𝑦
=0
(13)
=0
(14)
Переход к разностной схеме в уравнении переноса:
Для уравнения переноса мы используем TVD-схему второго порядка точности.
Рассмотрим, например, (13), опустив индекс 𝑥:
𝑝
𝑝
𝑓(𝑥𝑖 , 𝑡𝑗+1 ) − 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑡𝑗 ) 𝑝 𝑓(𝑥𝑖+1⁄2 − ⁄𝑚 𝜏⁄2 , 𝑡𝑗 ) 𝑝 𝑓 (𝑥𝑖−1⁄2 − ⁄𝑚 𝜏⁄2 , 𝑡𝑗 )
+
−
𝜏
𝑚
ℎ
𝑚
ℎ
2
2 ),
= 𝑂(ℎ + 𝜏
𝑓𝑖
𝑗+1
𝑗
𝑗
𝑗
− 𝑓𝑖
𝑝 𝑓𝑖+1⁄2 + 𝑓𝑖−1⁄2
+
= 0,
𝜏
𝑚
ℎ
1−𝛾 𝑗
̅̅̅̅ ,
∆𝑓
𝜉 > 0,
𝑖
2
={
1−𝛾 𝑗
𝑗
̅̅̅̅
𝑓𝑖+1 −
∆𝑓𝑖+1 , 𝜉 < 0.
2
𝑗
𝑓𝑖 +
𝑗
𝑓𝑖+1⁄2
Используемый MC (monotonized central-difference) limiter имеет вид:
𝑗
𝑗
𝑓 − 𝑓𝑖−1
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
̅̅̅̅
∆𝑓𝑖 = min(| 𝑖+1
| , 2|𝑓𝑖+1 − 𝑓𝑖 |, 2|𝑓𝑖 − 𝑓𝑖−1 |)𝑠𝑔𝑛(𝑓𝑖+1 − 𝑓𝑖 )
2
На шаге по времени применяется процедура:
Перенос по 𝑥 на 𝜏⁄2:
𝑓𝑖
𝑗+1
𝑝𝑥 𝜏⁄2 𝑗
𝑗
= 𝑓𝑖 −
(𝑓𝑖+1/2 − 𝑓𝑖−1/2 )
𝑚 ℎ
𝑗
Перенос по 𝑦 на 𝜏:
𝑓𝑖
𝑗+1
И снова по 𝑥 на 𝜏⁄2:
𝑓𝑖
𝑗+1
𝑗
= 𝑓𝑖 −
𝑝𝑦 𝜏 𝑗
𝑗
(𝑓𝑖+1/2 − 𝑓𝑖−1/2 )
𝑚ℎ
𝑝𝑥 𝜏⁄2 𝑗
𝑗
= 𝑓𝑖 −
(𝑓
− 𝑓𝑖−1/2 )
𝑚 ℎ 𝑖+1/2
𝑗
Макропараметры газа определялись следующим образом:
Числовая плотность:
𝑛 = ∑ 𝑓𝛾
𝛾
Температура:
𝑇=
𝑝𝛾
⃗⃗⃗⃗⃗
11
∑( − 𝑢
⃗⃗)2 𝑓𝛾
3𝑛
𝑚
𝛾
где 𝑢
⃗⃗ – средняя скорость в данной ячейке.
Скорость:
𝑣⃗ =
𝑝𝛾
⃗⃗⃗⃗⃗
1
∑ 𝑓𝛾
𝑛
𝑚
𝛾
Сетки Коробова
Сетки Коробова используются для уменьшения погрешности численного вычисления
интеграла столкновений (11).
Очевидно, что чем большее количество узлов интегрирования используется при подсчете
(11), тем меньшей будет погрешность численного интегрирования. Для метода МонтеКарло она обратно пропорциональна корню из числа узлов:
∆𝐼~𝑂(𝑁𝑣−0.5 )
Возникает практический вопрос – можно ли найти зависимость спадающую более
быстро?
Возьмем некоторое простое число 𝑝 и произвольное натуральное 𝑎 , такое что 𝑎 < 𝑝 .
