МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ проф. И.Г. Царьков отделение механики 1 курс, 1 семестр 1. Понятие множества. Операции над множествами. Законы Моргана. Понятие отображения. 2. Множество действительных чисел. Аксиома непрерывности. Принцип полноты Вейерштрасса существования точной верхней и нижней граней. 3. Право и лево индуктивные множества и их свойства. Целые и натуральные числа. 4. Принцип Архимеда. Целая часть действительного числа. Принцип математической индукции. Неравенство Бернулли, бином Ньютона. 5. Геометрическое представление множества действительных чисел. Принцип полноты Кантора – теорема о вложенных отрезках. 6. Открытые и замкнутые множества. Лемма Бореля-Лебега. 7. Предельные и изолированные точки. Критерий замкнутости. 8. Понятие равномощности множеств. Счетность Q. Несчетность R. 9. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности и его свойства. Бесконечно малые последовательности. 10. Арифметические свойства предела последовательности. Теоремы о сохранении знака и переходе в неравенствах к пределу. Теорема о 2-х милиционерах. 11. Теорема Вейерштрасса о монотонной последовательности. Число e и его представление числовым рядом. 12. Расширенная числовая прямая. Пределы типа “e”. 13. Частичные пределы. Теорема Больцано-Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности. Верхний и нижний пределы. Критерий Коши сходимости последовательности. 14. Предел функций и его свойства. Эквивалентность определений предела в смысле Коши и Гейне. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. 15. Арифметические свойства предела. Теоремы о 2-х милиционерах, о сохранении знака и о переходе в неравенствах к пределу. Критерий Коши существования предела функции. 16. Односторонние пределы и их свойства. Пределы монотонных функций. 17. Функции, непрерывные в точке, и их свойства. Непрерывность сложной функции. 18. Классификация особых точек и точек разрыва. Особые точки и точки разрыва монотонных функций. 19. Промежутки и свойство выпуклости в R. Теоремы о промежуточных значениях непрерывной функции. 20. Лемма о продолжении монотонной функции. Мощность множества точек разрыва монотонной функции. 21. Критерий непрерывности монотонной функции и следствие из него. Непрерывность обратной функции. 22. Функции, непрерывные на компакте. Теоремы Вейерштрасса. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора. 23. Показательная функция и ее свойства. Непрерывность показательной функции. 24. Непрерывность степенных, тригонометрических и обратных к ним функций. Непрерывность элементарных функций. 25. Замечательные пределы. Эквивалентные функции. Таблица эквивалентностей. 26. Свойства эквивалентных функций. Значения эквивалентных функций. 27. Предел по базе и его свойства. 28. Арифметические свойства предела по базе, теорема о пределе композиции. Критерий Коши сходимости по базе. 29. Производная, ее геометрический и механический смысл. Дифференцируемость функции, дифференциал и его геометрический смысл. Непрерывность дифференцируемой функции. 30. Свойства дифференцируемых функций. Производная сложной и обратной функции. Производные некоторых элементарных функций. 31. Производные и дифференциалы высших порядков, формула Лейбница, инвариантность дифференциала 1-го порядка. 32. Экстремумы функций. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. 33. Достаточные условия монотонности. Доказательство неравенств при помощи производных. 34. Раскрытие неопределенностей 0 0 , . 35. Формулы Тейлора с остаточным членом в формах Пеано и Лагранжа. Формулы Тейлора некоторых элементарных функций. 36. Ряды Тейлора и их сходимость. Разложения в ряд Тейлора некоторых элементарных функций. 37. Достаточные условия существования экстремума. Выпуклость и вогнутость функции в точке, точки перегиба. 38. Свойства функций с монотонной производной на интервале. Критерий выпуклости функции на отрезке. 39. Неравенства Йенсена, Юнга, Гёльдера, Коши-Буняковского, Минковского. 40. Первообразная, неопределенный интеграл и их свойства. Таблица интегралов. 1 курс, 2 семестр 1. Суммы Дарбу и их свойства. Определенные интегралы Римана и РиманаСтильтьеса. 2. Критерии Дарбу для интегралов Римана и Римана-Стильтьеса. Базы B и B . 3. Интеграл Римана-Стильтьеса как предел сумм Римана-Стильтьеса по базам B и B . Теорема Римана. Достаточные условия интегрируемости. 4. Критерий Лебега интегрируемости функции. 5. Теорема о композиции с непрерывной функцией. Арифметические свойства интеграла Римана-Стильтьеса. 6. Интегральные неравенства, неравенства Гёльдера, Коши-Буняковского и Минковского. Аддитивное свойство интеграла Римана-Стильтьеса как функции отрезка. 