1 Отдел образования и молодежной политики администрации Урмарского района

1
Отдел образования и молодежной политики администрации Урмарского района
Муниципальное образовательное учреждение «Большеяниковская средняя
общеобразовательная школа»
Рассмотрено на заседании
ШМО учителей естественнонаучного цикла
протокол №1 от 26 августа 2010 г
Согласовано
Зам.директора по УВР
29 августа 2010 г
Дзюба Л.Я.
Утверждаю
Директор школы
31 августа 2010 г.
Архипова Г.И.
Приказ №___от____
Элективный курс
по математике для 10 класса
на 2010 - 2011 учебный год
Избранные вопросы математики
Автор:
учитель математики Гурьева Р.Т.
д.Большое Яниково – 2010 г
2
Пояснительная записка.
В Концепции модернизации российского образования указана на важность решения
проблемы
профессионального
самоопределения
учащихся. Профессиональное
самоопределение основывается на базе углубленного изучения тех предметов, к которым у
учеников проявляется интерес и способности.
Предметные элективные курсы помогают сформировать интерес и проявиться с профилем.
Данный элективный курс называется «Избранные вопросы математики». Он содействует
профессиональной ориентации учащихся в области математики.
В программе представлены следующие разделы: «Комплексные числа и многочлены»,
«Алгебраические уравнения, системы алгебраических уравнений и неравенства». Это два
важнейших раздела. Туда включены задачи с дидактическими, познавательными,
развивающими, практическими функциями. Учитель, в зависимости, от уровня подготовки
обучающихся, может использовать все блоки или любой из них.
Тема «Комплексные числа» изложена до темы «Многочлены от одной переменной», что дает
возможность в дальнейшем находить разложение многочлена с действительными
коэффициентами на линейные и квадратичные множители.
Глава «Алгебраические уравнения и системы алгебраических уравнений» является
продолжением темы «Многочлены» и предназначена для более глубокого изучения разделов
математики, входящих в программу. Систематизируется и обобщается тема “Уравнения”,
изучаются новые способы решения алгебраических уравнений, новые виды уравнений –
кубические, уравнения n-степени, что выходит за рамки школьного курса математики.
Отличительной особенностью программы является ее практическая направленность. Учащиеся
не только приобретают теоретические знания, но и овладевают практическими навыками
решения разных видов уравнений, что также подготовит учащихся к ЕГЭ.
Основная цель курса – способствовать осознанному выбору профиля обучения в ВУЗе.
В ходе изучения названного курса преследуются:
 Образовательная цель –познакомить учащихся с основами теории многочленов;
сформировать представление о методах и способах решения нестандартных задач и
алгебраических уравнений на уровне, превышающем уровень государственных образовательных
стандартов, провести пропедевтику понятия комплексного числа.
 Воспитательная цель - развивать мотивацию дальнейшего математического образования,
обучать самостоятельному анализу учебной деятельности.
 Развивающая цель научить самостоятельно мыслить, сопоставлять, анализировать,
обобщать; прививать навыки исследовательской работы.
В процессе изучения элективного курса реализуются следующие задачи:
 реализация учеником интереса к выбранному предмету;
 уточнение готовности и способности осваивать предмет на повышенном уровне;
 развитие творческих способностей учащихся, необходимых для продолжения образования и
для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей
профессиональной деятельности.
Программа данного элективного курса предполагает дальнейшее развитие у школьников
математической, исследовательской и коммуникативной компетентностей. Курс направлен на
более глубокое понимание и осознание математических методов познания действительности, на
развитие математического мышления учащихся, устной и письменной математической речи. На
занятиях решаются нестандартные задачи, для которых в курсе математики не имеется общих
правил, определяющих точный алгоритм их решения.
3
Требования к уровню освоения содержания курса:
В результате изучения данного курса обучающиеся должны уметь:
решать различные уравнения, системы алгебраических уравнений, решать текстовые задачи с
помощью уравнений и систем уравнений;
 применять теорию многочленов к нахождению корней рационального уравнения с целыми
коэффициентами;
 использовать обобщенную теорему Виета для решения задач с параметрами;
 решать уравнения в множестве комплексных чисел
владеть:
 методом неопределенных коэффициентов;
 алгоритмами решения симметрических и возвратных уравнений;
 различными методами решения рациональных уравнений высших степеней;
 уметь пользоваться простейшими приёмами применения метода математической индукции.
Виды деятельности:
Необходимыми условиями реализации поставленных задач является адекватная методика,
которая предполагает широкое использование следующих приемов:
 беседа учителя с учениками;
 предварительное осмысление, обдумывание задач;
 работа в парах;
 работа в группах;
 применение объяснительно – иллюстративных методов;
 обучающая самостоятельная работа;
 составление справочника;
 тестирование;
 зачет;
 использование компьютерной технологии.
Оценивание результатов:
Наряду с традиционными опросами, самостоятельной и контролирующей самостоятельной
работой планируется провести итоговое тестирование по 1 главе, зачет по 2 главе.
Принципы отбора материала:
1. Последовательность.
2. Доступность.
3. Научность.
Ожидаемый результат:
Ученик осознает степень своего интереса к предмету и оценит возможность овладения им.
Учащиеся овладеют навыками арифметических операций над многочленами, деления
многочлена на многочлен с остатком, разложения многочлена на множители, решения разными
методами уравнений высших степеней, формирование представления о комплексных числах и
операциях над ними, умения решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом.
Показателем эффективности обучения следует считать повышающийся интерес к математике,
творческую активность и результативность учащихся.
Актуальность курса заключена в том, что эти знания востребованы.
Курс ориентирован на учащихся 10 класса социально-экономического профиля, рассчитан на
68 часов, однако его программа может корректироваться. Учитывая особенности школы, класса,
уровень подготовки учащихся, учитель может изменять последовательность изучения материала,
уровень его сложности, самостоятельно распределять часы и выбирать конкретные формы
занятий.
4
Тематический план
№
Тема
Кол часов
Требования к уровню подготовки обучающихся
Блок I.
Комплексные числа и многочлены, 28 час.
I
§1.
Комплексные числа, 12 ч.
1-2 Комплексные числа. Зачем нужны
2ч
Знать: определение комплексных чисел, свойства
комплексные числа?
операций сложения и умножения, правила действий
Алгебраическая форма комплексного
с комплексными числами, записанными в
числа. Арифметические действия.
алгебраической форме.
Уметь: находить сумму, разность, произведение,
частное комплексных чисел.
3
Геометрическое изображение комплексных 1 ч
Знать: модуль комплексного числа, аргумент.
чисел. Геометрический смысл модуля,
Уметь: находить аргументы комплексных чисел.
операций сложения, вычитания и
умножения на действительное число.
4-5 Тригонометрическая формы записи
2ч
Уметь: записывать числа в тригонометрической
комплексного числа
форме, умножать и делить комплексные числа,
записанные в тригонометрической форме.
6-7 Возведение комплексного числа в степень
2ч
Знать: правило возведения комплексного числа в
степень.
Уметь: возводить комплексное число в степень.
8
Извлечение корня из комплексного числа
1ч
Знать: как из комплексного числа извлекается
корень п-й степени.
Уметь: извлекать корень степени п из комплексного
числа.
9- Алгебраические уравнения с
3ч
Знать: общий вид алгебраического уравнения
11 действительными и комплексными
первой степени.
коэффициентами
Уметь: решать уравнения в множестве комплексных
чисел.
12 Обобщающее занятие
1ч
