дифференциальные уравнения - факультете информатики ТГУ.
advertisement
МИНОБРНАУКИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАТИКИ УТВЕРЖДАЮ Декан факультета С.П. Сущенко « » ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ЕН.Ф.1.6) РАБОЧАЯ ПРОГРАММА трудоемкость дисциплины 3 зачетные единицы НАПРАВЛЕНИЕ 080800 – ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА Томск 2010 2010 г. УТВЕРЖДЕНО СОСТАВИТЕЛЬ кафедрой прикладной информатики. д.т.н., профессор кафедры прикладной Протокол №50 информатики от 01.12.2010 г. В.В. Поддубный Зав. кафедрой, профессор С.П. Сущенко I. Организационно-методический раздел Цель курса – изучение теории дифференциальных и разностных уравнений. Задача учебного курса – освоение различных методов решения дифференциальных уравнений разного типа. Дисциплины-предшественники – математический анализ, высшая алгебра Требования к уровню освоения дисциплины – умение применять теорию дифференциальных уравнений к моделированию реальных задач на компьютере. II. Содержание дисциплины II.1. Лекционный курс Тема 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения (ДУ). Основные понятия. Определение дифференциального уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных. Порядок и степень дифференциального уравнения. Понятие решения дифференциального уравнения. Интегральная кривая, частное решение, общее решение, интеграл дифференциального уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения, разрешенные относительно производной. Поле направлений касательных. Изоклины. Особые точки и особые решения ДУ. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные уравнения первого порядка. Неоднородные уравнения. Метод вариации постоянных. Уравнения в полных дифференциалах. Теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения. Условия Липшица. Теорема о непрерывной зависимости решения от параметра и начальных условий. Теорема о дифференцируемости решений. Тема 2. Разностные уравнения и приближенные методы интегрирования ДУ. Понятие полного метрического пространства. Фундаментальные последовательности. Принцип сжатых отображений. Теорема о неподвижной точке. Задача Коши. Метод последовательных приближений Пикара. Разностные схемы. Метод ломаных Эйлера. Недостатки метода ломаных и метода последовательных приближений. Метод Эйлера с уравниванием и метод Хьюна. Методы Рунге-Кутты. Схема метода Рунге-Кутты второго-третьего порядка точности. Схема метода Рунге-Кутты четвертого порядка точности. Тема 3. Дифференциальные уравнения более высокого порядка. Система ДУ. Каноническая (нормальная) форма системы ДУ. Векторное ДУ. Фазовое пространство, фазовые переменные, фазовая кривая, фазовая траектория, фазовый портрет ДУ. Динамическая система. Общий интеграл и частное решение векторного ДУ. Начальная задача (задача Коши), двухточечная краевая задача (ДТКЗ), многоточечные краевые задачи. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для векторного ДУ. Линейные векторные ДУ (системы линейных ДУ). Теоремы существования и единственности для линейных векторных ДУ. Линейно независимые системы решений. Определитель Вронского и его свойства. Фундаментальная система решений. Тема 4. Линейные ДУ с постоянными коэффициентами. Матричная экспонента. Собственные векторы и собственные числа матрицы коэффициентов. Представление общего решения системы однородных ДУ с постоянными коэффициентами через собственные векторы и собственные числа матрицы коэффициентов. Фундаментальная система решений. Фундаментальная матрица. Представление решений однородной и неоднородной системы ДУ с постоянными коэффициентами через фундаментальную матрицу. Метод вариации постоянных. Теорема Лиувилля. Тема 5. Операционное исчисление. Операционное исчисление Хевисайда. Оригиналы и изображения. Преобразование Лапласа. Основные формулы операционного исчисления (линейность преобразования Лапласа, изображение производных, теорема запаздывания). Теорема единственности. Интегрирование ДУ методами операционного исчисления. Тема 6. Автономные (консервативные) системы. Определение и свойства автономных систем. Точка покоя (равновесия). Возможные типы фазовых траекторий автономных систем. Примеры автономных систем: модели “хищник - жертва” (уравнение