Содержание [DOC, 99 КБ]

N
Наименование
разраздела
дела
Комплексные числа
1
и
функции
комплексного
переменного (ФКП).
2
3
Трудоёмкость (академических часов) и содержание занятий
Аудиторная работа
Самостоятельная работа
Лекции
Семинары
2 часа.
2 часа.
4 часа.
Комплексные числа и действия с Действия
с
комплексными Работа
с
лекционным
ними. Множества точек на числами. Множества точек на материалом.
Отработка
комплексной
плоскости. комплексной плоскости.
практических навыков действий
Последовательности
с
комплексными
числами.
комплексных чисел.
Решения
задач
по
теме
семинарского занятия.
Топология
комплексной
плоскости
2 часа.
2 часа.
2 часа.
Понятие ФКП. Однозначные и Элементарные
функции Работа
с
лекционным
однолистные
отображения. комплексного переменного.
материалом. Визуализация ФКП
Обратные
функции.
в математических пакетах.
Элементарные
функции
комплексного
переменного.
Предел ФКП. Непрерывность и
равномерная непрерывность.
Дифференцирование 2 часа.
2 часа.
6 часов.
ФКП.
Дифференцируемость
по Аналитические функции и их Работа
с
лекционным
комплексному
переменному. свойства.
Исследование
на материалом.
Самостоятельное
Условия
Коши-Римана. аналитичность. Восстановление доказательство заданных теорем.
Аналитические функции и их аналитических функций.
Решение
задач
по
теме
свойства. Геометрический смысл
семинарского занятия.
модуля и аргумента производной
R-дифференцируемость,
Cаналитической
функции.
дифференцируемость.
Понятие
конформного
Производная по направлению.
отображения..
Голоморфность и конформность
отображений
расширенной
комплексной плоскости
Интегрирование
2 часа.
2 часа.
6 часов.
ФКП
Интеграл от ФКП по кривой на Интеграл
по
кривой
на Работа
с
лекционным
комплексной плоскости, его комплексной плоскости.
материалом.
Самостоятельное
свойства,
связь
с
доказательство заданных теорем.
криволинейными интегралами,
Решение
задач
по
теме
сведение
к
интегралу
по
семинарского занятия.
действительной
переменной,
Лемма Гурса. Теорема Коши о
замена
переменной.
гомотопии.
1
Форма
текущего
контроля
ДЗ,
КР,
Об,
РС.
ДЗ,
КР,
Об,
РС.
ДЗ,
КР,
Об,
РС.
4
Ряды ФКП.
5
Единственность
задания
Интегральная теорема Коши.
Неопределенный
интеграл,
первообразная,
формула
Ньютона-Лейбница,
интегральная формула КошиАдамара.
2 часа.
Интеграл Коши. Интегральная
формула
Коши.
Формула
среднего значения. Принцип
максимума
модуля
аналитической функции.
2 часа.
Интеграл
типа
Коши
и
возможность
его
дифференцирования под знаком
интеграла.
Бесконечная
дифференцируемость
аналитических
функций.
Теорема
Морера.
Теорема
Лиувилля. Интегралы, зависящие
от параметра.
2 часа.
Функциональные
ряды.
Равномерная
сходимость.
Почленное
интегрирование
равномерно сходящегося ряда.
Первая и вторая теоремы
Вейерштрасса
о
рядах
аналитических функций.
2 часа.
Степенные ряды. Теорема Абеля.
Круг
сходимости.
Формула
Коши-Адамара
для
радиуса
сходимости.
Ряд
Тейлора.
Теорема
о
представлении
аналитической функции рядом
Тейлора.
2 часа.
Правильные и особые точки
2 часа.
Теорема Коши.
формула Коши.
Интегральная
2 часа.
Функциональные
ряды.
Исследование на равномерную
сходимость.
Почленное
интегрирование
и
дифференцирование равномерно
сходящегося ряда.
6 часов
Работа
с
лекционным
материалом.
Самостоятельное
доказательство заданных теорем.
Решение
задач
по
теме
семинарского занятия.
НеравенстваКоши.
ДЗ,
Аппроксимация
голоморфных КР,
функций полиномами.
Об,
2 часа.
РС.
Степенные ряды комплексной
переменой. Радиус сходимости.
Разложение в ряд Тейлора.
6 часов
Работа
2
с
лекционным
Об,
аналитической
функции
6
Аналитическое
продолжение
7
Ряд Лорана.
8
Особые точки
функции. Нули аналитической
функции. Теорема о нулях
аналитической
функции.
Единственность
определения
аналитической
функции.
Множества
задания
аналитической функции.
2 часа.
Понятие
аналитического
продолжения.
Аналитическое
продолжение
через
общую
подобласть
двух
областей.
Теорема о наличии особой точки
на границе круга сходимости
степенного
ряда
для
аналитической
функции.
