Раздел 1. Кратные интегралы.

ПРОГРАММА КУРСА ЛЕКЦИЙ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
II курс, 3-4 семестр, 1 поток
Лектор: доц. А.М.Будылин
Раздел 1. Кратные интегралы.
1. Двойной интеграл. Интуитивный подход.
2. Интеграл по прямоугольному параллелепипеду в Rn.
3. Множества объема-ноль. Интегрируемые функции.
4. Теорема Фубини. Сведение кратного интеграла к повторному.
5. Аддитивные функции и их плотности.
6. Коэффициент искажения объема при линейном преобразовании.
7. Замена переменных в кратном интеграле.
8. Несобственные кратные интегралы.
9. Интеграл Пуассона.
10. Объем n-мерного шара.
11. Предельный переход под знаком кратного интеграла.
Раздел 2. Криволинейные и поверхностные интегралы.
12. Криволинейный интеграл 1-го рода (по длине дуги).
13. Криволинейный интеграл 2-го рода (от дифференциальной формы).
14. Формула Грина.
15. Площадь поверхности. Поверхностные интегралы 1-го рода.
16. Понятие дифференциальной формы.
17. Дифференциальные операции векторного анализа. Определение градиента,
дивергенции, ротора и оператора Лапласа.
18. Градиент, дивергенция, ротор и оператор Лапласа в криволинейных координатах.
19. Интегрирование дифференциальных форм. Поверхностные интегралы 2-го рода.
20. Понятие многообразия в Rn. Общая формула Стокса.
21. Формула Остраградского-Гаусса. Физический смысл дивергенции.
22. Формула Стокса. Физический смысл ротора.
23. Ньютоново поле.
24. Поле Био и Савара.
25. Построение векторного поля в R3 по его вихрю и расходимости.
26. Элементы дифференциальной геометрии поверхностей
(первая и вторая
квадратичные формы).
Раздел 3. Дифференциальные уравнения.
27. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка (терминология, задача
Коши, методы решения).
28. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка (структура пространства
решений однородных и неоднородных уравнений, определитель Вронского,
нахождение второго линейно независимого решения однородного уравнения, метод
вариации постоянных, теорема Штурма).
29. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка c постоянными
коэффициентами. Приложение в теории колебаний.
30. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков c постоянными
коэффициентами. Символический метод решения.
31. Системы линейных дифференциальных уравнений. Матричная экспонента.
1
32. Метод сжимающих отображений.
33. Теоремы существования и единственности для нелинейных дифференциальных
уравнений.
34. Обыкновенные дифференциальные уравнения, решаемые в квадратурах (с
разделяющимися переменными, однородные, уравнения Бернулли, в полных
дифференциалах). Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
35. Элементы теория устойчивости.
36. Регулярная задача Штурма-Лиувилля.
Раздел 4. Ряды и интегралы Фурье.
37. Операции анализа в случае комплекснозначных функций. Определение и свойства
комплексной экспоненты. Теорема об интегрировании периодических функций.
38. Определение тригонометрического ряда (комплексный и вещественный случай).
Случай равномерной сходимости.
39. Ортонормированные системы в унитарных пространствах (неравенство Шварца,
геометрическое определение коэффициентов Фурье, теорема о проекции, теорема
Пифагора, неравенство Бесселя, лемма Римана--Лебега, минимизирующее свойство
коэффициентов Фурье).
40. Ряды Фурье на пространстве 2  -периодических функций.
41. Свертка периодических функций. Непрерывность и дифференцируемость свертки.
Свойства свертки (билинейность, коммутативность и ассоциативность).
Коэффициенты Фурье свертки. Плотность непрерывно дифференцируемых функций
в пространстве непрерывных функций.
42. Лемма Римана--Лебега.
43. Ядро Дирихле. Его свойства. Теоремы Дирихле (случай непрерывно
дифференцируемых функций; общий случай с явлением Гиббса - без
доказательства).
44. Сходимость рядов Фурье в среднеквадратичном (основная теорема, равенство
Парсеваля; обобщения (без доказательства)).
45. Понятие о полноте и замкнутости ортонормированной системы.
46. Интегрирование рядов Фурье.
47. Дифференцирование рядов Фурье. Скорость убывания коэффициентов Фурье и
гладкость функции.
48. Ряды Фурье на пространстве 2L-периодических функций.
49. Ряды Фурье четных и нечетных функций.
50. Понятие об улучшении скорости сходимости ряда Фурье.
51. Периодические решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами и периодической правой частью. Задача о колебаниях закрепленной
струны.
52. Полнота собственных функций регулярной задачи Штурма--Лиувилля.
53. Интеграл Фурье: интуитивный подход.
54. Преобразование Фурье абсолютно интегрируемой функции.
55. Формула обращения (теорема Фурье).
56. Обратное преобразование Фурье.
57. Гладкость преобразований Фурье быстро убывающих функций и скорость убывания
преобразований Фурье гладких функций.