Лотки-Вольтерры, модифицированные уравнения ЛоткиВольтерры, уравнение Холлинга-Тэннера). Качественная теория автономных систем второго порядка. Линеаризация ДУ вблизи точки покоя. Поля скоростей и направлений исходных и линеаризованных уравнений. Точки покоя как особые точки. Их классификация (узел, фокус, центр, седловая точка) и свойства. Циклы. Точки бифуркации. Бифуркация рождения цикла (бифуркация Хопфа). Предельный цикл. Устойчивый и неустойчивый фокусы. Аттракторы и репеллеры. Тема 7. Первые интегралы ДУ (законы сохранения). Определение и свойства первых интегралов. Теоремы о первых интегралах. Производная в силу системы ДУ (производная по направлению векторного поля скоростей, производная Ли). Связь первых интегралов с фазовым портретом системы и законами сохранения на примере уравнений Лотки-Вольтерры и линеаризованных уравнений ХоллингаТэннера. Тема 8. Теория устойчивости. Определение устойчивости по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Неустойчивость. Второй метод Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости. Функция Ляпунова. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Теорема Четаева о неустойчивости. Устойчивость положения равновесия линейной однородной автономной системы. Теорема о необходимых и достаточных условиях асимптотической устойчивости. Устойчивость нелинейных автономных систем по линейному приближению. Теоремы Ляпунова и Четаева об устойчивости и неустойчивости по линейному приближению. Критерий устойчивости Рауса-Гурвица. Качественный анализ решений линейных (и линеаризованных) ДУ второго порядка по собственным числам матрицы коэффициентов (решениям характеристического уравнения). II.2. Лабораторный практикум (Семинарские занятия) Часть 1. Дифференциальные уравнения Лабораторная работа №1. Метод ломаных Эйлера. Программная реализация разностной схемы метода ломаных. Наблюдение на экране дисплея интегральных кривых и фазовых траекторий, полученных методом ломаных. Исследование сходимости метода. Исследование зависимости точности решения от величины шага интегрирования. Исследование зависимости числа итераций от требуемой точности решения. Графическое (визуальное) сравнение последовательности интегральных кривых и фазовых траекторий с решением, получаемым стандартной процедурой метода Рунге–Кутты порядка точности 4–5 с заданной (высокой) точностью. Иллюстрация работы метода ломаных Эйлера на первых двух-трех шагах в увеличенном масштабе (с большим шагом). Лабораторная работа №2. Метод Эйлера c уравниванием и метод Хьюна. Программная реализация разностной схемы метода Эйлера с уравниванием. Наблюдение на экране дисплея интегральных кривых и фазовых траекторий, полученных этим методом. Исследование сходимости метода. Исследование зависимости точности решения от величины шага интегрирования. Исследование зависимости числа итераций от требуемой точности решения. Иллюстрация работы метода Эйлера с уравниванием на первых двух-трех шагах в увеличенном масштабе (с большим шагом). Лабораторная работа №3. Методы Рунге-Кутты 2–4 порядков точности. Про- граммная реализация разностных схем методов Рунге–Кутты. Наблюдение на экране дисплея интегральных кривых и фазовых траекторий, полученных этими методами. Графическое (визуальное) сравнение интегральных кривых и фазовых траекторий с решением, получаемым стандартной процедурой метода Рунге–Кутты порядка точности 4–5 с заданной (высокой) точностью. Исследование сходимости методов. Исследование зависимости числа итераций (дробления шага интегрирования) от требуемой точности решения и от величины начального шага интегрирования. Построение графической зависимости числа шагов интегрирования от требуемой точности решения и фактической точности решения от числа шагов интегрирования. Совмещение графиков зависимостей фактической точности решения от числа шагов интегрирования для методов Рунге–Кутты 1, 2, 3 и 4 порядков точности. Сравнение точности различных схем метода Рунге–Кутты между собой, с методом ломаных Эйлера и с методом Эйлера с уравниванием. Лабораторная работа №4. Интегральные кривые, фазовые портреты, поля скоростей и направлений. Построение интегральных кривых и фазовых траекторий решений дифференциальных уравнений при различных начальных