Учащиеся умеют демонстрировать теоретические и
практические знания по теме «Комплексные числа»
§2.
Многочлены, 16 ч
13 Многочлены от одной переменной.
1ч
Знать: свободный член многочлена Р(х) равен Р(0),
сумма коэффициентов Р(х) равен Р(1)
14 Действия над многочленами
1ч
Уметь: выполнять действия над многочленами
Оборудование
Э/уч «Открытая
математика», алгебра
Э/уч «Открытая
математика», алгебра
Э/уч «Открытая
математика», алгебра
Э/уч «Открытая
математика», алгебра
Э/уч «Открытая
математика», алгебра
Э/уч «Открытая
математика», алгебра
Единая коллекция ЦОР
Э/уч «Открытая
математика», алгебра
Э/уч «Открытая
математика», алгебра
5
Метод неопределенных коэффициентов
1ч
Уметь: применять метод неопределенных
коэффициентов для определения а, в, с.
15
16- Деление многочленов с остатком.
17
18- Корень многочлена. Теорема Безу.
19
Знать: деление «уголком».
Уметь: делить многочлен с остатком
2ч
Знать: теорему Безу, следствия 1, 2, 3 из теоремы
Безу.
Уметь: пользоваться теоремой Безу при решении
задач, решать задачи на доказательство
утверждений.
20- Схема Горнера
2ч
Знать: схему Горнера ( таблицу)
21
Уметь: находить значение многочлена f(x) при х=в
22- Разложение многочлена на множители
2ч
Знать: «приводимые» и «неприводимые»
23
многочлены.
Уметь: раскладывать многочлены на множители.
24 Кратные корни многочлена
1ч
Знать: определение корня кратности k.
Уметь: определение «приводимых» многочленов.
25- Обобщенная теорема Виета
2ч
Знать: теорему Виета и обратную к ней для
26
многочленов третьей и более высоких степеней.
Уметь: решать задачи на применение теоремы Виета
для многочленов второй и третьей степени.
27 Решение задач по теме «Многочлены»
1ч
Учащиеся умеют демонстрировать теоретические и
практические знания по теме «Многочлены»
28 Тестирование по теме «Многочлены»
1ч
Уметь: решать разные задачи по теме
«Многочлены»
Блок 2. Алгебраические уравнения и системы алгебраических уравнений, 38 час.
§1.
Алгебраические уравнения,
2ч
13 часов
Э/уч «Открытая
математика», алгебра
Э/уч «Открытая
математика», алгебра
Э/уч «Открытая
математика», алгебра
Э/уч «Открытая
математика», алгебра
Э/уч «Открытая
математика», алгебра
Раздаточный материал
6
29- Основные методы решения уравнений.
30 Решение уравнений методом разложения
на множители
31- Решение уравнений методом введения
32 нового неизвестного
33- Отыскание рациональных корней
34 уравнений с целыми коэффициентами
2ч
Уметь; применять метод разложения к решению
уравнений.
2ч
Тестовые задания
35 Уравнения вида (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = m
36- Симметрические уравнения и возвратные
37 уравнения
1ч
2ч
Уметь: решать уравнения введением нового
неизвестного.
Знать: теорему о рациональных корнях
многочленов.
Уметь: находить рациональные корни многочленов.
Уметь: решать уравнения данного вида
Знать: одним из корней возвратных уравнений
нечетной степеней является 1
Уметь: решать симметрические уравнения
Знать: формулу Кардано
Уметь: решать кубические уравнения
Знать: методы решения уравнений высших
степеней.
Уметь: решать уравнения разными методами.
Знать: несовместные системы, равносильные
системы, совокупность уравнений, о методах
решения систем.
Знать: теорему о равносильности систем.
Уметь: применять теорему при решении систем.
Уметь: решать системы алгебраических уравнений
методом введения новых неизвестных
Знать: способы решения систем однородных
уравнений, когда система при х-0 имеет решение и
не имеет решения.
Уметь: решать системы разных типов
Демонстрационный
материал
3839
4041
42
Решение кубических уравнений по
формуле Кардано
Практикум по решению алгебраических
уравнений
2ч
2ч
2ч
§2. Системы алгебраических уравнений,
часов
Общие вопросы теории систем уравнений. 1 ч
Методы решения систем.
Э/уч «Открытая
математика», алгебра
Тестовые задания
Демонстрационный
материал
Единая коллекция ЦОР
16
Метод введения новых неизвестных и
подстановки
Метод алгебраического сложения
уравнений
Системы однородных уравнений.
Симметрические системы с двумя
неизвестными.
48- Различные типы систем двух уравнений с
49 двумя неизвестными
50- Решение задач на работу и производитель51 ность труда с помощью систем уравнений
2ч
2ч
Уметь: решать задачи на работу и
производительность труда
Демонстрационный
материал
52- Задачи на процентный прирост и
53 вычисление «сложных процентов»
2ч
Уметь: решать задачи на процентный прирост и
вычисление «сложных процентов»
Тестовые задания
4344
4546
47
2ч
1ч
2ч
Раздаточный материал
ДМ
Тестовые задания
7
54- Задачи на концентрацию и процентное
55 содержание составлением систем
уравнений
56 Решение задач на движение составлением
систем уравнений
§3. Неравенства с одной переменной,
57- Решение неравенств
58
2ч
Уметь: решать задачи на концентрацию и
процентное содержание
Тестовые задания
1ч
Уметь: решать задачи на движение
Демонстрационный
материал
Доказательство неравенств
Неравенства о среднем арифметическом и
среднем геометрическом
61- Метод математической индукции.
62 Доказательство неравенств с помощью
математической индукции.
1ч
1ч
59
60
9ч
2ч
2ч
63
Формула бинома Ньютона.
1ч
64
Некоторые свойства биноминальных
коэффициентов. Треугольник Паскаля.
1ч
65- Учебно-тренировочные тестовые задания
66 ЕГЭ по теме «Уравнения, системы
уравнений, неравенства»
67 Итоговый зачет по теме
«Алгебраические уравнения и системы
алгебраических уравнений, неравенста»
68 Резерв
2ч
1ч
1ч
Знать: метод интервалов.
Уметь: применять метод интервалов к решению
более сложных неравенств
Уметь: доказывать неравенство, зная, что х2»0
Уметь: доказывать неравенство, используя неравенства о среднем арифмет. и среднем геометрич.
Знать: о полной и неполной индукции, суть метода
математической индукции
Уметь: применять данный метод к доказательству
утверждений, неравенств.
Знать: повторить формулы числа перестановок,
сочетаний, размещений, формулу разложения в ряд
двучлена
целой
положительной
степени.
треугольник Паскаля, свойства биноминальных
коэффициентов.
Уметь:
по формуле записывать разложение
биномов.
Знать: про треугольник Паскаля, свойства
биноминальных коэффициентов.
Уметь: пользоваться свойствами биноминальных
коэффициентов,
Уметь: решать различные типы алгебраических Тестовые задания
уравнений, неравенств и систем уравнений с двумя
неизвестными
Учащиеся демонстрируют умения решать различные типы алгебраических уравнений, неравенств и
систем уравнений с двумя неизвестными
8
Содержание.
Блок I.
Комплексные числа и многочлены, 28 часов
Раздел I. Комплексные числа, 12 ч.
Занятия 1-2. Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа.
Арифметические действия.
Определение комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа i.
Равные комплексные числа. Действия над комплексными числами. Введем новое число i мнимую единицу, - обладающее тем свойством, что квадрат его равен -1. i2=-1 Числа вида
a+bi , где а и в – действительные числа,
i - мнимая единица, называются комплексными.
Число a называется действительной частью комплексного числа, bi – мнимой частью
комплексного числа.
Комплексные числа удовлетворяют некоторым условиям, которые будут рассмотрены ниже.
Два комплексных числа z1=a1+ b1 i
и z2=a2+b2 i называются равными, если равны их
действительные части а1=а2 и мнимые части в1=в2 соответственно.
Действительные числа идентичны классу комплексных чисел вида z=x+0i , т.е. множество
комплексных чисел содержит в себе как часть (подмножество) все действительные числа, а также
все мнимые числа; другими словами, действительные числа, а также мнимые числа представляют
частные случаи комплексных чисел. Например,
5=5+0i (а=5, в=0)
-3 i = 0+(-3) i
i =0+1 i
0=0+0 i
Примечание 1. С помощью мнимой единицы i может быть выражен квадратный корень из
отрицательного числа. Например,
 4  4(1)  2i
 5  5(1)  5  1  i 5
Примечание 2. Введение комплексных чисел делает возможным решение квадратных уравнений
с отрицательным дискриминантом; например, уравнение х 2  6 х  13  0 имеет два комплексных
корня: х1, 2  3  2i .