Распределение
𝑥𝑘 = {𝑎𝑘⁄𝑝}, 𝑘 = 1,2, … , 𝑝
где фигурные скобки обозначают дробный остаток ({7.342} = 0.342), является в пределе
равномерным на интервале [0,1]. Аналогично, в случае произвольной размерности 𝑠,
распределение
𝑥𝑘 = {
𝑎1 𝑘 𝑎2 𝑘
𝑝
,
𝑝
,…,
𝑎𝑠 𝑘
𝑝
} , 𝑘 = 1,2, … , 𝑝
(15)
где (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑠 ) – набор натуральных чисел меньших 𝑝, является в пределе равномерным
в 𝑠 − мерном единичном кубе [0,1] × … × [0,1] . Сетки вида (15) называются
параллелепипедальными.
Пусть 𝐶(𝑚1 , … , 𝑚𝑠 ) − коэффициенты Фурье функции 𝑦(𝑥1 , … , 𝑥𝑠 ):
∞
∞
𝑦(𝑥1 , … , 𝑥𝑠 ) = ∑ … ∑ 𝐶(𝑚1 , … , 𝑚𝑠 )𝑒 2𝜋𝑖(𝑚1 𝑥1 +𝑚𝑠 𝑥𝑠 )
𝑚1 =−∞
𝑚𝑠 =−∞
Будем говорить, что функция 𝑦(𝑥1 , … , 𝑥𝑠 ) принадлежит классу 𝐸𝑠𝛼 (𝐶), если для ее
коэффициентов Фурье выполняется следующая оценка:
|𝐶(𝑚1 , … , 𝑚𝑠 )| ≤
𝐶
,𝑚
̅ = max(1, |𝑚𝑖 |)
(|𝑚
̅ 1 ||𝑚
̅ 2 | … |𝑚
̅ 𝑠 |)𝛼 𝑖
где 𝐶 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
Теорема (Коробов) Пусть 𝑦(𝑥) ∈ 𝐸𝑠𝛼 (𝐶) . Тогда для 𝑦(𝑥) c помощью специальных
алгоритмов для каждого 𝑝 > 𝑠можно найти такой набор (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑠 ), что при любом 𝛼 >
1 погрешность вычисления интеграла по узлам (15) удовлетворяет неравенству:
|∆𝐼𝑝 | ≤ 𝐶1 𝐶
ln𝛾 (p)
𝑝𝛼
, 𝛾 = 𝛼𝑠
Где 𝐶1 = 𝐶1 (𝛼, 𝑠) − константа, которая зависит только от 𝛼 и 𝑠.
Доказательство теоремы см.[4].
Такие параллепипедальные сетки самим Коробовым названы оптимальными
параллелепипедальными сетками, хотя мы в дальнейшем их будем называть сетками
Коробова.
Некоторые оценки времени выхода на стационарное состояние:
При отключении интеграла столкновений с такими граничными условиями как у нас
(диффузное отражение) критерием выхода на стационарное состояние проход самой
медленной молекулы от одной стенки до другой. То есть если минимальная скорость
равна 𝑣𝑚𝑖𝑛 =
𝜉𝑐𝑢𝑡
, где 2*10 – это количество разных скоростей, то 𝑡стац = 𝑣
2∗10
𝐿
𝑚𝑖𝑛
и тогда
количество итераций, требующихся, чтобы вывести распределение на стационарный
уровень равно 𝑁стац =
𝑡стац
𝜏
=𝑣
𝐿
𝑚𝑖𝑛
20𝐿
=𝜉
𝜏
𝑐𝑢𝑡 𝜏
, что и подтверждается экспериментом.
После включения интеграла столкновений время достижения стационарного состояния
увеличивается.
Полученные результаты
Проводился счет для случая
𝜒1𝐴
𝑚
𝑝𝐴
⁄ 𝐴 = 1 , 1⁄𝑚2 = 0.5 , 𝑑1⁄𝑑 = 1 , 𝑇1⁄𝑇 = 4 , 1⁄ 𝐴 = 1.7 ,
𝑝2
𝜒2
2
2
𝐾𝑛 (= 𝜆⁄𝐿) = 0.5.
Расход газа для входного и выходного каналов:
1
2
Обозначим 𝐶𝑖𝑛
, 𝐶𝑖𝑛
– расходы, соответственно, для первого и второго газа на входе канала,
1
2
а 𝐶𝑜𝑢𝑡 , 𝐶𝑜𝑢𝑡 на выходе.