условиях. Наблюдение особых точек. Построение полей скоростей и полей направлений касательных к фазовым траекториям и интегральным кривым. Качественное исследование решений дифференциальных уравнений по полям скоростей и направлений. Исследование в режиме наложения графиков интегральных кривых и фазовых траекторий на поля скоростей и направлений. Исследование характера особых точек. Наблюдение различного характера поведения решений в окрестности центра и узла. Лабораторная работа №5. Линеаризованные уравнения. Программная реализация решений линеаризованных (относительно точек покоя) систем дифференциальных уравнений. Построение фундаментальных матриц решений линеаризованных автономных систем через собственные векторы и собственные значения матриц коэффициентов. Построение точного решения задачи Коши для линеаризованных уравнений с использованием фундаментальных матриц решений. Сравнение точных решений линеаризованных уравнений с решениями, получаемыми методом Рунге–Кутты для линеаризованных и исходных нелинейных уравнений. Сравнение решений линеаризованных и соответствующих нелинейных уравнений при различных начальных условиях, вблизи и вдали от точки линеаризации. Исследование особых точек линеаризованных уравнений в сравнении с нелинеаризованными при различных значениях параметров систем. Наблюдение явления бифуркации решений. Исследование поведения решений вблизи точки бифуркации. Наблюдение циклов, аттракторов, репеллеров, предельных циклов. Лабораторная работа №6. Первый интеграл. Программная реализация функций, выражающих первые интегралы уравнения Лотки–Вольтерры и линеаризованного уравнения Холлинга–Тэннера. Наблюдение поверхностей этих функций и проекций их горизонтальных сечений (линий фиксированного уровня) на фазовую плоскость. Наложение на линии уровня фазовых траекторий, соответствующих выбранным (интерактивно) начальным условиям. Наблюдение совпадения или подобия кривых. Вычисление первого интеграла на интегральной кривой. Наблюдение постоянства первого интеграла во времени. Интерпретация наблюдаемых законов сохранения. Лабораторная работа №7. Устойчивость и второй метод Ляпунова. Исследование орбитальной устойчивости решений нелинейных и линеаризованных дифференциальных уравнений. Решение матричного уравнения Ляпунова для линеаризованных уравнений. Исследование устойчивости решений этих уравнений вторым методом Ляпунова (по поведению квадратичной функции Ляпунова и ее производной Ли – производной в силу системы – на решениях задачи Коши при начальных условиях вблизи точек покоя). Графическое представление функции Ляпунова и ее полной производной по времени на траектории системы. Сравнение результатов исследования устойчивости вторым методом Ляпунова с результатами, полученными по критерию Рауса-Гурвица. Примечание: Лабораторные работы выполняются на примере моделей “хищник – жертва”, описываемых дифференциальными уравнениями Лотки–Вольтерры и Холлинга– Тэннера. III. Распределение часов курса по темам и видам работ №№ пп Наименование тем Всего Аудиторные занятия (час), часов в том числе лекции 1 2 3 4 5 6 7 8 ИТОГО Обыкновенные дифференциальные уравнения (ДУ) Разностные уравнения и приближенные методы интегрирования ДУ Дифференциальные уравнения более высокого порядка Линейные ДУ с постоянными коэффициентами Операционное исчисление Автономные (консервативные) системы Первые интегралы ДУ (законы сохранения) Теория устойчивости семинары Самостоятельная работа лабораторные занятия 14 8 0 6 18 6 6 6 10 4 4 2 8 4 2 2 4 2 0 2 10 6 2 2 6 2 2 2 8 78 4 36 2 18 2 24 0 IV. Учебно-методическое обеспечение курса IV.1. Основная литература 1. Федорюк М.В.Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1980. – 352 с. IV.2. Дополнительная литература 1. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Наука, ГИФМЛ, 1959. – 468 с. 2. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. – М.: Мир, 1986. –244 с. 3. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1986. – 288 с. 4. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию). – М.: Наука, ГИФМЛ, 1973. – 440 с. IV.3. Программное обеспечение лабораторного практикума Пакет прикладных программ для компьютерного моделирования и вычислений – MATLAB for Windows (лицензионный).