Сложение комплексных чисел
Суммой двух комплексных чисел z1=a1+ b1 i
и z2=a2+b2 i называется
комплексное число z= a+ bi , действительная и мнимая части которого равны
соответственно сумме действительных и мнимых частей слагаемых чисел z1 и z2 , т.е.
z=z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i
Примеры.
1) (2+3i)+ (3-i)=(2+3)+(3-1) i=5+2i
2) (4-5i)+(2+5i)=6
3) (2т+пi)+(т-2пi)=3т-пi
Из приведённых примеров видно, что сложение комплексных чисел проводится по обычным
правилам сложения многочленов.
Из геометрического истолкования комплексных чисел как векторов следует, что сложение
комплексных чисел проводится по правилам сложения векторов.
9
На рис.4 изображено сложение комплексных чисел z1=3+2 i

и
z2=2+4i
Вычитание комплексных чисел
Под вычитанием из комплексного числа z1=a1+ b1 i другого комплексного числа z2=a2+b2 i
подразумевается отыскание такого числа z= a+ bi , которое, будучи сложено с вычитаемым z2 ,
даёт уменьшаемое z1.
При вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их действительные и мнимые
части.
Пример.
(3-2 i)-(1+3 i)=(3-1)+(-2-3) i=2-5 i
(-3+8 i)-(5+4 i)=-8+4 i
В геометрическом истолковании вычитание комплексных чисел означает вычитание
соответствующих им векторов.