1-я теорема о среднем. 7. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле Римана. 8. Формулы Тейлора с остаточным членом в интегральной форме, формах Коши и Лагранжа. Оценка частичных сумм через интеграл. Вычисление интеграла РиманаСтильтьеса. 9. Функции, ограниченной вариации и их свойства. Функция полной вариации и ее свойства. Тождество Абеля. 10. Интеграл Римана-Стильтьеса относительно функции ограниченной вариации. Формула интегрирования по частям. 2-я теорема о среднем, формула Бонне. 11. Несобственные интегралы Римана. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Теоремы Вейерштрасса и сравнения. 12. Признаки Абеля и Дирихле сходимости несобственного интеграла. Замена переменной и интегрирование по частям в несобственном интеграле. Теорема Фруллани. 13. Абсолютная и условная сходимость несобственного интеграла. Формула Стирлинга. 14. Евклидовы и полуевклидовы пространства. Неравенство Шварца и треугольника. Линейные нормированные пространства. Метрические пространства. 15. Открытые и замкнутые множества в метрических и топологических пространствах. Критерий замкнутости. Предел по базе. 16. Пределы и непрерывность в метрических пространствах. Критерий непрерывности функции на топологическом пространстве. Непрерывность сложной функции. 17. Полнота метрических пространств. Критерий Коши существования предела по базе. 18. Пределы и непрерывность в R n . Полнота R n . Арифметические свойства предела по базе. Кратные и повторные пределы. 19. Кривая в R n . Критерий спрямляемости пути. Понятие длины кривой. 20. Компакты в метрических пространствах и их свойства. Критерий компактности в метрических пространствах. 21. Компакты в R n . Критерий компактности в R n . Теоремы Больцано-Вейерштрасса. 22. Функции, непрерывные на компактах, и их свойства. Теоремы Вейерштрасса и Кантора. 23. Связные и выпуклые множества. Теоремы о промежуточном значении непрерывного отображения. 24. Критерий связности открытого множества в R n . Сжимающие отображения в метрических пространствах. 25. Свойства линейных непрерывных отображений, понятие нормы линейного непрерывного отображения. 26. Дифференцируемость в точке. Производная и дифференциал и их свойства. Теорема о дифференцируемости сложной функции. Производная по направлению. 27. Дифференцируемость в пространствах R n . Частные производные, матрица Якоби. Теорема о дифференцировании сложной функции. Геометрический смысл градиента. Достаточное условие дифференцируемости. 28. Частные производные высших порядков. Теоремы Шварца и Юнга о равенстве смешанных производных. 29. Дифференциалы высших порядков. Инвариантность дифференциала 1-го порядка. Теорема о равенстве смешанных производных высших порядков. Формулы Тейлора с остаточным членом в формах Лагранжа и Пеано. 30. Экстремумы функций многих переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума. 31. Формулы конечных приращений. Теорема о неявном отображении. 32. Теоремы об обратном отображении и локальном диффеоморфизме. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. 33. Условный экстремум. Необходимые и достаточные условия существования условного экстремума. 34. Зависимые функции. 2 курс, 3 семестр 1. Сходимость числового ряда. Критерий Коши и необходимое условие сходимости ряда. Простейшие свойства числовых рядов. Абсолютная сходимость. Формула Эйлера. 2. Интегральный признак. Ряд Дирихле. Критерий сходимости знакопостоянных рядов и теоремы сравнения. Признаки Даламбера и Коши. 3. Признаки Раабе и Гаусса. 4. Знакопеременные ряды. Условная сходимость. Признаки Лейбница, Дирихле и Абеля сходимости ряда. 5. Перестановка абсолютно и условно сходящихся рядов. Теоремы Коши и Римана. 6. Двойные и повторные ряды. Абсолютная сходимость двойных рядов и их свойства. 7. Произведение числовых рядов. Теорема Коши-Абеля и Мертенса. 8. Бесконечные произведения и их свойства. Критерий Коши сходимости бесконечного произведения. Формула Валлиса. Критерий сходимости бесконечного произведения. 9. Абсолютная сходимость бесконечного произведения. Критерий абсолютной сходимости. 10. Разложение sin x в бесконечное произведение. 11. Гамма-функция и ее свойства. Формулы Вейерштрасса и Эйлера. 12. Интегральное представление Эйлера для гамма-функции. График гамма-функции. 13. Комплексная дифференцируемость. Свойства комплексно дифференцируемых функций. 14. Степенные ряды, радиус сходимости. Формулы Даламбера и Коши-Адамара для вычисления радиусов сходимости степенных рядов. 15. Дифференцируемость степенного ряда. Степенной ряд как ряд Тейлора своей суммы. Функции e z , cos z , sin z и их свойства. 