r 1 - Reshaem.Net

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
1. Плоская волна, возбуждаемая вибратором, колеблющимся по закону
м
x = 0,2∙sin62,8t м, распространяется со скоростью υ = 10 . Записать уравс
нение плоской волны. Определить: 1) Длину бегущей волны; 2) разность фаз
колебаний точек 1 и 2, расположенных вдоль луча на расстояниях r1 = 10,25
м и r2 = 10,75 м от вибратора, через t = 5 с от начала колебаний вибратора;
3) смещения точек 1 и 2.
Дано:
x = 0,2∙sin (62,8∙t) м
м
υ = 10
с
r1 = 10,25 м
r2 = 10,75 м
t=5с
_______________________
λ -? ∆φ -? y1 -? y2 -?
Решение:
Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны,
колеблются с разностью фаз, равной 2π, а точки, находящиеся друг от друга
на любом расстоянии ∆r, колеблются с разностью фаз, равной
∆𝑟
(𝑟 −𝑟 )
∆𝜑 = ∙ 2π = 2 1 ∙ 2𝜋
𝜆
𝜆
Уравнение колебаний плоской волны, по условию задачи, имеет вид:
(1)
𝑥 = 0,2 ∙ sin 62,8𝑡
или
𝑥 = 𝐴 ∙ sin ω𝑡
Cравнивая (2) и (3), найдём циклическую частоты колебаний в волне:
(2)
(3)
𝜔 = 62,8
Уравнение плоской волны
рад
= 62,8 с−1 = 20π рад
𝐴 = 0,2 м
𝑥
𝑦 = 𝐴 ∙ sin ω(𝑡 − )
с
𝜐
Циклическая частота равна:
Период колебаний:
𝜔=
𝑇=
𝜆
𝜔=
Отсюда выразим длину плоской волны:
Подставим (6) в (1):
∆𝜑 =
(𝑟2 −𝑟1 )
2𝜋∙𝜐
𝜔
(5)
𝑇
(6)
𝜐
Подставим (5) в (4):
2𝜋
(4)
∙ 2𝜋 =
2𝜋
𝜆
𝜐
𝜆=
=
𝜆
2𝜋∙𝜐
𝜔
(𝑟2 −𝑟1 )
𝜐
2𝜋∙𝜐
∙𝜔
(7)
(8)
Смещение точек 1 и 2 найдём согласно (4):
𝑟
𝑦1 = 𝐴 ∙ sin ω(𝑡 − 1)
(9)
𝜐
𝑟2
𝑦2 = 𝐴 ∙ sin ω(𝑡 − )
𝜐
Проверка размерности:
[𝜆] =
[∆𝜑] =
(10)
м
=м
с ∙ с−1
(м − м) рад
∙
= рад
м
с
с
м
рад
(с − с) = м
[𝑦] = м ∙ sin ω (с − м ) = м ∙ sin
с
с
Подставим в (7) - (10) числовые значения данных величин и произведём
вычисление:
𝜆=
2∙𝜋∙10
∆𝜑 =
20∙𝜋
=1м
(10,75 − 10,25)
∙ 20 ∙ 𝜋 = 𝜋 рад
10
𝑦1 = 0,2 ∙ sin 2π ∙ (5 −
10,25
) = 0,2 ∙ sin 7,95π = − 0,031 м
10
𝑦2 = 0,2 ∙ sin 2π ∙ (5 −
10,75
) = 0,2 ∙ sin 7,85π = − 0,091 м
10
Ответ: λ = 1 м; ∆φ = π рад; у1 = -0,031 м;
у1 = -0,091 м
2. На какой угол повернётся карусель после начала действия постоянного
тормозящего момента М = 2∙103 Н∙м, если она вращалась, делает 0,5 оборота
за секунду? Момент инерции карусели относительно оси I = 500 кг∙м2.
Дано:
М = 2∙103 Н∙м
I = 500 кг∙м2
n = 0,5 c-1
_________
φ -?
Решение:
Для твердого тела (карусели) с неизменным моментом инерции тормозящий
момент инерции равен: 𝑀 = 𝐼 ∙ 𝜀
𝑀
Отсюда выразим угловое ускорение:
𝜀=
(1)
𝐼
Уравнение движения карусели:
где φ – угол поворота карусели,
ω – угловая скорость карусели:
t – время движения карусели:
𝜑 =𝜔∙𝑡−
𝜀∙𝑡 2
(2),
2
𝜔 = 2∙𝜋∙𝑛
𝜔
𝑡=
Подставим (4) в (2):
𝜑=𝜔∙
Подставим (1) и (3) в (5):
𝜑=
𝜔
𝜀
−
(2∙𝜋∙𝑛)2
𝑀
𝐼
рад2 ∙кг∙м2
2∙
𝜔2
𝜀∙ 2
𝜀
2
=
(3)
(4)
𝜀
=
𝜔2
𝜀
4∙𝜋2 ∙𝑛2 ∙𝐼
2∙𝑀
−
=
𝜔2
2∙𝜀
=
𝜔2
2∙𝜀
2∙𝜋2 ∙𝑛2 ∙𝐼
𝑀
(5)
(6)
Проверка размерности: [𝜑] =
= рад2 ∙ рад−1 = рад
Н∙м
Подставим в (6) числовые значения данных величин и произведём вычисление:
Ответ: φ ≈ 70,65°
𝜑=
2∙𝜋2 ∙0,52 ∙500
2∙103
=
𝜋2 ∙0,52
2
≈ 1,23245 рад ≈ 70,65°
3. Чему равна относительная погрешность δ вычислений при замене релятивистского правила преобразования скоростей классическим законом сложения скоростей Галилея, если скорость подвижной системы К1 относительно неподвижной υ0 = 0,2 с, а скорость частицы относительно неподвижной системы υ1 = 0,8 с (где с – скорость света в вакууме)?