Умножение комплексных чисел
Два комплексных числа z1=a1+ b1 i и z2=a2+b2 i перемножаются по обычному правилу
умножения многочленов; в полученном результате i2 заменяется на -1 и отделяется
действительная часть от мнимой.
(a1+ b1 i)(a2+b2 i)=a1 a2+a1b2 i+a2 b1i+b1 b2i2=(a1a2-b1b2)+ (a2b1+a1b2)i
Пример.
1) (2-3 i)(3+5 i)=6-9 i+10 i-15 i2=6+ i-15(-1)=21+ i
2) (4+ i)2 i=8 i+2 i2=-2+8 i
Произведение двух сопряженных комплексных чисел есть число действительное, равное
квадрату их общего модуля. (a+ bi)( a- bi)=a2+b2=r2

Деление комплексных чисел
Частным от деления двух комплексных чисел z1=a1+ b1 i и z2=a2+b2i
называется
такое комплексное число х+уi , которое, будучи умножено на делитель, дает в
произведении делимое.
Проще этот результат можно получить умножением делимого и делителя на число,
сопряженное делителю, т.е.
Решить примеры типа:
Вычислите
1.(1 + 2i)(3 – 4i).
2.
1  2i
2i
Занятие 3. Геометрическое изображение комплексных чисел. Геометрический смысл
модуля, операций сложения, вычитания и умножения на действительное число.
Аргумент комплексного числа φ = arg z.
Модуль комплексного числа
10
Принято комплексное число z= a+ bi изображать точкой с координатой (а; в) на плоскости
или соответствующим радиус-вектором; абсцисса этой точки равна действительной части а,
ордината равна в, т.е. коэффициенту при мнимой единице. Всякому комплексному числу
соответствует определенная точка на плоскости, и наоборот, всякой точке на плоскости
соответствует определенное комплексное число (рис.1).
Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками
координатной плоскости хОу и множеством комплексных чисел.
Два комплексных числа z= a+ bi и z= a- bi называются сопряженными, если они
отличаются только знаком перед мнимой частью.
Пара сопряженных комплексных чисел изображается точками, симметричными
относительно оси абсцисс, числа 3+2i и 3-2i
Модулем комплексного числа z= a+ bi называется действительное число r  a 2  b 2
В геометрическом истолковании модуль – это длина радиус – вектора. Причем, действительная
часть a есть проекция OZ на ОХ, коэффициент в есть проекция OZ на ОУ. Оба способа
геометрического представления комплексных чисел равноценны, так как всякой точке на
плоскости соответствует определённый радиус – вектор, и наоборот, всякому вектору, начало
которого совпадает с началом координат, соответствует определённая точка – конец вектора.
Число r положительно и обращается в нуль лишь в том случае, когда а=0, в=0.
Модуль действительного числа есть абсолютная величина этого числа. Поэтому модуль
комплексного числа называют еще и абсолютной величиной этого числа.
Примечание 3. Все комплексные числа, имеющие модуль, равный единице, изображаются
точками единичного круга с центром в начале координат.
2
2
1
3

i
 
i ,  0.6  0.8i
Например, числа
2
2
2 2
изображаются точками М1 , М2 , М3. (рис.3).
Примеры типа:
1.Найти модуль комплексного числа z = –1 – i.
2.Найти аргумент числа z = 1 – i.
Занятия 4-5. Тригонометрическая формы записи комплексного числа
z = a + bi = r(cos φ + i sin φ).
Примеры
Комплексное число a+ bi , не равное нулю на плоскости изображается радиус – вектором

ОМ причем длина этого вектора есть модуль комплексного числа ( см. рис.5) : r  a 2  b2

О
М
между положительным направлением оси ОХ и вектором
, называется
Угол 
аргументом комплексного числа a+ bi

Если комплексное число равно нулю, то вектор ОМ обращается в точку и говорить о его
направлении нет смысла. Поэтому считают, что число нуль не имеет аргумента.
Очевидно, что каждое комплексное число, не равное нулю, имеет бесконечное множество
значений аргумента; эти значения отличаются друг от друга на целое число полных оборотов, т.е.
на величину 2k , где k –любое целое число.
По рисунку 5 имеем:
a  r cos 
, откуда a  bi  r cos   ir sin   r (cos   i sin  )
b  r sin 
Выражение r (cos   i sin  ) называется тригонометрической формой комплексного числа.
Для определения аргумента  пользуются формулами
11
a
r,
b
sin  
r
cos  
где r  a 2  b2
Примеры.
1) Представить в тригонометрической форме число  1  i 3
r
 12  
3

2
2
1
1
3
2
  ; sin  
, тогда 
2
2
2
3
2
2 

Следовательно,  1  i 3  2 cos
 i sin
.
3
3 

2)Представить в тригонометрической форме число 1  i
1
1
5
Имеем: r  3 , cos   
.  
, sin   
4
2
2
5
5 

Следовательно,  1  i  2  cos
 i sin

4
4 

3) Представить в тригонометрической форме число 1
Имеем r=1
 0
Следовательно, 1  1cos 0  i sin 0
Или 1  cos 2k  i sin 2k , где k Z
1 i
Записать числа z=1- 3 i , i ,
в тригонометрической форме.
1 i
Занятия 6-7. Возведение комплексного числа в степень.
Формула r(cos  + I sin  ))n=rn(cos n  + i sin n  )
Возведение в степень комплексного числа
cos  

Так как п-я степень , где п- целое положительное число, представляет произведение п
равных множителей, то по правилу умножения комплексных чисел и после преобразований ,
получим
(cos   i sin  ) n  cos n  i sin n - формула Муавра
Если показатель является целым отрицательным , то и тут справедлива формула Муавра :
(cos   i sin  )  n  cos( n )  i sin( n )
Примеры типа:
1.Вычислить z4 если z=1- 3 i
2.Представить комплексное число (1- i)8 в алгебраической форме, т.е. в виде а+в i
3. Представить комплексное число z=(i- 3 )13 в алгебраической форме, т.е. в виде а+в i
Занятие 8. Извлечение корня из комплексного числа.
Результат извлечения корня представляется следующим образом:
  2k
  2k 