16. Функции ln z , Ln z и их свойства. Критерии сходимости и абсолютной сходимости бесконечных комплексных произведений. 17. Почленное интегрирование степенных рядов. Теорема о единственности представления степенным рядом. 18. Поточечная и равномерная сходимость функциональных рядов и последовательностей. Критерий Коши и необходимое условие равномерной сходимости. 19. Признаки Вейерштрасса, Дини, Дирихле и Абеля равномерной сходимости. 20. Равномерная сходимость степенных рядов. Теорема Абеля. 21. Равномерная сходимость параметрического семейства. Теоремы о перестановке пределов. Критерий Коши равномерной сходимости параметрического семейства. 22. Полнота пространства непрерывных функций на компакте. 23. Критерий компактности в полных метрических пространствах. 24. Теорема Арцела-Асколи. 25. Интегрирование равномерно сходящихся функциональных рядов и последовательностей. 26. Дифференцирование функциональных семейств, рядов и последовательностей. 27. Пример Ван-дер-Вардена непрерывной нигде не дифференцируемой функции. 28. Собственные интегралы от параметра. Теоремы о непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости собственных интегралов от параметра. 29. Несобственные интегралы от параметра. Критерий Коши равномерной сходимости несобственного интеграла. 30. Признаки Вейерштрасса, Абеля, Дирихле и Дини равномерной сходимости несобственного интеграла от параметра. 31. Предельные переходы под знаком несобственного интеграла. Теоремы о перестановке порядка интегрирования в повторных интегралах. 32. Вычисление интеграла Дирихле. 33. Свойства интегралов Эйлера: бета-функции, гамма-функции. 34. Ортонормированные системы. Ряды Фурье и их частичные суммы. Экстремальные свойства частичных сумм Фурье. 35. Неравенства Бесселя, равенство Парсеваля. Единственность представления рядом Фурье. 36. Пространства L [a, b ] , L 2 [a, b ] . Интегральное представление для тригонометрических частичных сумм Фурье. Ядро Дирихле и его свойства. 37. Плотность кусочно-постоянных финитных и непрерывных функций в L [a, b ] и L 2 [a, b ] . Пределы lim A b a f (x )e iAx dx , lim b x 0 g ( x t ) g ( x 0) 0 0 A 0 t sin At dt . 38. Поточечная сходимость рядов Фурье. Условия Дини и Гельдера. Теорема Дирихле. Принцип локализации Римана. Поточечная сходимость рядов Фурье для функций ограниченной вариации. 39. Равномерные оценки S n ( f , ) и f S n ( f , ) . 40. Суммы Фейера и их свойства. Теорема Фурье. 41. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции многочленами. Замкнутость тригонометрической системы в L 2 [a, b ] . Равенство Парсеваля. 42. Ядра Джексона и их свойства. Неравенство Джексона. Достаточное условие равномерной сходимости. 43. Ряд Фурье суммы равномерно сходящегося тригонометрического ряда. Простейший признак равномерной сходимости рядов Фурье. Почленное дифференцирование рядов Фурье. Скорость убывания коэффициентов Фурье и остатка ряда Фурье. 44. Почленное интегрирование рядов Фурье. Ряды Фурье 2 l -периодических функций. Комплексная форма рядов Фурье. 45. Интеграл Фурье. Формула Фурье. 46. Преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье, и их свойства. 2 курс, 4 семестр 1. Объем параллелепипеда. Теорема о стандартном разбиении параллелепипеда. 2. Элементарные фигуры и их свойства. Критерий измеримости множеств по Жордану. 3. Свойства множеств, измеримых по Жордану. 4. Мера Жордана цилиндроидов и параллелепипедов. Линейное преобразование множеств, измеримых по Жордану. 5. Суммы Дарбу, Ω-суммы, верхний и нижний интегралы Римана. Критерий ограниченности функции. 6. Интеграл Римана и его геометрический смысл. Критерий Дарбу интегрируемости по Риману. 7. Суммы Римана и их свойства. Теорема Римана. 8. Критерий Лебега интегрируемости по Риману. 9. Свойства интеграла Римана. Теорема о среднем. 10. Теоремы Фубини. 11. Свойства С1-диффеоморфизмов. Лемма о верхней мере Жордана окрестности измеримого множества. 12. Теорема о замене переменных в интеграле Римана. 13. Несобственные кратные интегралы. Теорема об абсолютной сходимости несобственного кратного интеграла. 14. Криволинейные интегралы 1-го и 2-го родов и их свойства. 15. Ориентация в n. Формула Грина. 16. Потенциальные векторные поля. Критерий потенциальности. 17. Понятие поверхности. Понятие ориентации гладкой поверхности. 18. Площадь С1-поверхности. 19. Понятие кусочно-гладкой поверхности. Ориентация кусочно-гладкой поверхности. 20. Поверхностные интегралы 1-го и 2-го родов и их свойства. 21. Формула Гаусса-Остроградского. 22. Формула Стокса. 23. Физический смысл интегралов 1-го и 2-го родов, ротора и дивергенции. 24. Общая формула Стокса.