58. Пространство Шварца. Унитарность преобразования Фурье на пространстве Шварца.
Равенство Парсеваля.
59. Свертка функций на оси. Элементарные свойства. Свойства свертки относительно
преобразования Фурье.
60. Таблица преобразований Фурье. Теоремы подобия и смещения.
2
61. Задача о распространении тепла в бесконечном стержне.
Раздел 5. Вариационное исчисление.
62. Задача о геодезических.
63. Задача о брахистохроне.
64. Задача о наименьшей поверхности вращения.
65. Задача о навигации.
66. Простейшая изопериметрическая задача . Задача Дидо. Обобщения.
67. Простейшая вариационная задача. Подход Лагранжа. Производная по вектору (по
Гато). вариация интеграла как производная по Гато.
68. Основная лемма. Лемма Дюбуа--Реймона.
69. Вариация интегрального функционала. Уравнение Эйлера--Лагранжа. Экстремали.
Понятие о вариационной производной.
70. Анализ уравнения Эйлера--Лагранжа (функция Лагранжа не зависит явно от одной
из переменных; случай полной производной).
71. Интегральный функционал: случай нескольких функций. Система уравнений Эйлера.
Параметрическое представление. Свойство инвариантности.
72. Случай производных высших порядков.
73. Свободные концы. Естественное условие. Условия трансверсальности.
74. Задача Лагранжа. Приложение к отысканию геодезических.
75. Случай кратных интегралов.
76. Первое необходимое условие и его следствия (уравнение Эйлера, условие
Вейерштрасса--Эрдмана и условие Гильберта).
77. Семейства экстремалей. Теорема включения.
78. Канонические уравнения (уравнения Гамильтона). Преобразование Лежандра.
79. Инвариантный интеграл Гильберта.
80. Теорема об огибающей и необходимое условие Якоби.
81. Вторая вариация. Уравнение Якоби (как уравнение Эйлера--Лагранжа и уравнение в
вариациях).
82. Необходимое условие Якоби (аналитический вариант). Сравнение с геометрическим
вариантом.
83. Свойства сопряженной точки.
84. Функция Вейерштрасса. Необходимые условия Вейерштрасса и Лежандра.
85. Поле экстремалей. Теорема о вложении экстремали в поле экстремалей.
86. Уравнение Гамильтона-Якоби. Теорема Якоби.
87. Функционалы геометрической оптики.
88. Динамика частиц (обобщенные координаты, принцип Гамильтона, обобщенные
моменты, гамильтоновы уравнения, скобка Пуассона, уравнение Гамильтона--Якоби,
канонические преобразования).
89. Проблема минимума квадратичного функционала.
90. Минимаксное свойство собственных чисел (теорема Куранта). Следствия.
Литература:
1. В.И.Смирнов. Курс высшей математики, том 2. М.Наука, 1974.
2. Г.М.Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3.
М.Наука 1966.
3. Д.А.Райков. Многомерный математический анализ.М. ВШ, 1989.
4. Б.М.Будак, С.В.Фомин. Кратные интегралы и ряды. М.Наука, 1967.
5. Г.Е.Шилов. Математический анализ. Функции нескольких вещественных
переменных. Ч.1-2. М.Наука, 1972.
3
6. А.Я.Дороговцев. Математический фнализ.Киев, ВШ, 1985.
7. М.Спивак. Математический анализ на многообразиях. М.Мир, 1968.
8. С.М.Никольский. Курс математического анализа, том 2. М. Наука, 1983.
9. М.Наука, 1966.
10. Н.В.Ефимов. Введение в теорию внешних форм. М.Наука, 1977.
11. Дж. Торп. Начальные главы дифференциальной геометрии. М.Мир, 1982
12. У.Рудин. Основы математического анализа. М.Мир, 1976
13. Л.Шварц. Анализ. Том 2. М. Мир. 1972.
14. В.В.Степанов. Курс дифференциальных уравнений. М.ГИТТЛ, 1953.
15. В.И.Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.Наука, 1984.
16. И.Г.Петровский. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
М.ИМУ, 1984
17. Л.С.Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.Наука, 1982.
18. П.И.Лизоркин. Курс дифференциальных уравнений и интегральных уравнений с
дополнительными главами. М.Наука, 1981.
19. И.И.Привалов. Ряды Фурье. М.ОНТИ, 1934.
20. Г.Е.Шилов. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч.3. М.Наука,
1970.
21. В.И.Смирнов. Курс высшей математики, том 4, часть1. М.Наука, 1974.
22. Г.А.Блисс. Лекции по вариационному исчислению. М.ИЛ, 1950
23. М.Лаврентьев и Л.Люстерник. Основы вариационного исчисления, том 1, ч.2,
М.ОНТИ, 1935.
24. И.М.Гельфанд и С.В.Фомин. Вариационное исчисление. М.ФМ, 1961.
4