z  n r cos   i sin    n r  cos
 i sin

n
n 

п

12
Объяснение на примере 6  64
Примеры.
1.Найти все значения п  , если:
а)  =+1, n=3
б)  = -1, n=4
Занятие 9-11. Алгебраические уравнения с действительными и комплексными
коэффициентами.
Алгебраические уравнения в множестве комплексных чисел. Уравнения второй степени,
Примеры.
Решить уравнения: z2+3z+3=0
1.Найти все решения уравнения z2= i
2. Найти все решения уравнения z2=- i
Занятие 12. Обобщающее занятие.
1.При каких действительных значениях х и у комплексные числа 9у2- 4 -10х i5 и 8у2+20 i11
являются сопряженными?
(1  i )13
2.Найти модули и аргументы комплексных чисел:
(1  i ) 7
3.Записать число -1- i
в тригонометрической форме
13
Задачи на комплексные числа.
1. Вычислить:
(3+5i) + (2+i)
(7-5i) + (7+5i)
(2+5i) + (-2+3i)
(8-4i) + (-8+4i)
(-7+2i) + (7+2i)
(5+3i) + (12+i)
4i + (7+2i)
9 + (3-4i)
2) (3+5i) – (2+i)
(7-5i) – (7+5i)
(2+5i) – (-2+5i)
(1+4i) – (-1-4i)
(-6+7i) – (-2-8i)
2i – (3+i)
6 – (1+4i)
(a+bi) – i
3) 5(2-3i)
-3(1+i)
i(4+5i)
i(1-i)
(3-2i)(4-i)
(1-i)(2+i)
(-6+2i)(-2+6i)
(2-3i)(2+3i)
10i 15i 8i
;
;
2 5i  16i
21  i
1 i
12
5
1 i
17  6i
63  16i
a)
; б)
; в)  ; г )
; д)
; е) 
; ж)
i
i
5i
1  2i
1 i
3  4i
4  3i
1 i 3
5i
1  20i 5
32
3
10i
a)
; б)
; в)
; г)
; д)
; e)
3i
1 i 3
2 i 3
7  2i 5
1  3i 7
2 i
2) Разложить на пары комплексных множителей:
а) х 2  у 2 ; б )а 2  9в 2 ; в)4т 2  9п 2 ; г )а 2  0,25в 2 ; д) р 2  1; е)16  9;
3) Возвести в степень:
а)i 24 ; б )i 49 ; в)(i)10 ; г )(i) 9 ; д)  i10 ; е);i13




 1 i

а) 2  i 2 ; б )(1  i ) ; в )  0.5  0.5i 3 ; г );   
3
 2 2

2
3


2
4
3
1 i 7  1 i 7 
 

а)4  3i  ; б ) 2  i 3 ; в)1  i  ; г )
  2 
2

 

4) Извлечь корень:
а) ai ; б ) 5  12i ; в ) 21  20i ; г )  13  84i ;
2
2
4
3
д) 15  8i ; е)  77  36i ; ж ) 3.75  2i ; з ) 3  4i  3  4i ;
5) Построить точки, изображающие числа:
а)3  5i; б )4  i; в)  3  2i; г )  2  2i; д)5; е)  4i; ж)5i; з)0.2  0.5i; и )  5i  5;
6) Построить слагаемые и сумму комплексных чисел:
а) 3+4i и 5+3i; б)1-5i и 2+3i; в)-4+2i и 4+2i;
г) 5+3i и 3+5i; д) 1-3i и 1+3i; е) -5+2i и 5+2i;
7) Построить уменьшаемое, вычитаемое и разность комплексных чисел:
а)3+4i и 2+i; б)7-2i и 5-3i ; в) 4+5i и 5+4i;
г)3+6i и 6+3i; д)6+3i и 3+6i; е )1-i и 3i;
8) Изобразить в виде векторов следующие числа:
1,5;-2;i;-3i;2+i;-2+i;2-i;-2-i
9) Найти комплексные корни следующих квадратных уравнений:
а) х 2  6 х  13  0; б )2 х 2  5х  6  0; в) х 2  2(1  i) x  (2i  1)  0;
14
10) Найти модуль и аргумент чисел:
а) -3+2i
б) -1-i
1-i
5+2i
-1+i
3-3i
-2i
4
11) Представить в тригонометрической форме числа:
а) i
б) 3+2i
в) 2+3i
-i
3+4i
-12+5i
-3
3-4i
-2-7i
2,5
8+5i
4-3i
12) Вычислить произведение:
а)2(сos30 0  i sin 30 0 )  3(cos 30 0  i sin 30 0 )
б )2(сos30 0  i sin 30 0 )  3(cos 45 0  i sin 45 0 )
в )2(сos60 0  i sin 60 0 )  3(cos 45 0  i sin 45 0 )
г )(сos30 0  i sin 30 0 )  (cos 15 0  i sin 15 0 )
д)(сos 40 0  i sin 40 0 )  (cos 50 0  i sin 50 0 )
13)Вычислить:
(сos 60 0  i sin 60 0 ) 3
а)
(сos30 0  i sin 30 0 ) 6
б)
(сos 25  i sin 25 )
0
0 3
(сos 45  i sin 45 )
0
0 4
i
3
i
i
5
1
6
1
4
1
1 i
1 i
в)
14) Как расположены на плоскости комплексные точки z , для которых:


4
2
а)  
3
  1,2
z 1
б)
z 5
z 1  3
z 1  2
§2. Многочлены, 19 ч
Занятие 13. Многочлены от одной переменной. Равенство многочленов.
Pn(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + ... + a1x + a0, где a1, a2, ..., an − целые числа, an ≠ 0.
Определение многочлена от одной переменной, приведенного многочлена. Значение многочлена.
Теорема 1. Свободный член произвольного многочлена Р(х) равен Р(0), сумма коэффициентов
Р(х) равен Р(1).
Примеры.
1.Найти сумму коэффициентов многочлена, полученного после раскрытия скобок и приведения
многочлена, полученного после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых в
выражении
(х-1)1000(х-2)2000(х-3)3000
2.Пусть Р(х) – многочлен с целыми коэффициентами, и Р(2.Пусть Р(х) – многочлен с целыми
коэффициентами, и Р(5)=83. Может ли число 1 быть корнем этого многочлена?
15
3.Найти а, если известно, что х=1 – корень многочлена (х4+2) (3х-а)+(2х+а)(3х3-1)
Занятие 14. Действия над многочленами.
Сумма, разность, произведение, частное многочленов.
Занятие 15. Метод неопределенных коэффициентов.
Известно, что х+2=а(х2+х+1)+(вх+с)(х+1)
Занятие 16-17. Деление многочлена с остатком.
Определение. f(x)=g(x)q(x)+r(x)
Пример.
1. Разделите с остатком многочлен
а) 6х4+4х3+3х2-2х+1 на многочлен 2х2+х+1;
б)х2+х+1 на х+2.
В)х4-3х3+2х2+х-5 на х2+2х-3
2.При каких значениях а многочлены Р(х)=х4+(2а+1)х3+(2а+2)х2+4х+3 и Q(x)=х3+2ах2+2х=1
имеют общий корень?
Занятие 18-19. Корень многочлена. Теорема Безу.
Теорема Безу. Остаток от деления многочлена P (x) на двучлен (x – a) равен P (a), то есть
P(x)=Q{x)(x-a)+P(a)
Следствие 1. Число a является корнем многочлена P (x) тогда и только тогда, когда этот
многочлен делится на (x – a) без остатка: P(x)=Q{x)(x-a),
где Q (x) – многочлен степени, на 1 меньшей, чем P (x).
Примеры.
1.Найти остаток от деления многочлена Р(х)=х7-3х5+х4-2х3+х+4 на х-1.
2.При каких значениях а и в многочлен Р(х)=х4+ах 3 +вх2-8х+4 является квадратом некоторого
другого многочлена.
3.При каких значениях а многочлен 2х3-3х2+ах-8 при делении на х-2 дает остаток, равный 6?
Занятия 20-21. Схема Горнера.
1.Разделить многочлен 2x4 – 7x3 – 3х2 + 5x – 1 на х + 1.
2. Вычислить Р(3), где Р(х) = 4x5 – 7x4 + 5х3 – 2х + 1
3. Используя схему Горнера, разделить многочлен
4x3 – x5 + 132 – 8х2 на х + 2;
4. Разделить многочлен
2x2 – 3x3 – х + х5 + 1 на х + 1;
5. Найти значение многочлена Р5(х) = 2х5 – 4х4 – х2 + 1 при х = 7.
Занятия 22-23. Разложение многочлена на множители.
1. Разложить на множители многочлен x3 – 3x2y – 4xy + 12y2.
2. Разложить на множители многочлен x3 – 5x2 – 2x + 16.
3. Разложить на множители многочлен x4 + 5x3 – 7x2 – 5x + 6.
Занятие 24. Кратные корни многочлена.
Простой корень. Кратный корень.
Примеры типа:
1.Докажите, что х=2 кратный корень многочлена Р(х)=х4-3х3-3х2+16х-12. Найдите его кратность.
Занятия 25-26. Обобщенная теорема Виета
Формула Виета для многочленов третьей и более высоких степеней и теорема, обратная ей.
Свойство корней квадратного уравнения, вытекающее из теоремы Виета.
1.Решите систему уравнений х+у=24 и ху=63
16
Занятие 27.Решение задач по теме «Многочлены»
Занятие 28. Зачет.
Блок 2. Решение уравнений, систем, неравенств алгебраических уравнений.
§1. Алгебраические уравнения.
Занятия 29-30. Основные методы решения уравнений. Решение уравнений методом
разложения на множители.
Примеры.
1.х4-10х2+9=0
2. х4+12х3+32х2-8х-4=0
3.
Занятия 31-32. Решение уравнений методом введения нового неизвестного
Решить уравнения:
1. (х2 + х + 2)(х2 + х + 3) = 6
2. (х2+х+1)2 -3х2-3х-1=0.
Занятия 33-34. Поиск рациональных корней многочлена.
Теорема. Если многочлен
с целыми коэффициентами имеет рациональный корень
то число p является делителем числа а0 (свободного члена), а число q является
делителем числа а n (старшего коэффициента).
Примеры.
1.Найти все рациональные корни многочлена 2х4+5х3-10х-12
2.Решите уравнения:
х4+9х3+15х2+2х=0
3
6x – 25x2 + 3х + 4 = 0;
6x4 – 7x3 – 6х2+ 2х + 1 = 0;
3x4 – 8x3 – 2х2+ 7х – 1 = 0;
3. Найти все рациональные корни многочлена 4х3+х-15
Занятие 35. Уравнения вида (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = m
Уравнение четвертой степени вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = m, где а + b = c + d, или а + с = b +
d, или а + d = b + c.
Решить уравнения:
1. (х - 1)(х - 7)(x -4)(x + 2) = 40
2.16х(х+1)(х+20(х+3)=9
3.(х-2)(х-3)(х-4)=6
Занятия 36-37. Симметрические уравнения и возвратные уравнения.
Литература. Литература. Ю.Н.Макарычев. Дополнительные главы к школьному учебнику.
-М.:Просвещение, 1997.
Определение. Способ решения возвратных уравнений 4-й степени
Примеры.
1.Решить уравнение 3х4-5х3-30х2-10х+12=0
17
х4 -2х3-9х2-6х+9=0
3.Известно, что каждое из уравнений х2+ах+в=0 и х2+вх+а=0 имеет корни. Найти их общий
корень.
Занятия 38-39. Решение кубических уравнений х3+рх+q=0 по формуле Кардано.
Исследовательская работа.
1.Сколько корней имеют уравнения:
1) х3 -12х+8=0?
2) х3-9х+14=0
2.При каких значениях р уравнение х3 +рх+8=0 имеет два корня?
а)3; б) 5; в) -3; г)5
3.При каком наименьшем натуральном значении а уравнение х 3-3х+4=а
имеет 1 решение?
4.При каком наибольшем натуральном значении параметра а уравнение х3+х2-8х+2-а=0 имеет
три корня
5. В зависимости от значений параметра а найти число корней уравнения х3 – 3х – а=0
Занятия 40-41.
Практикум по решению алгебраических уравнений
§ 2. Системы алгебраических уравнений.
Занятие 42. Общие вопросы теории систем уравнений. Методы решения систем.
Несовместные системы. Совокупность уравнений. Равносильные системы.
Метод подстановки.
Примеры.
1.  у-х2=2 и у2+у-х4=26
2.  у+х2=5 и у2+х4=17.
Занятия 43-44. Метод введения новых неизвестных и подстановки.
.
Примеры.
1.  ху(х2+у2)=300 и ху+х2+у2=37
Занятие 45-46. Метод алгебраического сложения уравнений.
Теорема. Если к одному из уравнений системы прибавить другое уравнение, умноженное на
любой множитель, определенный при всех допустимых значениях неизвестных, а второе
уравнение оставить неизменным, то получится система уравнений, равносильная исходной.
Пример.