Дано:
υ0 = 0,2 с
υ1 = 0,8 с
_________
δ -?
Решение:
Относительная погрешность δ вычислений при замене релятивистского
правила преобразования скоростей классическим законом сложения скорос𝜐к −𝜐р
тей Галилея равна:
𝛿=
(1),
𝜐р
где υк – относительная скорость при использовании правила преобразования
скоростей Галилея:
𝜐к = 𝜐0 + 𝜐1
(2)
υр – относительная скорость при использовании релятивистского правила
𝜐 +𝜐
преобразования скоростей:
𝜐р = 0𝜐0∙𝜐11
(3)
1+
Подставим (2) и (3) в (1):
𝛿=
𝜐 +𝜐
𝜐0 +𝜐1 − 0𝜐0 ∙𝜐11
1+
𝜐0 +𝜐1
𝜐 ∙𝜐
1+ 0 2 1
с
с2
𝑐 2 +𝜐 ∙𝜐
( 𝜐 +𝜐 )∙𝑐2
=
𝜐0 + 𝜐1 − 20 1
𝑐 +𝜐0 ∙𝜐1
(𝜐0 +𝜐1 )∙𝑐2
𝑐2 +𝜐0 ∙𝜐1
𝜐 ∙𝜐
=
𝜐 ∙𝜐
с2
(𝜐0 + 𝜐1 )∙(𝑐 2 +𝜐0 ∙𝜐1 )
(𝜐0 +𝜐1 )∙𝑐 2
−1=
𝑐 2 +𝜐0 ∙𝜐1
𝑐2
−1=
0 1
=
− 1 = 1 + 021 − 1 = 021
(4)
𝑐2
𝑐
𝑐
Подставим в (4) числовые значения данных величин и произведём вычисление:
𝛿=
0,2∙c∙0,8∙c
𝑐2
= 0,16 или 𝛿 = 16%
Ответ: δ = 16%
4. При помощи ионизационного манометра, установленного на искусственном спутнике Земли, было обнаружено, что на высоте h = 300 км от
поверхности Земли концентрация частиц газа в атмосфере n = 1015 м-3. Найти
среднюю длину свободного пробега l частиц газа на этой высоте. Диаметр
частиц газа d = 0,2 нм.
Дано:
n = 1015 м-3
d = 0,2 нм = 2∙10-10 м
______________________
l -?
Решение:
Длина свободного пробега частиц газа выражается формулой:
𝑙=
1
√2∙𝑑 2 ∙𝑛∙𝜋
(1)
Подставим в (1) числовые значения данных величин и произведём вычисление:
𝑙=
1
√2 ∙ (2 ∙
10−10 )2
Ответ: l = 5,63 км
∙
1015
∙ 3,14
= 0,05629885 ∙ 105 ≈ 5,63 ∙ 103 м ≈ 5,63 км
5. Газ расширяется адиабатически так, что его давление падает от р1 = 200
кПа до р2 = 100 кПа. Затем он нагревается при постоянном объёме до
первоначальной температуры, причём его давление становится равным р =
𝐶𝑝
122 кПа. Найти отношение . Начертить график этого процесса.
𝐶𝑉
Дано:
р1 = 200 кПа
р2 = 100 кПа
р = 122 кПа
_______________
𝐶𝑝
𝐶𝑉
-? График p(V) -?
Решение:
Из уравнения Пуассона для адиабатного процесса (АВ) получим:
𝑇1
где 𝛾 =
𝐶𝑝
𝐶𝑉
𝑇2
𝑝1
=⌊ ⌋
𝛾−1
𝛾
(1),
𝑝2
– показатель адиабаты, искомая величина данной задачи.
Для изохорного процесса (ВС) по закону Шарля:
𝑝2
𝑝2
𝑙𝑛 ⌊ ⌋ = 𝑙𝑛 ⌊ ⌋
1
1− =
𝛾
𝑝
⌋
𝑝2
𝑝1
ln⌊ ⌋
𝑝2
𝑙𝑛⌊
𝛾−1
𝛾
𝛾−1
𝑝2
𝛾
→ 𝑙𝑛 ⌊ ⌋ =
1
→
𝛾
Учитывая, что 𝛾 =
мой величины:
𝑝
=1−
𝐶𝑝
𝐶𝑉
𝐶𝑝
𝐶𝑉
𝑝
𝑝1
𝑙𝑛 ⌊ ⌋
𝑝2
→
𝛾−1
𝛾
(2)
𝑝2
𝑝2
Прологарифмируем (3):
𝑝1
𝑇2
=
𝑝
Приравниваем правые части (1) и (2):
𝑝
𝑇1
𝑝1
=⌊ ⌋
𝛾−1
𝛾
𝑝2
=
(3)
𝑝
⌋
𝑝2
𝑝
ln⌊ 1 ⌋
𝑝2
𝑙𝑛⌊
𝑝
⌋
𝑝2
𝑝1
ln⌊ ⌋
𝑝2
𝑙𝑛⌊
.
получим окончательную формулу для расчёта иско=γ=
1
𝑝
𝑙𝑛⌊ ⌋
𝑝2
1− 𝑝
ln⌊ 1 ⌋
𝑝2
(4)
Подставим в (4) числовые значения данных величин и произведём вычисление:
𝐶𝑝
=
𝐶𝑉
Ответ:
𝐶𝑝
𝐶𝑉
1
122
𝑙𝑛 ⌊100⌋
1−
200
ln ⌊100⌋
= 1,4
=
1
1
1
1
=
=
=
= 1,4
𝑙𝑛1,22
0,19885 1 − 0,2869 0,7131
1−
1−
ln 2
0,69315