Аналитическое
продолжение
через общий участок границы
двух областей. Аналитическое
продолжение с действительной
оси.
Распространение
на
комплексную
плоскость
соотношений, справедливых на
действительной оси. Понятие
римановой поверхности и точки
ветвления
многозначных
функций.
2 часа.
2 часа.
Ряд
Лорана,
область
его Разложение ФКП в ряд Лорана.
сходимости.
Разложение Классификация особых точек.
аналитической функции в ряд
Лорана,
единственность
разложения.
2 часа.
Изолированные особые точки
однозначной
аналитической
функции. Их классификация по
поведению функции и ряду
Лорана. Теоремы об устранимой
особой точке и о полюсе.
3
материалом.
Самостоятельное
доказательство заданных теорем.
6 часов
Работа
с
лекционным
материалом.
Самостоятельное
доказательство заданных теорем.
Теория Вейерштрасса.
Аналитическое продолжением
по цепочке областей. Римановы
поверхности и точки ветвления
многозначных функций.
Об
6 часов
Работа
с
лекционным
материалом. Самостоятельное
доказательство
заданных
теорем. Решение задач по теме
ДЗ,
семинарского занятия.
КР,
Связь рядов Лорана и Фурье.
Об,
РС.
9
10
Вычеты и их
приложения
Конформные
Отображения и их
приложения
Теорема
СохоцкогоВейерштрасса о существенно
особой
точке.
Бесконечно
удаленная точка как особая.
2 часа.
Понятие
вычета.
Основная
теорема
теории
вычетов.
Вычисление
вычетов.
Применение
вычетов
к
вычислению определенных и
несобственных
интегралов.
Лемма Жордана.
Логарифмический
вычет.
Принцип аргумента. Теорема
Руше.
Основная
теорема
высшей алгебры.
2 часа.
Конформные
отображения.
Необходимое и достаточное
условие
конформности
отображения.
Основные
принципы
конформных
отображений:
принцип
соответствия границ, теорема
Римана (без доказательства).
Конформные
отображения,
осуществляемые
элементарными
функциями.
Дробно-линейная функция и ее
свойства. Общий вид дробнолинейного отображения круга
на
себя
и
верхней
полуплоскости
на
круг.
Функция Жуковского и ее
свойства.
2 часа.
Гармонические функции на
4 часа.
Вычисление
вычетов.
Вычисление
контурных
и
несобственных интегралов с
помощью вычетов.
2 часа.
Вычисление
интегралов
с
помщью леммы Жордана.
2 часа.
Интегралы от многозначных
ФКП.
6 часов
Работа
с
лекционным
материалом. Самостоятельное
доказательство
заданных
теорем. Решение задач по теме
семинарского занятия.
Приложения теории вычетов к ДЗ,
КР,
физическим задачам.
Об,
РС.
4 часа.
Решение прямой и обратной
задач
конформного
отображения.
6 часов
Работа
с
лекционным
материалом. Самостоятельное
доказательство
заданных
теорем. Решение задач по теме
семинарского занятия.
Доказательство
теоремы
Римана.
Визуализация
конформных
ДЗ,
отображений на компьютере.
КР,
Об,
РС.
4 часа.
Применение
аппарата
4
11
12
Операционное
исчисление.
Метод перевала.
плоскости,
их
связь
с
аналитическими
функциями.
Преобразование
оператора
Лапласа
при
конформном
отображении.
Применение
конформных отображений в
задачах электростатики. Задача
Дирихле,
применение
конформных отображений для
ее решения. Формулы Пуассона
для круга и для верхней
полуплоскости. Задача Робэнаопределение
плотности
распределения
заряда
на
идеально
проводящем
проводнике.
2 часа.
Преобразование Лапласа и его
свойства.
Изображение
элементарных
функций.
Свойства изображения. Теорема
Меллина, формула обращения
преобразования
Лапласа.
Применение
преобразования
Лапласа к решению линейных
дифференциальных уравнений.
Изображение произведения.
2 часа.
Формула Лапласа. Асимптотика
гамма-функции.
Формула
Стирлинга. Метод перевала.
конформных отображений
решению физических задач.
к
4 часа.
Нахождение изображений и
оригиналов
Решение
задач
Коши
для
линейных
обыкновенных
дифферециальных
уравнений
операторным методом. Решение
линейных
интегральных
уравнений..
6 часов
Работа
с
лекционным
материалом. Самостоятельное
доказательство
заданных
теорем. Решение задач по теме
семинарского занятия.
Применение
операционного
исчисления
в
физике.
Операционное исчисление в
пакетах программ.
ДЗ,
КР,
Об,
РС.
6 часов
Работа
с
лекционным
материалом. Самостоятельное
доказательство
заданных
Об
теорем.
Построение
асимптотик
специальных
функций
математической физики.
5