х3+у3=9 и х2у+ху2=6
Занятие 47. Системы однородных уравнений.
Однородные многочлены относительно х и у степени n. Разобрать случаи: когда система при х=0
не имеет решения и имеет решения.
Примеры.
1.  3х2-4ху+у2=0 и х2+2у2=19
2.  3х3-4х2у+ху2=0 и х2+у2=2.
Занятия 48-49. Различные типы систем двух уравнений с двумя неизвестными
18
Тестовые задания из КИМов.
Занятия 50-51. Задачи на работу и производительность
Материал к этой теме можно взять из книги В.Г.Агакова «Элементарная математика и начала
анализа», 1991 г. –стр. 73-74
А=Nt, где А работа;
N-работа, произведенная в единицу времени;
t - время
Занятия 52-53. Задачи на процентный прирост и вычисление «сложных процентов»
р
р n
Формулы: А n=А0 (1+
) и Аn= А0 (1+ р1 )…..(1+ п )
100
100
100
Примеры
В.Г.Агаков «Элементарная математика и начала анализа», 1991 г. –стр.75-76
Занятия 54-55. Задачи на концентрацию и процентное содержание.
Массовая концентрация вещества А в смеси называется величина КА, вычисляется по формуле
mA
КА=
m A  mB  mC
Процентное содержание вещества А РА=КА·100%
Примеры
В.Г.Агаков «Элементарная математика и начала анализа», 1991 г. –стр.78-81
Занятие 56. Задачи на движение.
Демонстрационный материал, сайт Савченко Е.М., Полярные Зори Мурманской области.
Примеры
1.Водитель междугороднего автобуса вынужден был по дороге заправить автобус горючим,
затратив на это 12 мин. Чтобы прибыть в конечный пункт вовремя, он увеличил скорость
автобуса на 15 км/ч и ликвидировал опоздание на перегоне в 60 км. С какой скоростью двигался
автобус на этом перегоне?
2.Водитель междугороднего автобуса вынужден был по дороге заправить автобус горючим,
затратив на это 12 мин. Чтобы прибыть в конечный пункт вовремя, он увеличил скорость
автобуса на 15 км/ч и ликвидировал опоздание на перегоне в 60 км. С какой скоростью двигался
автобус на этом перегоне?
.3. Расстояние от города А до города В поезд должен был пройти за
4 ч 30 мин. По техническим причинам он был задержан с отправлением на 30 мин. Увеличив
скорость на 10 км/ч, поезд прибыл в город В вовремя. Найдите расстояние между городами А и
В.
4. Расстояние от станицы до железнодорожной станции равно 60 км. Мотоциклист выехал из
станицы на 1 час позже велосипедиста и прибыл на станцию, когда велосипедист был от станицы
в 21 км. Найдите скорость велосипедиста, если она была на 18 км/ч меньше скорости
мотоциклиста.
5. Из села в город, к которому ведет дорога длиной 120 км, выехала легковая автомашина. Через
30 мин из города в село выехал грузовик и встретился с легковой автомашиной в 45 км от города.
Найдите скорость грузовика, если она меньше скорости легковой автомашины на 5 км/ч.
Задачи для самостоятельной работы.
1.Некоторую часть дня автобус работает в режиме экспресса. При этом его рейсовая скорость
увеличивается на 8 км/ч, а время, затраченное на маршрут в 16 км, сокращается на 4 мин. За
какое время проходит этот маршрут автобус в режиме экспресса?
19
2.За 70 км до конечной станции поезд опаздывал на 10 мин. Чтобы прийти в пункт назначения
вовремя, машинист увеличил скорость на 10 м/ч. С какой скоростью шел поезд последние 70 км?
3. Турист отправился на автомашине из города А в город В. Первые 75 км он ехал со скоростью
на 10 км/ч меньшей, чем рассчитывал, а остальной путь со скоростью, на 10 км/ч большей, чем
рассчитывал. В город В, который удалён на 180 км, турист прибыл вовремя. С какой скоростью
он ехал в конце пути?
Можно взять из следующей литературы: В.Г.Агаков «Элементарная математика и начала
анализа», 1991 г. –стр.71-73
§3. Неравенства с одной переменной.
Занятия 57-58. Решение неравенств.
Н.Я.Виленкин и др. Алгебра. Учебное пособие для 9-10 классов средних школ для учащихся и
классов с углубленным изучением математики.
–М.: Просвещение, 1992
Задания для практики:
Решить неравенства:
1.5(3х-6) (2х+5) (4х-11)(8-6х)>0
2.(х2-4х+3)(х2+4х+40) (х2+2х+4) >0
3.х4-34 х2+225 « 0
х 4  3х 2  2 х 2
4.
«0
х 2  х  30
Занятие 59. Доказательство неравенств.
Н.Я.Виленкин и др. Алгебра. Учебное пособие для 9-10 классов средних школ для учащихся и
классов с углубленным изучением математики.
–М.: Просвещение, 1992
С использованием основных свойств неравенства и что х2»0.
Задания для практики:
1
1.Доказать, что х+ » 2
х
2.Доказать неравенство х4-7 х2-2х+20>0
Занятия 60-61. Метод математической индукции. Доказательство неравенств с помощью
математической индукции.
Метод доказательства, при котором проверяется утверждение для конечного числа случаев,
исчерпывающих все возможности, называют полной индукцией.
Способ доказательства методом математической индукции
заключается в следующем:
1) Начало индукции. Доказывают или непосредственно проверяют справедливость
утверждения ( формулы ) для n=1;
2) Индуктивный переход. Предполагают справедливость утверждения для
некоторого натурального n=k . Исходя из этого предположения, доказывают
справедливость утверждения для n=k+1.
Ясно, что метод математической индукции (в дальнейшем м.м.и.) можно применять только для
доказательства утверждений , зависящих от натурального n.
Задачи на делимость натуральных чисел часто предлагаются на математических олимпиадах
разного уровня. Многие из них легко доказываются м.м.и.
Задача 1.
20
Доказать , что при любом натуральном n число
32n+1+2n+2 делится на 7.
Доказательство:
Обозначим an=32n+1+2n+2.
1) Начало индукции.
Если n=1 , то
a1=35 делится на 7.
(впрочем, здесь начать можно и с n=0)
2) Индуктивный переход.
Пусть
ak делится на 7. ( предположение индукции)
Докажем справедливость утверждения для n=k+1
ak+1=32(k+1)+1+2(k+1)+2=32k+1 9+ 2k+2 2=
(32k+1+2k+2)9-7 *2k+2=9ak-7*2k+2
Последнее число делится на 7 , т.к. представляет собой разность двух целых чисел, делящихся
на 7.
Задача 2.
Доказать, что число 7n+1+82n-1 делится на 19.
Доказательство:
1) если n=1
, то 72+81+57, а 57 делится на 19.
2) предположим, что утверждение верно при некотором натуральном
n=k , т.е. число
2k-1
7 +8
делится на 19.
Докажем верность утверждения для
n=k+1
(k+1)+1
2(k+1)-1
k+2
2k+1
k+1
2k-1
7
+8
=7 +8 =7*7 +64*8 =7(7k+1+82k-1)+57*82k-1.
Так как каждое слагаемое полученной суммы делится на 19, то и 7k+2+82k+1 также делится на
19. Утверждение доказано.
k+1
Задача 3.
Доказать, что при любом натуральном
n
n число 23 +1
делится на 3n+1
Доказательство:
1) Для n=1 число
23+1=9
делится на
2) Пусть утверждение верно для
n=k+1 :
n=k
, т.е.
31+1=9
k
23 +1
делится на
3k+1.
Перейдём к
k
k 1
k
k
k
k
23 +1=23 3 +1=(23 )3+1=(23 +1)((23 )2 – 23 +1)
Первый множитель в этом произведении делится на 3k+1 по
предположению.
Осталось
показать
k
k
k
k
3
2
3
3
2
3
делимость второго множителя на 3. В самом деле,
(2 ) - 2 +1=(2 +1) - 3*2
; Эта
разность , очевидно, делится на 3 , поскольку
делимость
на
3
уменьшаемого
вытекает
из
k 1
предположения. Итак, число
23 +1 делится на 3k+2. Следовательно, задача доказана.
Применение метода математической индукции к доказательству неравенств:
Доказать, что при всех натуральных n выполняется неравенство
1 3 5
2n  1
1
* * * ..... *