Расходы газа в верхнем канале
Расходы газа в нижнем канале
Как видно из графика, начиная со времени 𝑡 = 1.5 расход и 1-ого и 2-ого газа на выходе
нижнего канала перестает увеличиваться и далее уменьшается. Такая не монотонность
связанна большим потоком газа из верхнего канала через поры в нижний, в период
времени 𝑡 ∈ (0, 1.5) (см. рис. 8-11). Это, в свою очередь, связано с тем, что до времени 𝑡 =
1.5 потоки в каналах еще не установились.
Отношение расходов газов на входах и выходах каналов:
Рассмотрим, например, верхний канал. Пусть 𝑥 − параметр разделения смесей:
𝑥=
1
1
𝐶𝑜𝑢𝑡
𝐶𝑖𝑛
−
1
2
1
2,
𝐶𝑜𝑢𝑡
+ 𝐶𝑜𝑢𝑡
𝐶𝑖𝑛
+ 𝐶𝑖𝑛
1
где 𝐶𝑖𝑛
− расход первого газа на входе канала (в нашем случае верхнего).
Соответственно, зависимость 𝑥 от времени для верхнего канала:
Рисунок 3
И для нижнего:
Рисунок 4
На графиках виден эффект разделения смесей в верхнем канале около 6%.
Расходы газов на верхних и нижних границах пор:
Пор много (20 штук), поэтому приведены графики расхода газа только для крайних левой
(0-ой) и правой (19-ой) пор для обоих газов.
Обозначим 𝐶𝑢1 , 𝐶𝑑1 – расходы, соответственно, для верхней и нижней границы поры для
первого газа, а 𝐶𝑢2 , 𝐶𝑑2 для второго газа.
Расход для первого газа в левой поре:
Рисунок 5
Расход для второго газа в левой поре:
Рисунок 6
Расход для первого газа в правой поре:
Рисунок 7
Расход для второго газа в правой поре:
Рисунок 8
Эффект слишком большого тока через поры в начале счета связан с начальным
распределением температур и концентраций.
На некоторых рисунках (см. рис.10) получен отрицательный расход, это связано с тем, что
мы учитываем направление потока газа. Положительным считается направление вверх
(для пор) и вправо (для каналов).
На графиках присутствует большой статистический разброс, что является следствием
достаточно грубой пространственной сетки. Поры должны иметь ширину хотя бы в 5
ячеек, в нашем эксперименте ширина пор составляет 2 ячейки. Что, впрочем, тем не менее
позволяет наблюдать эффект разделения смесей.
Графики макропараметров для стационарного режима:
Рисунок 9
Рисунок 10
Рисунок 11
Рисунок 12
Рисунок 13
Рисунок 14
Рисунок 15
Рисунок 16
Рисунок 17
График 1
Анализ результатов
Представлена модель разделителя, работающего на основе эффекта разделения смесей
при прохождении через пористую мембрану. С помощью TVD схемы было проведено
статистическое моделирование на основе уравнения Больцмана. Результаты показали, что
система работает и имеет способность разделять смеси газов с разной массой молекул.
Коэффициент разделения смесей при 𝑚1⁄𝑚2 = 0.5 порядка 6% (см. рис. 6).
Литература
1. М.Н. Коган. Динамика разреженного газа. Москва. Изд. “Наука” 1967г.
2. Cheremisin, F.G. A Conservative Method for Calculation of the Boltzmann Collision
Integral. Doklady Physics. 1997. V. 42. N. 11. pp. 607-610.
3. F.G. Tcheremissine. Solution to the Boltzmann Kinetic Equation for High-Speed Flows
Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2006, Vol. 46, No. 2, pp. 315–
329.
4. Коробов Н.М. Тригонометрические суммы и их приложения. Москва. Изд. “Наука”
1989. – С. 217-220.
5. А.А. Самарский, Ю.П. Попов. Разностные методы решения задач газовой
механики. – М.: Наука – Физматлит, 1992
6. H. Sugimoto, A. Shinotou. Gas Separator with the Thermal Transpiration in a Rarefied
Gas. Department of Aeronautics and Astronautics, Kyoto University, Kyoto 606-8501,
Japan, 2010