Document 663946

24
Лекция 11 (26 ноября 2002 года).
Х,

Теорема.  : X  Y , если Х – компактное пространство, то
 непрерывна.
  x  замкнут в R.
 a  inf  x   x в силу замкнутости, т.е. x  X , т.ч.  x  a. Аналогично для a  .
Доказательство. Имеем
 x  
  достигает нижней и верхней грани на
компакт в R, R – хаусдорфово.
Далее будем работать с предкомпактными множествами.
Определение. М – предкомпактно в топологическом пространстве, если
M в Х является компактом.
Замыкание зависит от пространства Х, в которое мы его погружаем.
  0 в Х (или в М, что
образующий   сеть в М (набор x  , не
Определение. М – вполне ограничено в метрическом пространстве Х, если
эквивалентно)
 конечная   сеть, т.е. конечный набор x j j 1
N
обязательно даже счётный, называется
получаем
Если

x 
N
j j 1
сетью для М, если
x  Mx из набора, т.ч.  x, x    ). Т.е.
решётку. Т.е. нет больших дыр в М, свободных от этого набора.
N
N
 X образует   сеть в M  X , то y j j 1  M , т.ч. y j j 1 образуют 2  сеть в Х.
Эквивалентное определение
есть. Тогда

y 

 B x   M , тогда в каждом шаре возьмём элемент
N
сети:
j
y j из М, если он
j 1
N ' N
j j 1
образует
2  сеть в М.
Определение. Топологическое пространство Х называется счётно компактным, если любое его
бесконечное подмножество содержит предельную точку.
Знаем, что Х – компактно
 Х – счётно компактно.
Определение. М – счётно предкомпактно, если
M в Х является счётно компактным.
Теорема. Три утверждения эквивалентны: 1) Х – счётно компактно.
2) Из любого счётного покрытия Х открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие.
3) Любая счётная система замкнутых центрированных множеств имеет непустое пересечение.
Доказательство. Счётная компактность – ослабление компактности. Очевидно, что 2)  3) из соотношения
двойственности (см. аналогичную терему о компактных пространствах). Докажем 1)  3) :
3)  1) Пусть бесконечное множество в Х не имеет предельной точки, а свойство 3) выполнено. Найдём счётный
набор элементов
x 

j j 1
, тоже не имеющий предельной точки. Тогда это множество состоит из изолированных
 n  xn , xn1 ,... являются замкнутыми (т.к. нет предельных точек, то сами
множества) и центрированными, а   n   . Противоречие  предположение неверно и 1)  3) доказано.
точек, является замкнутым, т.е.
n
1)  3) Пусть Fn n1  замкнутая центрированная счётная система, а  n   F j  . (по определению

j 1
центрированной системы). И по определению:


n 1
n 1
 Fn   n  достаточно доказать, что
10.
 n   n1 - очевидно. Заметим следующий факт:


n
 0, если выполнено свойство 1). Рассмотрим 2 случая:
n 1
n0 , т.ч.  n   no n  n0  очевидно:


n 1
n
 .
25

nk , т.ч.  nk \  nk 1  , т.е. xk   nk \  nk 1  . Тем самым построили: x j j 1 , заметим, что они все
20.
x0  предельная точка для x j j 1. А у нас все

различны по построению. Т.к. свойство 1) – выполнено, то

xk , xk 1 ,...   nk И кроме того,  nk - замкнуто   nk содержит предельную точку x0  x0    n . 
n 1
Теорема. Пусть Х обладает счётной базой, тогда Х – компактно
Доказательство.
 Х – счётно компактно.
  уже доказано.
  достаточно доказать: из любого покрытия Х открытыми множествами G
подпокрытие.
можно выделить счётное

X  G . Заметим, что пусть x  X , тогда G x : x  G x , т.к. есть счётная база Bn n1 , то
Bnx , т.ч. x  Bnx  G x . Мы получили, что X 
куча повторных, поэтому
nx
. Тем самым X   Bnx   G x . В объединении
xX
xX

  B j т.е. взяли только разные.  B j будут соответствовать G j  мы
B
xX
B
xX
nx
j 1
выбрали счётное подпокрытие. 
Теорема. М – счётно предкомпактно в полном метрическом пространстве Х
последовательности элементов
x 

j j 1
 из любой
 M можно выделить фундаментальную подпоследовательность.
 Пусть любая последовательность x j j1 имеет предельную точку x0  M  X . Тогда
шар радиуса 1, с центром в точке x0 : xk  B1  x0 ,  x0 , xk   1  0 , xk  B  x0 ,  x0 , xk    2  0 и т.д.

 xk k 1  фундаментальна.
 Пусть имеется x j j1 различных точек в М. Можно выделить фундаментальную подпоследовательность
Доказательство.
1
x 

jk k 1
что
1
2
1
2
, имеющую пределом x0  X . Тогда x0  предельная точка М, т.к. xnk  различны. Остаётся заметить,
M обязано содержать предельные точки по определению. Следовательно М – счётно предкомпактно. 
Теорема. Следующие утверждения эквивалентны:
M  X , X  полное метрическое пространство.
1) М – предкомпактно.
2) М – счётно предкомпактно.
3) М – вполне ограничено.
Доказательство. 1)  2) - из определения.
Докажем, что 2)  3) Пусть М – не вполне ограниченно
означает, что фиксируем
 x0 , т.ч. в М нет конечной  0  сети для М. Это
x1  M , x1  не   сеть  x2  M т.ч.  x2 , x1    0 . Набор {x1 , x2} не есть
 0  сеть, тогда x3  M ,  x3 , x j    0 , j  1,2 И т.д. Построим xn n1 , т.ч.  xn , x j    0 , j  n.
такой последовательности нельзя выбрать фундаментальную подпоследовательность  M не счётно
Но из
предкомпактно. Противоречие.
3)  1) Пусть М – вполне ограниченно, тогда M  полное метрическое пространство. Заметим, что М обладает
1
счётной базой. Построим её. Пусть x j , nj 1   сеть в М. Возьмём шары:
n
Nn
N n ,


 счётная база в
B1 x j , n 
 n
 j 1,n1
M (по определению, т.к. если G  открыто в Х, то x  MB1 x j , n, т.ч. x  B1 x j , n   G ). Это следует
n
из того, что X
j ,n
плотно в М, а потому и в M  
n