2 4 6
2n
3n  1
Доказательство:
Обозначим левую часть неравенства через an .
21
1) начало индукции.
Справедливость неравенства при n=1 очевидна.
1
2) индуктивный переход. Пусть ak 
. Надо доказать , что
3k  1
1
1
ak+1 
.

3(k  1)  1
3k  4
2k  1
1
2k  1
А поскольку ak+1= a k *
,

*
2k  2
3k  1 2k  2
1
2k  1
1
то нам достаточно доказать неравенство
.
*

3k  1 2k  2
3k  4
Возведя это неравенство в квадрат и упрощая, приходим к неравенству n  0 .
Задания для практики:
Докажите справедливость неравенства при любом натуральном значении n
2n >n
2n >2n+1
3n >5n+1 при n  3
5n> 7n-3
2n-1>n(n+1) при n  7
3n  2 n n n 2
4n  3  n
4n>3n+2n при n  2
2n >n3 при n  10
3n >n2
1  р n  1  np , если p  1
1
1
1
1
13


 ... 

12)
при n  2
n 1 n  2 n  3
n  n 24
Занятие 62. Неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом .
Занятие 63-64. Формула бинома Ньютона. Треугольник Паскаля. Свойства биномиальных
коэффициентов
Повторить формулы числа перестановок, сочетаний, размещений (повторение).
Формула бинома Ньютона. Биномиальные коэффициенты.
Свойства биномиальных коэффициентов:
 сумма при данном значении n равна 2n
 сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме
биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах;
 биномиальные коэффициенты, равноудаленные от концов разложения, равны друг
другу.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
Формула для вычисления биномиальных коэффициентов.
1
11
121
1331
Треугольник Паскаля
14641
.
Примеры.
1.Возвести в 6-ю степень (х2-у)
22
2.Найти разложение степени бинома (а+х)5
Занятия 65-66. Учебно-тренировочные тестовые задания ЕГЭ по теме «Уравнения, системы
уравнений, неравенства»
Тестовые задания из КИМов.
Занятие 67. Зачет по теме «Алгебраические уравнения и системы алгебраических
уравнений, неравенства»
Занятие 68. Резерв.
Методические рекомендации.
.
Содержание тем данного элективного курса «Избранные вопросы математики» не может
полностью быть уложено в часы, отведенные для изучения этой темы. Предполагается, что
учитель сосредоточит внимание учащихся на тех или иных вопросах в зависимости от их
интересов и уровня подготовки
Материал по каждой теме в указанной литературе достаточное количество задач. Подбор
системы задач не является трудоемкой работой, в указанной литературе достаточное
количество задач. В зависимости от уровня подготовленности школьников каждый учитель
вправе внести в программу элективного курса необходимые, с его точки зрения, коррективы
Выбор задач для решения на занятиях предоставляется учителю, который знает уровень
подготовки и интересы своих учеников.
23
Оценивание учащихся на протяжении курса не предусматривается и основной мотивацией
является познавательный интерес и успешность ученика при изучении материала повышенной
сложности. Поэтому для определения степени усвоения материала на последних занятиях
целесообразно провести итоговую зачетную работу по решению учащимися всех изученных
типов задач, по результатам которой, знания и умения учащихся оценить в форме “зачтено / не
зачтено”.
Литература
1. А.М.Абрамов, Н.Я.Виленкин и др. Избранные вопросы математики.
-М.:Просвещение,1980.
2.А.Д.Кутасов. Т.С.Пиголкина. Пособие по математике для поступающих в
ВУЗы.
-М.: Наука. 1982.
3.А.В.Деревянкин.Числа и многочлены. Методическая разработка для учащихся заочного
отделения МММФ.
-М.:Изд-во центр прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ,
2007.
4.В.Г.Болтянский, Ю.В.Сидоров, М.И.Шабунин. Лекции и задачи по элементарной математике.
-М.:Наука.
5.Н.Я.Виленкин и др. Алгебра. Учебное пособие для 9-10 классов средних школ для учащихся и
классов с углубленным изучением математики.
24
–М.: Просвещение, 1992
6.Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену.
Математика.
-М.: Интеллект -Центр, 2003.